Chuyên đề: Khảo sát hàm số luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.44 KB, 23 trang )
Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Các Phép Toán Trên Tập Con Của R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§3. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§4. Cực Trị Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§5. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§6. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§7. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 1
Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị
Hàm Số
§1. Các Phép Toán Trên Tập Con Của R
Bài tập 1.1. Xác định các tập hợp sau:
a) [−1; 2] ∩[1; 4]. b) (−2; 2) ∩(0; +∞). c) [−5; 2] ∩[2; 3).
d) [−3; 1] ∪[−1; 4). e) (−2; 1) ∪[0; 1]. f) (−∞; 2) ∪(0; 4).
Lời giải.
a) [−1; 2] ∩[1; 4] = [1; 2]. b) (−2; 2) ∩(0; +∞) = (0; 2). c) [−5; 2] ∩[2; 3) = {2}.
d) [−3; 1] ∪[−1; 4) = [−3; 4). e) (−2; 1) ∪[0; 1] = (−2; 1]. f) (−∞; 2) ∪(0; 4) = (−∞; 4).
Bài tập 1.2. Xác định các tập hợp sau:
a) (0; 5)\[2; 7). b) [−3; 2]\(0; 4). c) [−1; 6]\(0; 6).
d) R\(2; +∞). e) [−3; 3) ∩(−1; 5) ∩[1; 7]. f) [−2; 2] ∩[0; 3) ∪(2; 5).
Lời giải.
a) (0; 5)\[2; 7) = (0; 2). b) [−3; 2]\(0; 4) = [−3; 0]. c) [−1; 6]\(0; 6) = [−1; 0] ∪{6}.
d) R\(2; +∞) = (−∞; 2]. e) [−3; 3) ∩(−1; 5) ∩[1; 7] = [1; 3).f) [−2; 2] ∩[0; 3) ∪(2; 5) = [0; 5).
Bài tập 1.3. Cho các tập hợp A = (−3; 5], B = [1; +∞), C = (−∞; 3] và D = (3; +∞). Xác định các tập
hợp sau: A ∩B, C ∩ D,A\B, B ∪C, C
R
A, C
R
D.
Lời giải. A∩B = [1; 5], C∩D = ∅, A\B = (−3; 1), B∪C = R, C
R
A = (−∞; −3]∪(5; +∞), C
R
D = (−∞; 3].
Bài tập 1.4. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
x −3 < 0
1 −2x ≤ 0
. b)
2x + 4 ≥ 0
x −1 < 0
. c)
x + 1 > 0
2x −3 ≥ 0
x −5 ≤ 0
.
d)
2x −3 ≤ 0
3x + 1 > 0
(x −1)
2
= 0
. e)
x −1 > 0
3x + 1 ≤ 0
x + 3 ≥ 0
. f)
3x −6 < 0
x + 1 < 0
−4 < x ≤ 3
.
Lời giải.
a) Ta có hệ tương đương
x < 3
x ≥
1
2
⇔
1
2
≤ x < 3. Vậy hệ có tập nghiệm S =
1
2
; 3
.
b) Ta có hệ tương đương
x ≥ −2
x < 1
⇔ −2 ≤ x < 1. Vậy hệ có tập nghiệm S = [−2; 1).
c) Ta có hệ tương đương
x > −1
x ≥
3
2
x ≤ 5
⇔
3
2
≤ x ≤ 5. Vậy hệ có tập nghiệm S =
3
2
; 5
.
3
Nguyễn Minh Hiếu
d) Ta có hệ tương đương
x ≤
3
2
x > −
1
3
x = 1
⇔
−
1
3
< x ≤
3
2
x = 1
. Vậy hệ có tập nghiệm S =
−
1
3
;
3
2
\{1}.
e) Ta có hệ tương đương
x > 1
x ≤ −
1
3
x ≥ −3
⇔
x > 1
−3 ≤ x ≤ −
1
3
. Vậy S =
−3; −
1
3
;
∪ (1; +∞).
f) Ta có hệ tương đương
x < 2
x < −1
−4 < x ≤ 3
⇔ −4 < x < 2. Vậy hệ có tập nghiệm S = (−4; 2].
Bài tập 1.5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
1
x
2
+ 2x −3
.
b) y =
√
5x −1 +
√
3x −1. c) y =
√
x + 2 +
√
3 −2x.
d) y =
√
1 −x
x
2
+ 4x + 3
. e) y =
√
x + 1
x
2
+ 3x −4
. f) y =
√
x −1 −
√
4 −x
x
2
− 5x + 6
.
Lời giải.
a) Điều kiện x
2
+ 2x −3 = 0 ⇔
x = 1
x = −3
. Tập xác định D = R\{−3; 1}.
b) Điều kiện
5x −1 ≥ 0
3x −1 ≥ 0
⇔
x ≥
1
5
x ≥
1
3
⇔ x ≥
1
3
. Tập xác định D =
1
3
; +∞
.
c) Điều kiện
x + 2 ≥ 0
3 −2x ≥ 0
⇔
x ≥ −2
x ≤
3
2
⇔ −2 ≤ x ≤
3
2
. Tập xác định D =
−2;
3
2
.
d) Điều kiện
1 −x ≥ 0
x
2
+ 4x + 3 = 0
⇔
x ≤ 1
x = −1
x = −3
. Tập xác định D = (−∞; 1]\{−3; −1}.
e) Điều kiện
x + 1 ≥ 0
x
2
+ 3x −4 = 0
⇔
x ≥ −1
x = 1
x = −4
. Tập xác định D = [−1; +∞)\{1}.
f) Điều kiện
x −1 ≥ 0
4 −x ≥ 0
x
2
− 5x + 6 = 0
⇔
x ≥ 1
x ≤ 4
x = 2
x = 3
⇔
1 ≤ x ≤ 4
x = 2
x = 3
. Tập xác định D = [1; 4]\{2; 3}.
Bài tập 1.6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =
√
x + 3 +
2x + 3
√
2x −1
. b) y =
√
2 −5x +
1
√
x
2
+ 4x + 4
.
c) y =
x −2
√
−x + 3
+
√
3x + 2
x + 1
.
Lời giải.
a) Điều kiện
x + 3 ≥ 0
2x −1 > 0
⇔
x ≥ −3
x >
1
2
⇔ x >
1
2
. Tập xác định D =
1
2
; +∞
.
b) Điều kiện
2 −5x ≥ 0
x
2
+ 4x + 4 > 0
⇔
x <
2
5
x = −2
. Tập xác định D =
−∞;
2
5
\{−2}.
c) Điều kiện
3x + 2 ≥ 0
−x + 3 > 0
x + 1 = 0
⇔
x ≥ −
2
3
x < 3
x = −1
⇔ −
2
3
≤ x < 3. Tập xác định D =
−
2
3
; 3
.
4
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§2. Đa Thức
Bài tập 1.7. Thực hiện chia các đa thức sau:
a) f(x) = x
3
+ 3x
2
− 4x + 5 cho x + 2. b) f(x) = 4x
3
+ x
2
− x + 4 cho x −3.
c) f(x) = −3x
3
+ 5x
2
− 8x + 6 cho x −1. d) f(x) = x
3
+ 2x
2
+ 7x + 6 cho x + 1.
e) f(x) = x
4
+ x
3
− 6x −12 cho x −2. f) f(x) = −x
4
− 3x
2
− 5x + 9 cho x −1.
g) f(x) = 2x
4
+ 3x
2
− x + 5 cho x
2
+ 1. h) f(x) = x
4
− 3x
3
+ x + 2 cho x
2
− x + 1.
Lời giải.
a) f(x) = (x + 2)(x
2
+ x −6) + 17. b) f(x) = (x − 3)(4x
2
+ 13x + 38) + 118.
c) f(x) = (x − 1)(−3x
2
+ 2x −6). d) f(x) = (x + 1)(x
2
+ x + 6).
e) f(x) = (x − 2)(x
3
+ 3x
2
+ 6x + 6). f) f(x) = (x − 1)(−x
3
− 4x
2
− 4x −9).
g) f(x) = (x
2
+ 1)(2x
2
+ 1) −x + 4. h) f(x) = (x
2
− x + 1)(x
2
− 2x −3).
Bài tập 1.8. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 6x
2
+ 9x −2 = 0. b) −x
3
− 3x
2
+ 3x + 1 = 0.
c) x
4
− 7x
3
+ 5x
2
+ 11x −2 = 0. d) −x
4
+ 2x
3
+ 4x
2
− 7x + 2 = 0.
Lời giải.
a) x
3
− 6x
2
+ 9x −2 = 0 ⇔ (x − 2)
x
2
− 4x + 1
= 0 ⇔
x = 2
x = 2 ±
√
3
.
b) −x
3
− 3x
2
+ 3x + 1 = 0 ⇔ (x −1)
−x
2
− 4x −1
= 0 ⇔
x = 1
x = −2 ±
√
3
.
c) x
4
− 7x
3
+ 5x
2
+ 11x −2 = 0 ⇔ (x − 2) (x + 1)
x
2
− 6x + 1
= 0 ⇔
x = 2
x = −1
x = 3 ±2
√
2
.
d) −x
4
+ 2x
3
+ 4x
2
− 7x + 2 = 0 ⇔ (x −1) (x + 2)
−x
2
+ 3x −1
= 0 ⇔
x = 1
x = −2
x =
3 ±
√
5
2
.
Bài tập 1.9. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = 2x − 3. b) f(x) = 1 − 4x.
c) f(x) = x
2
+ 4x + 3. d) f(x) = −3x
2
− 2x + 5.
e) f(x) = x
2
− 6x + 9. f) f(x) = −4x
2
+ 4x −1.
g) f(x) = x
2
+ x + 2. h) f(x) = −3x
2
+ x −4.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞
3
2
+∞
f(x) − 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (
3
2
; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞;
3
2
).
b) Ta có bảng xét dấu
x −∞
1
4
+∞
f(x) + 0 −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞;
1
4
); f(x) < 0, ∀x ∈ (
1
2
; +∞).
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −3 −1 +∞
f(x) + 0 − 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −3) ∪(−1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−3; −1).
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
5
3
1 +∞
f(x) − 0 + 0 −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−
5
3
; 1); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −
5
3
) ∪(1; +∞).
5
Nguyễn Minh Hiếu
e) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 3 +∞
f(x) + 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x = 3.
f) Ta có bảng xét dấu
x −∞
1
2
+∞
f(x) − 0 −
Do đó f(x) < 0, ∀x =
1
2
.
g) Ta có bảng xét dấu
x −∞ +∞
f(x) +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ R.
h) Ta có bảng xét dấu
x −∞ +∞
f(x) −
Do đó f(x) < 0, ∀x ∈ R.
Bài tập 1.10. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) = x
3
+ 2x
2
− x −2. b) f(x) = −x
3
+ 3x
2
+ 6x −8.
c) f(x) = x
4
+ x
3
− 3x
2
− x + 2. d) f(x) = x
4
− x
3
− 6x
2
+ 4x + 8.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 −1 1 +∞
f(x) − 0 + 0 − 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−2; −1) ∪(1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 1).
b) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 1 4 +∞
f(x) + 0 − 0 + 0 −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(1; 4); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; 1) ∪(4; +∞).
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 −1 1 +∞
f(x) + 0 − 0 + 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 1) ∪ (1; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1).
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 −1 2 +∞
f(x) + 0 − 0 + 0 +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−1; 2) ∪ (2; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1).
Bài tập 1.11. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) =
(x −1)(3 − 4x)
x + 2
. b) f(x) =
(2x + 1)(2 − x)
x −3
.
c) f(x) =
(x −2)(3 − x)
x
2
+ 4x −5
.
d) f(x) =
(x −1)(x
2
+ 4x + 4)
x
2
− 4x −5
.
6
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2
3
4
1 +∞
x −1 − | − | − 0 +
3 −4x + | + 0 − | −
x + 2 − 0 + | + | +
f(x) + || − 0 + 0 −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(
3
4
; 1); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2;
3
4
) ∪(1; +∞).
b) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
1
2
2 3 +∞
2x + 1 − 0 + | + | +
2 −x + | + 0 − | −
x −3 − | − | − 0 +
f(x) + 0 − 0 + || −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−∞; −
1
2
) ∪(2; 3); f(x) < 0, ∀x ∈ (−2; 2) ∪ (3; +∞).
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −5 1 2 3 +∞
x −2 − | − | − 0 + | +
3 −x + | + | + | + 0 −
x
2
+ 4x −5 + 0 − 0 + | + | +
f(x) − || + || − 0 + 0 −
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−5; 1) ∪(2; 3); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −5) ∪(1; 2) ∪(3; +∞).
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 −1 1 5 +∞
x −1 − | − | − 0 + | +
x
2
+ 4x + 4 + 0 + | + | + | +
x
2
− 4x −5 + | + | + 0 − 0 +
f(x) − 0 − 0 + || − || +
Do đó f(x) > 0, ∀x ∈ (−1; 1) ∪(5; +∞); f(x) < 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪(−2; −1) ∪(1; 5).
Bài tập 1.12. Giải các bất phương trình sau:
a) 2x
2
− x −1 ≥ 0. b) x
2
− 7x + 12 < 0.
c) −x
2
+ 2x + 3 > 0. d) −3x
2
+ x + 2 > 0.
e) x
3
+ 3x
2
− x −3 ≤ 0. f) x
4
− 3x
3
− 7x
2
+ 27x −18 < 0.
g) x
3
+ x
2
− x −1 ≥ 0. h) x
4
+ x
3
− 6x
2
− 4x + 8 ≥ 0.
Lời giải.
a) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
1
2
1 +∞
VT + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −
1
2
] ∪[1; +∞).
b) Ta có bảng xét dấu
x −∞ 3 4 +∞
VT + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (3; 4).
c) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −1 3 +∞
VT − 0 + 0 −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−1; 3).
7
Nguyễn Minh Hiếu
d) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −
2
3
1 +∞
VT − 0 + 0 −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−
2
3
; 1).
e) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −3 −1 1 +∞
VT − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [−1; 1].
f) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −3 1 2 3 +∞
VT + 0 − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−3; 1) ∪ (2; 3).
g) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −1 1 +∞
VT − 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; +∞).
h) Ta có bảng xét dấu
x −∞ −2 1 2 +∞
VT + 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 1] ∪ [2; +∞).
Bài tập 1.13. Giải các bất phương trình sau:
a)
2x
2
+ x + 5
x
2
− 3x + 2
≤ 1.
b)
x −4
x
2
+ x −2
< 2.
c)
2x −1
x + 2
>
x + 1
x −3
. d)
x + 3
x −2
>
x −4
x + 1
.
Lời giải.
a) Ta có bất phương trình tương đương
x
2
+ 4x + 3
x
2
− 3x + 2
≤ 0. Bảng xét dấu
x −∞ −3 −1 1 2 +∞
x
2
+ 4x + 3 + 0 − 0 + | + | +
x
2
− 3x + 2 + | + | + 0 − 0 +
VT + 0 − 0 + || − || +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−3; −1] ∪ (1; 2).
b) Ta có bất phương trình tương đương
−2x
2
− x
x
2
+ x −2
< 0. Bảng xét dấu
x −∞ −2 −
1
2
0 1 +∞
−2x
2
− x − | − 0 + 0 − | −
x
2
+ x −2 + 0 − | − | − 0 +
VT − || + 0 − 0 + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (−
1
2
; 0).
c) Ta có bất phương trình tương đương
(2x −1)(x − 3) − (x + 2)(x + 1)
(x + 2)(x − 3)
> 0 ⇔
x
2
− 4x + 1
x
2
− x −6
> 0.
Bảng xét dấu
x −∞ −2 2 −
√
3 3 2 +
√
3 +∞
x
2
− 4x + 1 + | + 0 − | − 0 +
x
2
− x −6 + 0 − | − 0 + | +
VT + || − 0 + || − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2) ∪ (−2 −
√
3; 3) ∪(2 +
√
3; +∞).
8
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
d) Bất phương trình tương đương
(x + 3)(x + 1) − (x −2)(x − 4)
(x −2)(x + 1)
> 0 ⇔
10x −5
x
2
− x −2
. Bảng xét dấu
x −∞ −1
1
2
2 +∞
10x −5 − | − 0 + | +
x
2
− x −2 + 0 − | − 0 +
VT − || + 0 − || +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−1;
1
2
) ∪(2; +∞).
§3. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Bài tập 1.14. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x
3
− 3x
2
+ 1. b) y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. c) y = −2x
4
+ 4x
2
+ 2.
d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = x
3
− 3x
2
+ 4x −2. f) y = −x
3
− 3x + 2.
g) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x. h) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x −1. i) y = x
4
− 6x
2
+ 8x + 1.
Lời giải.
a) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
− 6x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 2
+ ∞
y
+
0
−
0
+
y
− ∞
1
−3
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
b) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −6x
2
+ 6x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 1
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 1
+ ∞
y
−
0
+
0
−
y
+ ∞
1
2
− ∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (1; +∞).
c) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −8x
3
+ 8x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = ±1
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−1
0 1
+ ∞
y
+
0
−
0
+
0
−
y
− ∞
4
2
4
− ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1), (0; 1) và nghịch biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞).
d) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 4x
3
− 4x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = ±1
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−1
0 1
+ ∞
y
−
0
+
0
−
0
+
y
+ ∞
2
3
2
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1), (0; 1).
9
Nguyễn Minh Hiếu
e) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
− 6x + 4 > 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số đồng biến trên R.
f) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −3x
2
− 3 < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
g) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
+ 6x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số đồng biến trên R.
h) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −4x
3
+ 6x
2
− 2; y
= 0 ⇔
x = 1
x = −
1
2
. Bảng biến thiên
x
− ∞ −
1
2
1
+ ∞
y
+
0
−
0
−
y
− ∞
−
5
16
−2
− ∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −
1
2
) và nghịch biến trên khoảng (−
1
2
; +∞).
i) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 4x
3
− 12x + 8; y
= 0 ⇔
x = 1
x = −2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−2
1
+ ∞
y
−
0
+
0
+
y
+ ∞
−23
4
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−2; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −2).
Bài tập 1.15. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y =
x + 2
x + 1
. b) y =
2x + 3
x + 2
.
c) y =
x
2
− 2x + 2
x −1
.
d) y =
x
2
− 4x + 4
1 −x
.
e) y =
√
5 −4x − x
2
. f) y =
√
x
2
− 2x −3.
Lời giải.
a) Tập xác định D = R\{−1}. Đạo hàm −
1
(x + 1)
2
< 0, ∀x ∈ D.
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
b) Tập xác định D = R\{−2}. Đạo hàm
1
(x + 2)
2
< 0, ∀x ∈ D.
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).
c) Tập xác định D = R\{1}. Đạo hàm y
=
x
2
− 2x
(x −1)
2
; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 1 2
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
−2
− ∞
+ ∞
2
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2).
d) Tập xác định D = R\{1}. Đạo hàm y
=
−x
2
+ 2x
(1 −x)
2
; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 1 2
+ ∞
y
−
0
+ +
0
−
y
+ ∞
4
+ ∞
− ∞
0
− ∞
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞).
10
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
e) Tập xác định D = [−5; 1]. Đạo hàm y
=
−x −2
√
5 −4x − x
2
; y
= 0 ⇔ x = −2. Bảng biến thiên
x
− ∞
−5 −2
1
+ ∞
y
| +
0
− |
y
0
3
0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−5; −2) và nghịch biến trên khoảng (−2; 1).
f) Tập xác định D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞). Đạo hàm y
=
x −1
√
x
2
− 2x −3
; y
= 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên
x
− ∞
−1
3
+ ∞
y
− | | +
y
+ ∞
0 0
+ ∞
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).
Bài tập 1.16. Tìm m để hàm số y =
1
3
x
3
− (m + 1)x
2
+ x −m + 2 luôn đồng biến trên R.
Lời giải. Tập xác định D = R.
Đạo hàm y
= x
2
− 2(m + 1)x + 1; ∆
= (m + 1)
2
− 1 = m
2
+ 2m.
Hàm số luôn đồng biến trên R ⇔ y
≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆
≤ 0 ⇔ m
2
+ 2m ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0.
Vậy với m ∈ [−2; 0] thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
Bài tập 1.17. Tìm m để hàm số y = −x
3
+ (m −1)x
2
− (m −1)x + 9 luôn đồng biến trên R.
Lời giải. Tập xác định D = R.
Đạo hàm y
= −3x
2
+ 2(m −1)x − m + 1; ∆
= (m −1)
2
− 3(m −1) = m
2
− 5m + 4.
Hàm số luôn nghịch biến trên R ⇔ y
≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆
≤ 0 ⇔ m
2
− 5m + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 4.
Vậy với m ∈ [1; 4] thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên R.
Bài tập 1.18. Tìm m để hàm số y = mx
3
+ (2m −1)x
2
+ (m −4)x − 1 luôn nghịch biến trên R.
Lời giải. Tập xác định D = R.
• Với m = 0, ta có y = −x
2
− 4x −1 là một parabol nên không thể nghịch biến trên R.
• Với m = 0, ta có y
= 3mx
2
+ 2(2m −1)x + m − 4; ∆
= (2m −1)
2
− 3m(m −4) = m
2
+ 8m + 1.
Hàm số luôn nghịch biến trên R ⇔ y
≤ 0, ∀x ∈ R khi và chỉ khi
m < 0
m
2
+ 8m + 1 ≤ 0
⇔
m < 0
−4 −
√
15 ≤ m ≤ −4 +
√
15
⇔ −4 −
√
15 ≤ m ≤ −4 +
√
15
Vậy với m ∈
−4 −
√
15; −4 +
√
15
thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên R.
Bài tập 1.19. Tìm m để hàm số y = mx
3
+ (3 −m)x
2
+ 2x + 2 luôn đồng biến trên R.
Lời giải. Tập xác định D = R.
• Với m = 0, ta có y = 3x
2
+ 2x + 2 là một parabol nên không thể đồng biến trên R.
• Với m = 0, ta có y
= 3mx
2
+ 2(3 −m)x + 2; ∆
= (3 −m)
2
− 6m = m
2
− 12m + 9.
Hàm số luôn đồng biến trên R ⇔ y
≤ 0, ∀x ∈ R khi và chỉ khi
m > 0
m
2
− 12m + 9 ≤ 0
⇔
m > 0
6 −3
√
3 ≤ m ≤ 6 + 3
√
3
⇔ 6 −3
√
3 ≤ m ≤ 6 + 3
√
3
Vậy với m ∈
6 −3
√
3; 6 + 3
√
3
thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
11
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 1.20. Tìm m để hàm số y =
mx −2
m −x
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{m}. Đạo hàm: y
=
m
2
− 2
(m −x)
2
.
Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y
> 0, ∀x ∈ D ⇔ m
2
− 2 > 0 ⇔
m ≥
√
2
m ≤ −
√
2
.
Vậy với m ∈
−∞; −
√
2
∪
√
2; +∞
thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.21. Tìm m để hàm số y =
mx −2
x + m − 3
luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{3 −m}. Đạo hàm: y
=
m
2
− 3m + 2
(x + m − 3)
2
.
Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y
< 0, ∀x ∈ D ⇔ m
2
−3m+2 < 0 ⇔ 1 < m < 2.
Vậy với m ∈ (1; 2) thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.22. Tìm m để hàm số y =
mx + 4
x + m
nghịch biến trên (−∞; 1).
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−m}. Đạo hàm: y
=
m
2
− 4
(x + m)
2
.
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) ⇔ y
< 0, ∀x ∈ (−∞; 1) khi và chỉ khi
−m /∈ (−∞; 1)
m
2
− 4 < 0
⇔
−m ≥ 1
−2 < m < 2
⇔ −2 < m ≤ −1
Vậy với m ∈ (−2; −1] thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Bài tập 1.23. Tìm m để hàm số y =
mx −3
x + m − 4
đồng biến trên (2; +∞).
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−m + 4}. Đạo hàm: y
=
m
2
− 4m + 3
(x + m − 4)
2
.
Hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ y
> 0, ∀x ∈ (2; +∞) khi và chỉ khi
−m + 4 /∈ (2; +∞)
m
2
− 4m + 3 > 0
⇔
−m + 4 ≤ 2
m > 3
m < 1
⇔
m ≥ 2
m > 3
m < 1
⇔ m > 3
Vậy với m ∈ (3; +∞] thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
§4. Cực Trị Của Hàm Số
Bài tập 1.24. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x
3
− 3x + 1. b) y = −2x
3
+ 3x
2
+ 1. c) y = −x
3
+ 3x
2
− 3x + 1.
d) y = x
3
+ 3x
2
+ 4x −2. e) y = x
4
− 8x
2
− 1. f) y = 2x
4
− 4x
2
+ 3.
Lời giải.
a) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
− 6x; y
=⇔
x = 0
x = 2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 2
+ ∞
y
+
0
−
0
+
y
− ∞
1
−3
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= 1 và đạt cực tiểu tại x = 2; y
CT
= −3.
12
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
b) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −6x
2
+ 6x; y
=⇔
x = 0
x = 1
. Bảng biến thiên
x
− ∞
0 1
+ ∞
y
−
0
+
0
−
y
+ ∞
1
2
− ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1; y
CĐ
= 2 và đạt cực tiểu tại x = 0; y
CT
= 1.
c) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= −3x
2
+ 6x −3 = −3(x − 1)
2
≤ 0, ∀x ∈ R.
Do đó hàm số không có cực trị.
d) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
+ 6x + 4 = 3(x + 1)
2
+ 1 > 0, ∀x ∈ R.
Do đó hàm số không có cực trị.
e) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 4x
3
− 16x; y
=⇔
x = 0
x = ±2
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−2
0 2
+ ∞
y
−
0
+
0
−
0
+
y
+ ∞
−17
−1
−17
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= −1 và đạt cực tiểu tại x = ±2; y
CT
= −17.
f) Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 8x
3
− 8x; y
=⇔
x = 0
x = ±1
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−1
0 1
+ ∞
y
−
0
+
0
−
0
+
y
+ ∞
1
3
1
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CĐ
= 3 và đạt cực tiểu tại x = ±1; y
CT
= 1.
Bài tập 1.25. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y =
2x −1
x + 1
. b) y =
x + 3
x −2
.
c) y =
x
2
+ 2x + 5
x + 1
.
d) y =
−x
2
+ 4x −5
x −2
.
e) y =
√
−x
2
+ 2x + 3. f) y =
√
x
2
+ 6x −7.
Lời giải.
a) Tập xác định D = R\{−1}. Đạo hàm y
=
3
(x + 1)
2
> 0, ∀x ∈ D. Do đó hàm số không có cực trị.
b) Tập xác định D = R\{2}. Đạo hàm y
= −
5
(x −2)
2
< 0, ∀x ∈ D. Do đó hàm số không có cực trị.
c) Tập xác định D = R\{−1}. Đạo hàm y
=
x
2
+ 2x −3
(x + 1)
2
; y
=⇔
x = 1
x = −3
. Bảng biến thiên
x
− ∞
−3 −1
1
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
−4
− ∞
+ ∞
4
+ ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3; y
CĐ
= −4 và đạt cực tiểu tại x = 1; y
CT
= 4.
13
Nguyễn Minh Hiếu
d) Tập xác định D = R\{2}. Đạo hàm y
=
−x
2
+ 4x −3
(x −2)
2
; y
=⇔
x = 1
x = 3
. Bảng biến thiên
x
− ∞
1 2 3
+ ∞
y
−
0
+ +
0
−
y
+ ∞
2
+ ∞
− ∞
−2
− ∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3; y
CĐ
= −2 và đạt cực tiểu tại x = 1; y
CT
= 2.
e) Tập xác định D = [−1; 3]. Đạo hàm y
=
−x + 1
√
−x
2
+ 2x + 3
; y
=⇔ x = 1. Bảng biến thiên
x
− ∞
−1
1 3
+ ∞
y
| +
0
− |
y
0
2
0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1; y
CĐ
= 2 và hàm số không có cực tiểu.
f) Tập xác định D = (−∞; −7] ∪ [1; +∞). Đạo hàm y
=
x + 3
√
x
2
+ 6x −7
; y
=⇔ x = −3.
Bảng biến thiên
x
− ∞
−7
1
+ ∞
y
− | | +
y
+ ∞
0 0
+ ∞
Vậy hàm số không có cực trị.
Bài tập 1.26. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3x
2
+ (m −1)x + 2 có cực trị.
Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
− 6x + m − 1; ∆
= 9 −3(m − 1) = 12 − 3m.
Hàm số có cực trị ⇔ y
có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆
> 0 ⇔ 12 −3m > 0 ⇔ m < 4.
Vậy với m < 4 thì hàm số đã cho có cực trị.
Bài tập 1.27. Tìm m để hàm số y =
1
3
(m −1)x
3
+ (m −2)x
2
− 4x + 1 không có cực trị.
Lời giải. Tập xác định D = R.
• Với m = 1, ta có y = −x
2
−4x + 1 là một parabol nên có cực trị (không thỏa mãn yêu cầu bài toán).
• Với m = 1, ta có y
= (m −1)x
2
+ 2(m −2)x − 4; ∆
= (m −2)
2
+ 4(m −1) = m
2
.
Khi đó, hàm số không có cực trị ⇔ y
không có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆
≤ 0 ⇔ m
2
≤ 0 ⇔ m = 0.
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho không có cực trị.
Bài tập 1.28. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2(2m −1)x
2
+ 3 có đúng một cực trị.
Lời giải. Tập xác định D = R.
Đạo hàm y
= −4x
3
+ 4(2m −1)x = −4x(x
2
− 2m + 1); y
= 0 ⇔
x = 0
x
2
= 2m −1
.
Hàm số có đúng một cực trị ⇔ y
có đúng một nghiệm ⇔ 2m −1 ≤ 0 ⇔ m ≤
1
2
.
Với với m ≤
1
2
thì hàm số đã cho có đúng một cực trị.
Bài tập 1.29. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx
4
+ (m
2
− 9)x
2
+ 10 có ba điểm cực trị.
Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y
= 4mx
3
+ 2(m
2
− 9)x = 2x(2mx
2
+ m
2
− 9).
• Với m = 0, ta có y
= −18x có một nghiệm nên hàm số không thể có ba cực trị.
14
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
• Với m = 0, ta có y
= 0 ⇔
x = 0
x
2
=
9−m
2
2m
.
Hàm số có ba cực trị ⇔ y
có ba nghiệm phân biệt ⇔
9 −m
2
2m
> 0. Bảng xét dấu:
m −∞ −3 0 3 +∞
9 −m
2
− 0 + | + 0 −
2m − | − 0 + | +
VT + 0 − || + 0 −
Từ bảng xét dấu ta có m ∈ (−∞; −3) ∪(0; 3).
Bài tập 1.30. Tìm m để hàm số y = x
3
− (m −1)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2.
Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= 3x
2
− m + 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ y
(2) = 0 ⇔ 12 −m + 1 = 0 ⇔ m = 13.
Với m = 13 ⇒ y
= 3x
2
− 12; y
= 0 ⇔ x = ±2. Bảng biến thiên
x
− ∞
−2
2
+ ∞
y
+
0
−
0
+
y
− ∞
17
−15
+ ∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
Vậy với m = 3 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài tập 1.31. Tìm m để hàm số y =
1
3
x
3
− mx
2
+ (m
2
− m + 1)x + 1 đạt cực đại tại x = 1.
Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y
= x
2
− 2mx + m
2
− m + 1.
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ y
(1) = 0 ⇔ 1−2m+m
2
−m+1 = 0 ⇔ m
2
−3m = 2 = 0 ⇔
m = 1
m = 2
.
• Với m = 1 ⇒ y
= x
2
− 2x + 1 = (x − 1)
2
≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số không có cực trị.
• Với m = 2 ⇒ y
= x
2
− 4x + 3; y
= 0 ⇔
x = 1
x = 3
. Bảng biến thiên
x
− ∞
1 3
+ ∞
y
+
0
−
0
+
y
− ∞
7
3
1
+ ∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1.
Bài tập 1.32. Tìm m để hàm số y = −x
4
+ 2(m −2)x
2
+ m −3 đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải. Tập xác định D = R. Đạo hàm y = −4x
3
+ 4(m −2)x.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ y
(0) = 0 ⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R).
Đạo hàm cấp hai y
= −12x
2
+ 4(m −2) ⇒ y
(0) = 4(m −2).
• y
(0) > 0 ⇔ m > 2 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (không thỏa mãn yêu cầu bài toán).
• y
(0) < 0 ⇔ m < 2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
• y
= 0 ⇔ m = 2 ⇒ y
= −4x
3
; y
= 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên
x
− ∞
0
+ ∞
y
+
0
−
y
− ∞
−1
− ∞
15
Nguyễn Minh Hiếu
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu bài toán).
Kết hợp ta có m ≤ 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Bài tập 1.33. Tìm m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
:
a) Không có cực trị; b) Đặt cực tiểu tại x = 1;
c) Đạt cực đại tại x = 2.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−m}.
a) Đạo hàm: y
=
x
2
+ 2mx + m
2
− 1
(x + m)
2
; y
= 0 ⇔ x = −m ±1 ⇒ hàm số luôn có cực trị.
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số không có cực trị.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y
(1) = 0 ⇔
m
2
+ 2m
(m + 1)
2
= 0 ⇔
m = 0
m = −2
.
• Với m = 0 ⇒ y
=
x
2
− 1
x
2
; y
= 0 ⇔ x = ±1.
x
− ∞
−1
0 1
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
−2
− ∞
+ ∞
2
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 thỏa mãn.
• Với m = −2 ⇒ y
=
x
2
− 4x + 3
(x −2)
2
; y
= 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.
x
− ∞
1 2 3
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
0
− ∞
+ ∞
4
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ m = −2 không thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.
c) Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y
(2) = 0 ⇔
m
2
+ 4m + 3
(m + 2)
2
= 0 ⇔
m = −1
m = −3
.
• Với m = −1 ⇒ y
=
x
2
− 2x
(x −1)
2
; y
= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
x
− ∞
0 1 2
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
−1
− ∞
+ ∞
3
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ m = −1 không thỏa mãn.
• Với m = −3 ⇒ y
=
x
2
− 6x + 8
(x −3)
2
; y
= 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 4.
x
− ∞
2 3 4
+ ∞
y
+
0
− −
0
+
y
− ∞
1
− ∞
+ ∞
5
+ ∞
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ m = −3 thỏa mãn.
Vậy với m = −3 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2.
16
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§5. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Bài tập 1.34. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = x
3
− 3x
2
+ 1 trên [−2; 3]. b) y = x
3
− 3x + 4 trên [0; 3].
c) y = 2x
4
− 16x
2
− 1 trên [−4; 1]. d) y = 1 + 4x
3
− 3x
4
trên [−2; 1].
e) y =
x + 2
2x + 1
trên [0; 2].
f) y = x
3
+ 3x
2
+ 5x −1 trên [−1; 2].
Lời giải.
a) Ta có y
= 3x
2
− 6x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 2
; y(−2) = −19, y(0) = 1, y(2) = −3, y(3) = 1.
Vậy max
[−2;3]
y = y(0) = y(3) = 1; min
[−2;3]
y = y(−2) = −19.
b) Ta có y
= 3x
2
− 3; y
= 0 ⇔
x = 1
x = −1 (loại)
; y(0) = 4, y(3) = 22, y(1) = 2.
Vậy max
[0;3]
y = y(3) = 22; min
[0;3]
y = y(1) = 2.
c) Ta có y
= 8x
3
− 32x; y
= 0 ⇔
x = 0
x = −2
x = 2 (loại)
; y(−4) = 255, y(1) = −15, y(0) = −1, y(−2) = 33.
Vậy max
[−4;1]
y = y(−4) = 255; min
[−4;1]
y = y(1) = −15.
d) Ta có y
= 12x
2
− 12x
3
; y
= 0 ⇔
x = 0
x = 1
; y(−2) = −79, y(1) = −15, y(0) = 1, y(1) = 2.
Vậy max
[−2;1]
y = y(1) = 2; min
[−2;1]
y = y(−2) = −79.
e) Ta có y
= −
3
(2x + 1)
2
< 0, ∀x ∈ [0; 2]; y(0) = 2, y(2) =
4
5
.
Vậy max
[0;2]
y = y(0) = 2; min
[0;2]
y = y(2) =
4
5
.
f) Ta có y
= 3x
2
+ 6x + 5 = 3(x + 1)
2
+ 2 > 0, ∀x ∈ [−1; 2]; y(−1) = −4, y(2) = 29.
Vậy max
[−1;2]
y = y(2) = 29; min
[−1;2]
y = y(−1) = −4.
Bài tập 1.35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = x +
√
2 cos x trên [0;
π
2
].
b) y = 2 sin x −
4
3
sin
3
x trên [0; π].
c) y = sin
4
x −4 sin
2
x + 5. d) y = sin
4
x + cos
4
x.
Lời giải.
a) Ta có y
= 1 −
√
2 sin x; y
= 0 ⇔ sin x =
1
√
2
⇔ x =
π
4
; y(0) =
√
2, y(
π
4
) =
π
4
+ 1, y(
π
2
) =
π
2
.
Vậy max
[
0;
π
2
]
y = y(
π
4
) =
π
4
+ 1; min
[
0;
π
2
]
y = y(0) =
√
2.
b) Đặt sin x = t, t ∈ [0; 1]. Hàm số trở thành y
1
= 2t −
4
3
t
3
.
Ta có y
1
= 2 −4t
2
; y
1
= 0 ⇔ t =
1
√
2
; y
1
(0) = 0, y
1
(
1
√
2
) =
2
√
2
3
, y
1
(1) =
2
3
.
Vậy max
[0;π]
y = max
[0;1]
y
1
= y
1
(
1
√
2
) =
2
√
2
3
; min
[0;π]
y = min
[0;1]
y = y
1
(0) = 0.
c) Tập xác định D = R. Đặt sin x = t, t ∈ [−1; 1]. Hàm số trở thành y
1
= t
4
− 4t
2
+ 5.
Ta có y
1
= 4t
3
− 8t; y
1
= 0 ⇔
t = 0
t = ±
√
2 (loại)
; y
1
(0) = 5, y
1
(±1) = 2.
Vậy max
R
y = max
[−1;1]
y
1
= y
1
(0) = 5; min
R
y = min
[−1;1]
y = y
1
(±1) = 2.
d) Tập xác định D = R. Ta có y = 1 −
1
2
sin
2
2x.
Đặt sin 2x = t, t ∈ [−1; 1]. Hàm số trở thành y
1
= 1 −
1
2
t
2
.
Ta có y
1
= −t; y
1
= 0 ⇔ t = 0; y
1
(0) = 1, y
1
(±1) =
1
2
.
Vậy max
R
y = max
[−1;1]
y
1
= y
1
(0) = 1; min
R
y = min
[−1;1]
y = y
1
(±1) =
1
2
.
17
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 1.36. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = x
3
− 6x
2
+ 1 trên (1; 5). b) y = x
3
− 3x
2
+ 1 trên [1; 4).
c) y =
x −1
x + 3
trên [−1; 2). d) y =
−2x −1
x + 2
trên (0; 4).
e) y = x − 5 +
1
x
trên (0; +∞). f) y = x −
1
x
trên (0; 2].
Lời giải.
a) Ta có y
= 3x
2
− 12x; y
= 0 ⇔
x = 0 (loại)
x = 4
. Bảng biến thiên
x
1 4 5
y
−
0
+
y
−4
−31
−24
Vậy min
(1;5)
y = y(4) = −31; hàm số không có giá trị lớn nhất trên (1; 5).
b) Ta có y
= 3x
2
− 6x; y
= 0 ⇔
x = 0 (loại)
x = 2
. Bảng biến thiên
x
1 2 4
y
−
0
+
y
−1
−3
17
Vậy min
[1;4)
y = y(2) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất trên [1; 4).
c) Ta có y
=
4
(x + 3)
2
> 0, ∀x ∈ [−1; 2).
Do đó min
[−1;2)
y = y(−1) = −1; hàm số không có giá trị lớn nhất trên [−1; 2).
d) Ta có y
= −
3
(x + 2)
2
< 0, ∀x ∈ (0; 4).
Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên (0; 4).
e) Ta có y
= 1 −
1
x
2
; y
= 0 ⇔
x = −1 (loại)
x = 1
. Bảng biến thiên
x
0 1
+∞
y
−
0
+
y
+∞
−3
+∞
Vậy min
(0;+∞)
y = y(1) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất trên [1; 4).
f) Ta có y
= 1 +
1
x
2
> 0, ∀x ∈ (0; 2].
Do đó max
(0;2]
y = y(2) =
3
2
; hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên [−1; 2).
Bài tập 1.37. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = −x
4
− 2x
2
+ 3. b) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
c) y =
x
2
− 2x
x −1
.
d) y =
4
1 + x
2
.
e) y =
√
8 −2x
2
. f) y = x +
√
4 −x
2
.
18
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Lời giải. a) Tập xác định D = R. Ta có y
= −4x
3
− 4x; y
= 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên
x
− ∞
0
+ ∞
y
+
0
−
y
− ∞
3
+ ∞
Vậy max
R
y = y(0) = 3; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
b) Tập xác định D = R. Ta có y
= 4x
3
+ 4x; y
= 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên
x
− ∞
0
+ ∞
y
−
0
+
y
+ ∞
−1
+ ∞
Vậy min
R
y = y(0) = −1; hàm số không có giá trị lớn nhất.
c) Tập xác định D = R\{1}. Ta có y
=
x
2
− 2x + 2
(x −1)
2
> 0, ∀x ∈ D; y
= 0 ⇔ x = 0.
Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
d) Tập xác định D = R. Ta có y
= −
8x
(1+x
2
)
2
; y
= 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên
x
− ∞
0
+ ∞
y
−
0
+
y
+ ∞
−1
+ ∞
Vậy max
R
y = y(0) = 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
e) Tập xác định D = [−2; 2]. Ta có y
=
−2x
√
8 −2x
2
; y
= 0 ⇔ x = 0; y(−2) = 4, y(3) = 2
√
2, y(2) = 0.
Vậy max
[−2;2]
y = y(0) = 2
√
2; min
[−2;2]
y = y(±2) = 0.
f) Tập xác định D = [−2; 2].
Ta có y
= 1 −
x
√
4−x
2
; y
= 0 ⇔ x =
√
2; y(−2) = −2, y(
√
2) = 2
√
2, y(2) = 2.
Vậy max
[−2;2]
y = y(
√
2) = 2
√
2; min
[−2;2]
y = y(−2) = −2.
Bài tập 1.38. Cho parabol (P ) : y = x
2
và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM
ngắn nhất và tính khoảng cách đó.
Lời giải. Ta có M ∈ (P ) ⇒ M (t; t
2
) ⇒
−−→
AM = (t + 3; t
2
) ⇒ AM =
(t + 3)
2
+ t
4
=
√
t
4
+ t
2
+ 6t + 9.
Xét hàm số f(t) = t
4
+ t
2
+ 6t + 9 trên R; f
(t) = 4t
3
+ 2t + 6; f
(t) = 0 ⇔ t = −1. Bảng biến thiên
t
− ∞
−1
+ ∞
f
(t)
−
0
+
f(t)
+ ∞
5
+ ∞
Từ bảng biến thiên ta có min
R
f(t) = f(−1) = 5.
Do đó AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng
√
5 khi t = −1 ⇒ M(−1; 1).
Bài tập 1.39. Trong các hình chữ nhật có chu vi 40, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
19
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là a, b a ≥ b > 0.
Theo giả thiết ta có 2(a + b) = 40 ⇔ b = 20 −a.
Khi đó diện tích hình chữ nhật là S = ab = a(20 − a) = 20a − a
2
.
Ta có S
= 20 −2a; S
= 0 ⇔ a = 10. Bảng biến thiên
a
− ∞
10
+ ∞
S
+
0
−
S
− ∞
100
− ∞
Do đó hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 100, khi a = b = 10.
Hay hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông.
§6. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
Bài tập 1.40. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các hàm số sau:
a) y =
x −2
x + 1
. b) y =
x −3
−x + 2
. c) y =
x + 4
2 −x
.
d) y =
x + 2
x
2
− 3x + 2
.
e) y =
3
√
8x
3
− 2x + 1
x −1
. f) y =
√
x
2
+ x + 7
2x −1
.
Lời giải.
a) Tập xác định: D = R\{−1}.
Ta có lim
x→±∞
y = 1 ⇒ TCN là y = 1; lim
x→−1
+
y = −∞, lim
x→−1
−
y = +∞ ⇒ TCĐ là x = −1.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = −1.
b) Tập xác định: D = R\{2}.
Ta có lim
x→±∞
y = −1 ⇒ TCN là y = −1; lim
x→2
+
y = +∞, lim
x→2
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = 2.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = −1 và tiệm cận đứng x = 2.
c) Tập xác định: D = R\{2}.
Ta có lim
x→±∞
y = −1 ⇒ TCN là y = −1; lim
x→2
+
y = −∞, lim
x→2
−
y = +∞ ⇒ TCĐ là x = 2.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = −1 và tiệm cận đứng x = 2.
d) Tập xác định: D = R\{1; 2}. Ta có lim
x→±∞
y = 0 ⇒ TCN là y = 0;
lim
x→2
+
y = +∞, lim
x→2
−
y = −∞, lim
x→1
+
y = −∞, lim
x→1
−
y = +∞ ⇒ TCĐ là x = 2 và x = 1.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 0; tiệm cận đứng x = 2 và x = 1.
e) Tập xác định: D = R\{1}.
Ta có lim
x→±∞
y = 2 ⇒ TCN là y = 2; lim
x→1
+
y = +∞, lim
x→1
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = 1.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 1.
f) Tập xác định: D = R\
1
2
.
Ta có lim
x→±∞
y = ±
1
2
⇒ TCN là y = ±
1
2
; lim
x→
1
2
+
y = +∞, lim
x→
1
2
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x =
1
2
.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = ±
1
2
và tiệm cận đứng x =
1
2
.
Bài tập 1.41. Tìm tiệm cận xiên của các hàm số sau:
a) y =
x
2
− 3x + 2
x + 1
. b) y =
−3x
2
+ x −2
x + 2
.
c) y =
√
x
2
+ 2x + 5.
Lời giải.
a) Tập xác định: D = R\{−1}. Hàm số viết thành y = x −4 +
6
x + 1
.
Ta có lim
x→±∞
[y −(x − 4)] = 0 ⇒ TCX là y = x −4.
b) Tập xác định: D = R\{−2}. Hàm số viết thành y = −3x + 7 −
16
x + 2
.
Ta có lim
x→±∞
[y −(−3x + 7)] = 0 ⇒ TCX là y = −3x + 7.
20
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
c) Tập xác định: D = R. Ta có
• lim
x→+∞
√
x
2
+ 2x + 5
x
= 1; lim
x→+∞
x
2
+ 2x + 5 − x
= 1 ⇒ TCX là y = x + 1.
• lim
x→−∞
√
x
2
+ 2x + 5
x
= −1; lim
x→−∞
x
2
+ 2x + 5 + x
= −1 ⇒ TCX là y = −x − 1.
Vậy hàm số có hai tiệm cận xiên y = x + 1 và y = −x − 1.
Bài tập 1.42. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau:
a) y =
2x −1
x −2
. b) y =
2x −3
x + 2
. c) y =
3 −4x
x + 1
.
d) y =
√
x
2
+ x
x −1
.
e) y =
√
x + 3
x + 1
.
f) y = 2x − 1 +
1
x
.
g) y =
x
2
− 4x + 4
1 −x
.
h) y =
√
x
2
+ x −1. i) y = x +
√
x
2
+ 2x.
Lời giải.
a) Tập xác định: D = R\{2}.
Ta có lim
x→±∞
y = 2 ⇒ TCN là y = 2; lim
x→2
+
y = +∞, lim
x→2
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = 2.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.
b) Tập xác định: D = R\{−2}.
Ta có lim
x→±∞
y = 2 ⇒ TCN là y = 2; lim
x→−2
+
y = −∞, lim
x→−2
−
y = +∞ ⇒ TCĐ là x = −2.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = −2.
c) Tập xác định: D = R\{−1}.
Ta có lim
x→±∞
y = −4 ⇒ TCN là y = −4; lim
x→−1
+
y = +∞, lim
x→−1
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = −1.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = −4 và tiệm cận đứng x = −1.
d) Tập xác định: D = R\{1}.
Ta có lim
x→±∞
y = ±1 ⇒ TCN là y = ±1; lim
x→1
+
y = +∞, lim
x→1
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = 1.
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y = ±1 và tiệm cận đứng x = 1.
e) Tập xác định: D = R\{−1}.
Ta có lim
x→±∞
y = 0 ⇒ TCN là y = 0; lim
x→−1
+
y = +∞, lim
x→−1
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = −1.
Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận đứng x = −1.
f) Tập xác định: D = R\{0}. Hàm số viết thành y =
2x
2
− x + 1
x
.
Ta có lim
x→±∞
[y −(2x − 1)] = 0 ⇒ TCX là y = 2x −1; lim
x→0
+
y = +∞, lim
x→0
−
y = −∞ ⇒ TCĐ là x = 0.
Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = 2x − 1 và tiệm cận đứng x = 0.
g) Tập xác định: D = R\{0}. Hàm số viết thành y = −x + 3 +
1
1 −x
.
Ta có lim
x→±∞
[y −(−x + 3)] = 0 ⇒ TCX là y = −x + 3; lim
x→1
+
y = −∞, lim
x→1
−
y = +∞ ⇒ TCĐ là x = 1.
Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = −x + 3 và tiệm cận đứng x = 1.
h) Tập xác định: D =
−∞;
−1 −
√
5
2
∪
−1 +
√
5
2
; +∞
. Ta có
• lim
x→+∞
√
x
2
+ x −1
x
= 1; lim
x→+∞
x
2
+ x −1 − x
=
1
2
⇒ TCX là y = x +
1
2
.
• lim
x→−∞
√
x
2
+ x −1
x
= −1; lim
x→−∞
x
2
+ x −1 + x
= −
1
2
⇒ TCX là y = −x −
1
2
.
Vậy hàm số có hai tiệm cận xiên y = x +
1
2
và y = −x −
1
2
.
i) Tập xác định: D = (−∞; −2] ∪ [0; +∞). Ta có
• lim
x→+∞
x +
√
x
2
+ 2
x
= 2; lim
x→+∞
x +
x
2
+ 2 −2x
=
1
2
⇒ TCX là y = 2x +
1
2
.
• lim
x→−∞
x +
x
2
+ 2x
= lim
x→−∞
x
2
−
x
2
+ 2x
x −
√
x
2
+ 2x
= −1 ⇒ TCN là y = −1.
Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = 2x +
1
2
và tiệm cận ngang y = −1.
21
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 1.43. Tìm m để hàm số y =
mx
2
− 2m(m −1)x − 3m
2
+ m −2
x + 2
có tiệm cận xiên qua A(−1; −3).
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−2}. Hàm số viết thành y = mx − 2m
2
+
m
2
+ m −2
x + 2
.
Do đó với m = 0, m = 1, m = −2 hàm số có tiệm cận xiên y = mx −2m
2
.
Khi đó tiệm cận xiên qua A(−1; −3) ⇔ −3 = −m −2m
2
⇔
m = 1 (loại)
m = −
3
2
.
Vậy với m = −
3
2
thì tiệm cận xiên của hàm số đã cho qua A(−1; −3).
Bài tập 1.44. Tìm m để hàm số y =
2x
2
+ (m + 1) x − 3
x + m
có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) :
y = x
2
+ 2x −1.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−m}. Hàm số viết thành y = 2x − m + 1 +
m
2
− m −3
x + m
.
Do đó với m =
1 ±
√
5
2
hàm số có tiệm cận xiên y = 2x − m + 1 và tiệm cận đứng x = −m.
Suy ra giao hai tiệm cận là I(−m; 1 −3m).
Khi đó I ∈ (P ) ⇔ 1 − 3m = m
2
− 2m −1 ⇔
m = 1
m = −2
(thỏa mãn).
Vậy với m = 1 và m = −2 thì hàm số có giao hai tiệm cận thuộc (P ).
Bài tập 1.45. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =
mx
2
+
3m
2
− 2
x −2
x + 3m
bằng 45
0
.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{−3m}. Hàm số viết thành y = mx − 2 +
6m −2
x + 3m
.
• Với m =
1
3
hàm số không có tiệm cận nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• Với m = 0 hàm số có tiệm cận ngang y = −2 và tiệm cận đứng x = −3m.
Khi đó góc giữa hai tiệm cận bằng 90
0
nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
• Với m =
1
3
, m = 0 hàm số có tiệm cận xiên y = mx − 2 và tiệm cận đứng x = −3m.
Gọi α là góc giữa tiệm cận xiên và tia Ox, ta có tan α = m.
Khi đó góc giữa hai tiệm cận bằng 45
0
⇔
α = 45
0
α = 135
0
⇔ m = ±1.
Vậy với m = ±1 thì hàm số có góc giữa hai tiệm cận bằng 45
0
.
Bài tập 1.46. Tìm m để đồ thị hàm số y =
x
2
+ mx −1
x −1
có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 4.
Lời giải. Tập xác định: D = R\{1}. Hàm số viết thành y = x + m + 1 +
m
x −1
.
Do đó với m = 0 hàm số có tiệm cận xiên y = x + m + 1.
Tiệm cận xiên cắt Ox tại A(−m − 1; 0) ⇒ OA = |m + 1| và cắt Oy tại B(0; m + 1) ⇒ OB = |m + 1|.
Khi đó S
∆OAB
=
1
2
OA.OB =
1
2
(m + 1)
2
⇒
1
2
(m + 1)
2
= 4 ⇔ m = −1 ±2
√
2.
Vậy với m = −1 ±2
√
2 thì tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
§7. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Bài tập 1.47. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
3
+ 3x
2
− 4. b) y = −x
3
+ 3x −2. c) y = −x
3
+ 1. d) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1.
e) y = x
3
+ x −2. f) y = −2x
3
− x −3. g) y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
h) y =
1
3
x
3
−x
2
−3x −
5
3
.
Bài tập 1.48. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
4
− 2x
2
− 3. b) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
c) y =
1
2
x
4
+ x
2
−
3
2
.
d) y = 3 − 2x
2
− x
4
.
e) y = −x
4
+ 2x
2
− 2. f) y = 2x
4
− 4x
2
+ 1. g) y = −2x
4
− 4x
2
+ 1. h) y = x
4
− 4x
2
+ 3.
22
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Bài tập 1.49. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2 −x
. b) y =
x −3
2 −x
. c) y =
x + 3
x −1
. d) y =
−x + 2
2x + 1
.
e) y =
x −2
x + 1
. f) y =
x + 2
x −1
. g) y =
2 −x
x + 1
. h) y =
x + 3
x −2
.
Bài tập 1.50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
x
2
+ 2x + 2
x + 1
. b) y =
x
2
− 2x −3
x −2
. c) y =
2x
2
+ 5x + 4
x + 2
. d) y =
−x
2
− 2x
x + 1
.
e) y =
x
2
− 2x
x −1
. f) y =
2x
2
− x + 1
1 −x
.
g) y = −x + 2 +
1
x −1
. h) y = x − 1 +
1
x + 1
.
23
