lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử và một số ứng dụng trong tin học

1
Lời nói đầu
Đề tài này là sự tiếp tục phát triển các kết quả của đề tài cấp Trƣờng “Lập luận
mờ trên cơ sở Đại số gia tử” - Mã số: T.05.TN-70 của chúng tôi. Đề tài T.05.TN-70
đã đạt đƣợc một số kết quả sau:
+ Một số cơ chế lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử.
+ Một số phƣơng pháp nội suy mờ giải bài toán mô hình mờ.
+ Bƣớc đầu ứng dụng vào việc đánh giá học sinh với các tham số đầu vào mờ.
Dự kiến kết quả đạt đƣợc khi đăng ký đề tài này là:
+ Các kỹ thuật lập luận mờ, phƣơng pháp giải bài toán mô hình mờ trên cơ sở
đại số gia tử.
+ Xây dựng một cơ sở logic mờ giá trị ngôn ngữ làm cơ sở cho lập luận mờ.
+ Phát triển các ứng dụng của lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử trong các
lĩnh vực của Tin học cũng nhƣ trong thực tiễn.
Trong đề tài này chúng tôi đã đạt đƣợc một số kết quả sau:
+ Giải quyết bài toán lập luận mờ với giá trị ngôn ngữ dựa trên khoảng cách
của các term trong đại số gia tử tuyến tính. Qua đó giải quyết bài toán đƣợc Lascio
– Gilsofi đƣa ra trong [8] với một số cơ sở logic chặt chẽ hơn và với phƣơng pháp
đề xuất, trong đề tài đã giải quyết đƣợc một loạt các trƣờng hợp lập luận với giá trị
ngôn ngữ. Các kết quả này đƣợc trình bày trong chƣơng 2 và đã đƣợc đăng tải qua
bài báo [D2].
+ Dựa trên mô hình cơ sở dữ liệu (CSDL) quan hệ mờ giá trị ngôn ngữ của
GS. Nguyễn Cát Hồ đề xuất, chúng tôi tiếp tục phát triển các kết quả: xây dựng các
phép toán đại số quan hệ và câu truy vấn trên mô hình này. Việc truy vấn có thể
đƣợc cài đặt trên một hệ quản trị CSDL thƣơng mại nhƣ Microsoft Foxpro (có
modul chƣơng trình cài đặt minh họa). Bên cạnh đó chúng tôi phát triển khái niệm
ràng buộc phụ thuộc hàm mờ và các kết quả liên quan về dạng ràng buộc này trên
môn hình CSDL nói trên. Ngoài ra mối liên hệ giữa mô hình CSDL và ràng buộc
phụ thuộc hàm với một lớp công thức logic mờ giá trị ngôn ngữ, cùng nguyên lý

hợp giải trên đó cũng đƣợc trình bày. Các kết quả này trình bày trong chƣơng 3 và
2 bài báo [D7], [D8] và [D9].
+ Chƣơng 4 đƣa ra một số kết quả có liên quan đến bài toán mô hình mờ đã
đƣợc giải quyết. Cụ thể là: một phƣơng pháp nội suy giải bài toán mô hình mờ đƣợc
đề xuất, giải quyết một bài toán mô hình mờ khá kinh điển có so sánh đánh giá sai
số và đƣa ra đƣợc một mệnh đề làm nền tảng cho ánh xạ ngƣợc của ánh xạ lƣợng
hóa ngữ nghĩa. Đề xuất sự kết hợp việc phân lớp dữ liệu trong quá trình xây dựng
mô hình SISO dựa trên cơ sở đại số gia tử. Các kết quả đã đƣợc đăng tải trong [10]
và [D1].
Cũng cần lƣu ý rằng bài toán mô hình mờ là một cách phát biểu chuẩn của bài
toán lập luận mờ trong rất nhiều lĩnh vực nhƣ điều khiển học, xấp xỉ hàm mờ …
Hơn nữa mô hình cơ sở dữ liệu mờ cùng các ràng buộc dữ liệu và mối liên hệ giữa


2
các ràng buộc dữ liệu với một lớp công thức logic mờ là một trong các ứng dụng
của lập luận mờ trong lĩnh vực cơ sở dữ liệu và khai phá dữ liệu mờ. Đó là các ứng
dụng của lập luận mờ trong Tin học đáng đƣợc quan tâm.
+ Chƣơng 5 trình bày các ứng dụng của lập luận mờ trong thực tiễn. Trong
chƣơng này chúng tôi đề cập đến các ứng dụng lập luận mờ trong bài toán đánh giá
dạy và học. Một số trong các kết quả này đã đƣợc đăng qua bài báo [D6].
Ngoài mục đích và ý nghĩa về khoa học cơ bản, đề tài cũng đã tạo ra đƣợc một
hƣớng chuyên đề khá mới mẽ cho sinh viên Khoa Tin học - Trƣờng ĐHSP Huế
trong việc nâng cao kiến thức về lĩnh vực trí tuệ nhân tạo và các vấn đề liên quan.
Trong các năm qua, chúng tôi đã hƣớng dẫn đƣợc 5 khóa luận, cố vấn 1 đề tài cấp
Trƣờng cho sinh viên về các lĩnh vực có liên quan đến đề tài. Chúng tôi cũng đã
hoàn thành tập bài giảng “Đại số gia tử - logic mờ giá trị ngôn ngữ và một số ứng
dụng” phục vụ cho chuyên đề năm sinh viên thứ 3 và thứ 4 trong các năm học 2006
– đến 2009. Các kết quả liên quan của đề tài đã đƣợc một số nhóm nghiên cứu khác
trích dẫn nhƣ [24],[25], www.lrc.ctu.edu.vn/pjob/search

So với dự kiến khi đăng ký, đề tài cơ bản đã hoàn thành các nhiệm vụ đặt ra.
Tuy vậy đề tài có một số hạn chế sau:
+ Các module chƣơng trình chƣa đƣợc hoàn thiện và các ứng dụng thực tiễn
chƣa đƣợc triển khai kiểm nghiệm rộng rãi (lƣu ý rằng đề tài này thuộc loại hình
nghiên cứu cơ bản). Đây cũng là một nhiệm vụ đặt ra trong thời gian tới của đề tài,
nếu có kinh phí để triển khai thực tiễn.
+ Các kết quả về phƣơng pháp giải bài toán mô hình mờ trên cơ sở đại số gia
tử chƣa đƣợc phát triển một cách hoàn thiện trong đề tài.
+ Cơ sở logic mờ giá trị ngôn ngữ làm cơ sở cho lập luận mờ dựa trên cấu trúc
dàn đại số gia tử hữu hạn mà ban đầu chúng tôi đề nghị có hƣớng tiếp cận khác với
các nghiên cứu của GS. Nguyễn Cát Hồ. Tuy vậy do hạn chế về thông tin và hạn
chế của bản thân, hƣớng đi đó đã có kết quả khá sâu sắc của Yang Xu [28]. Chúng
tôi chỉ phát triển các kết quả này qua các ứng dụng trong bài toán đánh giá.
Đề tài chắc chắn còn khá nhiều hạn chế, rất mong sự quan tâm chỉ bảo của quý
Thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các bạn sinh viên.

Huế, 3/2009
Nguyễn Thế Dũng


3

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tri thức của con ngƣời thƣờng bao gồm 2 phần cơ bản: phần rõ ràng và phần
mơ hồ, không chắc chắn. Tuy vậy hầu hết các bài toán trong thực tiễn, thông tin cần
xử lý lại là các thông tin mờ và không chắc chắn.
Với các thành tựu của trí tuệ nhân tạo, các hệ chuyên gia, các chƣơng trình xử
lý thông tin dựa trên việc lập luận tƣơng tự lối suy nghĩ trực tiếp của con ngƣời qua
ngôn ngữ mang tính định tính trên tri thức thu thập đƣợc, thay vì tính toán xử lý

thông tin mang tính định lƣợng đang đƣợc ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực thực
tiễn.
Việc lập luận trực tiếp trên biến ngôn ngữ tựa nhƣ cách lập luận của con ngƣời
xem ra tự nhiên và trực cảm đối với ngƣời sử dụng hơn.
Các nghiên cứu về đại số gia tử cũng đã phát triển mạnh mẽ và đã tạo nên một
cơ sở đại số khá đầy đủ cho một logic của việc lập luận mờ trên biến ngôn ngữ.
Các nghiên cứu trong đề tài Lập luận mờ trên cơ sở Đại số gia tử - Mã số:
T.05.TN-70 đã đƣợc nghiệm thu của Nguyễn Thế Dũng cho thấy có rất nhiều vấn
đề về lập luận mờ theo hƣớng này và các ứng dụng của chúng trong một số lĩnh vực
của Tin học và thực tiễn nhƣ trí tuệ nhân tạo, hệ chuyên gia, hệ hỗ trợ ra quyết
định là rất đáng quan tâm.
Việc nghiên cứu đề tài cũng tạo ra một hƣớng chuyên đề khá mới mẽ cho sinh
viên Khoa Tin học - Trƣờng ĐHSP Huế trong việc nâng cao kiến thức về lĩnh vực
trí tuệ nhân tạo và các vấn đề liên quan.
Đó là các lý do chính để đề tài "Lập luận mờ trên cơ sở Đại số gia tử và một
số ứng dụng trong Tin học" đƣợc đặt ra.
II. SƠ LƢỢC LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
Logic mờ đƣợc Zadeh đề xƣớng từ 1965 và đã phát triển mạnh mẽ trong việc
xử lý các thông tin không chắc chắn và mơ hồ. Các vấn đề về lập luận mờ từ đó
đƣợc đặt ra.
Các nghiên cứu về việc lập luận mờ trên biến ngôn ngữ và tính toán trên các từ
cũng đƣợc đặt ra, có thể xem các tài liệu [2][3][4],
Các nghiên cứu về đại số gia tử cũng đã phát triển mạnh, xin xem thêm trong
[1][2][3] và [11]
Các nghiên cứu trong đề tài Lập luận mờ trên cơ sở Đại số gia tử - Mã số:
T.05.TN-70 đã đƣợc nghiệm thu có kết quả tốt của chính tác giả đề tài này.
Tuy vậy một cơ sở logic cho việc lập luận và việc giải bài toán mô hình mờ
trên cơ sở đại số gia tử cũng nhƣ các ứng dụng của nó chƣa đƣợc nghiên cứu nhiều.
Các yếu tố trên chứng tỏ vấn đề mà đề tài đặt ra là đáng quan tâm, cấp thiết và
khá mới mẽ, đồng thời có một tiền đề thuận lợi cho việc nghiên cứu.

4
III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Lập luận mờ, nội suy mờ.
Đại số gia tử - ánh xạ định lƣợng ngữ nghĩa - tập mờ loại 2 dựa trên cơ sở đại
số gia tử.
Các phƣơng pháp lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử nhƣ nội suy, lập luận
trên biến ngôn ngữ
Các vấn đề liên quan đến bài toán mô hình mờ.
Nghiên cứu các ứng dụng của vấn đề lập luận mờ trong Tin học và trong thực
tiễn.
IV. MỤC ĐÍCH VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lập luận mờ, tập trung mở rộng các
phƣơng pháp lập luận trên biến ngôn ngữ dựa trên cơ sở đại số gia tử, cùng các ứng
dụng thực tiễn của nó.
Vấn đề lập luận là một vấn đề quan trọng và chủ đạo trong lĩnh vực AI, đặc
biệt các vấn đề lập luận mờ trên tri thức mơ hồ và không chắc chắn đang đƣợc ứng
dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực nhƣ điều khiển học, hệ chuyên gia Do đó việc
nghiên cứu và phát triển các vấn đề lập luận mờ trên biến ngôn ngữ là một vấn đề
có ý nghĩa thực tiễn. Đại số gia tử phát triển mạnh trong các năm gần đây tạo nên
một cơ sở logic cho việc lập luận định tính nói trên khá chặt chẽ, hợp lý hơn về tính
khoa học. Vì vậy đề tài đáng đƣợc đặt ra.
Việc nghiên cứu đề tài cũng tạo ra một hƣớng chuyên đề khá mới mẽ cho sinh
viên Khoa Tin học - Trƣờng ĐHSP Huế trong việc nâng cao kiến thức về lĩnh vực
trí tuệ nhân tạo và các vấn đề liên quan.
Trên cơ sở các kết quả đạt đƣợc của đề tài "Lập luận mờ trên cơ sở đại số gia
tử” – Mã số T.05.TN.70, đó là:
+ Một số cơ chế lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử.
+ Một số phƣơng pháp nội suy mờ giải bài toán mô hình mờ.

+ Bƣớc đầu ứng dụng vào việc đánh giá học sinh với các tham số đầu vào mờ.
Chúng tôi tiếp tục phát triển:
+ Các kỹ thuật lập luận mờ, phƣơng pháp giải bài toán mô hình mờ trên cơ sở
đại số gia tử.
+ Xây dựng một cơ sở logic mờ giá trị ngôn ngữ làm cơ sở cho lập luận mờ.
+ Phát triển các ứng dụng của lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử trong các
lĩnh vực của Tin học cũng nhƣ trong thực tiễn.
V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu của khoa học cơ bản nhƣ đọc tài liệu,
dựa trên các hƣớng lập luận đã có để mở rộng, khái quát trên cơ sở đại số gia tử làm
cho việc lập luận có tính chặt chẽ về logic, nhƣng mềm dẻo gần gũi với cách suy
nghĩ của con ngƣời hơn.


5
So sánh đánh giá với các phƣơng pháp lập luận thu đƣợc và các kết quả trong
thực tiễn.
Triển khai thiết kế, cài đặt một số module chƣơng trình minh họa các thuật
toán.
VI. CẤU TRÚC CỦA BÁO CÁO
Nội dung của báo cáo đƣợc chia thành 5 chƣơng gồm:
Chƣơng 1. Một số kết quả cơ sở về đại số gia tử.
Trình bày tóm lƣợc một số kết quả cơ bản về đại số gia tử của nhóm nghiên
cứu của GS. Nguyễn Cát Hồ làm cơ sở cho các kết quả ở các chƣơng khác.
Chƣơng 2. Lập luận xấp xỉ với logic mờ giá trị ngôn ngữ.
Trình bày phƣơng pháp đánh giá chân trị của một mệnh đề mờ và xây dựng
phƣơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên logic mờ giá trị ngôn ngữ. Bên cạnh đó tóm
lƣợc một số kết quả về lập luận ngôn ngữ đã đạt đƣợc trong đề tài T.05.TN-70.
Chƣơng 3. Cơ sở dữ liệu quan hệ mờ giá trị ngôn ngữ và một số ứng dụng
trong lập luận mờ.

Đề xuất các phép toán đại số quan hệ trên mô hình cơ dữ liệu quan hệ mờ và
ràng buộc phụ thuộc hàm mờ trên đó, cùng các kết quả có liên quan đến ràng buộc
dạng này cũng nhƣ một lớp công thức logic mờ với nguyên lý giải trên đó đƣợc
trình bày.
Chƣơng 4. Một số kết quả về bài toán mô hình mờ. Chƣơng này đƣợc chia
thành hai phần đó là:
+ 4.1. Một phương pháp nội suy giải bài toán mô hình mờ trên cơ sở đại số
gia tử.
Trình bày một phƣơng pháp nội suy giải bài toán mô hình mờ, giải quyết một
bài toán mô hình khá kinh điển có so sánh đánh giá sai số và đƣa ra một mệnh đề
làm nền tảng cho ánh xạ ngƣợc của ánh xạ lƣợng hóa ngữ nghĩa.
+ 4.2. Xây dựng mô hình mờ SISO dựa trên cơ sở đại số gia tử.
Đề xuất sự kết hợp việc phân lớp dữ liệu trong quá trình xây dựng mô hình
SISO dựa trên cơ sở đại số gia tử.
Chƣơng 5. Hệ thống đánh giá – một ứng dụng trong thực tiễn của bài toán lập
luận mờ trên cơ sở đại số gia tử.
Vận dụng các kết quả của bài toán lập luận mờ trên cơ sở đại số gia tử vào hệ
thống đánh giá.



6

B. NỘI DUNG

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ SỞ VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ
Để tiện cho việc trình bày và theo dõi trong chƣơng này chúng tôi trình bày
một số kết quả về đại số gia tử và các kết quả cơ sở. Các kết quả này có thể tìm thấy
trong các bài báo của nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn Cát Hồ.
I. Biến ngôn ngữ

Biến ngôn ngữ đƣợc L.Zadeh định nghĩa nhƣ bộ 5 gồm (X,T(X),U,G,M),
trong đó:
X - Tên của biến ngôn ngữ. (Ví dụ nhƣ Age, Truth )
T(X) - Tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, mỗi giá trị ngôn ngữ đƣợc xem
nhƣ một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở liên quan đến biến ngôn ngữ X.
U - Tập vũ trụ
G - Tập các luật cú pháp sản sinh ra các phần tử của T(X)
M - Tập các luật ngữ nghĩa gán mỗi phần tử của T(X) bởi một tập mờ trên U.
Ví dụ: Xét biến ngôn ngữ có tên là Age, tức X = Age, với U = [0,100]. Khi đó
tập các giá trị ngôn ngữ T(Age) của biến Age bao gồm các giá trị:
young old not young nor old
not yong not old not very young not very old
very young very old young or old
more-or-less young more-or-less old
possibly young possibly old

Các giá trị ngôn ngữ young và old đƣợc gọi là các biến nguyên thuỷ (hay còn
gọi là các phần tử sinh nguyên thuỷ). Mỗi giá trị ngôn ngữ trong T(Age) là tên của
một biến mờ trên U, tức là biến có thể nhận các giá trị trên U, mỗi giá trị ứng với
mỗi mức độ tƣơng thích trong đoạn [0,1]; ràng buộc hạn chế trên mỗi giá trị hình
thành ngữ nghĩa cho giá trị ngôn ngữ đó. Ví dụ ngữ nghĩa của old đƣợc cho nhƣ
sau:
100
50
12
./])
5
50
(1[)( u
u

oldM



7
Các gia tử ngôn ngữ nhƣ very, more-or-less, đƣợc mô hình bởi các toán tử
trên các tập mờ, sau đó ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ hợp thành đƣợc tính
bằng cách tác động các toán tử mô hình (modifier operator) các gia tử tƣơng ứng lên
tập mờ ngữ nghĩa của các term nguyên thuỷ.
L. Zadeh đã chỉ ra hai đặc trƣng quan trọng nhất của biến ngôn ngữ nhƣ sau:
Đặc trƣng thứ nhất là tính phổ quát của cấu trúc miền giá trị của chúng, tức là
miền giá trị của hầu hết các biến ngôn ngữ có cùng cấu trúc cơ sở theo nghĩa các
giá trị ngôn ngữ tƣơng ứng là giống nhau, ngoại trừ phần tử sinh nguyên thuỷ. Ví dụ
nhƣ tập các giá trị ngôn ngữ đƣợc cho tƣơng ứng của hai biến ngôn ngữ Heath và
Age. Ta có good- old, very good - very old, more or less good- more or less old
Đặc trƣng thứ hai của biến ngôn ngữ là tính chất ngữ nghĩa độc lập ngữ cảnh
của các gia tử và các liên từ, trong khi ngữ nghĩa của các phần tử sinh nguyên thuỷ
là phụ thuộc ngữ cảnh.
Hai đặc trƣng trên cho phép chúng ta sử dụng một tập các gia tử ngôn ngữ cho
nhiều biến ngôn ngữ khác nhau, và có thể mô hình miền giá trị của các biến ngôn
ngữ bởi một cấu trúc toán học thuần nhất. Vấn đề quan trọng ở đây là mô hình phải
dựa trên các yếu tố nào để cho cấu trúc toán học đó phản ánh đƣợc nhiều ngữ nghĩa
của các giá trị ngôn ngữ. Một cách tiếp cận đƣợc đề xuất bởi N.C. Hồ và
W.Wechler trong [3] dựa trên các đặc trƣng ngôn ngữ sau đây:
Các giá trị ngôn ngữ có ngữ nghĩa tự nhiên của chúng khi đƣợc con ngƣời sử
dụng trong cuộc sống hằng ngày; con ngƣời sử dụng ngữ nghĩa này để xác định
quan hệ thứ tự ngữ nghĩa giữa các giá trị ngôn ngữ của cùng một biến.
Các gia tử ngôn ngữ đƣợc con ngƣời sử dụng để nhấn mạnh về mặt ngữ nghĩa
của giá trị ngôn ngữ; tức là mỗi gia tử có thể làm mạnh lên hoặc làm yếu đi ngữ
nghĩa tự nhiên của giá trị ngôn ngữ đƣợc tác động.

Với mỗi giá trị ngôn ngữ x trong tập T(X) và tập H các gia tử ngôn ngữ, khi đó
H đƣợc phân hoạch thành hai tập con rời nhau sao cho một tập chứa các gia tử làm
tăng ngữ nghĩa của x và tập còn lại chứa các gia tử làm giảm ngữ nghĩa của x. Hơn
nữa trong mỗi tập con đó của H, bản thân các gia tử cũng đƣợc sắp xếp theo mức độ
nhấn ngữ nghĩa của chúng; ví dụ mức độ nhấn ngữ nghĩa của gia tử very đƣợc xem
nhƣ là mạnh hơn gia tử more
(1) Mọi gia tử đều hoặc làm mạnh hơn hoặc yếu đi ngữ nghĩa của giá trị ngôn
ngữ nguyên thuỷ. Nghĩa là, với h H ta có hx<x hoặc hx>x, trong đó x T(X). Ví
dụ: More và Very làm tăng ý nghĩa của Low và High, còn Little và Possible làm
giảm đi ý nghĩa đó.


8
(2) Mọi gia tử đều hoặc làm mạnh hơn hoặc yếu đi ngữ nghĩa bất kì gia tử nào
khác.
Thật vậy, các gia tử Very, More làm mạnh hơn ngữ nghĩa của các gia tử
Very, More, Little và làm yếu đi ngữ nghĩa của Possible. Còn các gia tử Little,
Possible lại làm yếu đi ngữ nghĩa của Very, More, Little và làm mạnh thêm ngữ
nghĩa của Possible.
Chúng ta thấy rằng, dù trong tình huống nào thì giá trị ngữ nghĩa của các từ
nguyên thuỷ cũng không thay đổi, nghĩa là chuỗi các gia tử chỉ có thể làm mạnh
hơn hoặc làm yếu đi ngữ nghĩa của chúng mà thôi. Do vậy cho một chuỗi các gia tử
=h
1
h
2
h
n
thì True vẫn thể hiện một ngữ nghĩa của True, tƣơng tự False thể
hiện một ngữ nghĩa của False.

(3) Với mỗi gia tử h H thì hx thừa hưởng ngữ nghĩa của phần tử x mà nó tác
động lên. Tổng quát: nếu hx kx thì H(hx) H(kx). Trong đó, H(u) là tập các phần tử
của X sinh ra từ u bởi các gia tử trong H.
Dƣới đây chúng ta xem xét một số khái niệm đại số cơ bản.
II. Một số khái niệm cơ bản - đại số gia tử
Khái niệm về cấu trúc đại số
Một cấu trúc đại số là một cặp (A, ) gồm một tập hợp không rỗng A và một
tập hợp phép toán xác định trên A, thoả mãn những luật nào đó gọi là các tiên đề
của cấu trúc đã cho.
Tập hợp A gọi là tập nền của cấu trúc (A, ) ta thƣờng kí hiệu bản thân cấu
trúc và tập nền của nó bằng cùng một chữ.
Khái niệm về poset.
Một poset P là một tập sắp thứ tự bộ phận (partial ordered set).
Chúng ta có thể viết P = {A, }, với = { }.
Khái niệm về dàn.
Định nghĩa cận trên bé nhất và cận dƣới lớn nhất
Giả sử L là một poset, cho x,y L
Kí hiệu: x y gọi là cận trên bé nhất của x và y
x y thỏa mãn các tính chất sau: x x y; y x y và với z L: x z, y z thì
x y z.
Kí hiệu: x y gọi là cận dƣới lớn nhất


9
x y thỏa mãn các tính chất sau: x y x; x y y và z L: z x và z y thì
z x y.
Định nghĩa dàn
Một poset L đƣợc gọi là một dàn nếu hai phần tử x và y bất kỳ trong L có cận
trên bé nhất, ký hiệu x y, và cận dƣới lớn nhất, ký hiệu x y. Một dàn L đƣợc gọi
là đầy đủ nếu mỗi tập con bất kỳ của L đều có cận trên bé nhất và cận dƣới lớn nhất.

Về ký hiệu, chúng ta có thể viết (A, , ), ở đây = { , }.
II.1 Đại số gia tử
Trƣớc hết, chúng ta xét miền giá trị ngôn ngữ của các biến chân lý TRUTH,
tập các giá trị của TRUTH là X={đúng, sai, rất đúng, rất sai, ít nhiều đúng, ít nhiều
sai, có thể sai, xấp xỉ sai, rất có thể đúng, rất có thể sai, }, có thể thấy rằng ngữ
nghĩa tự nhiên do các khái niệm này cảm sinh ra một quan hệ thứ tự. Nếu xem
{đúng, sai} nhƣ là một tập các phần tử sinh và H={rất, có thể, xấp xỉ, ít nhiều }
nhƣ là các toán tử một ngôi thì
X
={X,{đúng, sai}, H, } sẽ trở thành một cấu trúc
đại số. Vấn đề là xây dựng cho
X
một hệ tiên đề sao cho nó mô phỏng tốt nhất cấu
trúc của miền giá trị của biến ngôn ngữ.
Sau đây là một số định nghĩa mô tả các tính chất đơn giản của các gia tử - tức
là các trạng từ nhấn. Cho một đại số
X
=(X,C, H, ) nhƣ trên, với X là tập giá trị. C
là tập các từ sinh. Ta luôn giả thiết rằng các gia tử trong H là các toán tử thứ tự,
nghĩa là ( h H, h:X X), ( x X) ta có hx x hoặc hx x. Hai gia tử h, k H gọi là
ngược nhau nếu ( x X) {hx x khi và chỉ khi kx x} và chúng đƣợc gọi là tương
thích nếu ( x X){hx x khi và chỉ khi kx x}. Ta ký hiệu h k nếu h, k tƣơng thích
và ( x X){hx kx x hoặc hx kx x}. Ngoài ra tập H có thể đƣợc phân hoạch thành
hai tập H
+
và H
-
với các gia tử trong cùng tập H
+
và H

-
tƣơng thích với nhau và mỗi
gia tử của H
+
cũng ngƣợc với bất kỳ gia tử nào trong H
-
và ngƣợc lại. Ta giả thiết
rằng trong H
+
có phần tử V (ngầm định là "rất") và trong H
-
có phần tử L (ngầm
định là "kém") là phần tử lớn nhất, thì phần tử sinh a C là dƣơng nếu a Va và là
âm nếu a Va. Ngoài ra chúng ta gọi I là toán tử đồng nhất nếu mọi toán tử h trong
H áp dụng vào I sau khi I đƣợc tác động vào một phần tử x là không có hiệu lực, có
nghĩa là hIx=x với x X. Giả thiết H
+
+I và H
-
+I là các dàn modular, khi đó I
đƣợc xem nhƣ phần tử zero trong các dàn H
+
+I và H
-
+I, còn V và L tƣơng ứng là
các phần tử đơn vị trong các dàn H
+
+I và H
-
+I. Đặt UOS={V, L}.

10
Một toán tử h là dương (hoặc âm) đối với một toán tử k nếu
( x X){hkx kx x hoặc hkx kx x}(hoặc ( x X){kx hkx x hoặc kx hkx x}).
Ví dụ rất là dƣơng đối với rất, nhiều, ít và âm đối với có thể, xấp xỉ, ít nhiều.
Định nghĩa 2.1 Một đại số
X
=(X, H, ) với H đƣợc phân tách thành hai tập
H
+
và H
-
đƣợc gọi là một đại số gia tử, nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:
(A1). Mọi toán tử trong H
+
là ngƣợc với mỗi toán tử trong H
-
.
(A2). Toán tử đơn vị V trong H
+
+I là dƣơng hoặc âm đối với mọi toán tử trong
H. Đặc biệt V là dƣơng đối với V và L.
(A3). Nếu hai khái niệm u và v là độc lập, nghĩa là u H(v)và v H(u), thì
( x H(u)) {x H(v)}. Ngoài ra nếu u và v là không sánh đƣợc thì bất kỳ x H(u)
cũng không sánh đƣợc với bất kỳ y H(v). (H(u) là tập các giá trị đƣợc sinh ra do
tác động của các gia tử của H vào u).
(A4). Nếu x hx thì x H(hx) và nếu h k và hx kx thì h’hx k’kx, với mọi
h’,k’ UOS. Hơn nữa nếu hx kx thì hx và kx là độc lập.
(A5). Nếu u H(v) và u v (u v) thì u hv (u hv) với mọi gia tử h UOS.

Với x,y X, ta ký hiệu x< y biểu thị tính chất nói rằng x y và dù tác động
liên tiếp các gia tử vào x và y nhƣ thế nào từ 2 từ thu đƣợc u và v tƣơng ứng vẫn
thỏa mãn quan hệ u v.
Ta viết x< y nếu và chỉ nếu ( m,n N, h,k H) {x y V
n
hx V
m
ky}.
Định nghĩa 2.2 Với h, k H, ta nói hx< kx (hx< Ix) nếu với mọi h', k' UOS
và mọi n, m N, V
n
h'hx V
m
k'kx (V
n
h'hx Ix). Nếu bất đẳng thức sau cùng là chặt ta
nói hx << kx (hx <<Ix).
Ta nói rằng h
n
h
n-1
h
1
u là một biểu diễn chuẩn tắc của x đối với u nếu x= h
n
h
n-
1
h
1

u và h
n
h
n-1
h
1
u h
n-1
h
1
u, điều đó có nghĩa là gia tử cuối h
n
cũng sinh ra nghĩa
xác định.
Ví dụ:
a. Giả sử
X
=(X,H, ) trong đó X={0,1} với quan hệ tự nhiên 0<1. Các toán tử
trong H đƣợc định nghĩa nhƣ sau: hx=x, x X . Hiển nhiên
X
thoả mãn các tiên
đề trong định nghĩa 2.1
b. Giả sử
X
là một tập có thứ tự nhƣ trong hình dƣới và giả sử một cấu trúc
đại số
X
=(X,H, ) trong đó H={V,M,L,A,N}(V-Very,M-More,L-Less,A-
Approximately,N-Not). Với mọi toán tử h trong H, hTrue và hFalse là các phần tử

11
đƣợc biểu diễn trong hình. Với mọi x True và x False, chúng ta định nghĩa hx=x.
Dễ dàng thấy trong cấu trúc đại số này, các toán tử đƣợc xác định và thoả mãn các
tiên đề của đại số gia tử.
VTRue
MTrue

True
ATrue NTRue
LTrue
LFalse
AFalse NFalse

False

MFalse

Vfalse
Định lý 2.1 Giả sử
X
=(X,H, ) là một ĐSGT. Khi đó chúng ta có các tính chất
sau đây:
i) Nếu x là một điểm dừng của một toán tử h, có nghĩa là hx=x, thì nó cũng là
điểm dừng với bất kỳ một toán tử nào khác.
ii) Nếu x có biểu diễn dƣới dạng x= h
n
h
n-1
h

1
u thì tồn tại một chỉ số i n có
dạng h
i
h
i-1
h
1
u là một biểu diễn chuẩn của x và với mọi j i thì h
j
x=x.
iii) Với mọi toán tử gia tử h, k, nếu x hx( x hx) thì Ix < hx ( Ix > hx) và
nếu hx kx và h k thì hx < kx.
Chú ý rằng tính chất (i) tuy đơn giản nhƣng rất thú vị, bởi lẽ nó chỉ ra rằng
ngữ nghĩa của một khái niệm mơ hồ không thể sinh ra bởi một gia tử này thì cũng
không thể sinh ra bởi gia tử khác.
Định lý 2.2 Giả sử rằng x = h
n
h
n-1
h
1
u và y= k
m
k
m-1
k
1
u là các biểu diễn
chuẩn tắc của x, y qua u. Thì khi đó tồn tại một chỉ số j min{m,n}+1 để với mọi

i<j, h
i
=k
i
và
x<y nếu và chỉ nếu h
j
x
j
<

k
j
y
j
, ở đây x
j
= h
j-1
h
1
u.
x=y nếu và chỉ nếu n=m=j và h
j
x
j
=k
j
y
j

.


12
x và y là không sánh đƣợc với nhau nếu và chỉ nếu h
j
x
j
và k
j
y
j
là không sánh
đƣợc.
Định nghĩa 2.3 Cho X=(X, H, ) là một ĐSGT. a X đƣợc gọi là phần tử sinh
nguyên thủy của X nếu a H(b) với mọi b X và a b. a đƣợc gọi là phần tử sinh
dƣơng (âm) nếu Va>a (a< Va). Nếu G là tập tất cả các phần tử sinh của X và
H(G)=X, ta nói X là đại số gia tử sinh nguyên thủy.
Định lý 2.3 Nếu các tập gia tử H
+
và H
-
của đại số gia tử X=(X,H, ) là sắp thứ
tự tuyến tính thì:
i) Với u X, H(u) là tập sắp thứ tự tuyến tính
ii) Nếu X là sinh nguyên thủy với G là tập phần tử sinh là tập sắp thứ tự tuyến
tính thì H(G) đƣợc sắp thứ tự tuyến tính và nếu u v và u, v là độc lập thì H(u)<
H(v).
Mặc dù HA trên mô hình cấu trúc tự nhiên của miền ngôn ngữ rất tốt, nhƣng
nói chung, nó vẫn chƣa phải là một dàn (Lattice). Để làm đƣợc điều này, các tác giả

trong [6] bổ sung thêm vào H các phần tử giới hạn Sup và Inf với ý nghĩa là Inf(x)
và Sup(x) là infimum và supremum (hay 0 và 1) của tập H(x) trong tập X. Cấu trúc
đại số nhƣ vậy là một đại số gia tử mở rộng (EHA).
III. Đại số gia tử mở rộng
Trong phần này chúng tôi chỉ tập trung trình bày định nghĩa cơ bản của đại số
gia tử (ĐSGT) mở rộng và tập trung vào đặc trƣng dàn của nó.
Với mọi h, k H
+
hoặc h, k H
-
, h k khi và chỉ khi h và k là tƣơng thích và
với x X, hx>x => hx kx và hx < x => hx kx.
Ta nói X và H là tƣơng thích (compatible) nếu H thỏa tính chất trên và với mọi
x X, với mọi h,k H sao cho hx kx, hx và kx sánh đƣợc kéo theo h và k sánh đƣợc
và h k <=> h và k tƣơng thích.
Đặt H
e
=H {Inf, Sup}.
Cho AX=(X, H
e
, ), G X, G đƣợc gọi là độc lập nếu với a G =>
a H
e
(G\a).
G đƣợc gọi là đầy đủ nếu H
e
(G)=X. G đƣợc gọi là cơ sở của AX nếu G là độc
lập và đầy đủ.
Nhƣ vậy nếu X sinh nguyên thủy bởi G thì tập phần tử sinh G chính là tập cơ
sở của X.

13
Cho W là một poset và Z là tập con của W. Z đƣợc gọi là trù mật trong W nếu
với mọi x, y W sao cho ít nhất một trong hai phần tử thuộc về W\Z và x<y khi đó
u Z: x < u < y.
Đinh nghĩa 3.1 AX=(X, G, H
e
, ) với G là cơ sở của AX, X và H là tƣơng
thích đƣợc gọi là đại số gia tử mở rộng nếu (H(G), H, ) là một đại số gia tử và thỏa
các tính chất sau:
(E1). Với mọi x X và {V, L} Infx x Supx và Infx Inf x Sup x
Supx.
(E2). Với h {Inf, Sup}, k H và với , ' {V, L}, hx X\H(G), hx hkx kéo
theo hx 'hkx và hx hkx kéo theo hx 'hkx.
(E3). Với mọi x, y X, H(x) y kéo theo Supx y và H(x) y kéo theo Infx
y.
(E4). H(G) là trù mật trong X.
Giả sử G là dàn hữu hạn, khi đó ta có
Định lý 3.1 Mọi đại số gia tử mở rộng AX=(X, G, H
e
, ) là một dàn với phần
tử zero và đơn vị. Hơn nữa với hai phần tử x, y không sánh đƣợc trong X, x H
e
(a)
và y H
e
(b), ở đây a,b G.
i) Nếu a b thì Supremum{x,y}=Infc và Infimum{x, y}=Supc', ở đây c=a b
và c'=a b với , lần lƣợt là toán tử joint và meet trong G.

ii) Nếu a=b thì tồn tại hai gia tử h, k tƣơng thích và w H(a) sao cho hw và
kw là không sánh đƣợc sao cho x H
e
(hw), y H
e
(kw) và
supremum{x, y} = supremum{hw, kw}
=
whw nÕu
whw nÕu
wkhInf
wkhInf
)(
)(

infimum{x, y} = infimum{hw, kw}
=
whw nÕu
whw nÕu
wkhSup
wkhSup
)(
)(

Ở đây , lần lƣợt là toán tử joint và meet trên dàn H
+
+I và H
-
+I và nếu
h k=I hoặc h k=I thì tƣơng ứng:

Sup(h k)w=Inf(h k)w
hoặc Sup(h k)w=Inf(h k)w=w.


14
Do đó chúng ta có thể thêm vào các toán tử trên dàn này là và tƣơng ứng
với toán tử joint và meet trên dàn AX và chúng ta có thể viết AX = (X,C,H, , , ).
IV. Đại số gia tử đối xứng và logic giá trị ngôn ngữ
Trong thực tiễn ta thấy có rất nhiều biến ngôn ngữ chỉ có 2 term nguyên thủy
có nghĩa đối nghịch nhau nhƣ True - False, già - trẻ, lớn - bé Điều này gợi ý cho
việc nghiên cứu các ĐSGT chỉ có 2 phần tử sinh. t đƣợc gọi là phần tử sinh dƣơng
(âm) nếu Vt t (t Vt).
Giả sử một ĐSGT có hai phần tử sinh là s, t. s là phần tử sinh dƣơng, t là phần
tử sinh âm, chúng ta thêm phần tử sinh W vào giữa s và t và thoả mãn hW=W với
(h H). Chúng ta nói rằng y là phần tử đối của x nếu tồn tại một biểu diễn của x
dƣới dạng x=h
n
h
1
c, W c C, thì y= h
n
h
1
c’, trong đó W c’ C và c’ c. Đặc biệt,
với việc định nghĩa W nhƣ trên ta có W cũng chính là phần tử đối của nó. W gọi là
phần tử trung hoà. Nếu y là phần tử đối của x, chúng ta viết y=-x với chỉ số nếu cần
thiết. Ví dụ VeryPossiblyTrue và VeryPossiblyFalse là các phần tử đối của nhau.
Nhìn chung, một phần tử có thể có nhiều phần tử đối nghịch. Nếu mỗi phần tử của
X chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì
X

đƣợc gọi là một đại số gia tử đối
xứng. Khi đó ta có các đặc trƣng sau đây:
Định lý 4.1 Một đại số gia tử
X
là đối xứng nếu và chỉ nếu với mọi x trong
X
, x là điểm dừng nếu và chỉ nếu -x cũng là một điểm dừng.
Định lý 4.2 Với mọi ĐSGT đối xứng AX=(X, G, H
e
, ) ta có
i) Với h H và x -(hx)=h(-x), -Supx = Inf(-x) và -Infx=Sup(-x).
ii) -(-x) =x và x H
e
(u) khi và chỉ khi -x H
e
(-u).
iii) Với mọi h H, hx>x khi và chỉ khi h(-x)< -x.
iv) Với mọi x, y X, x<y khi và chỉ khi -x> -y.
Trong ĐSGT đối xứng AT của biến chân lý TRUTH sinh bởi hai phần tử sinh
True và False, các tác giả đã đƣa ra toán tử kéo theo theo định nghĩa sau: x y=-
x y với mọi phần tử x,y X. Bên cạnh đó đƣa vào hai phần tử đặc biệt là 1,0 gọi
là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong
X
(Tức Inf False

=0 và SupTrue =1 ), W
đƣợc là phần tử trung hoà, ta có W=Inf True = Sup False. Với C={False, W, True}
và với các phép toán , , trên AT và T là tập giá trị của biến ngôn ngữ
TRUTH, có thể viết AT=(T, C, H
e

, -, , , , ).
Định lý 4.3 Với đại số gia tử đối xứng AT =(T, C, H
e
, -, , , , ) chúng ta
có các tính chất sau đây:


15
(i) - hx = h-x, với mọi h H và -Supx = Inf(-x) và -Infx=Sup(-x).
(ii) - -x = x ; -1 = 0, - 0 =1 và -W = W;
(iii) -(x y) = (-x -y) và -(x y) = (-x -y);
(iv) x -x W y -y x,y X;
(v) x>y khi và chỉ khi -x<-y;
(vi) x y = -y -x;
(vii) x (y z) = y (x z);
(viii) x y x’ y’ nếu x x’ và/hoặc y y
(ix) 1 x=x, x 1=1, 0 x = 1, x 0 =-x;
(x) x y W khi và chỉ khi x W hoặc y W và x y W khi và chỉ khi y W và
x W;
(xi) x y=1 khi và chỉ khi x = 0 hoặc y = 1.
Trong [6] đã chỉ ra logic dựa trên đại số gia tử đối xứng AT không phải là
logic cổ điển và (iv) chứng tỏ rằng nó là đại số Kleen, (ii),(x) và (xi) chứng tỏ rằng
tập sinh C là một đại số gia tử con đối xứng của AT và là đại số Lukasiewicz 3 trị.
Trong các logic đa trị ta thƣờng dùng đoạn [0,1] để biểu diễn các giá trị chân
lý. Đối với AT ta có định lý sau [4].
Định lý 4.4 Giả sử H
+
và H
-
có cùng số từ nhấn và sắp tuyến tính. Khi đó tồn

tại đồng cấu từ AT=(T, C, H
e
, -, , , ) vào đoạn [0,1], bảo toàn thứ tự của T,
hơn nữa (-u)=1- (u), (u v) = max( (u), (v)), (u v) = min( (u), (v)) và
(u v) = max(1- (u), (v)).
Từ các nhận xét trên, chúng ta có thể kết luận là đại số gia tử đối xứng là cơ sở
cho một logic mờ giá trị ngôn ngữ.
V. Kết luận.
Trong các phần trên chúng ta đã hệ thống các định nghĩa và tính chất cơ bản
của ĐSGT. Các kết quả đƣợc đƣa ra với mục tiêu là nắm đƣợc động cơ của sự phát
triển của các cấu trúc khác nhau của ĐSGT và làm cơ sở cho các kết quả trong các
chƣơng tiếp theo.
Lƣu ý rằng còn có các cấu trúc mở rộng của đại số gia tử. Trong các chƣơng
tiếp theo khi có các kết quả riêng biệt của các cấu trúc này, chúng tôi sẽ trình bày
cụ thể trong từng chƣơng.


16
CHƢƠNG 2. LẬP LUẬN XẤP XỈ VỚI LOGIC MỜ
GIÁ TRỊ NGÔN NGỮ
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày phƣơng pháp đánh giá chân trị của một
mệnh đề mờ và xây dựng phƣơng pháp lập luận xấp xỉ dựa trên logic mờ giá trị
ngôn ngữ. Bên cạnh đó tóm lƣợc một số kết quả về lập luận ngôn ngữ đã đạt đƣợc
trong đề tài T.05.TN-70.
I. Mở đầu
Xét các mệnh đề mờ có dạng P(X,u) với X là biến và u là một khái niệm mờ.
Một khẳng định S có dạng S=(P(X,u), t) với t là một giá trị ngôn ngữ thuộc đại số
gia tử (ĐSGT) đối xứng, đầy đủ tuyến tính và tự do AX=< AX,G, LH, > của biến
chân lý Truth, với G={O, False, W, True, I}, t > W. Trên ĐSGT AX có thể định
nghĩa khoảng cách giữa phần tử x,y AX nhƣ sau: d(x,y)=| (x)- (y)|, với là ánh

xạ lƣợng hóa ngữ nghĩa. Trên AX ta có O y W x I với x LH(True) và với
y LH(False). I, O, W lần lƣợt đƣợc hiểu là các giá trị ngôn ngữ tƣơng ứng:
Absolutely true, Absolutely false và Unknown. Các vấn đề về ĐSGT và ánh xạ
lƣợng hóa ngữ nghĩa xin xem thêm trong [7] [3] [5][6].
Các vấn đề lập luận ngôn ngữ trên tri thức bao gồm các mệnh đề và khẳng
định có dạng trên đã đƣợc xét trong [5] [9], phƣơng pháp lập luận ngôn ngữ đƣợc
các tác giả đƣa ra dựa trên khoảng cách và quan hệ thứ tự trên ĐSGT. Trong [5][9]
đã đƣa ra các quy tắc chuyển đổi gia tử cho các mệnh đề đơn giản và mệnh đề kéo
theo nhƣ sau:
(RT1)
)),,((
)),,((
huP
huP
; (RT2)
)),,((
)),,((
huP
huP

(RTI1)
),(
),(),,(
htrueQP
truePtruehQhP
; (RTI2)
( , ),( , )
( , )
P Q htrue P true
hP hQ true

.
Các qui tắc sau là mở rộng của modus ponens và modus tollens của logic kinh
điển.
(RMP)
),(
),(),,(
trueQ
truePtrueQP
và (RMT)
),(
),(),,(
trueP
trueQtrueQP

Qui tắc liên quan đến mệnh đề kéo theo:
(RPI)
( ( , ) ( , ), )
( ( , ) ( , ), )
P X u Q X v true
P X u Q X v true

Với h, k là các gia tử, còn các , là các chuỗi gia tử, {True, False}, u, v là
hằng.
Trong lập luận ngôn ngữ với các bài toán thực tiễn, chúng ta thƣờng gặp các
vấn đề tƣơng tự nhƣ:
Với cƣờng độ dòng điện I
0
là 20A đƣợc cho là "lớn" là rất đúng, lúc đó chân
trị của mệnh đề mờ "Cƣờng độ dòng điện lớn"=P(I
0

,"lớn") là "VeryTrue". Cũng với
giá trị của cƣờng độ dòng điện I
0
đó, nếu phát biểu "Cƣờng độ dòng điện là khá


17
lớn"=P(I
0
,"khá lớn"). Vấn đề đặt ra là: Hãy xét xem chân trị của mệnh đề P(I
0
),"khá
lớn") là gì?
Một cách tổng quát ta xét bài toán sau, đƣợc đƣa ra trong [8]:
Cho khẳng định S=(P(X, u), t). Cần xác định chân trị của mệnh đề P(X, u).
Để tiện trong trình bày, chúng ta gọi bài toán trên là bài toán LG (Lacsio -
Gisolfi).
Ta thấy các qui tắc trong [5][9] vừa nêu ở phần trên, đối với bài toán LG trong
trƣờng hợp tổng quát là rất khó áp dụng. Tuy vậy trong các phần sau chúng ta sẽ
thấy bài toán này đóng vai trò quan trọng trong lập luận ngôn ngữ. Trong [8] đã
giải quyết bài toán tƣơng tự dựa trên cơ sở các số mờ tam giác trên đoạn [0,1] và tập
nhãn ngôn ngữ tƣơng ứng mô tả các số mờ đó. Theo chúng tôi ý tƣởng của các tác
giả trong [8] cũng xuất phát từ cùng ý tƣởng định lƣợng ngữ nghĩa và khoảng cách
trên ĐSGT trong [5][9]. Nhƣng các cơ sở logic và cấu trúc đại số trong [8] để giải
bài toán là chƣa đƣợc chặt chẽ và rõ ràng, chẳng hạn khi các tác giả xấp xỉ các nhãn
ngôn ngữ với một số mờ tam giác phải đƣa ra các nhãn mới không thuộc tập nhãn
ban đầu nhƣ NEXT, BETWEEN , cùng một số hạn chế khác. Trên cơ sở đại số gia
tử, trong đề tài này chúng tôi sẽ giải quyết bài toán trên một cách chặt chẽ hơn, sau
đó đƣa ra một số qui tắc lập luận xấp xỉ, qua đó chúng ta sẽ làm phong phú thêm
các qui tắc chuyển gia tử và qui tắc liên quan đến phép kéo theo, modus ponens,

modus tollens vừa nói trên.
Phần II trình bày việc xác định chân trị của một mệnh đề từ một khẳng định,
trong phần III trình bày một phƣơng pháp lập luận ngôn ngữ dựa trên logic mờ giá
trị ngôn ngữ. Phần IV giới thiệu một số mở rộng của bài toán lập luận ở phần III.
II. Xác định chân trị của một mệnh đề từ một khẳng định
Để đơn giản khi viết P(X,u), nếu không nói khác đi ta hiểu mệnh đề P(X,u) có
chân trị là True. Hơn nữa với h là một gia tử, khi đó nếu P(X,hu) có chân trị là True
thì theo qui tắc (RT1) và (RT2) ta có khẳng định (P(X,u), hTrue) và ngƣợc lại nếu
(P(X,u), hTrue) thì ta có P(X,hu) có chân trị là True.
Bên cạnh đó, giả sử ta có khẳng định S=(P(X,not hu),t) khi đó ta cũng có
khẳng định (P(X,hu),-t).
Để tiện cho việc tính toán, tƣơng tự trong [8] ta đƣa ra các phép toán và
nhƣ sau trên ĐSGT. Nhƣng trƣớc hết ta có các nhận xét sau:
Nhận xét:
+ Theo Định lý 3.3 trong [11] thì ánh xạ lƣợng hóa ngữ nghĩa trên ĐSGT
đầy đủ tuyến tính tự do là song ánh nên ánh xạ ngƣợc
-1
là tồn tại.
+ Hơn nữa theo hệ quả 3.1 trong [11] thì tập ảnh v[H(G)] trù mật trên đoạn
[0,1] và nhƣ vậy với mọi a [0,1] và với mọi >0 cho trƣớc, luôn xác định đƣợc một
giá trị ngôn ngữ x thuộc ĐSGT AX có giá trị lƣợng hóa ngữ nghĩa sai khác a không
quá : (xem [10])
a [0,1], >0, x X: | (x) - a| < .


18
+ Để đi đến xác định chân trị cho mệnh đề P(X, u) trong bài toán LG nói trên
và cũng là tƣ tƣởng chính của phƣơng pháp lập luận đƣa ra trong bài, trƣớc hết ta có
nhận xét sau, dựa trên quan hệ thứ tự và khoảng cách của ĐSGT:
Nếu gọi t

c
là chân trị của mệnh đề P(X, u), khi đó ta thấy:
- Khoảng cách giữa True và True bằng khoảng cách giữa t và t
c
. Tức
| (True)- ( True)|=| (t)- (t
c
)|.
- Nếu t > True thì t
c
> True và ngƣợc lại.
Định nghĩa 2.1
Cho t
1
, t
2
là các phần tử của ĐSGT AX
Kí hiệu: t
1
t
2
chính là phần tử nằm chính giữa t
1
và t
2
theo nghĩa sau:
t
1
t
2

=
-1
(( (t
1
)+ (t
2
))/2).
Định nghĩa 2.2
Cho t
1
, t
2
là các phần tử của ĐSGT AX
t
1
t
2
=
0))()(t(2. O
1))()(t(2. Ι
[0,1]))()(t(2. )(2
12
12
1212
1
t
t
t)ν(t)t.ν(ν

Dễ kiểm chứng một số tính chất sau của phép toán .

Mệnh đề 2.1
Với mọi t, t
1
, t
2
và với O, I thuộc ĐSGT AX
i) t t = t.
ii) t
1
(t
1
t
2
) = t
2
; ( t
1
t
2
) t
1
= t
2
.
iii) t O = O; I I=I; O O =O; O I=I; I O =O, t I = I.
Với các nhận xét và các định nghĩa 2.1, 2.2 nói trên có thể xác định giá trị t
c

trong bài toán LG nói trên qua định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3

Cho khẳng định (P(X, u), t) và mệnh đề (P(X, u). Khi đó chân trị của mệnh
đề (P(X, u) là t
c
được tính theo công thức sau:
t
c
= True (t True).
Cho khẳng định (P(X,u),t), mệnh đề (P(X, not u) sẽ có chân trị là t'
c
đƣợc xác
định nhƣ sau: t'
c
= - ( True (t True)) hay nói cách khác t'
c
là phần tử đối của t
c

đƣợc xác định trong định nghĩa 2.3 nói trên.
Từ mệnh đề trên ta có ngay:
(P(X,u), True) <=> (P(X, not u), False).
(P(X, u), t) <=> (P(X, not u), -t)


19
(P(X, not u), t) <=> (P(X, u), -t)
Ví dụ
Với khẳng định "Cƣờng độ dòng điện là lớn" là "ít sai". Khi đó, nếu nói
"Cƣờng độ dòng điện là không lớn" sẽ thấy mệnh đề này là "không ít sai" hay "ít
đúng".
Trong các phần dƣới đây thống nhất ký hiệu , , ', ' là các chuỗi gia tử.

Trƣờng hợp tổng quát của bài toán LG là:
Cho khẳng định q
1
=(P(X, u),t), hãy xác định chân trị của mệnh đề
q
2
=P(X, u).
Các kết quả tính chân trị của q
2
sẽ đƣợc trình bày dƣới đây. Trƣớc hết giả sử
chân trị của q
2
là xác định đƣợc, để tiện trình bày trong các phần sau ta ký hiệu
COMP(q
2
|q
1
) là chân trị của q
2
.
Ký hiệu COMP(q
2
|q
1
) nhằm diễn tả mối quan hệ giữa q
1
, q
2
. Nó là sự so sánh
ngữ nghĩa giữa hai mệnh đề q

1
, q
2
khi nói về cùng một đối tƣợng nào đó.
Mệnh đề 2.2
Cho khẳng định q
1=
(P(X, u), t
1
) và mệnh đề q
2
=P(X, u), khi đó
t
2
=COMP(q
2
|q
1
)= True ( True t
1
).
Tương tự nếu q
3=
(P(X, not u), t
3
), khi đó t
4
=COMP(q
2
|q

3
) = True ( True
-t
3
).
Chứng minh:
Giả sử q
2
có chân trị là t
2
, khi đó theo định nghĩa 2.3 ta có t
1
= True (t
2

True) => t
2
=True ( True t
1
).
Với t
4
đƣợc chứng minh tƣơng tự.
Lƣu ý:
Trong mệnh đề 2.2, nếu t
1
=True khi đó ta có t
2
= True. Đây chính là qui tắc
RT1 nói ở phần I.

Ví dụ
"Quả cà chua là rất đỏ là đúng" <=> "Quả cà chua là đỏ là rất đúng".
"Quả cà chua là có thể xanh là đúng" <=> "Quả cà chua là đỏ là có thể sai".
Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng bài toán LG đã nói ở phần I trong một số
trƣờng hợp.
Trong quá trình lập luận trong thực tiễn, chúng ta có sử dụng đến phép phủ
định "not" và thƣờng thì trong câu không sử dụng quá một từ "not" nếu có. Vì vậy
trong các phần dƣới để mở rộng vấn đề và dễ kí hiệu, ta viết >0 nếu chuỗi gia tử
không chứa "not" và ngƣợc lại <0 nếu có chứa "not", nếu quan niệm nhƣ thế thì:
True với <0 có thể viết lại là 'False với ' chính là nhƣng đã loại bỏ "not".


20
Ví dụ
"X is A is not very True", ở đây ="not Very", theo cách hiểu trên thì <0 và
True cũng có thể đƣợc hiểu là 'False= VeryFalse tức '= "Very".
Mệnh đề dƣới đây là một sự mở rộng của bài toán LG khi các chuỗi gia tử ,
có chứa not.
Mệnh đề 2.3
Đặt t
c
=COMP((P(X, u)|(P(X, u), t
1
)).
Khi đó ta có
(1) Nếu >0 và >0 thì t
c
= True (t
1
True).

(2) Nếu >0 và <0 thì t
c
= -( True (t
1
True)).
(3) Nếu <0 và >0 thì t
c
= True (-t
1
True).
(4) Nếu <0 và <0 thì t
c
= -( True (-t
1
True)).
Chứng minh:
(1) Với >0 và >0, theo mệnh đề 2.2 ta có (P(X, u), t
1
) <=> (P(X,u), t )
với t =True ( True t
1
). Theo định nghĩa 2.3 thì P(X, u) có chân trị là t
c
=
True (t True)= True ((True ( True t
1
)) True)= True ( True t
1
).
(2) Với >0 và <0, tƣơng tự trƣờng hợp (1) nhƣng lúc đó True<W và ta có

t
c
=- True (-t True) = - True (-(True ( True t
1
)) True)=-( True
( True t
1
)).
(3) và (4) chứng minh tƣơng tự.
Ví dụ
+ Xét câu q
1
="Minh là không chăm chỉ là đúng" và câu q
2
="Minh là không rất
chăm chỉ". Xét chân trị của q
2
, tức tính t
c
=COMP(q
2
|q
1
).
Theo trƣờng hợp (4) của mệnh đề 2.3 ta có t
c
= -(VeryFalse (False False))=
-(VeryFalse False).
+ Xét câu q
1

="An học khá giỏi là ít đúng", với các qui tắc trong [5][9] là khó
xác định chân trị của câu q
2
="An học rất giỏi". Tuy vậy dựa vào mệnh đề 2.2 có thể
xác định đƣợc chân trị của q
2
là: t
c
= COMP(q
2
|q
1
) = VeryTrue (LessTrue
MoreTrue).
III. Phƣơng pháp lập luận xấp xỉ với logic mờ giá trị ngôn ngữ
Xét bài toán lập luận sau:
If X is A then Y is B
X is A
0


Y is B
0



21
Với A, A
0
là các giá trị ngôn ngữ đƣợc xét trên một ĐSGT đối xứng, đầy đủ

tuyến tính AX
1
, tƣơng tự B, B
0
là các giá trị ngôn ngữ đƣợc xét trên một ĐSGT đối
xứng, đầy đủ tuyến tính AX
2
. Khi đó A, A
0
có thể biểu diễn ở dạng chuẩn tắc:
A= a
c
, A
0
= 'a
c
với , ' là các chuỗi gia tử và a
c
G
1
(G
1
là tập sinh của AX
1
).
Tƣơng tự B= b
c
, B
0
= 'b

c
với , ' là các chuỗi gia tử và b
c
G
2
(G
2
là tập sinh của
AX
2
). Theo các kết quả ở phần II, ta thấy mệnh đề "X is A" có thể viết lại là "X is
a
c
" và "X is A
0
" có thể viết lại là "(X is a
c
) is 'True". Tƣơng tự các phân tích trên
cũng đúng cho các mệnh đề "Y is B" và "Y is B
0
". Do đó bài toán lập luận trên có
thể viết lại:
If (X is a
c
) then (Y is b
c
) is True
(X is a
c
) is 'True

(Y is b
c
) is 'True
Câu hỏi đặt ra là: Xác định ' =?. Khi xác định đƣợc ' ta hoàn toàn xác định
đƣợc "Y is 'b
c
" = "Y is B
0
".
Trƣớc hết ta tính t
c
=COMP("X is a
c
"| "X is a
c
is 'True"). t
c
đƣợc tính dựa
trên các định nghĩa 2.3, mệnh đề 2.2, 2.3. t
c
chính là chân trị của dữ kiện, nếu xem
giả thiết của bài toán lập luận là một khẳng định.
Trƣớc hết, ta thấy khi giả thiết là không đúng so với dữ kiện tức t
c
<W thì
không thể kết luận gì về ', khi đó ta không thể có kết luận gì về Y hay "Y is 'b
c
is
Unknown". Ngƣợc lại nếu t

c
>W thì khoảng cách giữa 'True và True phải bằng
khoảng cách giữa t
c
và True.
Từ các nhận xét trên, ' có thể xác định theo mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.1
Nếu t
c
<W thì "Y is 'b
c
is Unknown"
Ngược lại:
Nếu >0 thì 'True= True ( True t
c
)
Ngược lại 'True= -(True (- True t
c
).

Dƣới đây xét một số ví dụ:
1) Ta thấy ngay trong trƣờng hợp True= 'True= True = True, thì 'True=
True. Đây chính là modus ponens trong logic cổ điển.
2) Nếu = ' thì t
c
=True và ta có ngay '= . Tức lập luận theo mệnh đề 3.1
thỏa một trong các tiêu chuẩn của lập luận xấp xỉ "tốt" là nếu A
0
=A thì B
0

=B.
3) Nếu True= True=True, ta có t
c
= 'True và do đó 'True=
True ( 'True True) = 'True. Đây chính là qui tắc RPI trong [5][9].


22
If X is a
c
then Y is b
c
X is 'a
c

Y is 'b
c
.
Chẳng hạn:
"Nếu quả cà chua đỏ thì ngon" có thể suy ra "Nếu quả cà chua khá đỏ thì khá
ngon".
Xét tiếp ví dụ sau:
If X is A then (Y is B is more True)
X is A is very True

Y is ?
Ta có (Y is B is more True) <=> (Y is more B)
Nên bài toán trên tƣơng đƣơng với:
If (X is A) then (Y is more B)
X is A is very True.

và ta có: "Y is more very B".
4) If X is a
c
then Y is B
X is not a
c


Y is ?
Theo cách tính trên thì t
c
=COMP("X is a
c
"| "X is not a
c
") = False <W, nên
theo mệnh đề 3.1 thì "Y is Unknown".
Chẳng hạn:
"Nếu quả cà chua đỏ thì ngon" thì không có kết luận gì đƣợc về mức độ ngon
của quả cà chua khi biết "Quả cà chua là xanh" tức khi "Quả cà chua đỏ là sai".
5) If (X is VeryA) then (Y is B is more True)
X is A is Possible True

Y is ?
Với các qui tắc trong [5][9] rất khó để kết luận gì về Y, nhƣng với cách tính
trong đề tài này có thể xác định đƣợc giá trị của Y.


23

Y đƣợc xác định nhƣ sau:
Trƣớc hết t
c
=COMP("X is VeryA"|"X is A is Possible True") đƣợc tính theo
mệnh đề 2.3.
Tiếp đó xác định 'True=True (MoreTrue t
c
) theo mệnh đề 3.1.
Khi đó kết quả suy diễn sẽ là: Y is B is 'True với 'True đƣợc xác định nhƣ
trên.
IV. Một số mở rộng của lập luận xấp xỉ với logic mờ giá trị ngôn ngữ
Chúng ta có thể mở rộng qui tắc lập luận trong mệnh đề 3.1 cho các bài toán
lập luận có dạng sau:
Dạng 1
If (X is m
1
A is True) then (Y is m
2
B is True)
X is m
3
A is 'True

Y is B is 'True.
Ở đây m
1
, m
2
, m
3

là các gia tử, còn , ', , ' là các chuỗi gia tử, vấn đề đặt
ra là xác định '.
Theo các qui tắc (RT1), (RT2) ta có "X is mA is True" <=> "X is m A" và
"Y is mB is True" <=> "Y is B is mTrue" nên có thể đƣa bài toán vừa nêu về
trƣờng hợp trong mệnh đề 3.1.
Dạng 2
If (X is m
1
A is t
1
) then (Y is m
2
B is t
2
)
If (Y is m
3
B is t
3
) then (Z is m
4
C is t
4
) (2)
X is m
5
A is t
5

Z is ?
Với m
i
(i=1, ,5) là các gia tử, t
i
(i=1, ,5) là các giá trị chân lý ngôn ngữ
thuộc ĐSGT AX nhƣ đã nói ở phần I, còn A, B, C là các giá trị ngôn ngữ thuộc các
ĐSGT đối xứng, đầy đủ tuyến tính.
Ta chuyển bài toán (2) về hai bài toán nhỏ sau:
If (X is m
1
A is t
1
) then (Y is m
2
B is t
2
) (2)'
X is m
5
A is t
5


Y is mB is t
Có thể xác định đƣợc m và t trong bài toán (2)' nhờ các kết quả ở phần III.


24
Tiếp đó, kết quả của bài toán (2) chính là kết quả của bài toán sau:

If (Y is m
3
B is t
3
) then (Z is m
4
C is t
4
) (2)''
Y is mB is t

Z is ?
Bài toán (2)'' giải đƣợc và nhƣ vậy ta giải đƣợc (2).
Ví dụ
If X is A then Y is B is more True
If Y is B then Z is C
X is A is Very True

Z is ?
Trƣớc hết ta có:
If X is A then Y is B is more True
X is A is Very True

Y is B is more very True
Từ đó ta có:
If Y is B then Z is C
Y is B more very True

Z is C is more very True.
Xét bài toán lập luận xấp xỉ tổng quát hơn có dạng sau:

Dạng 3
If (X
1
is m
1
A
1
is t
1
) and and (X
k
is m
k
A
k
is t
k
) then (Y is B is t
k+1
)
(X
1
is m
01
A
1
is t
01
) and and (X
k

is m
0k
A
k
is t
0k
)

Y is B is t
B

Với m
i
(i=1, ,k), m
01
, ,m
0k
là các gia tử; t
i
(i=1, ,k+1) và t
B
là các giá trị
chân lý ngôn ngữ thuộc AX, còn các A
i
, B là các giá trị ngôn ngữ thuộc các ĐSGT
đối xứng, đầy đủ tuyến tính. Bài toán đặt ra là tính giá trị t
B
.
Có thể giải bài toán vừa nêu theo 3 bƣớc sau:

25
- Trƣớc hết ta tính chân trị của t
ci
=COMP("X
i
is m
i
A
i
is t
i
"|"X
0i
is m
0i
A
i
is t
0i
)
với i=1, ,k.
- Tính t
c
=

k
i
ci
t

1
, với phép

là toán tử joint trong ĐSGT AX.
- t
B
đƣợc tính tƣơng tự nhƣ trong mệnh đề 3.1 nhƣ sau:
Nếu t
c
>W thì:
t
B
=True (t
k+1
t
c
) với t
k+1
>0
t
B
= -(True (-t
k+1
t
c
) với t
k+1
<0.
Ngƣợc lại thì Y is B is Unknown.
Ví dụ

If X
1
is A and X
2
is B then Y is C
(X
1
is A is very True) and (X
2
is B is very True)

Y is ?
Dễ thấy t
c1
=t
c2
=VeryTrue => t
c
=VeryTrue và t
B
=True (True VeryTrue)=
VeryTrue. Ta thu đƣợc kết luận của quá trình lập luận trên là: "Y is C is VeryTrue".
Hơn nữa, tính toán tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có các kết quả giống nhƣ trong [8] với
các giả thiết và kết luận tƣơng ứng thu đƣợc cho trong bảng sau:
X
1
is A is Very True
X
2
is B is True

Y is C is True
X
1
is A is MoreLess True
X
2
is B is True
Y is C is MoreLessTrue
X
1
is A is MoreLess True
X
2
is B is MoreLessTrue
Y is C is MoreLessTrue
X
1
is A is False
X
2
is B is True
Y is C Unknown

V. Kết luận
Trên cơ sở ĐSGT, trong chƣơng này chúng ta đã đƣa ra đƣợc cách xác định
chân trị của một mệnh đề mờ trên cơ sở của một khẳng định tƣơng tự, giống nhƣ
cách làm trong [8] nhƣng cách làm của chúng ta có cơ sở đại số chặt chẽ hơn. Từ đó
chúng ta đã đƣa ra đƣợc một số phƣơng pháp lập luận mới, rõ ràng các qui tắc đề ra
trong phần này đã làm phong phú hơn các qui tắc lập luận trong [5][9] và một số
trƣờng hợp trong [5][9] là trƣờng hợp đặc biệt của các phƣơng pháp trong chƣơng

này.
Bên cạnh đó chúng tôi cũng đã đạt đƣợc một số kết quả sau trong đề tài
T.05.TN-70. Đó là:
Mở rộng modus ponens trên cơ sở tri thức đƣợc biểu diễn dƣới dạng luật If
then với cấp độ đúng (truth-degree) và cấp độ tin cậy (certain-degree) trên cơ sở
đại số gia tử (xem bài báo [D3])
Một số lƣu ý khi sử dụng qui tắc chuyển gia tử cho mệnh đề kéo theo RTI1,
RTI2 trong [7]. Bên cạnh đó cơ chế suy diễn lùi trên cơ sở tri thức mờ theo cách
biễu diễn trong [5], đƣợc đƣa ra cùng các ví dụ minh họa (xem bài báo [D4]).