Tài liệu Kỹ thuật chọn điểm rơi nâng cao trong bất đẳng thức docx

Math is thinking





A.Đặt vấn đề
Trong việc sử dụng BĐT để tìm cực trị nói chung BĐT AM-GM nói riêng thì điểm rơi là một kĩ thuật
khá quan trọng.Gần đây có rất nhiều tài liệu viết về pp này nhưng tôi cảm thấy chúng còn có gì đó thiếu
tự nhiên. Do đó bài viết này ra đời.

B.N ội dung
Để sử dụng thành thạo pp này ta cần chú ý 1 vài điểm sau:
1/Các bước làm

B1:Xác định
số đem CS và mục tiêu CS
B2:Giả dấu bằng xảy ra khi “biến=m” rồi dựa vào
mục tiêu CS tìm m
2/N hận xét

Các biến có vai trò như nhau ( tức là khi ta tráo đổi 2 biến thì giả thiết và BĐT không thay đổi )thì
dấu “=” xảy ra khi chúng bằng nhau
.


C.Ví dụ và 1 số điều lưu ý
Vd:
Cho a,b>0 và
22
5ab+=. Tìm GTNN của

36
Aab=+
N hận xét:
• Đây là bài toán BĐT có điều kiện nên ta nghĩ ngay là CS các số
36
,ab để tạo ra
22
,ab.
• Và từ bậc
3
axuống
2
a ta CS 3 số (
3
a,
3
a và 1 hằng số),
6
bxuống
2
b ta CS 3 số (
6
bvà 2
hằng số)
• Tuy nhiên sau khi CS để dùng được giả thiết thì hệ số của
22
,ab và
36
,abbằng nhau

→thực chất ở trên bằng các suy luận có lý ta đã làm B1
số đem CS là 3 số (
3
a,
3
a và 1 hằng số) và 3 số (
6
bvà 2 hằng số)
mục tiêu CS là hệ số của
22
,ab và
36
,abbằng nhau
B2:
Giả dấu bằng xảy ra khi a=m và b=n(*)
Khi đó ta có
3332
3aamma++≥ (1)

66642
3bnnnb++≥ (2)
Dựa vào mục tiêu CS ta nhận thấy cần
• hệ số của
36
,abbằng nhau →nhân (2) với 2 rồi cộng với (1)
→
3636242
2()233abmnmanb+++≥+
• hệ số của
22

,ab bằng nhau →
4
33mn= .Mặt khác theo giả sử (*) và giả thiết ta còn có
22
5mn+=→m=2 và n=1

Lưu ý :

Bài toán trên sử dụng 1 tư tưởng CS khá đơn giản là tận dụng giả thiết và thể hiện khả năng hạ bậc
đặc trưng của CS.Tuy nhiên trong thực tế thì những mục tiêu CS cần ta suy luận 1 cách hợp lý và khó
hơn ví dụn rất nhiều.Để có 1 tư tưởng CS hay và hợp lý ta đi xét các tính chất của BĐT CS
Math is thinking


• Hạ bậc: Từ
mn
aa→ thì ta làm như sau ......
m
mmmnmn
aaaxxxmax
−
+++++++≥ (có n số
m
a và m-n số x )
• Tính khử: thể hiện chẳng hạn như

2121
332
11
xx

xxxx
−
+=++≥+
−−
→ khử kiểu phân số

2
11(2)(12)1
(12)(2)(12)
2228
xx
xxxx
+−

−=−≤=


→ khử kiểu tích
………<Sẽ giới thiệu sau>

Còn 1 vấn đề nữa là số đem CS có thể là
• Hằng số:Là các số có giá trị cụ thể .Thông thường tác dụng của nó là hạ bậc
• Số ở kết luận:Là những cái gì có ở biểu thức cần tìm cực trị .Thông thường nó chỉ làm số đem
CS trong bài toán tìm GTNN
• Số ở giả thiết: Là những cái gì có ở giả thiết.
• Số ngoại lai : Là những số ta đưa vào để thỏa mãn nhu cầu sử dụng gt .Tuy nhiêm nó cần xử lý
được VD:Cần cm A>B ta đưa số C vào để A+C>?B thì C<B (A,B,C có thể là tượng trưng cho
cả 1 biểu thức)
………<----->

D.Bài tập chọn lọc
1. Cho
,,
xyzR
+
∈
và x+y+z=1. CMR:
3
4
3
xxyxyz++≤

2. cho
[ ]
0;1x∈ . Tìm GTLN
2424
139Axxxx=−++
3. Cho x,y>0 và 6xy+≥.Tìm GTN N
68
23Axy
xy
=+++

4. Cho
,,
xyzR
+
∈
và x+y+z=3. Tìm GTN N A=
333

64abc++
5. Cho
2,9,1945abc≥≥≥ và a+b+c=2010. Tìm GTLN của A=abc
6. Cho xy+z+zx =-1. Tìm GTN N A=
222
58xyz++
7. Cho
,,
xyzR
+
∈
và xy+yz+zx =1. Tìm GTN N của A=
222
()Aaxyz=++
8. Cho
,,
xyzR
+
∈
và
222
(2)(1)(3)64aabcc++++=. Tìm GTLN
345
abc
(lời giải sẽ được update trong tg sớm nhất)