Vai toan ve cuc tri

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường
THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc,
thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho
việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là một trong những mảng kiến thức khó của toán
học phổ thông cơ sở mà các em thường gặp một số ít trong sách giáo khoa. Khi gặp các bài
tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với
mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn
thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng
này.
B. CƠ SỞ KHOA HỌC:
- Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b
ab
+
≥
;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
ac bd a b c d+ ≤ + +
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d

=
.
+
a b a b+ ≥ +
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab
≥
0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu
[ ]
2
( )y a f x= +
thì min y = a khi f(x) = 0.
Nếu
[ ]
2
( )y a f x= −
thì max y = a khi f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).
1
C. NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
• Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:
a)
2
4 4 11A x x= + +
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
c)
2 2
2 4 7C x x y y= − + − +

Giải:
a)
( )
2
2 2
4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10A x x x x x= + + = + + + = + + ≥
⇒
Min A = 10 khi
1
2
x = −
.
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x
2
+ 5x – 6)(x
2
+ 5x + 6) = (x
2
+ 5x)
2
– 36
≥
-36
⇒
Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c)
2 2
2 4 7C x x y y= − + − +
= (x

2
– 2x + 1) + (y
2
– 4y + 4) + 2 = (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
+ 2
≥
2
⇒
Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x
2
b) B = 5 – x
2
+ 2x – 4y
2
– 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x
2
= -(x
2
+ 8x + 16) + 21 = -(x + 4)
2
+ 21
≤
21

⇒
Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x
2
+ 2x – 4y
2
– 4y
= -(x
2
– 2x + 1) – (4y
2
+ 4y + 1) + 7
= -(x – 1)
2
– (2y + 1)
2
+ 7
≤
7
⇒
Max B = 7 khi x = 1,
1
2
y = −
.
Bài toán 3: Tìm GTNN của:
a)
1 2 3 4M x x x x= − + − + − + −
b)
( )

2
2 1 3 2 1 2N x x= − − − +

2
Giải:
a)
1 2 3 4M x x x x= − + − + − + −
Ta có:
1 4 1 4 1 4 3x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)
≥
0 hay
1 4x≤ ≤
2 3 2 3 2 3 1x x x x x x− + − = − + − ≥ − + − =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)
≥
0 hay
2 3x≤ ≤
Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi
2 3x≤ ≤
.
b)
( )
22
2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2N x x x x= − − − + = − − − +
Đặt
2 1t x= −
thì t
≥
0

Do đó N = t
2
– 3t + 2 =
2
3
2
1
( )
4
t − −

1
4
N⇒ ≥ −
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3 3
0
2 2
t t− = ⇔ =
Do đó
1
4
N = −
khi
3 5
2 1
3 3
2 4
2 1

3 1
2 2
2 1
2 4
x x
t x
x x
 
− = =
 
= ⇒ − = ⇒ ⇒
 
 
− = − = −
 
 
Vậy min
1 5
4 4
N x= − ⇔ =
hay
1
4
x = −
.
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x
3
+ y
3
.

Giải:
M = x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
) = x
2
- xy + y
2

2
2 2 2 2
2 2
1
( )
2 2 2 2 2
2 2
x y x y x y
xy x y
 
= + + − + = + + −
 ÷
 
2 2
1
( )

2
M x y⇒ ≥ +
Ngoài ra: x + y = 1
⇒
x
2
+ y
2
+ 2xy = 1
⇒
2(x
2
+ y
2
) – (x – y)
2
= 1
=> 2(x
2
+ y
2
) ≥ 1
Do đó
2 2
1
2
x y+ ≥
và
2 2
1 1

2 2
x y x y+ = ⇔ = =
Ta có:
2 2
1
( )
2
M x y≥ +
và
2 2
1 1 1 1
( ) .
2 2 2 4
x y M+ ≥ ⇒ ≥ =

Do đó
1
4
M ≥
và dấu “=” xảy ra
1
2
x y⇔ = =
Vậy GTNN của
1 1
4 2
M x y= ⇔ = =
3
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x

2
– y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
= 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x
2
+ y
2
.
Giải:
(x
2
– y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2

– x
2
– y
2
= 0
⇔
[(x
2
+ 1) – y
2
]
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
= 0
⇔
x
4
+ 2x
2
+ 1 + y
4
– 2y
2

(x
2
+ 1) + 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
= 0
⇔
x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2
+ x
2
– 3y
2
+ 1 = 0
⇔
x
4
+ y
4

+ 2x
2
y
2
- 3x
2
– 3y
2
+ 1 = -4x
2
⇔
(x
2
+y
2
)
2
-3(x
2
+y
2
)+1=-4x
2
Đặt t = x
2
+ y
2
. Ta có: t
2
– 3t + 1 = -4x

2
Suy ra: t
2
– 3t + 1 ≤ 0
2
2
3 9 5
2. . 0
2 4 4
3 5 3 5
2 4 2 2
5 3 5
2 2 2
3 5 3 5
2 2
t t
t t
t
t
⇔ − + − ≤
 
⇔ − ≤ ⇔ − ≤
 ÷
 
⇔ − ≤ − ≤
− +
⇔ ≤ ≤
Vì t = x
2
+ y

2
nên :
GTLN của x
2
+ y
2
=
3 5
2
+
GTNN của x
2
+ y
2
=
3 5
2
−
Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca
= (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì
0 , , 1a b c≤ ≤
)
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
4
Theo giả thiết ta có: 1 – a

≥
0; 1 – b
≥
0; 1 – c
≥
0;
⇒
(1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc
≥
0
⇒
P = a + b + c – ab – bc – ac
1 1abc≤ − ≤
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý
[ ]
0;1∈
Vậy GTLN của P = 1.
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải:
Ta có: (x + y)
2
+ (x – y)
2

≥

(x + y)
2

⇔
2(x
2
+ y
2
)
≥
(x + y)
2
Mà x
2
+ y
2
= 1
⇒
(x + y)
2
≤
2
2 2 2x y x y⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤
- Xét
2x y+ ≤
Dấu “=” xảy ra
2
2
2
x y

x y
x y
=


⇔ ⇔ = =

+ =


- Xét
2x y+ ≥ −
Dấu “=” xảy ra
2
2
2
x y
x y
x y
=

−

⇔ ⇔ = =

+ = −


Vậy x + y đạt GTNN là
2−

2
2
x y
−
⇔ = =
.
Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
+ z
2

≤
27.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx.
Giải:
Ta có: (x – y)
2
+ (x – z)
2
+ (y – z)
2

≥
0
⇔
2x
2

+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2zx
≥
0
⇒
(x + y + z)
2

= x
2
+ y
2
+ z
2
+2(xy + yz + zx)
≤
3(x
2
+ y
2
+ z
2
)
≤
81
⇒
x + y + z

≤
9 (1)
Mà xy + yz + zx
≤
x
2
+ y
2
+ z
2

≤
27 (2)
Từ (1) và (2) => x + y + z + xy + yz + zx
≤
36.
Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3.
Đặt A = x + y + z và B = x
2
+ y
2
+ z
2

5
2 2
( 1) 1 1
2 2 2 2
A B A B B
P A

− + + +
⇒ = + = − ≥ −
Vì B
≤
27
⇒

1
2
B +
−
≥
-14
⇒
P
≥
-14
Vậy min P = -14 khi
2 2 2
1
27
x y z
x y z
+ + = −


+ + =

Hay
13; 13; 1x y z= − = = −

.
Bài toán 9:
Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y =
10
. Tìm giá trị của x và y để
biểu thức: P = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) đạt GTNN. Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) = (x
4
+ y
4
) + (xy)
4
+ 1
Đặt t = xy thì:
x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy = 10 – 2t

x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
– 2x
2
y
2
= (10 – 2t)
2
– 2t
2
= 2t
2
– 40t + 100
Do đó: P = 2t
2
– 40t + 100 + t
4
+ 1 = t
4
+ 2t
2
– 40t + 101

= (t
4
– 8t
2
+ 16) + 10(t
2
– 4t + 4) + 45 = (t
2
– 4)
2
+ 10(t – 2)
2

+ 45
45P
⇒ ≥
và dấu “=” xảy ra
⇔
x + y =
10
và xy = 2.
Vậy GTNN của P = 45
⇔
x + y =
10
và xy = 2.
Bài toán 10:
Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x
2
+ y

2
.
Giải:
Ta có: x + y = 2
⇒
y = 2 – x
Do đó: A = x
2
+ y
2
= x
2
+ (2 – x)
2
= x
2
+ 4 – 4x + x
2
= 2x
2
– 4x + 4
= 2( x
2
– 2x) + 4
= 2(x – 1)
2
+ 2
≥
2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.

6
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài toán 1:
Tìm GTLN và GTNN của:
2
4 3
1
x
y
x
+
=
+
.
Giải:
* Cách 1:
2
2 2
4 3 ax 4 3
1 1
x x a
y a
x x
+ − + + −
= = +
+ +
Ta cần tìm a để
2
ax 4 3x a− + + −
là bình phương của nhị thức.

Ta phải có:
1
' 4 (3 ) 0
4
a
a a
a
= −

∆ = + − = ⇔

=

- Với a = -1 ta có:
2 2
2 2
4 3 x 4 4 ( 2)
1 1
1 1 1
x x x
y
x x x
+ + + +
= = − + = − +
+ + +
1.y⇒ ≥ −
Dấu “=” xảy ra khi x = -2.
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
- Với a = 4 ta có:
2 2

2 2
4 3 -4x 4 1 (2 1)
4 4 4
1 1 1
x x x
y
x x x
+ + − −
= = + = − ≤
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi x =
1
2
.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =
1
2
.
* Cách 2:
Vì x
2
+ 1
≠
0 nên:
2
2
4 3
yx 4 3 0
1
x

y x y
x
+
= ⇔ − + − =
+
(1)
y là một giá trị của hàm số
⇔
(1) có nghiệm
- Nếu y = 0 thì (1)
3
4
x⇔ = −
- Nếu y
≠
0 thì (1) có nghiệm
⇔
' 4 ( 3) 0y y∆ = − − ≥

( 1)( 4) 0y y⇔ + − ≤
1 0
4 0
y
y
+ ≥

⇔

− ≤


hoặc
1 0
4 0
y
y
+ ≤


− ≥

1 4y⇔ − ≤ ≤
Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2.
Vậy GTLN của y = 4 khi x =
1
2
.
7
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của:
2
2
1
1
x x
A
x x
− +
=
+ +
.
Giải:

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:
2
2
1
1
x x
a
x x
− +
=
+ +
(1)
Do x
2
+ x + 1 = x
2
+ 2.
1
2
.x +
2
1 3 1 3
0
4 4 2 4
x
 
+ = + + ≠
 ÷
 
Nên (1)

⇔
ax
2
+ ax + a = x
2
– x + 1
⇔
(a – 1)x
2
+ (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)
• Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
• Trường hợp 2: Nếu a
≠
1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
0
∆ ≥
, tức là:
2
( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0
1
(3 1)( 3) 0 3( 1)
3
a a a a a a a
a a a a
+ − − − ≥ ⇔ + + − + − + ≥
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ≠
Với
1
3
a =

hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là
( 1) 1
2( 1) 2(1 )
a a
x
a a
− + +
= =
− −
Với
1
3
a =
thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1
Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:
GTNN của
1
3
A =
khi và chỉ khi x = 1
GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
4
( 1)( )A a b a b
a b
= + + + +
+

.
b) Cho m, n là các số nguyên thỏa
1 1 1
2 3m n
+ =
. Tìm GTLN của B = mn.
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a
2
và b
2
2 2 2 2
2 2 2a b a b ab+ ≥ = =
(vì ab = 1)
2 2
4 4 4
( 1)( ) 2( 1) 2 ( ) ( )A a b a b a b a b a b
a b a b a b
⇒ = + + + + ≥ + + + = + + + + +
+ + +
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và
4
a b+
.
8
Ta có: (a + b) +
4 4
2 ( ). 4a b
a b a b
≥ + =

+ +
Mặt khác:
2 2a b ab+ ≥ =
Suy ra:
4
2 ( ) ( ) 2 4 2 8A a b a b
a b
≥ + + + + + ≥ + + =
+
Với a = b = 1 thì A = 8
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1.
b) Vì
1 1 1
2 3m n
+ =
nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai
số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n
cùng dương.
Ta có:
1 1 1
3(2 ) 2 (2 3)( 3) 9
2 3
m n mn m n
m n
+ = ⇔ + = ⇔ − − =
Vì m, n
∈
N
*
nên n – 3

≥
-2 và 2m – 3
≥
-1.
Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra:
+
2 3 1 2
3 9 12
m m
n n
− = =
 
⇔
 
− = =
 
và B = mn = 2.12 = 24
+
2 3 1 3
3 3 6
m m
n n
− = =
 
⇔
 
− = =
 
và B = mn = 3.6 = 18
+

2 3 9 6
3 1 4
m m
n n
− = =
 
⇔
 
− = =
 
và B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN của B = 24 khi
2
12
m
n
=


=

hay
6
4
m
n
=


=


Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
x y
A
x y
+
=
−
.
Giải:
Ta có thể viết:
2 2 2 2 2
2 2 ( ) 2x y x xy y xy x y xy
A
x y x y x y
+ − + + − +
= = =
− − −
Do x > y và xy = 1 nên:
2
( ) 2 2 2
2 2
x y xy x y x y
A x y
x y x y x y
− + − −
= = − + = + +
− − −
Vì x > y

⇒
x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có:
2
2. .
2 2
x y x y
A
x y
− −
≥ +
−
Dấu “=” xảy ra
2
2
( ) 4 ( ) 2
2
x y
x y x y
x y
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ − =
−
(Do x – y > 0)
9
Từ đó:
2
2 3
2
A ≥ + =
Vậy GTNN của A là 3

2
1
x y
xy
− =

⇔

=

1 2
1 2
x
y

= +

⇔

= − +


hay
1 2
1 2
x
y

= −



= − −


Thỏa điều kiện xy = 1
Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số:
2
1
1
y
x x
=
+ +
.
Giải:
Ta có thể viết:
2
2
1 1
1
1 3
2 4
y
x x
x
= =
+ +
 
+ +
 ÷

 
Vì
2
1 3 3
2 4 4
x
 
+ + ≥
 ÷
 
. Do đó ta có:
4
3
y ≤
. Dấu “=” xảy ra
1
2
x⇔ = −
.
Vậy: GTLN của
4
3
y =
tại
1
2
x
−
=
Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức:

1
( )
4
f t t
t
= +
.
Giải:
Ta có thể viết:
2 2 2
1 4 1 (2 1) 4 (2 1)
( ) 1
4 4 4 4
t t t t
f t t
t t t t
+ − + −
= + = = = +
Vì t > 0 nên ta có:
( ) 1f t ≥
Dấu “=” xảy ra
1
2 1 0
2
t t⇔ − = ⇔ =
Vậy f(t) đạt GTNN là 1 tại
1
2
t =
.

Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức:
2
2
1
( )
1
t
g t
t
−
=
+
.
Giải:
Ta có thể viết:
2
2 2
1 2
( ) 1
1 1
t
g t
t t
−
= = −
+ +
g(t) đạt GTNN khi biểu thức
2
2
1t +

đạt GTLN. Nghĩa là t
2
+ 1 đạt GTNN
Ta có: t
2
+ 1
≥
1
⇒
min (t
2
+ 1) = 1 tại t = 0
⇔
min g(t) = 1 – 2 = -1
Vậy GTNN của g(x) là -1 tại t = 0.
10
Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu
thức:
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
= + +
+ + +
.
Giải:
Đặt
1 1 1 1
; ; 1a b c abc

x y z xyz
= = = ⇒ = =
Do đó:
1 1
( ). ( )a b x y a b xy x y c a b
x y
+ = + ⇒ + = + ⇒ + = +
Tương tự: y + z = a(b + c)
z + x = b(c + a)
3 3 3
2 2 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1
. . .
( ) ( ) ( )
1 1 1
. . .
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
a b c
a b c
a b c b c a c a b b c c a a b
⇒ = + +
+ + +
= + + = + +
+ + + + + +
Ta có:
3
2

a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
(1)
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
2
; ;
2 2 2
x y z
a b c
y z x z x y x y z
a b c
+ +
⇒ + + =
+ − + − + −
⇒ = = =
Khi đó,
2 2 2
a b c y z x z x y x y z
VT
b c c a a b x y z
+ − + − + −
= + + = + +
+ + +
1 1 1 3 3 3
1 1 1
2 2 2 2 2 2
y x z x z y
x y x z y z

   
 
= + + + + + − ≥ + + − =
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
( ) ( ) ( ) 3
( )
2
a a b c b a b c c a b c
a b c
b c c a a b
+ + + + + +
+ + ≥ + +
+ + +
2 2 2
3
3 3 3
2 2 2 2
a b c a b c abc
E
b c c a a b
+ +
⇒ + + ≥ ≥ = ⇒ ≥
+ + +
⇒
GTNN của E là
3

2
khi a = b = c = 1.
Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x
2
+ y
2
= 1 (*).
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
2 3
2 2
x y
a
x y
+
=
+ +
.
Giải:
Từ
2 3
2 2
x y
a
x y
+
=
+ +
⇒
a(2x+y+z) = 2x+3y
11

⇔
2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0
⇔
2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3)
Ta có: 4a
2
= [2x(a-1)+y(a-3)]
2
≤ (4x
2
+y
2
).[(a-1)
2
+(a-3)
2
]
=>
2 2 2
4 ( 1) ( 3)a a a= − + −
(vì 4x
2
+y
2
= 1)
Do đó ta có:
2 2 2 2 2
4 ( 1) ( 3) 2 1 6 9a a a a a a a≤ − + − = − + + − +
2 2

2 8 10 0 4 5 0a a a a⇒ + − ≤ ⇔ + − ≤
5 0
( 1)( 5) 0
1 0
a
a a
a
+ ≥

⇔ − + ≤ ⇔

− ≤

(Vì a + 5 > a – 1)
1 5a
⇔ ≤ ≤
* Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2
⇒
y = 1
Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0
⇒
(x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
6 5
12 8 10 6 4 5
4
x
x y x y y
− −
⇒ − − = ⇔ + = − ⇒ =

Thay vào (*) ta được:
2
2
6 5
4 1
4
x
x
− −
 
+ =
 ÷
 
2
3 4
100 60 9 0
10 5
x x x y⇔ + + = ⇒ = − ⇒ = −

3 4
( ; ) ;
10 5
x y
− −
 
⇒ =
 ÷
 
Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1.
GTNN của a là -5 khi

3 4
;
10 5
x y= − = −
.
Bài toán 10:
Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1.
Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức:
M =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Giải:
Ta có: M =
2
2
1 1
x y
x y
 
 

+ + +
 ÷
 ÷
 
 
=
2 2
2 2
1 1
2 2x y
x y
+ + + + +

= 4 + x
2
+ y
2
+
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1
4 1
x y
x y
x y x y
 
+
= + + +

 ÷
 
Vì x, y > 0 nên ta có thể viết:
12
( )
2
0 2x y x y xy− ≥ <=> + ≥
Mà x + y = 1 nên 1
2 2
1 1
2 2 16xy
x y
xy
≥ <=> ≥ <=> ≥
(1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
x y= =
Ngoài ra ta cũng có:
2 2 2 2 2 2 2
( ) 0 2 2( ) 2x y x y xy x y xy x y− ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ + +
2 2 2 2 2
2( ) ( ) 2( ) 1x y x y x y⇔ + ≥ + ⇔ + ≥
(vì x + y = 1)
2 2
1
2
x y⇔ + ≥
(2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
x y= =
Từ (1) và (2) cho ta:
2 2
2 2
1 1 25
4 ( )(1 ) 4 (1 16)
2 2
M x y
x y
= + + + ≥ + + =
Do đó:
25
2
M ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở (1) và (2) cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi
1
2
x y= =
Vậy GTNN của
25
2
M =
khi và chỉ khi
1
2
x y= =
.

* Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC.
Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số:
2 4y x x= − + −
.
Giải:
* Cách 1:
Điều kiện:
2 0
2 4(*)
4 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)
2

≤
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d

2
)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
c d
=
.
Chọn
2; 1; 4 ; 1a x c b x d= − = = − =
với
2 4x
≤ ≤
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2
2 4 2 4 . 1 1
2 4 .2
4 2
y x x x x
y x x
y y
 
= − + − ≤ − + − +
 
 

⇔ ≤ − + − 
 
⇔ ≤ ⇔ ≤
13
Vì y > 0 nên ta có:
0 2y< ≤
Dấu “=” xảy ra
2 4 2 4 3x x x x x⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ =
(Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
* Cách 2:
Ta có:
2 4y x x= − + −
Điều kiện:
2 0
2 4
4 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y
2
đạt GTLN.
Ta có:

2 2
2 4 2 ( 2)(4 ) 2 2 ( 2)(4 )y x x x x y x x= − + − + − − ⇔ = + − −
Do
2 0
2 4
4 0
x
x
x
− ≥

≤ ≤ ⇒

− ≥

nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta:
2 ( 2)(4 ) ( 2) (4 ) 2x x x x− − ≤ − + − =
Do đó
2
2 2 4y ≤ + =
Dấu “=” xảy ra
2 4 3x x x⇔ − = − ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3.
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3 1 4 5 (1 5)y x x x= − + − ≤ ≤
.
Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số:

(3; 4) và (
( 1; 5 )x x− −
ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(3. 1 4. 5 ) (3 4 ). 1 5 100y x x x x
 
= − + − ≤ + − + − =
 
 
<=>
2
100y ≤
=> y
10
≤
Dấu “=” xảy ra <=
1 5
3 4
x x− −
−
hay
1 5
9 16
x x− −
=
=> x =
61
25

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTLN của y là10 khi x =
61
25
* b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y =
3 1 4 5 3 1 3 5 5x x x x x− + − = − + − + −
14
=
( )
3 1 5 5x x x− + − + −
Đặt: A =
1 5x x− + −
thì t
2
= 4 + 2
( ) ( )
1 5x x− −

≥
4
=> A
2≥
và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5
Vậy y
≥
3 . 2 + 0 = 6
Dấu “=” xảy ra khi x = 5
Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5
Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5

Tìm GTNN của biểu thức: M =
( )
2
2
1994 ( 1995)x x− + +
Giải:
M =
( )
2
2
1994 ( 1995)x x− + +
=
1994 1995x x− + +
Áp dụng bất đẳng thức:
a b a b+ ≥ +
ta có:
M =
1994 1995 1994 1995x x x x− + + = − + +
=> M
1994 1995 1x x≥ − + − =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x)
≥
0
<=> 1994
1995x≤ ≤
Vậy GTNN của M = 1  1994
1995x≤ ≤
Bài toán 4:
Tìm GTNN của B = 3a + 4
2

1 a−
với -1
1a
≤ ≤
Giải:
B = 3a + 4
( )
2
2
3 16
1 5 5 1
5 25
a a a− = × × + × × −
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
( )
( )
2
2
2
2
3
16
1
3 16
5
25
5 5 1 5 5
5 25 2 2
a
a

a a
 
×
+ −
 ÷
 
× × + × − ≤ × + ×
=> B
2 2
9 25 41 25
5 5
2 25
a a
 
+ + −
≤ × =
 ÷
×
 
=> Do đó B
5≤
và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
2
3
5
16
1
25
a
a


=




= −


<=> a =
3
5
15
Vậy GTNN của B = 5 <=> a =
3
5
Bài toán 5:
Tìm GTNN của biểu thức:
A =
2
3
2 2 7x x+ − +
Giải:
Điều kiện:
( )
2 2
2 7 0 2 1 8 0x x x x− + ≥ <=> − − + + ≥
<=> -(x-1)
2
+ 8

0
≥

( )
2
1 8x<=> − ≤
2 2 1 2 2x<=> − ≤ − ≤
1 2 2 2 2 1x<=> − ≤ ≤ +
Với điều kiện này ta viết:
( )
2
2 2
2 7 1 8 8 2 7 8 2 2x x x x x− + = − − + ≤ => − + ≤ =
=> 2 +
( )
2
2 7 2 2 2 2 2 1x x− + ≤ + = +
Do đó:
( )
2
1 1 2 1
2
2 2 1
2 2 7x x
−
≥ =
+
+ − +
Vậy A
2 1

3
2
−
≥ ×
và dấu “=” xảy ra <=> x -1 = 0
<=> x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN của A =
( )
3
2 1 1
2
x− <=> =
Bài toán 6:
Tìm GTNN của biểu thức: A =
2
5 3
1
x
x
−
−
Giải:
Điều kiện: 1 – x
2
> 0 <=> x
2
< 1 <=> - 1 < x < 1
=> A > 0 => GTNN của A  A
2
đạt GTNN.

Ta có: A
2
=
( )
(
)
( )
2 2
2
2
2 2
2
5 3 3 5
25 30 9
16 16
1 1
1
x x
x x
x x
x
− −
− +
= = + ≥
− −
−
Vậy GTNN của A = 4 khi
3
5
x =

16
Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y
1≤

Tìm GTNN của biểu thức: A =
2
1x x× −
Giải:
Điều kiện: 1 – x
2

0 1 1x≥ <=> − ≤ ≤
Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x
2

0≥
và 1 – x
2

0≥
Ta có: x
2
+ 1 – x
2

( )
2 2 2
2 1 1 2 1x x x x≥ − => ≥ × × −
<=> 1
1

2
2
A A≥ × => ≤
Vậy GTLN của A =
1
2
khi x =
2
2
×
hay x =
2
2
−
Bài toán 8:
Tìm GTLN của biểu thức: y =
1996 1998x x− + −
Giải:
Biểu thức có nghĩa khi 1996
1998x≤ ≤
Vì y
0≥
với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996
1998x≤ ≤
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2
( ) ( )
1996 1998 ( 1996) (1998 ) 2x x x x− − ≤ − + − =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x
<=> x = 1997

Do đó y
2

4 2y≤ => ≤
Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997
Bài toán 9:
Cho
0 1x
≤ ≤
. Tìm GTLN của biểu thức y = x +
( )
2 1 x−
Giải:
Ta có:
( )
2 1y x x= + −
= x + 2
( )
1
1
2
x× −
Vì 0
1x≤ ≤
nên 1 – x
0≥
Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số:
1
2
và (1 – x) cho ta:

( ) ( )
1 1 3
2 1 1
2 2 2
y x x x x= + × − ≤ + + − =
Dấu “=” xảy ra <=>
1 1
1
2 2
x x= − => =
17
Vậy GTLN của y là
3
2
tại x =
1
2
Bài toán 10:
Cho M =
3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − −
Tìm TGNN của M
Giải:
M =
3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − −
=
1 4 1 4 1 8 1 16a a a a− − − + + − − − +
=
( ) ( )
2 2
1 2 1 4a a− − + − −

Điều kiện để M xác định là a – 1
0 1a≥ <=> ≥
Ta có:
1 2 1 4M a a= − − + − −
Đặt x =
1a −
điều kiện x
0
≥
Do đó: M =
2 4x x− + −
Ta xét ba trường hợp sau:
1) Khi x
2≤
thì
( )
2 2 2x x x− = − − = −
Và
( )
4 4 4x x x− = − − = −
=> M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x
6 2.2 2≥ − =
Vậy x < 2 thì M
2≥
2) Khi x
4≥
thì
2 2x x− = −
và x-4 =x-4
=> M =

2 4 2 6 2 4 6 2x x x− + − = − ≥ × − =
Vậy x > 4 thì M
2≥
3) Khi 2 < x < 4 thì
2 2x x− = −
và
4 4x x− = −

=> M = x – 2 + 4 – x = 2 (không phụ thuộc vào x)
Trong trường hợp này thì: 2
1 4a≤ − <
<=> 4
1 16a≤ − ≤
<=> 5
17a≤ ≤
Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN của M = 2 tương ứng với:
5 17a≤ ≤
D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm GTNN của biểu thức: A = (2x – 3)
2
– 7 với x
1≤ −
hoặc x
3≥
.
18
Gợi ý:
- Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1

- Kết luận: Min A = 2 <=> x = 3
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)
2
– 7
7
≥ −
. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x =
3
2
nhưng giá trị
không thỏa mãn x
1≤ −
, không thỏa mãn x
3≥
. Do đó không thể kết luận được GTNN của
A bằng – 7.
Bài 2:
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình:
x
2
– (2m – 1) x + (m – 2) = 0
Tìm các giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
có giá trị nhỏ nhất

Gợi ý:
∆
= 4(m - 1 )
2
+ 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 (2 1) 2( 2) 4 6 5x x x x x x m m m m+ = + − = − − − = − +
=
2
3 11 11
2
2 4 4
m
 
− + ≥
 ÷
 
=> Min (
( )
2 2
1 2
11
4
x x+ =
với m =
3
4
Bài toán 3:
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x

2
+ 2y
2
Gợi ý:
Rút x theo y và thế vào E
Bài toán 4:
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x
2
+ y
2
Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x
2
+ y
2
– xy = 4
Gợi ý:
Từ x
2
+ y
2
– xy = 4 <=> 2x
2
+ 2y
2
– 2xy = 8
<=> A + (x – y)
2
= 8
<=> Max A = 8 khi x = y
Mặt khác: 2x

2
+ 2y
2
= 8 + 2xy
<=> 3A = 8 + (x + y)
2

8≥
19
=> A
8
3
≥ =>
min A =
8
3
khi x = - y
Bài toán 5:
Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
= 25.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki
(x +2y)
2

2 2

( 4 )x y≤ +
(1
2
+ 1
2
) = 50
<=>
2 50 50 50x y M+ ≤ <=> − ≤ ≤

Vậy Max M =
50
khi x =
5 5
;
2 2 2
y =
Min M = -5
2
khi x = -
5
2
; y = -
5
2 2
Bài tóan 6:
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A =
4 2 2 4
x y
x y x y

+
+ +
Gợi ý:
Từ (x
2
– y)
2

4 2 2
0 2x y x y≥ => + ≥
=>
4 2 2
1
2 2
x x
x y x y
≤ =
+
Tương tự:
4 2
1
2
y
y x
≤
+
=> A
1≤
=> Max A = 1 khi
2

2
1
1
x y
y x x y
xy

=

= <=> = =


=

Bài tóan 7:
Tìm GTNN của biểu thức:
A =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +
Gợi ý:
B =
1 1 1 1x x+ + + − + =>
Min B = 2 khi - 1
0x
≤ ≤
Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức:
20
B = (x – a )
2
+ (x – b)

2
+ (x – c)
2
với a, b, c cho trước.
Gợi ý:
Biểu diễn B =
( )
( )
2
2
2 2 2
3.
3 3
a b c
a b c
x a b c
+ +
+ +
 
− + + + −
 ÷
 
=> GTNN của B = (a
2
+ b
2
+ c
2
) -
( )

2
3
a b c+ +
Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức:
P = x
2
– 2xy + 6y
2
– 12x +

3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – 6 – y)
2
+ 5(y – 1)
2
+ 4
Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7
Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức:
E = – x
2
+ 2xy – 4y
2
+ 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)
2
– 3 (y – 2)
2
=> GTLN của E = 10  y = 2 ; x = 3

Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P =
2 4 5x y z+ + ×
Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x
2
+ y
2
+ z
2
= 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Max P = 65 khi














=
=
=
⇔==
5

513
5
52
5
26
5
42
z
y
x
z
y
x
Bài toán 12:
Tìm GTNN của biểu thức sau:
a) A =
2
1
2
x
x
+
+

b) B =
2
8
3 2x
−
+

c) C =
2
2
1
1
x
x
−
+
Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
21
Với x
0≥
Với mọi x
Với mọi x
A = (x + 2) +
5
4 2 5 4
2x
− ≥ −
+
b) B =
2
8
4
3 2x
−
≥ −
+

(vì
2
1 1
)
3 2 2x
≤
+
c) C =
2
2
2
1 1
1
x
x
− + ≥ − =>
+
Min C = - 1 khi x = 0
Bài toán 13:
Tìm GTNN của biểu thức A =
2
2
2 2000
;( 0)
x x
x
x
− +
≠
Gợi ý:

A =
2 2 2 2
2 2
2000 2 2000 2000 ( 2000) 1999
2000 2000
x x x x
x x
− × + − +
=
=
2
2
( 2000) 1999 1999
2000 2000 2000
x
x
−
+ ≥
Vậy Min A =
1999
2000
Khi x = 2000
Bài toán 14:
Tìm GTNN của biểu thức:
P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x

x x
+ + + +
+ +
Gợi ý:
Biểu diễn P = 4
2
2
256
( 2 5) 64
2 5
x x
x x
× + + + ≥
+ +
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3
Bài toán 15:
Tìm GTNN của A =
2
4 4x x
x
+ +
với x > 0
B =
2
1
x
x −
với x > 1
C =

2
2
2
1
x x
x x
+ +
+ +
D =
1
(1 ) 1x
x
 
+ +
 ÷
 
với x > 0
E =
5
1
x
x x
+
−
với 0 < x < 1
F =
2
2 1
x
x

+
−
với x > 1
Gợi ý:
22
A = x+
4 4
4 2 4 8x
x x
+ ≥ × + =
(vì x > 0)
=> Min A = 8 khi x = 2
B =
2
1 1 1
2 ( 1) 2 2 4
1 1
x
x
x x
− +
= + − + ≥ + =
− −
(vì x > 1)
=> Min B = 4 <=> x = 2
C =
2 2
2 2
( 1) 1 2 1
2

1 1
x x x x
x x x x
+ + + × + +
≥ =
+ + + +
D = (1 + x)
1 1
1 2 .2. 4x
x
x
 
+ ≥ =
 ÷
 
(vì x > 0)
E =
( ) ( )
5 1 5 1
5 5 5
5 2 5 2 5 5
1 1 1
x x
x x x x x
x x x x x x
− −
− +
+ = + + ≥ × + = +
− − −
F =

1 1 2 1 2 1 1 2 1
2
2 1 2 1 2 2 1 2
x x x
x x x
− + − −
+ = + + ≥ × +
− − −
=
1 3
2
2 2
+ =
=> Min F =
3
2
khi x = 3.
Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P =
2
2 2
8 6x xy
x y
+
+

Gợi ý:
P = 9 -
2
2 2

( 3 )
1 1
y x
x y
+
− ≥ −
+

P = 9 -
2
2 2
( 3 )
9
x y
x y
−
≤
+

Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10
Tìm GTNN của biểu thức S =
1 1
x y
+
Gợi ý: S =
yx
11
+
=
10

(10 )
x y
xy x x
+
=
−

S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x = 5.
=> GTNN của S =
2
5
khi x = y = 5.
Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2
1 1x x x x+ + + − +
Gợi ý:
Ta có E > 0 với mọi x
Xét E
2
= 2 (x
2
+ 1 +
4 2
1) 4x x+ + ≥
23
=> Min E = 2 khi x = 0
Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a
3≥
; a + b

5≥
Tìm GTNN của biểu thức S = a
2
+ b
2
Gợi ý:
a+ b
5 2 2 10 3 2 13a b a b≥ => + ≥ => + ≥
(vì a
3)≥
=> 13
2

( )
( )
2
2 2
3 2 13a b a b≤ + ≤ +
=> Min S = 13
Bài 20:
Cho phương trình: x
2
- 2mx – 3m
2
+ 4m – 2 = 0
Tìm m để cho
1 2
x x−
đạt GTNN.
Gợi ý:

' 2
(2 1) 1 0m∆ = − + > =>
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Theo định
lý vi-ét ta có:

1 2
2
1 2
2
. 3 4 2
x x m
x x m m
+ =


= − + −

Do đó
( )
2
1 2
4 2 4 4 2x x m− = − + ≥ =
m
R∈
GTNN của
1 2

x x−
là 2 khi m =
1
2
Bài 21:
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y =
1 2 1998x x x− + − + + −
Gợi ý:
y =
( ) ( )
1 1 1998 2 1997x x x x− + − + − + −
+ …+
( )
998 999x x− + −
Ta có:
1 1998x x− + −
nhỏ nhất bằng 1997 khi x
[ ]
1;1998∈

2 1997x x− + −
nhỏ nhất bằng 1995 khi x
[ ]
2;1997∈

998 1999x x− + −
nhỏ nhất bằng 1 khi x
[ ]
999;1000∈

Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + …+ 1997
Số các số hạng của 1 + 3 + … + 1997 là (1997 – 1) : 2 + 1 = 999
Vậy Min y = 999
2
khi 999
1000x≤ ≤
24
Bài 22:
Cho biểu thức: M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương
ứng của x, y, z, t. Biết rằng:
2 2 2
2 2 2
21
3 4 101
x y t
x y z

− + =


+ + =



Gợi ý:
Theo giả thiết: x
2
– y
2
+ t
2
= 21
x
2
+ 3y
2
+ 4z
2
= 101
=> 2x
2
+ 2y
2
+ 4z
2
+ t
2
= 122
=> 2M = 122 + t
2
Do đó 2M
122 61M≥ <=> ≥
Vậy Min M = 61 khi t = 0

Từ (1) => x > y
0 0x y x y≥ => + ≥ − ≥
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3
Từ (2) => 3y
2

2
101 33 0 5y y≤ => ≤ => ≤ ≤
Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4
Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0
Bài 23:
Cho phương trình: x
4
+ 2x
2
+2ax – (a – 1)
2
= 0 (1)
Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó:
a) Đạt GTNN.
b) Đạt gía trị lớn nhất.
Gợi ý:
Gọi m là nghiệm của phương trình (1) thì:
m
4
+ 2m
2
+ 2am + a
2
+ 2a + 1 = 0 (2)

Viết (2) dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a.
a
2
+ 2 (m + 1) a + (m
4
+ 2m
2
+ 1) = 0
Để tồn tại a thì
'
∆

0≥
25
(1)
(2)