Chuyên đề Tích phân luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.93 MB, 40 trang )
Mục lục
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§4. Phương Pháp Đổi Biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§5. Tích Phân Hữu Tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§6. Tích Phân Vô Tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§7. Tích Phân Mũ - Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§8. Tích Phân Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§9. Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§10. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 5
Nguyên Hàm - Tích Phân
§1. Nguyên Hàm
Bài tập 5.1. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
x
7
+ 4x
3
−
√
x
dx. b)
3
√
x + 1 −
1
√
x
dx. c)
(2x − 3)
2
dx.
d)
√
x
√
x − 2x
(x + 1) dx. e)
3 sin x +
2
x
dx. f)
3 cos x − 3
x−1
dx.
Lời giải.
a)
x
7
+ 4x
3
−
√
x
dx =
x
7
+ 4x
3
− x
1
2
dx =
x
8
8
+ x
4
−
2x
3
2
3
+ C.
b)
3
√
x + 1 −
1
√
x
dx =
x
1
3
+ 1 − x
−
1
2
dx =
3x
4
3
4
+ x − 2x
1
2
+ C.
c)
(2x − 3)
2
dx =
4x
2
− 12x + 9
dx =
4x
3
3
− 6x
2
+ 9x + C.
d)
√
x
√
x − 2x
(x + 1) dx =
x
2
+ x − 2x
5
2
− 2x
3
2
dx =
x
3
3
+
x
2
2
−
4x
7
2
7
−
4x
5
2
5
+ C.
e)
3 sin x +
2
x
dx = −3 cos x + 2 ln |x|+ C.
f)
3 cos x − 3
x−1
dx =
3 cos x −
3
x
3
dx = 3sin x −
3
x
3 ln 3
+ C.
Bài tập 5.2. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a)
x +
√
x + 1
3
√
x
dx.
b)
x
3
+ 5x
2
− 3x +
√
x
x
√
x
dx.
c)
4
x
+ 1
2
x
dx.
d)
2
x
− 1
e
x
dx. e)
tan
2
xdx. f)
1
sin
2
xcos
2
x
dx.
Lời giải.
a)
x +
√
x + 1
3
√
x
dx =
x
2
3
+ x
1
6
+ x
−
1
3
dx =
3x
5
3
5
+
6x
7
6
7
+
3x
2
3
2
+ C.
b)
x
3
+ 5x
2
− 3x +
√
x
x
√
x
dx =
x
3
2
+ 5x
1
2
− 3x
−
1
2
+
1
x
dx =
2x
5
2
5
+
10x
3
2
3
− 6x
1
2
+ ln |x| + C.
c)
4
x
+ 1
2
x
dx =
2
x
+
1
2
x
dx =
2
x
ln 2
+
1
2
x
ln
1
2
+ C =
2
x
ln 2
−
1
2
x
ln 2
+ C.
d)
2
x
− 1
e
x
dx =
2
e
x
−
1
e
x
dx =
2
e
x
ln
2
e
−
1
e
x
ln
1
e
+ C =
2
x
e
x
(ln 2 − 1)
+
1
e
x
+ C.
e)
tan
2
xdx =
1
cos
2
x
− 1
dx = tanx −x + C.
f)
1
sin
2
xcos
2
x
dx =
sin
2
x + cos
2
x
sin
2
xcos
2
x
dx =
1
cos
2
x
+
1
sin
2
x
dx = tanx −cot x + C.
3
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 5.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau:
a) f(x) = x
2
+ 1, biết F (0) = 1.
b) f(x) = 2 − x
2
, biết F (2) =
7
3
.
c) f(x) = x −
1
x
2
+ 2, biết F (1) = 2.
d) f(x) =
3
√
x + x
3
+ 1, biết F (1) = 2.
Lời giải.
a) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =
x
2
+ 1
dx =
x
3
3
+ x + C.
Lại có F (0) = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (x) =
x
3
3
+ x + 1.
b) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =
2 − x
2
dx = 2x −
x
3
3
+ C.
Lại có F (2) =
7
3
⇔ 4 −
8
3
+ C =
7
3
⇔ C = 1. Vậy F (x) = 2x −
x
3
3
+ 1.
c) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =
x −
1
x
2
+ 2
dx =
x
2
2
+
1
x
+2x+C.
Lại có F (1) = 2 ⇔
1
2
+ 1 + 2 + C = 2 ⇔ C = −
3
2
. Vậy F (x) =
x
2
2
+
1
x
+ 2x −
3
2
.
d) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F (x) =
f(x)dx =
3x
4
3
4
+
x
4
4
+ x + C.
Lại có F (1) = 2 ⇔
3
4
+
1
4
+ 1 + C = 2 ⇔ C = 0. Vậy F (x) =
3x
4
3
4
+
x
4
4
+ x.
Bài tập 5.4. Tìm một nguyên hàm F (x) của f(x) = ax +
b
x
2
, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.
Lời giải. Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F(x) =
ax +
b
x
2
dx =
ax
2
2
−
b
x
+ C.
Lại có
F (−1) = 2
F (1) = 4
F (2) = 5
⇔
1
2
a + b + C = 2
1
2
a − b + C = 4
2a −
1
2
b + C = 5
⇔
a = 1
b = −1
C =
5
2
. Vậy F (x) =
x
2
2
+
1
x
+
5
2
.
Bài tập 5.5. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) =
1
x
thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =
1
F (x) + 1
−1.
Lời giải. Ta có F(x) là một nguyên hàm của f(x) =
1
x
nên có dạng F (x) =
1
x
dx = ln|x| + C.
Lại có F (1) = −1 ⇒ C = −1 ⇒ F (x) = ln |x| −1.
Khi đó 2F (x) =
1
F (x) + 1
− 1 ⇔ 2(ln |x| − 1) =
1
ln |x|
− 1 (∗).
Với điều kiện x = ±1 ta có (∗) ⇔ 2ln
2
|x|−ln |x|−1 = 0 ⇔
ln |x| = 1
ln |x| = −
1
2
⇔
x = ±e
x = ±
1
√
e
(thỏa mãn).
Vậy x = ±e và x = ±
1
√
e
.
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm
Bài tập 5.6. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) I =
(3x + 3)
9
dx. b) I =
7
2 − 9x
dx. c) I =
tan xdx.
d) I =
e
3x+1
+ cos 5x
dx. e) I =
sin
2
xdx. f) I =
sin 5x sin xdx.
Lời giải.
a) I =
1
3
(3x + 3)
9
d(3x + 3) =
1
3
(3x + 3)
10
10
+ C =
1
30
(3x + 3)
10
+ C.
b) I = −
1
9
7
2 − 9x
d(2 − 9x) = −
7
9
ln |2 − 9x| + C.
4
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
c) I =
sin x
cos x
dx = −
1
cos x
d (cos x) = −ln |cos x|+ C.
d) I =
e
3x+1
dx +
cos 5xdx =
1
3
e
3x+1
d(3x + 1) +
1
5
cos 5xd (5x) =
1
3
e
3x+1
+
1
5
sin x + C.
e) I =
1 − cos 2x
2
dx =
1
2
−
1
2
cos 2x
dx =
1
2
dx −
1
4
cos 2xd (2x) =
1
2
x −
1
4
sin 2x + C.
f) I =
1
2
(cos 4x − cos 6x) dx =
1
8
cos 4xd (4x) −
1
12
cos 6xd (6x) =
1
8
sin 4x −
1
12
sin 6x + C.
Bài tập 5.7. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) I =
4x − 1
2x + 1
dx. b) I =
x(x
2
+ 1)
2013
dx.
c) I =
x
√
x
2
+ 1
dx.
d) I =
x
3
x
2
+ 1
dx.
e) I =
x
5
x
3
+ 1dx. f) I =
x (x − 1)
2013
dx.
Lời giải.
a) I =
2 −
3
2x + 1
dx =
2dx −
1
2
3
2x + 1
d(2x + 1) = 2x −
3
2
ln |2x + 1| + C.
b) I =
1
2
(x
2
+ 1)
2013
d(x
2
+ 1) =
1
2
(x
2
+ 1)
2014
2014
+ C =
(x
2
+ 1)
2014
4028
+ C.
c) I =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
d
x
2
+ 1
=
1
2
x
2
+ 1
1
2
1
2
+ C =
x
2
+ 1 + C.
d) Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có
I =
x
2
x
x
2
+ 1
dx =
1
2
u − 1
u
du =
1
2
1 −
1
u
du
=
1
2
(u − ln |u|) + C =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
e) Đặt u =
√
x
3
+ 1 ⇔ u
2
= x
3
+ 1 ⇒ 2udu = 3x
2
dx. Ta có
I =
x
3
x
2
x
3
+ 1dx =
u
2
− 1
u
2u
3
du =
2
3
u
4
− u
2
du
=
2
3
u
5
5
+
u
3
3
+ C =
2
√
x
3
+ 1
5
15
+
2
√
x
3
+ 1
3
9
+ C
f) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có
I =
(u + 1)u
2013
du =
u
2014
+ u
2013
du
=
u
2015
2015
+
u
2014
2014
+ C =
(x − 1)
2015
2015
+
(x − 1)
2014
2014
+ C
Bài tập 5.8. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) I =
e
x
e
x
+ 1
dx.
b) I =
e
2x
√
e
x
+ 1
dx.
c) I =
√
1 + ln x
x
dx.
d) I =
2 ln x − 1
x ln x
dx.
e) I =
cos
5
xdx. f) I =
sin
3
x
√
1 + cos xdx.
Lời giải.
a) I =
1
e
x
+ 1
d (e
x
+ 1) = ln |e
x
+ 1| + C.
b) Đặt u =
√
e
x
+ 1 ⇔ u
2
= e
x
+ 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Ta có
I =
e
x
.e
x
√
e
x
+ 1
dx =
u
2
− 1
u
2udu = 2
u
2
− 1
du
= 2
u
3
3
− u
+ C =
2
√
e
x
+ 1
3
3
− 2
√
e
x
+ 1 + C
5
Nguyễn Minh Hiếu
c) I =
(1 + ln x)
1
2
d (1 + ln x) =
(1 + ln x)
3
2
3
2
+ C =
2 (1 + ln x)
√
1 + ln x
3
+ C.
d) Đặt u = lnx ⇒ du =
1
x
dx. Ta có
I =
2u − 1
u
du =
2 −
1
u
du
= 2u − ln |u|+ C = 2 ln x −ln |ln x| + C
e) I =
cos
4
x cos xdx =
1 − sin
2
x
2
d (sin x) = sin x −
2sin
3
x
3
+
sin
5
x
5
+ C.
f) Đặt u =
√
1 + cos x ⇔ u
2
= 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có
I =
sin
2
x sin x
√
1 + cos xdx =
1 − cos
2
x
√
1 + cos x sin xdx
= −
1 −
u
2
− 1
2
u.2udu = −
−u
4
+ 2u
2
2u
2
du = 2
u
6
− 2u
4
du
= 2
u
7
7
−
2u
5
5
+ C =
2
√
1 + cos x
7
7
−
4
√
1 + cos x
5
5
+ C
Bài tập 5.9. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) I =
(x − 1) e
x
dx. b) I =
xe
2x
dx. c) I =
x cos xdx.
d) I =
(2x − 1) sin 2xdx. e) I =
x
2
ln xdx. f) I =
x
3
+ 1
ln xdx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x − 1
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
I = (x − 1)e
x
−
e
x
dx = (x − 1)e
x
− e
x
+ C = (x − 2)e
x
+ C
b) Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
. Ta có
I =
1
2
xe
2x
−
1
2
e
2x
dx =
1
2
xe
2x
−
1
4
e
2x
+ C
c) Đặt
u = x
dv = cos xdx
⇒
du = dx
v = sin x
. Ta có
I = x sin x −
sin xdx = x sin x + cos x + C
d) Đặt
u = 2x − 1
dv = sin 2xdx
⇒
du = 2dx
v = −
1
2
cos 2x
. Ta có
I = −
1
2
(2x − 1) cos 2x +
cos 2xdx = −
1
2
(2x − 1) cos 2x +
1
2
sin 2x + C
e) Đặt
u = lnx
dv = x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
3
3
. Ta có
I =
x
3
3
ln x −
x
3
3
1
x
dx =
x
3
3
ln x −
1
3
x
2
dx =
x
3
3
ln x −
x
3
9
+ C
f) Đặt
u = lnx
dv =
x
3
+ 1
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
4
4
+ x
. Ta có
I =
x
4
4
+ x
ln x −
x
4
4
+ x
1
x
dx =
x
4
4
+ x
ln x −
x
4
16
− x + C
6
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
Bài tập 5.10. Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) I =
ln (2x + 1) dx. b) I =
ln
x
2
+ 2x
dx. c) I =
x
2
e
2x−1
dx.
d) I =
x
2
cos xdx. e) I =
e
x
sin xdx. f) I =
e
x
cos 2xdx.
Lời giải.
a) Đặt
u = ln(2x + 1)
dv = dx
⇒
du =
2
2x+1
dx
v = x
. Ta có
I = x ln(2x + 1) −
2x
2x + 1
dx =
1 −
1
2x + 1
dx = x −
1
2
ln |2x + 1| + C
b) Đặt
u = ln
x
2
+ 2x
dv = dx
⇒
du =
2x+2
x
2
+2x
dx
v = x
. Ta có
I = x ln
x
2
+ 2x
−
x
2x + 2
x
2
+ 2x
dx = x ln
x
2
+ 2x
−
2 −
2
x + 2
dx
= x ln
x
2
+ 2x
− 2x + 2 ln |x + 2| + C
c) Đặt
u = x
2
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = 2xdx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
xe
2x−1
dx =
1
2
x
2
e
2x−1
− I
1
Lại đặt
u = x
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I
1
=
1
2
xe
2x−1
−
1
2
e
2x−1
dx =
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C
Vậy I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C =
1
4
2x
2
− 2x + 1
e
2x−1
+ C.
d) Đặt
u = x
2
dv = cos xdx
⇒
du = 2xdx
v = sin x
. Ta có
I = x
2
sin x −
2x sin xdx = x
2
sin x − I
1
Lại đặt
u = 2x
dv = sin xdx
⇒
du = 2dx
v = −cos x
. Ta có
I
1
= −2x cos x +
2 cos xdx = −2x cos x + 2 sin x + C
Vậy I = x
2
sin x − (−2x cos x + 2 sin x) + C = x
2
sin x + 2x cos x −2 sin x + C.
e) Đặt
u = e
x
dv = sin xdx
⇒
du = e
x
dx
v = −cos x
. Ta có
I = −e
x
cos x +
e
x
cos xdx = −e
x
cos x + I
1
Lại đặt
u = e
x
dv = cos xdx
⇒
du = e
x
dx
v = sin x
. Ta có
I
1
= e
x
sin x −
e
x
sin xdx = e
x
sin x − I
Vậy I = −e
x
cos x + e
x
sin x − I ⇔ I =
1
2
e
x
(sin x − cos x) + C.
7
Nguyễn Minh Hiếu
f) Đặt
u = e
x
dv = cos 2xdx
⇒
du = e
x
dx
v =
1
2
sin 2x
. Ta có
I =
1
2
e
x
sin 2x −
1
2
e
x
sin 2xdx =
1
2
e
x
sin 2x −
1
2
I
1
Lại đặt
u = e
x
dv = sin 2xdx
⇒
du = e
x
dx
v = −
1
2
cos 2x
. Ta có
I
1
= −
1
2
e
x
cos 2x +
1
2
e
x
cos 2xdx = −
1
2
e
x
cos 2x +
1
2
I
Vậy I =
1
2
e
x
sin 2x +
1
4
e
x
cos 2x −
1
4
I ⇔ I =
2
5
e
x
sin 2x +
1
5
e
x
cos 2x + C.
§3. Tích Phân
Bài tập 5.11. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
0
5x
4
dx.
b) I =
e
1
dx
x
.
c) I =
ln 2
0
e
−x
dx.
d) I =
π
6
0
cos 3xdx.
e) I =
1
1
2
(2x − 1)
2013
dx.
f) I =
1
0
(−2x + 1)
7
dx.
Lời giải.
a) I = x
5
1
0
= 1.
b) I = ln |x||
e
1
= ln e −ln 1 = 1.
c) I = −e
−x
ln 2
0
= −
e
− ln 2
− e
0
=
1
2
.
d) I =
1
3
sin 3x
π
6
0
=
1
3
sin
π
2
−
1
3
sin 0 =
1
3
.
e) I =
1
2
(2x − 1)
2014
2014
1
1
2
=
1
4028
.
f) I = −
1
2
1
0
(−2x + 1)
7
d (−2x + 1) = −
(−2x + 1)
8
16
1
0
= 0.
Bài tập 5.12. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
0
e
2−5x
dx.
b) I =
π
6
0
sin
2x +
π
6
dx. c) I =
π
6
0
1
cos
2
2x
dx.
d) I =
0
−1
4
(3 − 5x)
3
dx. e) I =
1
−1
√
5 − 4xdx.
f) I =
2
1
3
√
3x + 2dx.
Lời giải.
a) I = −
1
5
1
0
e
2−5x
d (2 − 5x) = −
1
5
e
2−5x
1
0
=
e
2
− e
−3
5
.
b) I =
1
2
π
6
0
sin
2x +
π
6
d
2x +
π
6
= −
1
2
cos
2x +
π
6
π
6
0
=
√
3
4
.
c) I =
1
2
π
6
0
1
cos
2
2x
d (2x) =
1
2
tan 2x
π
6
0
=
√
3
2
.
d) I = 4
0
−1
(3 − 5x)
−3
dx = −2(3 −5x)
−2
0
−1
=
11
288
.
8
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
e) I =
1
−1
(5 − 4x)
1
2
dx = −
1
4
(5 − 4x)
3
2
3
2
1
−1
=
13
3
.
f) I =
2
1
(3x + 2)
1
3
dx =
3(3x + 2)
4
3
4
2
1
= 12 −
3
3
√
625
4
.
Bài tập 5.13. Tính các tích phân sau:
a) I =
2
1
6x
2
− 4x + 1
dx. b) I =
4
1
2x +
√
x
dx.
c) I =
ln 2
0
(e
x
+ 2x) dx.
d) I =
4
2
x +
1
x
2
dx. e) (CĐ-2010) I =
1
0
2x − 1
x + 1
dx. f) I =
1
0
x
2
− 3x + 3
x − 2
dx.
Lời giải.
a) I =
2x
3
− 2x
2
+ x
2
1
= 9.
b) I =
4
1
2x + x
1
2
dx =
x
2
+
2x
3
2
3
4
1
=
59
3
.
c) I =
e
x
+ x
2
ln 2
0
= 1 + ln
2
2.
d) I =
4
2
x
2
+ 2 +
1
x
2
dx =
x
3
3
+ 2x −
1
x
4
2
=
275
12
.
e) I =
1
0
2 −
3
x + 1
dx = (2x −3 ln |x + 1|)|
1
0
= 2 − 3 ln 2.
f) I =
1
0
x − 1 +
1
x − 2
dx =
x
2
2
− x + ln |x − 2|
1
0
= e −
1
2
− ln 2.
Bài tập 5.14. Tính các tích phân sau:
a) I =
π
2
0
1 + sin
x
2
cos
x
2
dx. b) I =
π
8
0
cos
2
2xdx. c) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
1 − sin
2
x
dx.
d) I =
π
3
π
6
cos
2
x
sin
2
2x
dx.
e) I =
π
2
0
cos 3x cos xdx.
f) I =
1
0
x(x − 1)
2013
dx.
Lời giải.
a) I =
π
2
0
cos
x
2
+
1
2
sin x
dx =
2 sin
x
2
−
1
2
cos x
π
2
0
=
1
2
+
√
2.
b) I =
1
2
π
8
0
(1 + cos 4x) dx =
1
2
x +
1
4
sin 4x
π
8
0
=
π + 2
16
.
c) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
cos
2
x
dx =
π
4
0
2 +
1
cos
2
x
dx = (2x + tan x)|
π
4
0
=
π + 2
2
.
d) I =
π
3
π
6
cos
2
x
sin
2
2x
dx =
π
3
π
6
cos
2
x
4sin
2
xcos
2
x
dx =
π
3
π
6
1
4sin
2
x
dx = −
1
4
cot x
π
3
π
6
=
√
3
6
.
9
Nguyễn Minh Hiếu
e) I =
1
2
π
2
0
(cos 2x + cos 4x) dx =
1
4
sin 2x +
1
8
sin 4x
π
2
0
= 0.
f) I =
1
0
(x − 1 + 1) (x − 1)
2013
dx =
(x − 1)
2015
2015
+
(x − 1)
2014
2014
1
0
= −
1
4058210
.
Bài tập 5.15. Tính các tích phân sau:
a) I =
2
−2
|x − 1|dx.
b) I =
4
0
|3 − x|dx. c) (D-03) I =
2
0
x
2
− x
dx.
d) I =
2
0
x
2
− 3x + 2
dx.
e) I =
3
−2
(|x + 1| + |x − 2|) dx. f) I =
2
−2
|2x − |x + 1||dx.
g) I =
3
0
x
2
− 4x + 4 −1
dx. h) I =
2π
0
√
1 − cos 2xdx. i) (BĐT-103) I =
2π
0
√
1 + sin xdx.
Lời giải.
a) I =
1
−2
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx =
1
−2
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
=
x −
1
2
x
2
1
−2
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
9
2
+
1
2
= 5.
b) I =
3
0
|3 − x|dx +
4
3
|3 − x|dx =
3
0
(3 − x) dx +
4
3
(−3 + x) dx
=
3x −
x
2
2
3
0
+
−3x +
x
2
2
4
3
=
9
2
+
1
2
= 5.
c) I =
1
0
x
2
− x
dx +
2
1
x
2
− x
dx =
1
0
x − x
2
dx +
2
1
x
2
− x
dx
=
1
2
x −
1
3
x
3
1
0
+
1
3
x
3
−
1
2
x
2
1
=
1
6
+
5
6
= 1.
d) I =
1
0
x
2
− 3x + 2
dx +
2
1
x
2
− 3x + 2
dx =
1
0
x
2
− 3x + 2
dx +
2
1
−x
2
+ 3x − 2
dx
=
x
3
3
−
3x
2
2
+ 2x
1
0
+
−
x
3
3
+
3x
2
2
− 2x
2
1
=
5
6
+
1
6
= 1.
e) I =
3
−2
|x + 1|dx +
3
−2
|x − 2|dx =
−1
−2
|x + 1|dx +
3
−1
|x + 1|dx +
2
−2
|x − 2|dx +
3
2
|x − 2|dx
=
−1
−2
(−x − 1) dx +
3
−1
(x + 1) dx +
2
−2
(−x + 2) dx +
3
2
(x − 2) dx
=
−
x
2
2
− x
−1
−2
+
x
2
2
+ x
3
−1
+
−
x
2
2
+ 2x
2
−2
+
x
2
2
− 2x
3
2
=
1
2
+ 8 + 8 +
1
2
= 17.
f) I =
−1
−2
|2x + x + 1|dx +
2
−1
|2x − x −1|dx =
−1
−2
|3x + 1|dx +
1
−1
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx
=
−1
−2
(−3x − 1) dx +
1
−1
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
10
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
=
−
3x
2
2
− x
−1
−2
+
x −
1
2
x
2
1
−1
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
7
2
+ 2 +
1
2
= 6.
g) I =
3
0
||x − 2| −1|dx =
2
0
||x − 2| −1|dx +
3
2
||x − 2| −1|dx
=
2
0
|−x + 1|dx +
3
2
|x − 3|dx =
1
0
|−x + 1|dx +
2
1
|−x + 1|dx +
3
2
|x − 3|dx
=
1
0
(−x + 1) dx +
2
1
(x − 1) dx +
3
2
(−x + 3) dx
=
−
x
2
2
+ x
1
0
+
x
2
2
− x
2
1
+
−
x
2
2
+ 3x
3
2
=
1
2
+
1
2
+
1
2
=
3
2
.
h) I =
√
2
2π
0
|sin x|dx =
√
2
π
0
|sin x|dx +
√
2
2π
π
|sin x|dx =
√
2
π
0
sin xdx +
√
2
2π
π
−sin xdx
= −
√
2 cos x
π
0
+
√
2 cos x
2π
π
=
√
2 +
√
2 +
√
2 +
√
2 = 4
√
2.
i) I =
2π
0
sin
x
2
+ cos
x
2
dx =
√
2
2π
0
sin
x
2
+
π
4
dx
=
√
2
3π
2
0
sin
x
2
+
π
4
dx +
√
2
2π
3π
2
sin
x
2
+
π
4
dx
=
√
2
3π
2
0
sin
x
2
+
π
4
dx −
√
2
2π
3π
2
sin
x
2
+
π
4
dx
= −2
√
2 cos
x
2
+
π
4
3π
2
0
+ 2
√
2 cos
x
2
+
π
4
2π
3π
2
= 4
√
2.
§4. Phương Pháp Đổi Biến
Bài tập 5.16. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
0
1
1 + x
2
dx. b) I =
1
0
1
3 + x
2
dx. c) I =
1
0
1 − x
2
dx.
d) I =
√
3
0
3 − x
2
dx.
e) I =
2
2
√
3
1
x
√
x
2
− 1
dx.
f) I =
1
0
x
3
x
8
+ 1
dx.
g) I =
√
2
2
0
x
2
√
1 − x
2
dx.
h) I =
2
1
1
x
2
√
1 + x
2
dx.
i) I =
π
−π
sin
2
x
3
x
+ 1
dx.
Lời giải.
a) Đặt x = tant, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
π
4
0
dt = t|
π
4
0
=
π
4
11
Nguyễn Minh Hiếu
b) Đặt x =
√
3 tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
cos
2
t
dt =
√
3(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
6
0
1
3 + 3tan
2
t
√
3
1 + tan
2
t
dt =
1
√
3
π
6
0
dt =
1
√
3
t|
π
6
0
=
π
6
√
3
c) Đặt x = sint, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2
. Ta có
I =
π
2
0
1 − sin
2
t cos tdt =
π
2
0
cos
2
tdt =
1
2
π
2
0
(1 + cos 2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
π
2
0
=
π
4
d) Đặt x =
√
3 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3 cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
6
0
3 − 3sin
2
t
√
3 cos tdt = 3
π
6
0
cos
2
tdt =
3
2
π
6
0
(1 + cos 2t) dt =
3
2
t +
3
4
sin 2t
π
6
0
=
2π + 3
√
3
8
e) Đặt x =
1
sin t
, t ∈
−
π
2
;
π
2
\{0} ⇒ dx = −
cos t
sin
2
t
dt.
Đổi cận: x =
2
√
3
⇒ t =
π
3
; x = 2 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
1
sin t
1
sin
2
t
− 1
cos t
sin
2
t
dt =
π
3
π
6
dt = t|
π
3
π
6
=
π
6
f) Đặt x
4
= tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ 4x
3
dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
1
4
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
1
4
π
4
0
dt =
1
4
t
π
4
0
=
π
16
g) Đặt x = sint, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2
2
⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
sin
2
t
1 − sin
2
t
cos tdt =
π
4
0
sin
2
tdt =
1
2
π
4
0
(1 − cos 2t) dt =
1
2
t −
1
4
sin 2t
π
4
0
=
π − 2
8
h) C1: Đặt x = tant, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt.
Đổi cận: x = 1 ⇒ t =
π
4
; x = 2 ⇒ arctan 2. Ta có
I =
arctan 2
π
4
1
tan
2
t
√
1 + tan
2
t
1
cos
2
t
dt =
arctan 2
π
4
cos t
sin
2
t
dt = −
1
sin t
arctan 2
π
4
=
2
√
2 −
√
5
2
12
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
C2: Đặt x =
1
t
⇒ dx = −
1
t
2
dt. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t =
1
2
. Ta có
I =
1
1
2
1
1
t
2
1 +
1
t
2
1
t
2
dt =
1
1
2
t
√
1 + t
2
dt =
1
2
1
1
2
1
√
1 + t
2
d(1 + t
2
) =
1 + t
2
1
1
2
=
2
√
2 −
√
5
2
i) Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Ta có
I =
π
−π
sin
2
(−t)
3
−t
+ 1
dt =
π
−π
sin
2
t
1
3
t
+ 1
dt =
π
−π
3
t
sin
2
t
1 + 3
t
dt =
π
−π
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx
Suy ra 2I =
π
−π
sin
2
x
1 + 3
x
+
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx =
π
−π
sin
2
xdx =
1
2
x −
1
4
sin 2x
π
−π
= π ⇔ I =
π
2
.
Bài tập 5.17. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
0
x
3
1 + x
4
3
dx. b) (DB-02) I =
1
0
x
3
x
2
+ 1
dx. c) I =
1
0
x + 2
x
2
+ 4x + 7
dx.
d) I =
1
0
(2x + 1)e
x
2
+x+1
dx. e) (D-2013) I =
1
0
(x + 1)
2
x
2
+ 1
dx.
f) (D-05) I =
π
2
0
e
sin x
+ cos x
cos xdx.
Lời giải.
a) I =
1
4
1
0
1 + x
4
3
d
1 + x
4
=
1
16
1 + x
4
4
1
0
=
15
16
.
b) I =
1
0
x −
x
x
2
+ 1
dx =
1
0
xdx −
1
2
1
0
1
x
2
+ 1
d
x
2
+ 1
=
x
2
2
1
0
−
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
=
1
2
−
1
2
ln 2.
c) I =
1
2
1
0
1
x
2
+ 4x + 7
d
x
2
+ 4x + 7
=
1
2
ln
x
2
+ 4x + 7
1
0
=
1
2
ln
12
7
.
d) I =
1
0
(2x + 1)e
x
2
+x+1
dx =
1
0
e
x
2
+x+1
d(2x + 1) = e
x
2
+x+1
1
0
= e
3
− e.
e) I =
1
0
(x + 1)
2
x
2
+ 1
dx =
1
0
x
2
+ 2x + 1
x
2
+ 1
dx =
1
0
1 +
2x
x
2
+ 1
dx =
x + ln
x
2
+ 1
1
0
= 1 + ln 2.
f) I =
π
2
0
e
sin x
+ cos x
cos xdx =
π
2
0
e
sin x
cos xdx +
π
2
0
cos
2
xdx
=
π
2
0
e
sin x
d (sin x) +
1
2
π
2
0
(1 + cos 2x) dx = e
sin x
π
2
0
+
1
2
x +
1
4
sin 2x
π
2
0
= e +
π
4
− 1.
Bài tập 5.18. Tính các tích phân sau:
a) (B-2013) I =
1
0
x
2 − x
2
dx. b) (DB-03) I =
1
0
x
3
1 − x
2
dx. c) I =
1
0
x
5
x
2
+ 1
2012
dx.
d) (BĐT-18) I =
1
0
x
(x + 1)
3
dx. e) I =
2
1
(2x − 1)
10
(x + 1)
12
dx.
f) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx.
g) (B-2010) I =
e
1
ln x
x(2 + ln x)
2
dx.
h) (A-10) I =
1
0
x
2
+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx.
i) (A-11) I =
π
4
0
x sin x + (x + 1) cos x
x sin x + cos x
dx.
13
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Đặt u =
√
2 − x
2
⇔ u
2
= 2 − x
2
⇒ udu = −xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u =
√
2; x = 1 ⇒ u = 1. Ta có
I =
√
2
1
u.udu =
√
2
1
u
2
du =
u
3
3
√
2
1
=
2
√
2 − 1
3
b) Ta có I =
1
0
x
2
x
1 − x
2
dx.
Đặt u =
√
1 − x
2
⇔ u
2
= 1 − x
2
⇒ udu = −xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 0. Ta có
I =
1
0
1 − u
2
u.udu =
1
0
u
2
− u
4
du =
u
3
3
−
u
5
5
1
0
=
2
15
c) Ta có I =
1
0
x
4
x
x
2
+ 1
2012
dx.
Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
1
2
2
1
(u − 1)
2
u
2012
du =
1
2
2
1
u
2014
− 2u
2013
+ u
2012
du
=
1
2
u
2015
2015
−
2u
2014
2014
+
u
2013
2013
2
1
=
2025079.2
2012
− 1
4084588365
d) Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u − 1
u
3
du =
2
1
1
u
2
−
1
u
3
du =
−
1
u
+
1
2u
2
2
1
=
1
8
e) Ta có I =
2
1
2x − 1
x + 1
10
.
1
(x + 1)
2
dx.
Đặt u =
2x − 1
x + 1
⇒ du =
3
(x + 1)
2
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u =
1
2
; x = 2 ⇒ u = 1. Ta có
I =
1
3
1
1
2
u
10
du =
u
11
33
1
1
2
=
2047
67584
f) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx =
e
1
1 + ln
3
x
d ln x =
ln x +
ln
4
x
4
e
1
=
5
4
.
g) Đặt u = 2 + ln x ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 2; x = e ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
2
u − 2
u
2
du =
3
2
1
u
−
2
u
2
du =
ln |u| +
2
u
3
2
= ln
3
2
−
1
3
h) I =
1
0
x
2
(1 + 2e
x
) + e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
+
e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
dx +
1
2
1
0
1
1 + 2e
x
d(1 + 2e
x
)
14
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
=
x
3
3
1
0
+
1
2
ln |1 + 2e
x
|
1
0
=
1
3
+
1
2
ln
1 + 2e
3
.
i) Ta có I =
π
4
0
x sin x + x cos x + cos x
x sin x + cos x
dx =
π
4
0
1 +
x cos x
x sin x + cos x
dx
= x|
π
4
0
+
π
4
0
x cos x
x sin x + cos x
dx =
π
4
+
π
4
0
x cos x
x sin x + cos x
dx.
Đặt u = x sin x + cos x ⇒ du = (x cos x) dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x =
π
4
⇒ u =
4 + π
4
√
2
. Ta có
I =
π
4
+
4+π
4
√
2
1
1
u
du = ln |u||
4+π
4
√
2
1
=
π
4
+ ln
4 + π
4
√
2
§5. Tích Phân Hữu Tỉ
Bài tập 5.19. Tính các tích phân sau:
a) I =
5
3
1
(x − 2) (x + 1)
dx. b) I =
1
0
5x − 13
x
2
− 5x + 6
dx. c) I =
3
2
x
4
x
2
− 1
dx.
d) (DB-07) I =
1
0
x (x − 1)
x
2
− 4
dx. e) I =
1
0
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
dx. f) (B-2012) I =
1
0
x
3
x
4
+ 3x
2
+ 2
dx.
Lời giải.
a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
=
(A + B) x + A −2B
(x − 2) (x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − 2B = 1
⇔
A =
1
3
B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C2: (Phương pháp trị số riêng)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
⇒ 1 = A (x + 1) + B (x −2).
Cho x = 2 được A =
1
3
; cho x = −1 được B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)
I =
1
3
5
3
(x + 1) −(x − 2)
(x − 2) (x + 1)
dx =
1
3
5
3
1
x − 2
−
1
x + 1
dx
=
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
b) Ta có
5x − 13
x
2
− 5x + 6
=
5x − 13
(x − 3)(x −2)
=
A
x − 3
+
B
x − 2
=
(A + B) x − 2A −3B
(x − 3)(x −2)
.
15
Nguyễn Minh Hiếu
Đồng nhất hệ số được
A + B = 5
−2A − 3B = −13
⇔
A = 2
B = 3
. Khi đó
I = 2
1
0
1
x − 3
dx + 3
1
0
1
x − 2
dx = 2 ln |x − 3||
1
0
+ 3 ln |x − 2||
1
0
= −ln 18
c) Ta có I =
3
2
x
2
+ 1 +
1
x
2
− 1
dx =
x
3
3
+ x
3
2
+
3
2
1
x
2
− 1
dx =
22
3
+
3
2
1
x
2
− 1
dx.
Lại có
1
x
2
− 1
=
1
(x − 1)(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
=
(A + B) x + A −B
(x − 1)(x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − B = 1
⇔
A =
1
2
B = −
1
2
. Khi đó
I =
22
3
+
1
2
3
2
1
x − 1
dx −
1
2
3
2
1
x + 1
dx =
22
3
+
1
2
(ln |x − 1| − ln |x + 1|)
3
2
=
22
3
+
1
2
ln
3
2
d) Ta có I =
1
0
x
2
− x
x
2
− 4
dx =
1
0
1 +
−x + 4
x
2
− 4
dx = x|
1
0
+
1
0
−x + 4
x
2
− 4
dx = 1 +
1
0
−x + 4
x
2
− 4
dx.
Lại có
−x + 4
x
2
− 4
=
−x + 4
(x − 2)(x + 2)
=
A
x − 2
+
B
x + 2
=
(A + B)x + 2A − 2B
x
2
− 4
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = −1
2A − 2B = 4
⇔
A =
1
2
B = −
3
2
. Khi đó
I = 1 +
1
2
1
0
1
x − 2
dx −
3
2
1
0
1
x + 2
dx = 1 +
1
2
ln |x − 2|
1
0
−
3
2
ln |x + 2|
1
0
= 1 + ln 2 −
3
2
ln 3
e) Ta có
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
=
3x − 1
(x + 3)
2
=
A
x + 3
+
B
(x + 3)
2
=
A(x + 3) + B
(x + 3)
2
=
Ax + 3A + B
(x + 3)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A = 3
3A + B = −1
⇔
A = 3
B = −10
. Khi đó
I = 3
1
0
1
x + 3
dx − 10
1
0
1
(x + 3)
2
dx = 3 ln |x + 3||
1
0
+
10
x + 3
1
0
= 3 ln
4
3
−
5
6
f) Ta có I =
1
2
1
0
x
2
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
dx
2
.
Lại có:
x
2
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
=
A
x
2
+ 1
+
B
x
2
+ 2
=
(A + B)x
2
+ 2A + B
(x
2
+ 1) (x
2
+ 2)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 1
2A + B = 0
⇔
A = −1
B = 2
. Khi đó
I = −
1
2
1
0
1
x
2
+ 1
dx
2
+
1
0
1
x
2
+ 2
dx
2
= −
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
+ ln
x
2
+ 2
1
0
= ln 3 −
3
2
ln 2
Bài tập 5.20. Tính các tích phân sau:
a) I =
5
2
1
x
2
− 4x + 7
dx. b) I =
1
0
1
x
2
+ x + 1
dx. c) I =
1
0
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
dx.
16
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
d) I =
2
1
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
dx.
e) I =
3
−1
x
2
− x + 3
x
3
− 3x + 2
dx.
f) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx.
g) I =
2
1
1 − x
4
x + x
5
dx. h) I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx.
i) I =
0
−1
1
(x
2
− 3x + 2)
2
dx.
Lời giải.
a) Ta có I =
5
2
1
(x − 2)
2
+ 3
dx.
Đặt x − 2 =
√
3 tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
1
cos
2
t
dt =
√
3(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 2 ⇒ t = 0; x = 5 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
0
1
3tan
2
t + 3
√
3(1 + tan
2
t)dt =
1
√
3
π
3
0
dt =
1
√
3
t
π
3
0
=
π
3
√
3
b) Ta có I =
1
0
1
x +
1
2
2
+
3
4
dx.
Đặt x +
1
2
=
√
3
2
tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
2
1
cos
2
t
dt =
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =
π
6
; x = 1 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
3
4
tan
2
t +
3
4
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt =
2
√
3
π
3
π
6
dt =
2
√
3
t
π
3
π
6
=
π
3
√
3
c) Ta có
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
A
x + 2
+
B
x
2
+ 1
+
2Cx
x
2
+ 1
=
A
x
2
+ 1
+ B(x + 2) + 2Cx(x + 2)
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
(A + 2C) x
2
+ (B + 4C) x + A + 2B
(x + 2)(x
2
+ 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + 2C = 0
B + 4C = 4
A + 2B = −2
⇔
A = −2
B = 0
C = 1
. Khi đó
I = −2
1
0
1
x + 2
dx +
1
0
2x
x
2
+ 1
dx =
−2 ln |x + 2|+ ln
x
2
+ 1
1
0
= ln
8
9
d) Ta có
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
=
x
2
− 3x + 2
x(x + 1)
2
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)
2
=
A(x + 1)
2
+ Bx(x + 1) + Cx
x(x + 1)
2
=
(A + B)x
2
+ (2A + B + C)x + A
x(x + 1)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 1
2A + B + C = −3
A = 2
⇔
A = 2
B = −1
C = −6
. Khi đó
I = 2
2
1
1
x
dx −
2
1
1
x + 1
dx − 6
2
1
1
(x + 1)
2
dx =
2 ln |x| − ln |x + 1| +
6
x + 1
2
1
= ln
8
3
− 1
17
Nguyễn Minh Hiếu
e) Ta có
3x
2
+ 3x + 3
x
3
− 3x + 2
=
3x
2
+ 3x + 3
(x − 1)
2
(x + 2)
=
A
x − 1
+
B
(x − 1)
2
+
C
x + 2
=
A (x − 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x −1)
2
(x − 1)
2
(x + 2)
=
(A + C)x
2
+ (A + B −2C)x − 2A + 2B + C
(x − 1)
2
(x + 2)
Đồng nhất hệ số được
A + C = 3
A + B −2C = 3
−2A + 2B + C = 3
⇔
A = 2
B = 3
C = 1
. Khi đó
I =
0
−1
2
x − 1
dx +
0
−1
3
(x − 1)
2
dx +
0
−1
1
x + 2
dx = 2 ln |x − 1||
0
−1
−
3
x − 1
0
−1
+ ln |x + 2||
0
−1
=
3
2
− ln 2
f) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx =
√
3
1
1
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
x
2
+ 1 − x
2
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
1
x
−
x
1 + x
2
dx
=
ln |x| −
1
2
ln
1 + x
2
√
3
1
=
1
2
ln
3
2
.
g) I =
2
1
1 − x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1 + x
4
− 2x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1
x
dx − 2
2
1
x
3
1 + x
4
dx
=
ln |x| −
1
2
ln
1 + x
4
2
1
=
1
2
ln
8
17
.
h) Ta có I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx =
1
0
x
2
+ x + 2
x
2
(x + 1) + x + 1
dx =
1
0
x
2
+ 1 + x + 1
(x + 1) (x
2
+ 1)
dx
=
1
0
1
x + 1
+
1
x
2
+ 1
dx = ln |x + 1||
1
0
+
1
0
1
x
2
+ 1
dx = ln2 +
1
0
1
x
2
+ 1
dx.
Đặt x = tant, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I = ln 2 +
π
4
0
1
tan
2
t + 1
(1 + tan
2
t)dt = ln 2 +
π
4
0
dt = ln2 + t|
π
4
0
= ln 2 +
π
4
i) I =
1
0
1
(x
2
+ 3x + 2)
2
dx =
1
0
(x + 2) −(x + 1)
(x + 1)(x + 2)
2
dx =
1
0
1
x + 1
−
1
x + 2
2
dx
=
1
0
1
(x + 2)
2
+
1
(x + 1)
2
−
2
(x + 1)(x + 2)
dx = −
1
x + 1
1
0
−
1
x + 2
1
0
−2
1
0
(x + 2) −(x + 1)
(x + 1)(x + 2)
dx
=
2
3
− 2
1
0
1
x + 1
dx −
1
0
1
x + 2
dx
=
2
3
− 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|
1
0
=
2
3
+ 2 ln
3
4
.
§6. Tích Phân Vô Tỉ
Bài tập 5.21. Tính các tích phân sau:
a) I =
3
1
1
√
x + 1 +
√
x
dx. b) I =
3
2
1
√
x + 1 −
√
x − 1
dx. c) I =
1
0
2x − x
2
dx.
18
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
d) I =
6
3
1
√
6x − x
2
dx.
e) I =
√
2
0
2 + x
2 − x
dx.
f) I =
−1
−2
x + 4
√
x
2
+ 4x + 5
dx.
Lời giải.
a) I =
3
1
√
x + 1 −
√
x
dx =
3
1
(x + 1)
1
2
− x
1
2
dx =
2(x + 1)
3
2
3
−
2x
3
2
3
3
1
=
16 − 4
√
2 − 6
√
3
3
.
b) I =
3
2
√
x + 1 +
√
x − 1
dx =
3
2
(x + 1)
1
2
+ (x − 1)
1
2
dx
=
2
3
(x + 1)
3
2
+ (x − 1)
3
2
3
2
=
7 − 3
√
3 + 2
√
2
3
.
c) Ta có I =
1
0
1 − (x −1)
2
dx.
Đặt x − 1 = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −
π
2
; x = 1 ⇒ t = 0. Ta có
I =
0
−
π
2
1 − sin
2
t cos tdt =
0
−
π
2
cos
2
tdt =
1
2
0
−
π
2
(1 + cos2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
0
−
π
2
=
π
4
d) Ta có I =
6
3
1
9 − (x −3)
2
dx.
Đặt x − 3 = 3 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = 3 cos tdt.
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 0; x = 6 ⇒ t =
π
2
. Ta có
I =
π
2
0
1
9 − 9sin
2
t
3 cos tdt =
π
2
0
1dt = t|
π
2
0
=
π
2
e) Ta có I =
√
2
0
2 + x
√
4 − x
2
dx.
Đặt x = 2sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = 2 cos dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
2 + 2 sin t
4 − 4sin
2
t
2 cos tdt = 2
π
4
0
(1 + sin t) dt = (2t − 2 cos t)|
π
4
0
= 2 −
√
2 +
1
2
π
f) Ta có I =
−1
−2
x + 4
(x + 2)
2
+ 1
dx.
Đặt x + 2 = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
19
Nguyễn Minh Hiếu
Đổi cận: x = −2 ⇒ t = 0; x = −1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
tan t + 2
√
tan
2
t + 1
.
1
cos
2
t
dt =
π
4
0
sin t
cos
2
t
+
2
cos t
dt
= −
π
4
0
1
cos
2
t
d(cos t) +
π
4
0
1 − sin t + 1 + sin t
1 − sin
2
t
d(sin t)
= −
π
4
0
1
cos
2
t
d(cos t) +
π
4
0
1
1 + sin t
+
1
1 − sin t
d(sin t)
=
1
cos t
π
4
0
+ ln
1 + sin t
1 − sin t
π
4
0
=
√
2 − 1 + 2 ln
√
2 + 1
Bài tập 5.22. Tính các tích phân sau:
a) (D-2011) I =
4
0
4x −1
√
2x + 1 + 2
dx.
b) I =
6
2
1
2x + 1 +
√
4x + 1
dx.
c) (A-03) I =
2
√
3
√
5
1
x
√
x
2
+ 4
dx.
d) I =
√
3
1
1
x
√
4 − x
2
dx.
e) I =
64
1
1
√
x +
3
√
x
dx. f) I =
1
0
1
(x + 1) (x + 8)
dx.
Lời giải.
a) Đặt u =
√
2x + 1 ⇔ u
2
= 2x + 1 ⇒ 2udu = 2dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 4 ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
1
2
u
2
− 1
− 1
u + 2
udu =
3
1
2u
3
− 3u
u + 2
du =
3
1
2u
2
− 4u + 5 −
10
u + 2
du
=
2u
3
3
− 2u
2
− 10 ln |u + 2|
3
1
=
34
3
+ 10 ln
3
5
b) Đặt u =
√
4x + 1 ⇔ u
2
= 4x + 1 ⇒ udu = 2dx. Đổi cận: x = 2 ⇒ u = 3; x = 6 ⇒ u = 5. Ta có
I =
1
2
5
3
1
u
2
−1
2
+ 1 + u
udu =
5
3
u
u
2
+ 2u + 1
du =
5
3
u + 1 −1
(u + 1)
2
du
=
5
3
1
u + 1
−
1
(u + 1)
2
du =
ln |u + 1| +
1
u + 1
5
3
= ln
3
2
−
1
12
c) Ta có I =
2
√
3
√
5
x
x
2
√
x
2
+ 4
dx.
Đặt u =
√
x
2
+ 4 ⇔ u
2
= x
2
+ 4 ⇒ udu = xdx. Đổi cận: x =
√
5 ⇒ u = 3; x = 2
√
3 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
3
u
(u
2
− 4) u
du =
4
3
1
(u − 2) (u + 2)
du =
1
4
4
3
(u + 2) −(u − 2)
(u − 2) (u + 2)
du
=
1
4
4
3
1
u − 2
−
1
u + 2
du =
1
4
(ln |u − 2| − ln |u + 2|)
4
3
=
1
4
ln
5
3
20
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
d) Ta có I =
√
3
1
x
x
2
√
4 − x
2
dx.
Đặt u =
√
4 − x
2
⇔ u
2
= 4 −x
2
⇒ 2udu = −2xdx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u =
√
3; x =
√
3 ⇒ u = 1. Ta có
I =
√
3
1
u
u (4 − u
2
)
du =
√
3
1
1
(2 − u) (2 + u)
du =
1
4
√
3
1
1
2 + u
+
1
2 − u
du
=
1
4
ln
2 + u
2 − u
√
3
1
=
1
2
ln
2 +
√
3
3
e) Đặt u =
6
√
x ⇔ u
6
= x ⇒ 6u
5
du = dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = 64 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
u
3
+ u
2
6u
5
du = 6
2
1
u
3
u + 1
du = 6
2
1
u
2
− u + 1 −
1
u + 1
du
= 6
u
3
3
−
u
2
2
+ u − ln |u + 1|
2
1
= 11 + 6 ln
2
3
f) Đặt u =
√
x + 1 +
√
x + 8
⇒ du =
1
2
√
x + 1
+
1
2
√
x + 8
dx =
√
x + 1 +
√
x + 8
2
(x + 1)(x + 8)
dx ⇔
2
u
du =
1
(x + 1)(x + 8)
dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 + 2
√
2; x = 1 ⇒ u = 3 +
√
2. Ta có
I =
3+
√
2
1+2
√
2
2
u
du = 2 ln |u||
3+
√
2
1+2
√
2
= 2 ln
3 +
√
2
1 + 2
√
2
§7. Tích Phân Mũ - Lôgarit
Bài tập 5.23. Tính các tích phân sau:
a) (D-09) I =
3
1
1
e
x
− 1
dx.
b) I =
ln 2
0
1
1 + e
−x
dx.
c) (DB-03) I =
ln 5
ln 2
e
2x
√
e
x
− 1
dx.
d) I =
ln 5
ln 2
e
x
(10 − e
x
)
√
e
x
− 1
dx. e) I =
2
1
x + 1
x (1 + xe
x
)
dx. f) I =
1
0
(x + 2)
√
e
x
x
2
e
x
− 9
dx.
Lời giải.
a) I =
3
1
e
x
− (e
x
− 1)
e
x
− 1
dx =
3
1
e
x
e
x
− 1
− 1
dx = (ln |e
x
− 1| − x)|
3
1
= ln
e
2
+ e + 1
− 2.
b) I =
ln 2
0
1
1 +
1
e
x
dx =
ln 2
0
e
x
1 + e
x
dx =
ln 2
0
1
1 + e
x
de
x
= ln |1 + e
x
||
ln 2
0
= ln
3
2
.
c) Ta có I =
ln 5
ln 2
e
x
.e
x
√
e
x
− 1
dx.
Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Đổi cận: x = ln2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
1
u
2
+ 1
u
2udu = 2
4
1
u
2
+ 1
du = 2
u
3
3
+ u
4
1
=
20
3
21
Nguyễn Minh Hiếu
d) Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx.
Đổi cận: x = ln2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
(9 − u)u
2udu =
1
3
2
1
(3 + u) + (3 − u)
(3 + u)(3 −u)
du =
1
3
2
1
1
3 − u
+
1
3 + u
du
=
1
3
(ln |3 + u| − ln |3 − u|)
2
1
=
1
3
ln
5
2
e) Ta có I =
2
1
(x + 1) e
x
xe
x
(1 + xe
x
)
dx.
Đặt u = 1 + xe
x
⇒ du = (1 + x)e
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 + e; x = 2 ⇒ u = 1 + 2e
2
. Ta có
I =
1+2e
2
1+e
1
u (u − 1)
du =
1+2e
2
1+e
1
u − 1
−
1
u
du = ln
u − 1
u
1+2e
2
1+e
= ln
2e(1 + e)
1 + 2e
2
f) Đặt u = x
√
e
x
⇒ du =
1
2
(x + 2)
√
e
x
dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u =
√
e. Ta có
I =
√
e
0
2
u
2
− 9
du =
1
3
√
e
0
1
u − 3
−
1
u + 3
du =
1
3
ln
u − 3
u + 3
√
e
0
=
1
3
ln
3 −
√
e
3 +
√
e
Bài tập 5.24. Tính các tích phân sau:
a) I =
e
1
ln
2
x − 3 ln x + 3
x (ln x − 2)
dx.
b) (B-04) I =
e
1
√
1 + 3 ln x. ln x
x
dx.
c) I =
√
e
1
1
x
ln
2
x − 3 ln x + 2
dx.
d) I =
e
1
1 − x
(1 + x ln x)
2
dx.
e) I =
2
1
xe
x
+ 1
x (e
x
+ ln x)
dx.
f) I =
e
1
1 − x (e
x
− 1)
x (1 + xe
x
ln x)
dx.
Lời giải.
a) Đặt u = lnx ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 0; x = e ⇒ u = 1. Ta có
I =
1
0
u
2
− 3u + 3
u − 2
du =
1
0
u − 1 +
1
u − 2
du =
u
2
2
− u + ln |u − 2|
1
0
= −
1
2
− ln 2
b) Đặt u =
√
1 + 3 ln x ⇔ u
2
= 1 + 3 ln x ⇒ 2udu =
3
x
dx.
Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u
u
2
− 1
3
.
2u
3
du =
2
9
2
1
u
4
− u
2
du =
2
9
u
5
5
−
u
3
3
2
1
=
116
135
c) Đặt u = lnx ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 0; x =
√
e ⇒ u =
1
2
. Ta có
I =
1
2
0
1
u
2
− 3u + 2
du =
1
2
0
(u − 1) −(u − 2)
(u − 1)(u −2)
du =
1
2
0
1
u − 2
−
1
u − 1
du
= (ln |u − 2| − ln |u −1|)||
1
2
0
= ln
3
2
22
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
d) Ta có I =
e
1
1
x
2
−
1
x
1
x
+ ln x
2
dx.
Đặt u =
1
x
+ ln x ⇒ du =
−
1
x
2
+
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u =
1
e
+ 1. Ta có
I = −
1+
1
e
1
1
u
2
du =
1
u
1+
1
e
1
= −
1
1 + e
e) Đặt u = e
x
+ ln x ⇒ du =
e
x
+
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = e; x = 2 ⇒ u = e
2
+ ln 2. Ta có
I =
e
2
+ln 2
e
1
u
du = ln |u||
e
2
+ln 2
e
= ln
e
2
+ ln 2
e
f) Ta có
I =
e
1
1 − x (e
x
− 1)
x (1 + xe
x
ln x)
dx =
e
1
x + 1 −xe
x
x
2
1
x
+ e
x
ln x
dx =
e
1
1
x
+ e
x
ln x +
1
x
2
− e
x
ln x −
e
x
x
1
x
+ e
x
ln x
dx
=
e
1
1 +
1
x
2
− e
x
ln x −
e
x
x
1
x
+ e
x
ln x
dx = x|
e
1
−
e
1
1
1
x
+ e
x
ln x
d
1
x
+ e
x
ln x
= e − 1 − ln
1
x
+ e
x
ln x
e
1
= e − 1 −ln
1
e
+ e
e
§8. Tích Phân Lượng Giác
Bài tập 5.25. Tính các tích phân sau:
a) I =
π
4
0
sin
2
xdx. b) I =
π
4
0
cos
4
xdx. c) I =
π
2
0
sin
3
xdx.
d) I =
π
2
0
cos
5
xdx. e) I =
π
4
0
tan xdx. f) I =
π
4
0
sin
2
x
cos
4
x
dx.
Lời giải.
a) I =
1
2
π
4
0
(1 − cos 2x) dx =
1
2
x −
1
4
sin 2x
π
4
0
=
π
8
−
1
4
.
b) I =
π
4
0
cos
2
x
2
dx =
π
4
0
1 + cos 2x
2
2
dx =
1
4
π
4
0
1 + 2 cos 2x + cos
2
2x
dx
=
1
8
π
4
0
(3 + 4 cos 2x + cos 4x) dx =
1
8
3x + 2 sin 2x +
1
4
sin 4x
π
4
0
=
3π + 8
32
.
c) I =
π
2
0
sin
2
x sin xdx = −
π
2
0
1 − cos
2
x
d (cos x) =
cos
3
x
3
− cos x
π
2
0
=
2
3
.
d) I =
π
2
0
cos
4
x cos xdx =
π
2
0
1 − sin
2
x
2
d (sin x) =
sin x −
2sin
3
x
3
+
sin
5
x
5
π
2
0
=
6
15
.
23
Nguyễn Minh Hiếu
e) I =
π
4
0
sin x
cos x
dx = −
π
4
0
1
cos x
d (cos x) = −ln |cos x||
π
4
0
=
1
2
ln 2.
f) I =
π
4
0
1 − cos
2
x
cos
6
x
dx =
π
4
0
1
cos
6
x
−
1
cos
4
x
dx =
π
4
0
1
cos
4
x
1
cos
2
x
dx −
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
dx
=
π
4
0
1 + tan
2
x
2
d (tan x) −
π
4
0
1 + tan
2
x
d (tan x)
=
tan x +
2tan
3
x
3
+
tan
5
x
5
π
4
0
−
tan x +
tan
3
x
3
π
4
0
=
8
15
.
Bài tập 5.26. Tính các tích phân sau:
a) I =
π
4
0
1
cos
4
x
dx.
b) I =
π
2
π
3
1
sin x
dx.
c) I =
π
6
0
1
cos x
dx.
d) I =
π
3
0
sin
2
x tan xdx.
e) I =
π
3
π
6
1
cos xsin
2
x
dx.
f) I =
π
4
0
1
cos
3
x
dx.
Lời giải.
a) I =
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
dx =
π
4
0
1 + tan
2
x
d (tan x) =
tan x +
tan
3
x
3
π
4
0
=
4
3
.
b) C1: I =
π
2
π
3
sin x
sin
2
x
dx = −
π
2
π
3
1
1 − cos
2
x
d (cos x) = −
1
2
π
2
π
3
1 − cos x + 1 + cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
d (cos x)
= −
1
2
π
2
π
3
1
1 + cos x
+
1
1 − cos x
d (cos x) = −
1
2
(ln |1 + cos x|−ln |1 − cos x|)
π
2
π
3
=
1
2
ln 3.
C2: I =
π
2
π
3
1
2 sin
x
2
cos
x
2
dx =
π
2
π
3
1
2cos
2
x
2
tan
x
2
dx
=
π
2
π
3
1
tan
x
2
d
tan
x
2
= ln
tan
x
2
π
2
π
3
=
1
2
ln 3.
c) I =
π
6
0
1
cos
2
x
2
− sin
2
x
2
dx =
π
6
0
2
1 − tan
2
x
2
d
tan
x
2
=
π
6
0
1
1 + tan
x
2
+
1
1 − tan
x
2
d
tan
x
2
= ln
1 + tan
x
2
1 − tan
x
2
π
6
0
=
1
2
ln 3.
d) I =
π
3
0
sin
2
x sin x
cos x
dx =
π
3
0
cos
2
x − 1
cos x
d (cos x) =
π
3
0
cos x −
1
cos x
d (cos x)
=
cos
2
x
2
− ln |cos x|
π
3
0
= ln 2 −
3
8
.
e) I =
π
3
π
6
cos x
cos
2
xsin
2
x
dx =
π
3
π
6
1
1 − sin
2
x
sin
2
x
d (sin x) =
π
3
π
6
1 − sin
2
x + sin
2
x
1 − sin
2
x
sin
2
x
d (sin x)
24
Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân
=
π
3
π
6
1
sin
2
x
+
1
1 − sin
2
x
d (sin x) =
π
3
π
6
1
sin
2
x
d (sin x) +
1
2
π
3
π
6
1 − sin x + 1 + sin x
(1 − sin x)(1 + sin x)
d (sin x)
= −
1
sin x
π
3
π
6
+
1
2
π
3
π
6
1
1 + sin x
+
1
1 − sin x
d (sin x)
= 2 −
2
√
3
+
1
2
(ln |1 + sin x|−ln |1 − sin x|)
π
3
π
6
= 2 −
2
√
3
+ ln
1 +
2
√
3
.
f) I =
π
6
0
cos x
cos
4
x
dx =
π
6
0
1
1 − sin
2
x
2
d (sin x) =
1
4
π
6
0
1 + sin x + 1 − sin x
(1 + sin x)(1 − sin x)
2
d (sin x)
=
1
4
π
6
0
1
1 − sin x
+
1
1 + sin x
2
d (sin x)
=
1
4
π
6
0
1
(1 − sin x)
2
+
1
(1 + sin x)
2
+
2
(1 − sin x) (1 + sin x)
2
d (sin x)
=
1
4
1
1 − sin x
−
1
1 + sin x
π
6
0
+
1
4
π
6
0
1 − sin x + 1 + sin x
(1 − sin x)(1 + sin x)
d (sin x)
=
1
3
+
1
4
π
6
0
1
1 + sin x
+
1
1 − sin x
d (sin x)
=
1
3
+
1
4
(ln |1 + sin x|−ln |1 − sin x|)
π
6
0
=
1
3
+
1
4
ln 3.
Bài tập 5.27. Tính các tích phân sau:
a) (B-03) I =
π
4
0
1 − 2sin
2
x
1 + sin 2x
dx. b) (B-05) I =
π
2
0
sin 2x cos x
1 + cos x
dx.
c) (A-06) I =
π
2
0
sin 2x
cos
2
x + 4sin
2
x
dx.
d) I =
π
2
0
cos x
√
7 + cos 2x
dx.
e) I =
π
4
0
1
cos
2
x
1
cos
2
x
+ 2 tan x
dx.
f) (A-08) I =
π
6
0
tan
4
x
cos 2x
dx.
Lời giải.
a) I =
π
4
0
cos 2x
1 + sin 2x
dx =
1
2
π
4
0
1
1 + sin 2x
d (1 + sin 2x) =
1
2
ln |1 + sin 2x|
π
4
0
=
1
2
ln 2.
b) Ta có I = 2
π
2
0
sin xcos
2
x
1 + cos x
dx.
Đặt u = 1 + cos x ⇒ du = −sin xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2; x =
π
2
⇒ u = 1. Ta có
I = 2
2
1
(u − 1)
2
u
du = 2
2
1
u − 2 +
1
u
du = 2
u
2
2
− 2u + ln |u|
2
1
= 2 ln 2 −1
c) Đặt u =
cos
2
x + 4 sin
2
x ⇔ u
2
= cos
2
x + 4 sin
2
x ⇒ 2udu = 6 sin x cos xdx.
25
