Ngẫu hứng với tích phân nhảy tầng lầu

Gv: Trần Văn Dũng 0983385574
Ngẫu hứng với tích phân “Nhảy tầng lầu”
Kỹ thuật tích phân “nhảy tầng lầu” rất hay dùng triển khai một số bài toán có bậc mẫu lớn
không dùng đồng nhất thức, nhưng với bài
8
1
1
dx
x +
∫
còn gây khó khăn cho một số học
sinh muốn nghiên cứu vẻ đẹp của nó, ở đây tôi dùng tí xíu đồng nhất thức và “ nhảy
xuống lầu” để cùng các bạn khám phá, ai có lời giải khác hãy chia sẻ.
Lưu ý:
8 4 2 2 4 4
1 ( 1) 2 ( 2 1)( 2 1)x x x x x x x+ = + − = + + − +
Ta hãy phân tích:
2 2
8
4 2 4 2
1 1 1 1
( )
1 2
2 1 2 1
Ax Bx
x
x x x x
+ −
= −
+
+ + − +

qui đồng và lấy tử vế trái bằng vế phải bằng 1như
sau:
6 4 2 4 2 6 4 2 4 2
6 4 2
1
( 2 2 1 2 2 1) 1
2
1
[( ) ( 2 2 2) ( ) 2] 1
2
0
2
2
2 2 2 0
Ax Ax Ax x x Bx Bx Bx x x
A B x A B x A B x
A B
A B
A B
− + + − + − − − + + + =
⇔ − − + − + − + =
− =


⇒ ⇔ = =

+ − =


Vậy

2 2
2 2
8
4 2 4 2 4 2 4 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
8
2 2
1 1
1 1 2 2 2
2 2
( ) ( )
1 2 4
2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 1 1 3 1 1 1
2 2
1 1 1 1
1 1
2 2
2 2 2 2
( )
1 1 1 1
4 4
2 2 2 2
3
1 2
1 8
x x

x x
x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
dx
x
+ −
+ −
= − = −
+
+ + − + + + − +
 
       
+ − − − − +
+ −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
= − = −
 
+ + + − + + + −
 
 
⇒ =
+
∫

2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1
2 2
1 1 1 1
2
3 3
8
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x
dx dx
x x
x x
d x d x d x d x
x x x x
x x x x
x x x x
 
       
+ − − − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 
− =

 
+ + + −
 
 

       
− + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= − − +
       
− + + + + − + − − − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2
2 2
2
2 3 1 1 1 2 2
arctan ln
8
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2
3 1 2 2 1 1
ln arctan
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
x x
x x
x x

x x

 
 
=
 
 
 

− + − −

= − −

+ + − + + −


+ − + −
− +


+ + + + − −
