Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương

Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu
−
Trần Phương


11
MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU
Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân.
Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất
lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:
()
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
⎡ ⎤
+− − + −
==−
⎢ ⎥
++ ++
⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫
nn nn
dx 1 ux b ux b 1 ux b ux b
dx dx dx
2b 2b
xa xa xa xa

Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên
gọi kĩ thuật
"nhảy tầng lầu"

chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài
nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật
chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính
+
∫
8
dx
x 1
bằng
phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng
2 trang giấy
, nhưng nếu giải nó
bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng
3 dòng

thì lại là một đẳng cấp khác…
VD 1:
( ) ( )
⎛⎞
+− − + −
==−
⎜⎟
+++
⎝⎠
∫∫ ∫∫
22 2 2
444
1x1 x1 1x1 x1
dx dx dx
22

x1 x1 x1
1
4
dx
I=
x+1

(
)
(
)
()
()
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
1
1
1
1
dx
11
dx

11
x
x
xx
dx dx
11
22
1
1
x
x
x2
x2
x
x
x
x
11 x 1 1 x x21
arctg ln c
2
2x222xx21
⎡ ⎤
⎛⎞
⎛⎞
+
+−
−
⎜⎟
⎢ ⎥
⎜⎟

⎝⎠
⎢ ⎥
=⎜ − ⎟= −
⎢ ⎥
⎜⎟
⎛⎞
+
+
−+
⎜⎟
+−
⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣ ⎦
⎛⎞
−−+
=− +
⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫

VD 2:

()
()
( )

()()()
−
==
⎡ ⎤
−++
−−+−+
⎣ ⎦
∫∫ ∫
22
dx d x 1
x1x x1
x 1x1 3x13
2
3
dx
I=
x-1

()
()( )
()
()
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
33t
t3t3
tt 3t 3 tt 3t 3

⎛⎞
++− + +
== =−
⎜⎟
++
⎝⎠
++ ++
∫∫ ∫∫

()
( )
(
)
2
22 2 2
22
22
1dt12t3dt3 dt 1dt1dt3t33 dt
3t2 2 3t2 2
3
t3t3 t3t3 t3t3
3
t
2
4
11 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
32 6
t3t3 xx1
3233

⎛⎞
⎛⎞
+++
=− − =− −
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
⎜⎟
++
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+−+ +
=−+=−+
⎜⎟
++ ++
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫∫ ∫

Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân
−
Trần Phương


12

VD 3:
()
()

( )
()()()
+
==
⎡ ⎤
+−+
++−++
⎣ ⎦
∫∫ ∫
22
dx d x 1
x1x x1
x 1x1 3x13
3
3
dx
I=
x+1

()
()( )
()
()
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
33t
t3t3

tt 3t 3 tt 3t 3
⎛⎞
−+− − −
== =−
⎜⎟
− +
⎝⎠
−+ −+
∫∫ ∫∫

()
( )
(
)
2
22 2 2
1dt12t3dt3 dt 1dt1dt3t33 dt
3t2 2 3t2 2
3
t3t3 t3t3 t3t3
3
t
2
4
⎛⎞
⎛⎞
−−+
=− + =− +
⎜⎟
⎜⎟

−+ −+ −+
⎝⎠
⎜⎟
−+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫ ∫ ∫∫ ∫

2
2
11 t 2t 3
ln 3arctg c
32
t3t3
3
⎛⎞
−
=++
⎜⎟
−+
⎝⎠
2
2
1x2x1 1 2x1
ln arctg c
6
xx1
23 3
++ −
= ++

−+

VD 4:
()()
()
⎡⎤
==−=−
⎢⎥
−+
⎣⎦
−+
∫∫ ∫∫
23
33
33
dx 1 dx dx 1
II
22
x1 x1
x1x1
4
6
dx
I=
x-1

()()
()()
22
22

22
22
1 1 x 2x1 1 2x1 1 x 2x1 1 2x1
ln arctg ln arctg
26 6
xx1 xx1
23 3 23 3
1 x 2x1x x1 1 2x1 2x1
ln arctg arctg c
12
43 3 3
x2x1xx1
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
−+ + ++ −
=−−+
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
++ −+
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
−+ −+ + −
⎛⎞
=−++
⎜⎟
++ ++
⎝⎠

VD 5
:
()( ) ( ) ( )( )
()( )
+− − −++ − + −
==
+
+−+
∫∫ ∫
44 42222
6
242
1x1 x1 1xx1x x1x1dx
dx
22
x1
x1xx1
5
6
I
dx
=
x+1

() ()
22 3
2
2642 2 6
2
2

1
1dx
1 dx x dx x 1 dx 1 dx 1 d x
x
1
223
x1 x1 xx1 x1 x1
x1
x
⎡ ⎤
⎛⎞
−
⎜⎟
⎢ ⎥
⎡⎤
−
⎝⎠
=+− =+− =
⎢ ⎥
⎢⎥
⎛⎞
++−+ + +
⎣⎦
⎢ ⎥
+−
⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠
⎣ ⎦
∫∫∫ ∫ ∫∫

()
(
)
(
)
()
()
332
2
2
2
1
dx
1 arctg x 3arctgx arctg x 1 x x 3 1
x
arctgx ln c
23 6
43 x x3 1
1
x3
x
⎡⎤
+
+−+
⎢⎥
+− = − +
⎢⎥
++
+−

⎢⎥
⎣⎦
∫

VD 6:
( )
()
( )
()()
[]
== =
+−
−
∫∫ ∫ ∫
42 2
2
cos x dx d sin x d sin x
cos x
1sinx1sinx
1sinx
6
3
dx
I=
cos x

()()
()()
() ()
2

2
11sinx1sinx 1 1 1
dsinx dsinx
4 1sinx1sinx 4 1sinx 1sinx
⎡⎤
++−
⎛⎞
==+
⎜⎟
⎢⎥
+− − +
⎝⎠
⎣⎦
∫∫

()()
()
222 2
1 1 1 2 sin x 1 1 sin x
dsinx ln c
421sinx
1sinx 2cosx
1sinx 1sinx
+
⎡⎤
=++ =++
⎢⎥
−
−
−+

⎣⎦
∫