ĐỀ TOÁN ĐẲNG CẤP ĐH-CĐ SỐ 5

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
…………………
∞∞∞∞∞∞∞∞
………………
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số
4 2
5 4,y x x= − +
có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình
4 2
2
| 5 4| logx x m− + =
có 6 nghiệm.
Câu II (2.0 điểm).
1. Giải phương trình:
1 1
sin 2x sin x 2cot 2x
2sin x sin 2x
+ − − =
2. Tìm m để phương trình:
( )
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)− + + + − ≤
có nghiệm x
0; 1 3
 
∈ +

 
Câu III (1.0 điểm). Tính
4
0
2x 1
I dx
1 2x 1
+
=
+ +
∫
Câu IV (2.0 điểm).
1.Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5=
và
o
120BAC =
∧
.
Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
.

a. Chứng minh MB⊥MA
1

b. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
1)Câu VI.a. (2.0 điểm).
1. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng
(P): 2x - y + z + 1 = 0
a. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
b. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
2. (1.0 điểm). Giải phương trình:
( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x+ + − = −
2)Câu V.b. (1,5điểm).
1. Giải bất phương trình:
2
x 4 2
(log 8 log x )log 2x 0+ ≥
2.(1.5 điểm). Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh :
3 2 4 3 5x y z xy yz zx+ + ≥ + +
……………………Hết……………………


HƯỚNG DẨN GIẢI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
1

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: 1.(hs tự giải)
2.
9
4
4
12
9
log 12 144 12
4
m m= ⇔ = =
Câu II:
1. Giải phương trình :
1 1
sin 2x sin x 2cotg2x
2sin x sin 2x
+ − − =
(1)
(1) ⇔ − cos
2
2x − cosxcos2x = 2cos2x và sin2x ≠ 0
⇔
= + + =
2
cos2x 0v2cos x cosx 1 0(VN)
⇔ cos2x = 0 ⇔
π π π
= + π ⇔ = +2x k x k
2 4 2
2. Đặt

2
t x 2x 2= − +
⇔ t
2
− 2 = x
2
− 2x
Bpt (2) ⇔
−
≤ ≤ ≤ ∈ +
+
2
t 2
m (1 t 2),dox [0;1 3]
t 1
Khảo sát
2
t 2
g(t)
t 1
−
=
+
với 1 ≤ t ≤ 2
g'(t)
2
2
t 2t 2
0
(t 1)

+ +
= >
+
. Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt
⇔
bpt
2
t 2
m
t 1
−
≤
+
có nghiệm t ∈ [1,2]

⇔

[ ]
∈
≤ = =
t 1;2
2
m maxg(t) g(2)
3
Vậy m
≤
2
3
Câu III Đặt

2
t 2x 1 t 2x 1 2tdt 2dx dx tdt= + ⇒ = + ⇔ = ⇔ =
; Đổi cận t(4) = 3, t(0) = 1
Vậy
4 3 3
2
0 1 1
2x 1 t 1
I dx dt t 1 dt
1 t t 1
1 2x 1
+
 
= = = − +
 ÷
+ +
+ +
 
∫ ∫ ∫
; =
3
2
1
t
t ln t 1 2 ln2
2
 
− + + = +
 
 

 
Câu IV (Bạn đọc tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Axyz sao cho: A ≡ 0,
( )
−C 2a,0,0
,
1
A (0,0,2a 5)

 
⇒
 ÷
 ÷
 
a a 3
A(0;0;0),B ; ;0
2 2
và
−M( 2a,0,a 5)
 
⇒ = − − =
 ÷
 ÷
 
uuuur uuuuur
1
5 3
BM a ; ; 5 , MA a(2;0; 5)
2 2
a.Ta có:

= − + + = ⇒ ⊥
uuuur uuuuur
2
1 1
BM.MA a ( 5 0 5) 0 BM MA

b.Ta có thể tích khối tứ diện AA
1
BM là :
∆
   
= = = =
   
uuuuur uuur uuuur uuur uuuuur
3
2
1 BMA 1
1
1 a 15 1
V AA . AB,AM ; S MB,MA 3a 3
6 3 2
Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA
1
) bằng
= =
3V a 5
d .
S 3
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG

2
Câu Va. 1. Ta có
AB ( 2,4, 16)= − −
uuur
cùng phương với
= − −
r
a ( 1,2, 8)
mp(P) có VTPT
n (2, 1,1)= −
uur
Ta có
uur r
[ n ,a]
= (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)
a.Phương trình mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) là :
2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = 0
⇔ 2x + 5y + z − 11 = 0
b. Tìm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với Mp (P)
. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ; Pt AA' :
x 1 y 3 z 2
2 1 1
+ − +
= =
−
AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của ;
− + + =



⇒ −
 + − +
= =

−
2x y z 1 0
H(1,2, 1)
x 1 y 3 z 2
2 1 1
Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
H A A'
H A A'
H A A'
2x x x
2y y y A'(3,1,0)
2z z z
= +


= + ⇒


= +

Ta có
A'B ( 6,6, 18)= − −
uuuur
(cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B :
− −
= =

−
x 3 y 1 z
1 1 3
Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
− + + =


⇒ −
− −

= =

−

2x y z 1 0
M(2,2, 3)
x 3 y 1 z
1 1 3

2. Giải phương trình:
( )
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x+ + − = −
BG: (1)
( )
( )
2
2
3

1 1
log 2 3 1
x x
x x
x x x
x x
−
+ +
⇔ = − ⇔ = + +
Đặt:f(x)=
( )
2
3
x x−
g(x)=
1
1x
x
+ +
(x
≠
0)
Dùng pp kshs =>max f(x)=3; min g(x)=3=>PT f(x)= g(x)  max f(x)= min g(x)=3 tại x=1
=>PT có nghiệm x= 1
Câu V.b.
1. Điều kiện x > 0 , x ≠ 1
(1)
 
⇔ + ≥
 ÷

 
4 2
8
1 1
2log x log 2x 0
log x 2

( )
 
 ÷
⇔ + + ≥
 ÷
 ÷
 
2 2
2
1
log x log x 1 0
1
log x
3


 
+ +
⇔ + ≥ ⇔ ≥
 ÷
 
⇔ ≤ − > ⇔ < ≤ >
2

2 2
2
2 2
2 2
log x 1 log x 1
(log x 3) 0 0
log x log x
1
log x 1haylog x 0 0 x hayx 1
2
2.Theo BĐT Cauchy
( ) ( ) ( )
1 3 5
; 3 ; 5
2 2 2
x y xy y z xy z x xy+ ≥ + ≥ + ≥
. Cộng vế =>điều phải chứng minh
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
3