Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (291.38 KB, 31 trang )
Mục lục
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . 3
§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 9
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức
Bài tập 9.1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
x
2
− 3x − 2
x − 1
≥ 2x + 2.
b)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2.
c) x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0.
d) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)
x
2
− 2x + 17
.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
x
2
− 3x − 2 −(x −1) (2x + 2)
x − 1
≥ 0 ⇔
−x
2
− 3x
x − 1
≥ 0.
Bảng xét dấu
x −∞ −3 0 1 +∞
−x
2
− 3x − 0 + 0 − | −
x − 1 − | − | − 0 +
VT + 0 − 0 + || −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪[0; 1).
b) Bất phương trình tương đương với
(x + 5)
2
+ (2x − 1)
2
− 2 (x + 5) (2x −1)
(2x − 1) (x + 5)
> 0 ⇔
x
2
− 12x + 36
2x
2
+ 9x − 5
> 0
Bảng xét dấu
x −∞ −5
1
2
6 +∞
x
2
− 12x + 36 + | + | + 0 +
2x
2
+ 9x − 5 + 0 − 0 + | +
VT + || − || + 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪
1
2
; 6
∪ (6; +∞).
c) Ta có x
3
− 3
√
3x
2
+ 7x −
√
3 = 0 ⇔
x −
√
3
x
2
− 2
√
3x + 1
= 0 ⇔
x =
√
3
x =
√
3 ±
√
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
√
3, x =
√
3 ±
√
2.
d) Phương trình tương đương với
(4 + x)
2
= (x − 1)
3
− (x − 1)
x
2
− 2x + 17
⇔ (4 + x)
2
= (x − 1)
x
2
− 2x + 1 −x
2
+ 2x − 17
= 0
⇔ x
2
+ 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x
2
+ 24x = 0 ⇔
x = 0
x = −24
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24.
3
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 9.2. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0. b) x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0.
c) x
4
− 4x
3
+ 7x + 2 = 0. d) x
3
− 3x
2
− 9x + 2 ≤ 0.
Lời giải.
a) Ta có x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)
x
2
− 4x + 1
= 0 ⇔
x = 1
x = 2 ±
√
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ±
√
3.
b) Ta có x
4
− 4x
3
− x
2
+ 16x − 12 = 0 ⇔ (x − 1)
x
3
− 3x
2
− 4x + 12
= 0 ⇔
x = 1
x = 3
x = ±2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2.
c) Ta có x
4
− 4x
3
+ 7x + 2 = 0 ⇔ (x + 1) (x − 2)
x
2
− 3x − 1
= 0 ⇔
x = −1
x = 2
x =
3±
√
13
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1, x = 2, x =
3 ±
√
13
2
.
d) Ta có x
3
− 3x
2
− 9x + 2 ≤ 0 ⇔ (x + 2)
x
2
− 5x + 1
≤ 0 ⇔
x ≤ −2
5−
√
21
2
≤ x ≤
5+
√
21
2
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2] ∪
5 −
√
21
2
;
5 +
√
21
2
.
Bài tập 9.3. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0. b) x
4
= (2x − 5)
2
.
c) x
4
− 4x − 1 = 0. d) x
4
= 6x
2
− 12x + 8.
Lời giải.
a) Ta có
x
2
− 4x + 3
2
−
x
2
− 6x + 5
2
= 0 ⇔
2x
2
− 10x + 8
(2x − 2) = 0 ⇔
x = 1
x = 4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4.
b) Ta có x
4
= (2x − 5)
2
⇔
x
2
+ 2x − 5
x
2
− 2x + 5
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
6.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
6.
c) Phương trình tương đương với
x
2
+ 1
2
= 2(x + 1)
2
⇔
x
2
+
√
2x + 1 +
√
2
x
2
−
√
2x + 1 −
√
2
= 0 ⇔ x =
√
2 ±
4
√
2 − 2
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
√
2 ±
4
√
2 − 2
2
.
d) Phương trình tương đương với
x
2
− 1
2
= (2x − 3)
2
⇔
x
2
+ 2x − 4
x
2
− 2x + 2
= 0 ⇔ x = −1 ±
√
5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ±
√
5.
Bài tập 9.4. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
x
2
+ 5x
2
− 2
x
2
+ 5x
− 24 = 0.
b)
x
2
+ x + 1
x
2
+ x + 2
= 12.
c)
x
2
− 2x − 2
2
− 2x
2
+ 3x + 2 = 0. d) (4x + 3)
2
(x + 1) (2x + 1) = 810.
e)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
f)
x − 1
x + 2
2
+
x − 3
x + 2
− 2
x − 3
x − 1
2
= 0.
Lời giải.
a) Đặt x
2
+ 5x = t. Phương trình trở thành t
2
− 2t − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = −4
.
Với t = 6 ⇒ x
2
+ 5x = 6 ⇔
x = 1
x = −6
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ 5x = −4 ⇔
x = −1
x = −4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6.
4
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
b) Đặt x
2
+ x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔
t = 3
t = −4
.
Với t = 3 ⇒ x
2
+ x + 1 = 3 ⇔
x = 1
x = −2
. Với t = −4 ⇒ x
2
+ x + 1 = −4 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Phương trình tương đương với (x
2
− 2x − 2)
2
− (x
2
− 2x − 2) −x
2
+ x = 0.
Đặt x
2
− 2x − 2 = t. Phương trình trở thành
t
2
− t − x
2
+ x = 0 ⇔ (t −x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t − x)(t + x −1) = 0 ⇔
t = x
t = 1 − x
Với t = x ⇒ x
2
− 2x − 2 = x ⇔ x =
3 ±
√
17
2
; t = 1 − x ⇒ x
2
− 2x − 2 = 1 −x ⇔ x =
1 ±
√
13
2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
3 ±
√
17
2
, x =
1 ±
√
13
2
.
d) Phương trình tương đương với
16x
2
+ 24x + 9
2x
2
+ 3x + 1
= 810 ⇔
8(2x
2
+ 3x + 1) + 1
2x
2
+ 3x + 1
= 810
Đặt 2x
2
+ 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔
t = 10
t = −
81
8
.
Với t = 10 ⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = 10 ⇔
x = −3
x =
3
2
. Với t = −
81
8
⇒ 2x
2
+ 3x + 1 = −
81
8
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x =
3
2
.
e) Điều kiện: x = 0.
Đặt
x
2
+ 1
x
= t. Phương trình trở thành t +
1
t
= −
5
2
⇔
t = −2
t = −
1
2
.
Với t = −2 ⇒
x
2
+ 1
x
= −2 ⇔ x
2
+ 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1.
Với t = −
1
2
⇒
x
2
+ 1
x
= −
1
2
⇔ 2x
2
+ x + 2 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có nghiệm x = −1.
f) Điều kiện: x = 1, x = −2.
Đặt
x − 1
x + 2
= u,
x − 3
x − 1
= v. Phương trình trở thành u
2
+ uv − 2v
2
= 0 ⇔
u = v
u = −2v
.
Với u = v ⇒
x − 1
x + 2
=
x − 3
x − 1
⇔ x
2
− 2x + 1 = x
2
− x − 6 ⇔ x = 7.
Với u = −2v ⇒
x − 1
x + 2
= −2.
x − 3
x − 1
⇔ x
2
−2x+1 = −2x
2
+2x+12 ⇔ 3x
2
−4x−11 = 0 ⇔ x =
2 ±
√
37
3
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x =
2 ±
√
37
3
.
Bài tập 9.5. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 16. b) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
c) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. d)
x
2
+ 1
(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
e) 2x
4
+ 3x
3
− 9x
2
− 3x + 2 = 0. f) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0.
Lời giải.
a) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành
(t − 1)
4
+ (t + 1)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 12t
2
− 14 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −7 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3.
b) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành
(t + 2)
4
+ (t − 2)
4
= 16 ⇔ 2t
4
+ 48t
2
− 50 = 0 ⇔
t
2
= 1
t
2
= −25 (loại)
⇔ t = ±1
Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2.
5
Nguyễn Minh Hiếu
c) Phương trình tương đương với
(x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔
x
2
+ 5x + 4
x
2
+ 5x + 6
= 3
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔
t = 1
t = −3
.
Với t = 1 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = 1 ⇔ x =
−5 ±
√
13
2
; t = −3 ⇒ x
2
+ 5x + 4 = −3 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−5 ±
√
13
2
.
d) Phương trình tương đương với
(x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔
x
2
+ 4x − 5
x
2
+ 4x + 3
+ 16 = 0
Đặt x
2
+ 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4.
Với t = −4 ⇒ x
2
+ 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ±
√
5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ±
√
5.
e) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 9 −
3
x
+
2
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
1
x
2
+ 3
x −
1
x
− 9 = 0
Đặt x −
1
x
= t ⇒ x
2
+
1
x
2
= t
2
+ 2. Phương trình trở thành 2
t
2
+ 2
+ 3t − 9 = 0 ⇔
t = 1
t = −
5
2
.
Với t = 1 ⇒ x −
1
x
= 1 ⇔ x
2
− x − 1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
.
Với t = −
5
2
⇒ x −
1
x
= −
5
2
⇔ 2x
2
+ 5x − 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
41
4
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
1 ±
√
5
2
, x =
−5 ±
√
41
4
.
f) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với
2x
2
+ 3x − 27 +
6
x
+
8
x
2
= 0 ⇔ 2
x
2
+
4
x
2
+ 3
x +
2
x
− 27 = 0
Đặt x +
2
x
= t ⇒ x
2
+
4
x
2
= t
2
− 4. Phương trình trở thành 2
t
2
− 4
+ 3t − 27 = 0 ⇔
t = −5
t =
7
2
.
Với t = −5 ⇒ x +
2
x
= −5 ⇔ x
2
+ 5x + 2 = 0 ⇔ x =
−5 ±
√
17
2
.
Với t =
7
2
⇒ x +
2
x
=
7
2
⇔ 2x
2
− 7x + 4 = 0 ⇔ x =
7 ±
√
17
4
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x =
−5 ±
√
17
2
, x =
7 ±
√
17
4
.
§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối
Bài tập 9.6. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
. b)
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
.
c)
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0. d)
x
2
+ 3x − 4
+
x
2013
+ 2013x − 2014
= 0.
e) |x − 2| < |2x + 1|. f)
2x − 3
x − 3
≤ 1.
Lời giải.
a) Ta có |x − 1| =
x
2
− 3x + 1
⇔
x − 1 = x
2
− 3x + 1
x − 1 = −x
2
+ 3x − 1
⇔
x = 2 ±
√
2
x = 0
x = 2
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ±
√
2, x = 0, x = 2.
6
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
b) Ta có
x
2
+ 4x − 5
=
x
2
+ 5
⇔
x
2
+ 4x − 5 = x
2
+ 5
x
2
+ 4x − 5 = −x
2
− 5
⇔
x =
5
2
x = 0
x = −2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x =
5
2
, x = 0, x = −2.
c) Ta có
x
2
+ 3x − 10
+
x
2
− 4
= 0 ⇔
x
2
+ 3x − 10 = 0
x
2
− 4 = 0
⇔
x = 2
x − 5
x = ±2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
d) Phương trình tương đương với
x
2
+ 3x − 4 = 0
x
2013
+ 2013x − 2014 = 0
⇔
x = 1 (thỏa mãn)
x = −4 (loại)
x
2013
+ 2013x − 2014 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
e) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2)
2
< (2x + 1)
2
⇔ 3x
2
+ 8x − 3 > 0 ⇔
x >
1
3
x < −3
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪
1
3
; +∞
.
f) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với
|2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3)
2
≤ (x − 3)
2
⇔ 3x
2
− 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2].
Bài tập 9.7. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
x
2
− 5x + 4
− x = 4.
b)
√
x
2
+ 4x + 4 = 5 −x
2
.
c)
x
2
− 2x
+ x
2
− 4 > 0. d)
x
2
− 5x + 4
≤ x
2
+ 6x + 5.
e)
x
2
− x
2
+
x
2
− x
− 6 = 0. f) 3
2x − 1
x + 1
2
−
x + 1
2x − 1
− 2 = 0.
Lời giải.
a) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, PT trở thành x
2
− 5x + 4 −x = 4 ⇔
x = 0
x = 6
(thỏa mãn).
Với x
2
−5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x
2
+ 5x −4 −x = 4 ⇔ x
2
−4x + 8 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6.
b) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 − x
2
.
Với x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x+2 = 5−x
2
⇔ x
2
+x−3 = 0 ⇔
x =
−1+
√
13
2
x =
−1−
√
13
2
(loại)
Với x+2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x−2 = 5−x
2
⇔ x
2
−x−7 = 0 ⇔
x =
1+
√
29
2
(loại)
x =
1−
√
29
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
−1 +
√
13
2
, x =
1 −
√
29
2
.
c) Với x
2
− 2x ≥ 0 ⇔
x ≥ 2
x ≤ 0
, bất phương trình trở thành
x
2
− 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔
x > 2
x < −1
(thỏa mãn) ⇒ S
1
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Với x
2
− 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 2x + x
2
− 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S
2
= ∅
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
= (−∞; −1) ∪ (2; +∞).
7
Nguyễn Minh Hiếu
d) Với x
2
− 5x + 4 ≥ 0 ⇔
x ≥ 4
x ≤ 1
, bất phương trình trở thành
x
2
− 5x + 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ x ≥ −
1
11
⇒ S
1
=
−
1
11
; 1
∪ [4; +∞)
Với x
2
− 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành
−x
2
+ 5x − 4 ≤ x
2
+ 6x + 5 ⇔ 2x
2
+ x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S
2
= (1; 4)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S
1
∪ S
2
=
−
1
11
; +∞
.
e) Đặt |x
2
− x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ t − 6 = 0 ⇔
t = 2
t = −3 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
x
2
− x
= 2 ⇔
x
2
− x = 2
x
2
− x = −2 (vô nghiệm)
⇔
x = 2
x = −1
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1.
f) Điều kiện: x = −1, x =
1
2
.
Đặt |
x + 1
2x − 1
| = t (t > 0). Phương trình trở thành
3
t
2
− t − 2 = 0 ⇔ t
3
+ 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1.
Với t = 1 ⇒
x + 1
2x − 1
= 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔
x + 1 = 2x −1
x + 1 = −2x + 1
⇔
x = 2
x = 0
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0.
Bài tập 9.8. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
b)
x
2
− 5x + 4
+
x
2
− 5x
= 4.
c) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|. d) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|.
e) |x − 1| −2 |x − 2| + 3 |x −3| = 4.
f)
x + 2
√
x − 1 +
x − 2
√
x − 1 = 2.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5.
Bảng xét dấu
x −∞ −2 1 +∞
x − 1 − | − 0 +
x + 2 − 0 + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại).
Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý).
Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
b) Bảng xét dấu
x −∞ 0 1 4 5 +∞
x
2
− 5x + 4 + | + 0 − 0 + | +
x
2
− 5x + 0 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (thỏa mãn)
x = 5 (loại)
.
Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (0; 1]).
Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x
2
+ 5x − 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔
x = 4 (thỏa mãn)
x = 1 (loại)
.
Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 −x
2
+ 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (4; 5]).
Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x
2
− 5x + 4 + x
2
− 5x = 4 ⇔
x = 0 (loại)
x = 5 (loại)
.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪[4; 5].
8
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
c) Bảng xét dấu
x −∞ −
3
4
6
5
9 +∞
9 − x + | + | + 0 −
6 − 5x + | + 0 − | −
4x + 3 − 0 + | + | +
Với x ∈
−∞; −
3
4
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = −
3
4
(thỏa mãn).
Với x ∈
−
3
4
;
6
5
, phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng, ∀x ∈
−
3
4
;
6
5
).
Với x ∈
6
5
; 9
, phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x =
6
5
(loại).
Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = −
3
4
(loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−
3
4
;
6
5
.
d) Bảng xét dấu
x −∞ −2
5
3
7
2
+∞
7 − 2x + | + | + 0 −
5 − 3x + | + 0 − | −
x + 2 − 0 + | + | +
Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x − x − 2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn).
Với x ∈
−2;
5
3
, phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng, ∀x ∈
−2;
5
3
).
Với x ∈
5
3
;
7
2
, phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x =
5
3
(loại).
Với x ∈
7
2
; +∞
, phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại).
Vậy phương trình có tập nghiệm S =
−2;
5
3
.
e) Bảng xét dấu
x −∞ 1 2 3 +∞
x − 1 − 0 + | + | +
x − 2 − | − 0 + | +
x − 3 − | − | − 0 +
Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).
Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x −1 −2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng, ∀x ∈ (1; 2]).
Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại).
Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x −3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪{5}.
f) Phương trình tương đương với
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 −1
= 2.
Với
√
x − 1 −1
≥ 0 ⇔ x ≥ 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 +
√
x − 1 −1 = 2 ⇔
√
x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
Với
√
x − 1 −1
< 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, phương trình trở thành
√
x − 1 + 1 −
√
x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng, ∀x ∈ [1; 2))
Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2].
§3. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn
Bài tập 9.9. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
3
√
6x − 9x
2
< 3x.
b)
2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
c) x −
√
x − 1 −7 = 0. d) (D-06)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x
2
< 27x
3
⇔ 27x
3
+ 9x
2
− 6x > 0.
Bảng xét dấu
x −∞ −
2
3
0
1
3
+∞
VT − 0 + 0 − 0 +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−
2
3
; 0
∪
1
3
; +∞
.
9
Nguyễn Minh Hiếu
b) Phương trình tương đương với
x + 1 ≥ 0
2x +
√
6x
2
+ 1 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
6x
2
+ 1 = x
4
+ 2x
2
+ 1
⇔
x ≥ −1
x = 0
x = 2
x = −2 (loại)
⇔
x = 0
x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2.
c) Phương trình tương đương với
√
x − 1 = x −7 ⇔
x ≥ 7
x − 1 = x
2
− 14x + 49
⇔
x ≥ 7
x = 5 (loại)
x = 10
⇔ x = 10
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
d) Phương trình tương đương với
√
2x − 1 = −x
2
+ 3x − 1 ⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
2x − 1 = x
4
+ 9x
2
+ 1 − 6x
3
+ 2x
2
− 6x
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x
4
− 6x
3
+ 11x
2
− 8x + 2 = 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
(x − 1)
2
x
2
− 4x + 2
= 0
⇔
−x
2
+ 3x − 1 ≥ 0
x = 1
x = 2 +
√
2 (loại)
x = 2 −
√
2
⇔
x = 0
x = 2 −
√
2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2 −
√
2.
Bài tập 9.10. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
x
2
− 4x − 12 ≤ x − 4. b)
√
x
2
− 4x − 12 > 2x + 3.
c) (A-04)
2 (x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
d)
√
x
3
+ 1 ≤ x + 1.
Lời giải.
a) Bất phương trình tương đương với
x − 4 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 ≤ x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≤ 7
⇔ 6 ≤ x ≤ 7
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7].
b) Bất phương trình tương đương với
2x + 3 < 0
x
2
− 4x − 12 ≥ 0
2x + 3 ≥ 0
x
2
− 4x − 12 > 4x
2
+ 12x + 9
⇔
x < −
3
2
x ≥ 6
x ≤ −2
x ≥ −
3
2
−3 < x < −
7
3
⇔ x ≤ −2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2].
10
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
c) Điều kiện: x ≥ 4. Bất phương trình tương đương với
2 (x
2
− 16) + x −3 > 7 − x ⇔
2 (x
2
− 16) > 10 − 2x ⇔
10 − 2x < 0
10 − 2x ≥ 0
2x
2
− 32 > 100 − 40x + 4x
2
⇔
x > 5
x ≤ 5
10 −
√
34 < x < 10 +
√
34
⇔
x > 5
10 −
√
34 < x ≤ 5
⇔ x > 10 −
√
34
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
10 −
√
34; +∞
.
d) Bất phương trình tương đương với
x
3
+ 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x
3
+ 1 ≤ x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
x (x + 1) (x −2) ≤ 0
⇔
x ≥ −1
x ≤ −1
0 ≤ x ≤ 2
⇔
x = −1
0 ≤ x ≤ 2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = {−1} ∪ [0; 2].
Bài tập 9.11. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
2x + 9 =
√
4 − x +
√
3x + 1. b)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4.
c) (A-05)
√
5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4. d) (CĐ-09)
√
x + 1 + 2
√
x − 2 ≤
√
5x + 1.
Lời giải.
a) Điều kiện: −
1
3
≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với
2x + 9 = 4 −x + 3x + 1 + 2
(4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2
−3x
2
+ 11x + 4
⇔ − 3x
2
+ 11x + 4 = 4 ⇔
x = 0
x =
11
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x =
11
3
.
b) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với
√
3x − 3 =
√
5 − x +
√
2x − 4 ⇔ 3x − 3 = 5 − x + 2x − 4 + 2
(5 − x) (2x − 4)
⇔ 2x − 4 = 2
(5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4)
2
= 4 (5 − x) (2x −4)
⇔(2x − 4) (2x −4 −20 + 4x) = 0 ⇔
x = 2
x = 4
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4.
c) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
√
5x − 1 >
√
x − 1 +
√
2x − 4 ⇔ 5x − 1 > x −1 + 2x − 4 + 2
(x − 1) (2x − 4)
⇔ x + 2 >
(x − 1) (2x − 4) ⇔ x
2
+ 4x + 4 > 2x
2
− 6x + 4 ⇔ 0 < x < 10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 10).
d) Điều kiện: x ≥ 2. Bất phương trình tương đương với
x + 1 + 4 (x − 2) + 4
(x + 1) (x − 2) ≤ 5x + 1 ⇔ x
2
− x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; 3].
Bài tập 9.12. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) (D-05) 2
x + 2 + 2
√
x + 1 −
√
x + 1 = 4.
b)
x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
c) (D-02)
x
2
− 3x
√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
d) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4.
11
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với 2
√
x + 1 + 1
−
√
x + 1 = 4 ⇔
√
x + 1 = 2 ⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
b) Bất phương trình tương đương với
x + 4
√
x − 4 ≥ 16 − 2x ⇔
√
x − 4 + 2 ≥ 16 − 2x ⇔
√
x − 4 ≥ 14 − 2x
⇔
14 − 2x < 0
x − 4 ≥ 0
14 − 2x ≥ 0
x − 4 ≥ 196 − 56x + 4x
2
⇔
x > 7
x ≥ 4
x ≤ 7
25
4
≤ x ≤ 8
⇔
x > 7
25
4
≤ x ≤ 7
⇔ x ≥
25
4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
25
4
; +∞
.
c) Bất phương trình tương đương với
√
2x
2
− 3x − 2 = 0
√
2x
2
− 3x − 2 > 0
x
2
− 3x ≥ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x > 2
x < −
1
2
x ≥ 3
x ≤ 0
⇔
x = 2
x = −
1
2
x ≥ 3
x < −
1
2
⇔
x = 2
x ≥ 3
x ≤ −
1
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =
−∞; −
1
2
∪ [3; +∞) ∪ {2}.
d) Bất phương trình tương đương với
(x − 2)
x
2
+ 4 < (x − 2) (x + 2) ⇔ (x − 2)
x
2
+ 4 − x −2
< 0
⇔
x − 2 > 0
√
x
2
+ 4 < x + 2
x − 2 < 0
√
x
2
+ 4 > x + 2
⇔
x > 2
x
2
+ 4 < x
2
+ 4x + 4
x < 2
x
2
+ 4 > x
2
+ 4x + 4
⇔
x > 2
x < 0
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪(2; +∞).
Bài tập 9.13. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2. b)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
c)
7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x −x
2
.
d)
x
2
−
7
x
2
+
x −
7
x
2
= x.
Lời giải.
a) Điều kiện:
x ≥ 1
x = −1
x ≤ −3
. Phương trình tương đương với
2 (x + 1) (x + 3) +
(x − 1) (x + 1) = 2(x + 1)
Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.
Với x ≥ 1, phương trình trở thành
√
x + 1
√
2x + 6 +
√
x − 1 −2
√
x + 1
= 0 ⇔
√
2x + 6 +
√
x − 1 = 2
√
x + 1
⇔ 2x + 6 + x −1 + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (x + 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = x −1
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1
x = −
25
7
(loại)
12
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với x ≤ −3, phương trình trở thành
√
−x − 1
√
−2x − 6 +
√
1 − x −2
√
−x − 1
= 0 ⇔
√
−2x − 6 +
√
1 − x = 2
√
−x − 1
⇔ − 2x −6 + 1 − x + 2
(2x + 6) (x − 1) = 4 (−x − 1) ⇔ 2
2x
2
+ 4x − 6 = 1 −x
⇔ 4
2x
2
+ 4x − 6
= x
2
− 2x + 1 ⇔ 7x
2
+ 18x − 25 = 0 ⇔
x = 1 (loại)
x = −
25
7
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = −1, x = −
25
7
.
b) Điều kiện: x ≤
3
√
2. Nhận thấy
√
2 − x
3
≥ 0 ⇒
3
√
x
2
− 2 ≥ 0 ⇔
x ≥
√
2
x ≤ −
√
2
.
Từ điều kiện ta có x ≤ −
√
2. Khi đó phương trình tương đương với
x
2
− 2
2
=
2 − x
3
3
⇔ x
4
− 4x
2
+ 4 = 8 − 12x
3
+ 6x
6
− x
9
= 0 ⇔ x
9
− 6x
6
+ x
4
+ 12x
3
− 4x
2
− 4 = 0
⇔ x
9
− 5x
6
−
x
3
−
1
2
x
2
+ 12x
3
−
15
4
x
2
− 4 = 0 (vô nghiệm).
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Ta có phương trình hệ quả
7 − x
2
+ x
√
x + 5 = 3 −2x −x
2
⇒ x
√
x + 5 = −2x −4
⇒x
2
(x + 5) = 4x
2
+ 16x + 16 ⇒
x = −1
x = ±4
Thử lại ta thấy x = ±4 không phải là nghiệm phương trình, do đó phương trình có nghiệm x = −1.
d) Ta có phương trình hệ quả
x
2
−
7
x
2
= x −
x −
7
x
2
⇒ x
2
−
7
x
2
= x
2
+ x −
7
x
2
− 2x
x −
7
x
2
⇒ x
1 − 2
x −
7
x
2
= 0 ⇒ 2
x −
7
x
2
= 1 ⇒ 4
x −
7
x
2
= 1
⇒ 4x
3
− x
2
− 28 = 0 ⇒ x = 2
Thử lại ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài tập 9.14. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 3
2 +
√
x − 2
= 2x +
√
x + 6.
b)
2x
√
2x + 1 −1
> 2x + 2.
c)
x
2
1 +
√
1 + x
2
> x − 4.
d) (A-2010)
x −
√
x
1 −
2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
Lời giải.
a) Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình tương đương với
3
√
x − 2 −
√
x + 6 = 2x −6 ⇔
9 (x − 2) − (x + 6)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
= 2x − 6
⇔ 8 (x − 3) = 2 (x −3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6
⇔ 2 (x − 3)
3
√
x − 2 +
√
x + 6 −4
= 0
⇔
x = 3
3
√
x − 2 +
√
x + 6 = 4
⇔
x = 3
9 (x − 2) + x + 6 + 6
(x − 2) (x + 6) = 16
⇔
x = 3
3
√
x
2
+ 4x − 12 = 14 −5x
⇔
x = 3
14 − 5x ≥ 0
9
x
2
+ 4x − 12
= 196 − 160x + 25x
2
⇔
x = 3
x ≤
14
5
16x
2
− 196x + 304 = 0
⇔
x = 3
x =
49±
√
2097
2
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
13
Nguyễn Minh Hiếu
b) Điều kiện: x ≥ −
1
2
, x = 0. Bất phương trình tương đương với
√
2x + 1 + 1 > 2x + 2 ⇔
√
2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > 4x
2
+ 4x + 1 ⇔ −
1
2
< x < 0
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
1
2
; 0
.
c) Điều kiện: x ≥ −1. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của bất phương trình.
Với x = 0, bất phương trình tương đương với
1 −
√
x + 1
2
> x − 4 ⇔ 1 + x + 1 −2
√
x + 1 > x − 4 ⇔
√
x + 1 < 3 ⇔ x < 8
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 8).
d) Điều kiện: x ≥ 0. Nhận thấy x
2
− x + 1 ≥
3
4
⇒
2 (x
2
− x + 1) > 1. Do đó PT tương đương với
x −
√
x ≤ 1 −
2 (x
2
− x + 1) ⇔
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 +
√
x − x
⇔
1 +
√
x − x ≥ 0
2x
2
− 2x + 2 ≤ 1 + x + x
2
+ 2
√
x − 2x −2x
√
x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 + x + x
2
− 2
√
x − 2x + 2x
√
x ≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
(1 −
√
x − x)
2
≤ 0
⇔
√
x ≥ x − 1
1 −
√
x − x = 0
⇔
√
x ≥ x − 1
√
x = 1 − x
⇔
√
x ≥ x − 1
1 − x ≥ 0
x = 1 − 2x + x
2
⇔
x ≤ 1
x =
3±
√
5
2
⇔ x =
3 −
√
5
2
Bài tập 9.15. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) (x + 5) (2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x.
b)
(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x
2
.
c) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x. d) x (x + 1) −
√
x
2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
e)
x
x + 1
− 2
x + 1
x
> 3.
f) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)
x+1
x−3
= −3.
Lời giải.
a) Phương trình tương đương với −x
2
− 3x + 10 = 3
√
x
2
+ 3x ⇔ x
2
+ 3x + 3
√
x
2
+ 3x − 10 = 0.
Đặt
√
x
2
+ 3x = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t
2
+ 3t − 10 = 0 ⇔
t = 2
t = −5 (loại)
.
Với t = 2 ⇒
√
x
2
+ 3x = 2 ⇔ x
2
+ 3x − 4 = 0 ⇔
x = 1
x = −4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −4.
b) Phương trình tương đương với
√
2 + x −x
2
= 1 + 2
x − x
2
.
Đặt
√
2 + x −x
2
= t (t ≥ 0).
Phương trình trở thành t = 1 + 2
t
2
− 2
⇔ 2t
2
− t − 3 = 0 ⇔
t = −1 (loại)
x =
3
2
Với t =
3
2
⇒
√
2 + x −x
2
=
3
2
⇔ 4
2 + x −x
2
= 9 ⇔ 4x
2
− 4x + 1 = 0 ⇔ x =
1
2
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
1
2
.
c) Đặt
√
2x
2
+ 4x + 3 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành
t
2
− 3
2
+ t ≥ 6 ⇔
t ≥ 3
t ≤ −5 (loại)
.
Với t ≥ 3 ⇒ 2x
2
+ 4x + 3 ≥ 9 ⇔
x ≥ 1
x ≤ −3
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪[1; +∞).
d) Đặt
√
x
2
+ x + 4 = t (t ≥ 0). Bất phương trình trở thành t
2
− 4 − t + 2 ≥ 0 ⇔
t ≥ 2
t ≤ −1 (loại)
.
Với t ≥ 2 ⇒ x
2
+ x + 4 ≥ 4 ⇔
x ≥ 0
x ≤ −1
.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1] ∪[0; +∞).
14
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
e) Điều kiện:
x > 0
x < −1
. Đặt
x + 1
x
= t (t > 0). Bất phương trình trở thành
1
t
2
− 2t > 3 ⇔ 2t
3
+ 3t
2
− 1 < 0 ⇔ (t + 1)
2
(2x − 1) < 0 ⇔ t <
1
2
Với t <
1
2
⇒
x + 1
x
<
1
4
⇔
3x + 4
4x
< 0 ⇔ −
4
3
< x < 0.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S =
−
4
3
; −1
.
f) Điều kiện:
x > 3
x ≤ −1
. Đặt (x − 3)
x+1
x−3
= t ⇒ (x − 3) (x + 1) = t
2
.
Phương trình trở thành t
2
+ 4t + 3 = 0 ⇔
t = −1
t = −3
.
Với t = −1 ⇒ (x − 3)
x+1
x−3
= −1 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 1
⇔ x = 1 −
√
5 (thỏa mãn).
Với t = −3 ⇒ (x − 3)
x+1
x−3
= −3 ⇔
x < 3
(x − 3) (x + 1) = 9
⇔ x = 1 −
√
13 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 −
√
5, x = 1 −
√
13.
Bài tập 9.16. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x +
√
4 − x
2
= 2 + 3x
√
4 − x
2
. b)
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x −9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
c) (B-2011) 3
√
2 + x − 6
√
2 − x + 4
√
4 − x
2
= 10 − 3x.
d) (B-2012) x + 1 +
√
x
2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
Lời giải.
a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Đặt x +
√
4 − x
2
= t ⇒ x
√
4 − x
2
=
t
2
− 4
2
.
Phương trình trở thành t = 2 +
3
t
2
− 4
2
⇔ 3t
2
− 2t − 8 = 0 ⇔
t = 2
t = −
4
3
.
Với t = 2 ⇒
√
4 − x
2
= 2 − x ⇔ 4 − x
2
= 4 − 4x + x
2
⇔
x = 0
x = 2
(thỏa mãn).
Với t = −
4
3
⇒
√
4 − x
2
= −
4
3
− x ⇔
x ≤ −
4
3
9
4 − x
2
= (4 + 3x)
2
⇔ x =
−2 −
√
14
3
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0, x = 2, x =
−2 −
√
14
3
.
b) Điều kiện: t ≥ 1. Đặt
√
3x − 2 +
√
x − 1 = t (t ≥ 0) ⇔ 4x + 2
√
3x
2
− 5x + 2 = t
2
+ 3.
Phương trình trở thành t = t
2
+ 3 − 9 ⇔ t
2
− t − 6 = 0 ⇔
t = 3
t = −2 (loại)
.
Với t = 3 ⇒
3x
2
− 5x + 2 = 3 −2x ⇔
x ≤
3
2
3x
2
− 5x + 2 = (3 −2x)
2
⇔ x =
7 −
√
21
2
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x =
7 −
√
21
2
.
c) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. Phương trình tương đương với 3
√
2 + x −2
√
2 − x
+ 4
√
4 − x
2
= 10 −3x.
Đặt
√
2 + x −2
√
2 − x = t ⇒ 4
√
4 − x
2
= 10 −3x −t
2
. Phương trình trở thành 3t −t
2
= 0 ⇔
t = 0
t = 3
.
Với t = 0 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x ⇔ 2 + x = 4 (2 − x) ⇔ x =
6
5
(thỏa mãn).
Với t = 3 ⇒
√
2 + x = 2
√
2 − x + 3 ⇔ 12
√
2 − x = 5x − 15 (vô nghiệm vì 5x − 15 < 0, ∀x ∈ [−2; 2]).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
6
5
.
d) Điều kiện:
0 ≤ x ≤ 2 −
√
3
x ≥ 2 +
√
3
. Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.
Với x > 0, bất phương trình tương đương với
√
x +
1
√
x
+
x +
1
x
− 4 ≥ 3.
15
Nguyễn Minh Hiếu
Đặt
√
x +
1
√
x
= t (t > 0) ⇒ x +
1
x
= t
2
− 2, bất phương trình trở thành
t
2
− 6 ≥ 3 − t ⇔
3 − t < 0
3 − t ≥ 0
t
2
− 6 ≥ 9 − 6t + t
2
⇔
t > 3
5
2
≤ t ≤ 3
⇔ t ≥
5
2
Với t ≥
5
2
⇒
√
x +
1
√
x
≥
5
2
⇔ 2x − 5
√
x + 2 ≥ 0 ⇔
√
x ≥ 2
√
x ≤
1
2
⇔
x ≥ 4
0 < x ≤
1
4
.
Kết hợp ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =
0;
1
4
∪ [4; +∞).
Bài tập 9.17. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
2
− 1 = 2x
√
x
2
− 2x. b) (4x − 1)
√
x
3
+ 1 = 2x
3
+ 2x + 1.
c) x
2
+ 3x + 1 = (x + 3)
√
x
2
+ 1. d) x
2
+ 4x = (x + 2)
√
x
2
− 2x + 24.
Lời giải.
a) Đặt
√
x
2
− 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 1 = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t −1) ⇔ (t − 1) (t + 1 −2x) = 0 ⇔
t = 1
t = 2x − 1
Với t = 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 1 ⇔ x
2
− 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2.
Với t = 2x − 1 ⇒
√
x
2
− 2x = 2x − 1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
2
− 2x = (2x − 1)
2
⇔
x ≥
1
2
3x
2
− 2x + 1 = 0
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
2.
b) Đặt
√
x
3
+ 1 = t (t ≥ 0) ⇒ x
3
= t
2
− 1. Phương trình trở thành
(4x − 1) t = 2
t
2
− 1
+ 2x + 1 ⇔ 2t
2
− (4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔
t =
1
2
t = 2x − 1
Với t =
1
2
⇒
x
3
+ 1 =
1
2
⇔ x
3
= −
3
4
⇔ x = −
3
√
6
2
.
Với t = 2x −1 ⇒
√
x
3
+ 1 = 2x − 1 ⇔
2x − 1 ≥ 0
x
3
+ 1 = 4x
2
− 4x + 1
⇔
x ≥
1
2
x = 0
x = 2
⇔ x = 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = −
3
√
6
2
, x = 2.
c) Đặt
√
x
2
+ 1 = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
+ 1 = t
2
. Phương trình trở thành
t
2
+ 3x = (x + 3) t ⇔ t (t −x) + 3 (x − t) = 0 ⇔ (t − x) (t − 3) = 0 ⇔
t = x
t = 3
Với t = 3 ⇒
√
x
2
+ 1 = 3 ⇔ x
2
= 8 ⇔ x = ±2
√
2.
Với t = x ⇒
√
x
2
+ 1 = x ⇔
x ≥ 0
x
2
+ 1 = x
2
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2
√
2.
d) Đặt
√
x
2
− 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x
2
= t
2
+ 2x − 24. Phương trình trở thành
t
2
+ 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t
2
− (x + 2) t + 6x − 24 = 0 ⇔
t = 6
t = x − 4
Với t = 6 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = 6 ⇔ x
2
− 2x − 12 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
13.
Với t = x−4 ⇒
√
x
2
− 2x + 24 = x−4 ⇔
x − 4 ≥ 0
x
2
− 2x + 24 = x
2
− 8x + 16
⇔
x ≥ 4
x = −
4
3
(vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ±
√
13.
16
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Bài tập 9.18. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a)
3
√
2 − x = 1 −
√
x − 1. b) (A-09) 2
3
√
3x − 2 + 3
√
6 − 5x −8 = 0.
c) 2
x
2
+ 2
= 5
√
x
3
+ 1. d) 2
x
2
− 3x + 2
= 3
√
x
3
+ 8.
Lời giải.
a) Đặt
3
√
2 − x = u,
√
x − 1 = v (v ≥ 0) ⇒ 2 − x = u
3
, x − 1 = v
2
.
Phương trình trở thành
u = 1 − v (1)
u
3
+ v
2
= 1 (2)
.
Thay (1) vào (2) ta có (1 − v)
3
+ v
2
= 1 ⇔ 1 − 3v + 3v
2
− v
3
+ v
2
= 1 ⇔
v = 0
v = 1
v = 3
⇒
x = 1
x = 2
x = 10
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2, x = 10.
b) Đặt
3
√
3x − 2 = u,
√
6 − 5x = v (v ≥ 0) ⇒ 3x − 2 = u
3
, 6 − 5x = v
2
.
Phương trình trở thành
2u + 3v − 8 = 0 (1)
5u
3
+ 3v
2
= 8 (2)
.
Từ (1) ⇒ v =
8 − 2u
3
vào (2) ta có
5u
3
+ 3
8 − 2u
3
2
= 8 ⇔ 15u
3
+ 64 − 32u + 4u
2
= 24 ⇔ u = −2 ⇒ v = 4 ⇒ x = −2
Vậy phương trình nghiệm duy nhất x = −2.
c) Phương trình tương đương với 2
x
2
+ 2
= 5
(x + 1) (x
2
− x + 1).
Đặt
√
x + 1 = u,
√
x
2
− x + 1 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ u
2
+ v
2
= x
2
+ 2. Phương trình trở thành
2
u
2
+ v
2
= 5uv ⇔ 2u
2
− 5uv + 2v
2
= 0 ⇔
u = 2v
v = 2u
Với u = 2v ⇒
√
x + 1 = 2
√
x
2
− x + 1 ⇔ x + 1 = 4
x
2
− x + 1
⇔ 4x
2
− 5x + 3 = 0 (vô nghiệm).
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− x + 1 = 2
√
x + 1 ⇔ x
2
− x + 1 = 4 (x + 1) ⇔ x =
5±
√
37
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
5 ±
√
37
2
.
d) Phương trình tương đương với 2
x
2
− 3x + 2
= 3
(x + 2) (x
2
− 2x + 4).
Đặt
√
x + 2 = u,
√
x
2
− 2x + 4 = v (u ≥ 0, v > 0) ⇒ v
2
− u
2
= x
2
− 3x + 2. Phương trình trở thành
2
v
2
− u
2
= 3uv ⇔ 2u
2
+ 3uv − 2v
2
= 0 ⇔
u = −2v (loại)
v = 2u
Với v = 2u ⇒
√
x
2
− 2x + 4 = 2
√
x + 2 ⇔ x
2
− 2x + 4 = 4 (x + 2) ⇔ x = 3 ±
√
13.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ±
√
13.
Bài tập 9.19. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
2
+
√
x + 5 = 5. b) x
3
+ 2 = 3
3
√
3x − 2.
c) x
3
+ 1 = 2
3
√
2x − 1.
d) x
3
√
35 − x
3
x +
3
√
35 − x
3
= 30.
Lời giải.
a) Đặt
√
x + 5 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
x
2
= −t + 5 (1)
t
2
= x + 5 (2)
.
Trừ theo vế (2) và (1) ta có t
2
− x
2
= x + t ⇔ (x + t) (t − x − 1) = 0 ⇔
t = −x
t = x + 1
.
Với t = −x ⇒
√
x + 5 = −x ⇔
−x ≥ 0
x + 5 = x
2
⇔
x ≤ 0
x =
1±
√
21
2
⇔ x =
1 −
√
21
2
.
Với t = x + 1 ⇒
√
x + 5 = x + 1 ⇔
x + 1 ≥ 0
x + 5 = x
2
+ 2x + 1
⇔
x ≥ −1
x =
−1±
√
17
2
⇔ x =
−1 +
√
17
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =
1 −
√
21
2
, x =
−1 +
√
17
2
.
17
Nguyễn Minh Hiếu
b) Đặt
3
√
3x − 2 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 2 = 3t (1)
t
3
+ 2 = 3x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 3t − 3x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 3 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 3
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 3 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
3x − 2 = x ⇔ 3x − 2 = x
3
⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2.
c) Đặt
3
√
2x − 1 = t. Phương trình trở thành
x
3
+ 1 = 2t (1)
t
3
+ 1 = 2x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có
x
3
− t
3
= 2t − 2x ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
= 2 (t − x)
⇔(x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 2
= 0 ⇔
x = t
x
2
+ xt + t
2
+ 2 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
3
√
2x − 1 = x ⇔ 2x − 1 = x
3
⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
.
Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x =
−1 ±
√
5
2
.
d) Đặt
3
√
35 − x
3
= t. Phương trình trở thành
xt(x + t) = 30
t
3
+ x
3
= 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
− 3xt (x + t) = 35
⇔
xt(x + t) = 30
(t + x)
3
= 125
⇔
xt = 6
t + x = 5
⇒
x = 2
x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
Bài tập 9.20. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. b) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x + 1)
√
2x + 1 = 0.
c)
1 +
√
1 − x
2
= x
1 + 2
√
1 − x
2
.
d) x +
3 (1 − x
2
) = 2
1 − 2x
2
.
Lời giải.
a) Đặt
√
2x + 3 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
x
3
+ 4x −
t
2
+ 4
t = 0 ⇔ (x − t)
x
2
+ xt + t
2
+ 4
= 0
⇔
t = x
x
2
+ xt + t
2
+ 4 = 0 (vô nghiệm)
Với t = x ⇒
√
2x + 3 = x ⇔
x ≥ 0
2x + 3 = x
2
⇔
x ≥ 0
x = 3
x = −1
⇔ x = 3.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
b) Phương trình tương đương với 8x
3
+ 2x − (2x + 2)
√
2x + 1 = 0.
Đặt
√
2x + 1 = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành
8x
3
+ 2x −
t
2
+ 1
t = 0 ⇔ (2x − t)
4x
2
+ 2xt + t
2
+ 1
= 0
⇔
t = 2x
4x
2
+ 2xt + t
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm)
18
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Với t = 2x ⇒
√
2x + 1 = 2x ⇔
2x ≥ 0
2x + 1 = 4x
2
⇔
x ≥ 0
x =
1±
√
5
4
⇔ x =
1 +
√
5
4
.
Vậy phương trình có nghiệm x =
1 +
√
5
4
.
c) Nhận thấy 0 ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈
0;
π
2
. Phương trình trở thành
1 +
1 − sin
2
t = sin t
1 + 2
1 − sin
2
t
⇔
√
1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t)
⇔1 + cos t = sin
2
t
1 + 4 cos t + 4cos
2
t
⇔ 1 = (1 − cos t)
1 + 4 cos t + 4cos
2
t
⇔4cos
3
t − 3 cos t = 0 ⇔ cos 3t = 0 ⇔ t =
π
6
+ k
π
3
(k ∈ Z)
Vì t ∈
0;
π
2
nên t ∈
π
6
;
π
2
⇒ x ∈
1;
1
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x =
1
2
.
d) Nhận thấy − ≤ x ≤ 1 nên đặt x = sin t t ∈
−
π
2
;
π
2
. Phương trình trở thành
sin t +
3
1 − sin
2
t
= 2
1 − 2sin
2
t
⇔ sin t +
√
3 cos t = 2 cos 2t
⇔cos
t −
π
6
= cos 2t ⇔
t = −
π
6
− k2π
t =
π
18
+ k
2π
3
(k ∈ Z)
Vì t ∈
−
π
2
;
π
2
nên t ∈
−
π
6
;
π
18
⇒ x ∈
sin
π
18
; −
1
2
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = sin
π
18
, x = −
1
2
.
§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực
Bài tập 9.21. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x
2
+ y
2
+ xy = 4
x + y + xy = 2
. b)
x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
.
c)
x
3
+ y
3
+ x
3
y
3
= 17
x + y + xy = 5
. d) (DB-05)
x
2
+ y
2
+ x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
.
e)
x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
+ 3(x − y)
2
− 4 = 0
. f)
x
2
− xy + y
2
= 3(x − y)
x
2
+ xy + y
2
= 7(x − y)
2
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− xy = 4
x + y + xy = 2
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S
2
− P = 4 (1)
S + P = 2 (2)
.
Từ (2) ⇒ P = 2 − S thay vào (1) ta có S
2
+ S −6 = 0 ⇔
S = 2
S = −3
.
Với S = 2 ⇒ P = 0 ⇒
x + y = 2
xy = 0
⇔
x = 2
y = 0
hoặc
x = 0
y = 2
.
Với S = −3 ⇒ P = 5 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) và (x; y) = (0; 2).
b) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− xy = 7
x + y + xy = 5
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S
2
− P = 7 (1)
S + P = 5 (2)
.
19
Nguyễn Minh Hiếu
Từ (2) ⇒ P = 5 − S thay vào (1) ta có S
2
+ S −12 = 0 ⇔
S = 3
S = −4
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒
x + y = 3
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = 1
y = 2
.
Với S = −4 ⇒ P = 9 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).
c) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
3
− 3xy(x + y) + (xy)
3
= 17
x + y + xy = 5
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S
3
− 3SP + P
3
= 17 (1)
S + P = 5 (2)
.
Từ (2) ⇒ P = 5 − S thay vào (1) ta có S
2
− 5S + 6 = 0 ⇔
S = 3
S = 2
.
Với S = 3 ⇒ P = 2 ⇒
x + y = 3
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = 1
y = 2
.
Với S = 2 ⇒ P = 3 (loại).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (1; 2).
d) Hệ đã cho tương đương với
(x + y)
2
− 2xy + x + y = 4
(x + y)
2
− xy + x + y = 2
. Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ).
Hệ trở thành
S
2
− 2P + S = 4
S
2
− P + S = 2
⇔
P = −2
S
2
+ S = 0
⇔
S = 0
P = −2
hoặc
S = −1
P = −2
.
Với
S = 0
P = −2
⇒
x + y = 0
xy = −2
⇔
x =
√
2
y = −
√
2
hoặc
x = −
√
2
y =
√
2
.
Với
S = −1
P = −2
⇒
x + y = −1
xy = −2
⇔
x = 1
y = −2
hoặc
x = −2
y = 1
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
√
2; −
√
2
, (x; y) =
−
√
2;
√
2
, (x; y) = (1; −2) và (x; y) = (−2; 1).
e) Hệ đã cho tương đương với
x + y + xy = 1
(x + y)
3
− 3xy (x + y) + 3(x + y)
2
− 12xy − 4 = 0
.
Đặt x + y = S, xy = P (S
2
≥ 4P ). Hệ trở thành
S + P (1)
S
3
− 3P S + 3S
2
− 12P −4 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ P = 1 − S thay vào (2) ta có S
3
− 3S (1 − S) + 3S
2
− 12 (1 − S) − 4 = 0 ⇔ S = 1.
Với S = 1 ⇒ P = 0 ⇒
x + y = 1
xy = 0
⇔
x = 0
y = 1
hoặc
x = 1
y = 0
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 0).
f) Hệ đã cho tương đương với
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
(x − y)
2
+ 3xy = 7(x − y)
2
⇔
(x − y)
2
+ xy = 3 (x − y)
xy = 2(x − y)
2
.
Đặt x − y = S, xy = P . Hệ trở thành
S
2
+ P = 3S
P = 2S
2
⇔
3S
2
− 3S = 0
P = 2S
2
⇔
S = 0
P = 0
hoặc
S = 1
P = 2
Với
S = 0
P = 0
⇒
x − y = 0
xy = 0
⇔
x = 0
y = 0
; với
S = 1
P = 2
⇒
x − y = 1
xy = 2
⇔
x = 2
y = 1
hoặc
x = −1
y = −2
.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−1; −2).
Bài tập 9.22. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x
2
− 2y
2
= 2x + y
y
2
− 2x
2
= 2y + x
. b)
x − 3y =
4y
x
y − 3x =
4x
y
.
c) (B-03)
3y =
y
2
+ 2
x
2
3x =
x
2
+ 2
y
2
. d)
2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
.
20
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
Lời giải.
a) Xét hệ
x
2
− 2y
2
= 2x + y (1)
y
2
− 2x
2
= 2y + x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
− 3y
2
= x − y ⇔ (x −y) (3x + 3y − 1) = 0 ⇔
x = y
y =
1−3x
3
.
Với x = y thay vào (1) ta có −x
2
= 3x ⇔
x = 0
x = −3
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (x; y) = (−3; −3).
Với y =
1 − 3x
3
thay vào (1) ta có x
2
−
2(1 − 3x)
2
9
= 2x +
1 − 3x
3
⇔ 9x
2
− 3x + 5 = 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−3; −3).
b) Hệ đã cho tương đương với
x
2
− 3xy = 4y (1)
y
2
− 3xy = 4x (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có x
2
− y
2
= 4y − 4x ⇔ (x − y) (x + y + 4) = 0 ⇔
x = y
y = −x − 4
.
Với x = y thay vào (1) ta có −2x
2
= 4x ⇔
x = 0
x = −2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0), (x; y) = (−2; −2).
Với y = −x −4 thay vào (1) ta có x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) và (x; y) = (−2; −2).
c) Từ vế phải của các phương trình ta có x, y > 0. Hệ đã cho tương đương với
3x
2
y = y
2
+ 2 (1)
3xy
2
= x
2
+ 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 3x
2
y − 3xy
2
= y
2
− x
2
⇔ (x − y) (3xy + x + y) = 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= x
2
+ 2 ⇔ x = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
d) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ x
2
y = 3 (1)
2y
3
+ xy
2
= 3 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− 2y
3
+ x
2
y − xy
2
= 0 ⇔ (x − y)
2x
2
+ 3xy + 2y
2
= 0 ⇔ x = y.
Với x = y thay vào (1) ta có 3x
3
= 3 ⇔ x = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).
Bài tập 9.23. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x
2
− xy = 2
2x
2
+ 4xy − 2y
2
= 14
. b)
x
2
− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)
x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)
(x − y)(x
2
+ y
2
) = 13
(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
.
Lời giải.
a) Hệ đã cho tương đương với
7x
2
− 7xy = 14 (1)
2x
2
+ 4xy − 2y
2
= 14 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 5x
2
− 11xy + 2y
2
= 0 ⇔
x = 2y
y = 5x
.
Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y
2
= 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1), (x; y) = (−2; −1).
Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x
2
= 14 (vô nghiệm).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) và (x; y) = (−2; −1).
b) Hệ đã cho tương đương với
5x
2
− 10xy + 15y
2
= 45 (1)
9x
2
− 36xy + 45y
2
= 45 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có −4x
2
+ 26xy − 30y
2
= 0 ⇔
x = 5y
x =
3
2
y
.
Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y
2
= 45 ⇔ y = ±
1
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
5
√
2
; ±
1
√
2
.
Với y =
3
2
x thay vào (1) ta có
95
4
x
2
= 45 ⇔ x = ±
6
√
19
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
±
6
√
19
; ±
9
√
19
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) =
±
5
√
2
; ±
1
√
2
và (x; y) =
±
6
√
19
; ±
9
√
19
.
21
Nguyễn Minh Hiếu
c) Hệ đã cho tương đương với
2x
3
+ 2y
3
= 2 (1)
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 2x
3
− x
2
y − 2xy
2
+ y
3
= 0 ⇔
x = y
x = −y
y = 2x
.
Với x = y thay vào (1) ta có 4x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
2
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
.
Với x = −y thay vào (1) ta có 0 = 2 (vô nghiệm).
Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x
3
= 2 ⇔ x =
1
3
√
9
⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1
3
√
2
;
1
3
√
2
và (x; y) =
1
3
√
9
;
2
3
√
9
.
d) Hệ đã cho tương đương với
x
3
− x
2
y + xy
2
− y
3
= 13
x
3
+ x
2
y − xy
2
− y
3
= 25
⇔
25x
3
− 25x
2
y + 25xy
2
− 25y
3
= 325 (1)
13x
3
+ 13x
2
y − 13xy
2
− 13y
3
= 325 (2)
.
Trừ theo vế (1) và (2) ta có 12x
3
− 38x
2
y + 38xy
2
− 12y
3
= 0 ⇔
x = y
x =
3
2
y
x =
2
3
y
.
Với x = y thay vào (1) ta có 0 = 325 (vô nghiệm).
Với x =
3
2
y thay vào (1) ta có
325
8
y
3
= 325 ⇔ y = 2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2).
Với x =
2
3
y thay vào (1) ta có −
325
27
y
3
= 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3).
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (−2; −3).
§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực
Bài tập 9.24. Giải các hệ phương trình sau:
a) (CĐ-2013)
xy − 3y + 1 = 0
4x − 10y + xy
2
= 0
. b) (DB-06)
x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
e) (B-09)
xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
. f)
x
2
+ y
2
− xy + 4y + 1 = 0
y
7 − (x −y)
2
= 2(x
2
+ 1)
.
Lời giải.
a) Xét hệ
xy − 3y + 1 = 0 (1)
4x − 10y + xy
2
= 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ x =
3y − 1
y
thay vào (2) ta có
4
3y − 1
y
− 10y + (3y − 1) y = 0 ⇔ 3y
3
− 11y
2
+ 12y − 4 = 0 ⇔
y = 1
y = 2
y =
2
3
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (2; 1), (x; y) =
5
2
; 2
và (x; y) =
3
2
;
2
3
.
b) Xét hệ
x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y (1)
(x
2
+ 1)(y + x − 2) = y (2)
.
Từ (1) ⇒ x
2
+ 1 = y(4 − y −x) thay vào (2) ta có
y (4 − y − x) (x + y − 2) = y ⇔ y
(x + y)
2
− 6(x + y) + 9
= 0 ⇔
y = 0
y = 3 − x
Với y = 0 thay vào (1) ta có x
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm).
Với y = 3 −x thay vào (1) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (−2; 5).
22
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
c) Hệ đã cho tương đương với
(x
2
+ xy)
2
= 2x + 9 (1)
x
2
+ 2xy = 6x + 6 (2)
.
Từ (2) ⇒ xy =
6x + 6 −x
2
2
thay vào (1) ta có
x
2
+
6x + 6 −x
2
2
2
= 2x + 9 ⇔ x
4
+ 12x
3
+ 48x
2
+ 64x = 0 ⇔
x = 0
x = −4
Với x = 0 thay vào (2) ta có 0 = 6 (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y =
17
4
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =
−4;
17
4
.
d) Xét hệ
x(x + y + 1) − 3 = 0 (1)
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 (2)
.
Từ (1) ⇒ x + y =
3
x
− 1 thay vào (2) ta có
3
x
− 1
2
−
5
x
2
+ 1 = 0 ⇔
4
x
2
−
6
x
+ 2 = 0 ⇔
x = 0
2x
2
− 6x + 4 = 0
⇔
x = 1
x = 2
Với x = 1 thay vào (1) ta có y = 1; x = 2 thay vào (1) ta có y = −
3
2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
2; −
3
2
.
e) Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ.
Với y = 0, hệ đã cho tương đương với
x +
x
y
+
1
y
= 7
x
2
+
x
y
+
1
y
2
⇔
x +
1
y
+
x
y
= 7 (1)
x +
1
y
2
−
x
y
= 13 (2)
.
Từ (1) ⇒
x
y
= 7 −
x +
1
y
thay vào (2) ta có
x +
1
y
2
−
7 −
x +
1
y
= 13 ⇔
x +
1
y
= 4
x +
1
y
= −5
Với x +
1
y
= 4 ⇒
x
y
= 3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) =
1;
1
3
hoặc (x; y) = (3; 1).
Với x +
1
y
= −5 ⇒
x
y
= 12 ⇒ hệ vô nghiệm.
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1;
1
3
và (x; y) = (3; 1).
f) Xét hệ phương trình:
x
2
+ y
2
− xy + 4y + 1 = 0 (1)
y
7 − (x −y)
2
= 2
x
2
+ 1
(2)
.
Từ (1) ta có x
2
+ 1 = −y
2
+ xy − 4y thay vào (2) ta có
y
7 − (x −y)
2
= 2
−y
2
+ xy − 4y
⇔ y
2 ((x − y) − 4) −7 + (x − y)
2
= 0
⇔
y = 0
(x − y)
2
+ 2 (x − y) − 15 = 0
⇔
y = 0
x − y = 3
x − y = −5
Với y = 0 thay vào (1) được x
2
+ 1 = 0 (vô nghiệm).
Với x = y + 3 thay vào (1) được y
2
+ 7y + 10 = 0 ⇔
y = −2
y = −5
⇒
x = 1
x = −2
.
Với x = y − 5 thay vào (1) được y
2
− y + 26 = 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x; y) = (1; −2) và (x; y) = (−2; −5).
Bài tập 9.25. Giải các hệ phương trình sau:
a) (B-02)
3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
. b) (DB-07)
x
4
− x
3
y − x
2
y
2
= 1
x
3
y − x
2
− xy = −1
.
c) (D-08)
xy + x + y = x
2
− 2y
2
x
√
2y − y
√
x − 1 = 2x −2y
. d) (D-2012)
xy + x − 2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy − y = 0
.
e)
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2
x
2
− 2y − 1 +
3
y
3
− 14 = x − 2
. f) (A-2011)
5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) + 2 = (x + y)
2
.
23
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Xét hệ
3
√
x − y =
√
x − y
x + y =
√
x + y + 2
.
Điều kiện: x − y ≥ 0, x + y + 2 ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ (x −y)
2
= (x − y)
3
⇔ (x − y)
2
(x − y − 1) = 0 ⇔
x = y
x = y + 1
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2y =
√
2y + 2 ⇔
y ≥ 0
4y
2
= 2y + 2
⇔ y = 1 ⇒ x = 1 (thỏa mãn).
Với x = y + 1 thay vào (2) ta có
2y + 1 =
2y + 3 ⇔
2y + 1 ≥ 0
4y
2
+ 4y + 1 = 2y + 3
⇔ y =
1
2
⇒ x =
3
2
(thỏa mãn)
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
3
2
;
1
2
.
b) Xét hệ
x
4
− x
3
y − x
2
y
2
= 1 (1)
x
3
y − x
2
− xy = −1 (2)
.
Ta có (2) ⇔ x
2
(xy − 1) = xy − 1 ⇔ (xy − 1)
x
2
− 1
= 0 ⇔
x = ±1
y =
1
x
.
Với x = 1 thay vào (1) ta có y
2
+ y = 0 ⇔
y = 0
y = −1
.
Với x = −1 thay vào (1) ta có y
2
− y = 0 ⇔
y = 0
y = 1
.
Với y =
1
x
thay vào (1) ta có x
4
− x
2
− 2 = 0 ⇔ x
2
= 2 ⇔ x = ±
√
2 ⇒ y = ±
1
√
2
.
Vậy hệ có sáu nghiệm (x; y) = (±1; 0), (x, y) = (±1; ∓1), (x; y) =
√
2;
√
2
và (x; y) =
1
√
2
; −
1
√
2
.
c) Xét hệ
xy + x + y = x
2
− 2y
2
(1)
x
√
2y − y
√
x − 1 = 2x −2y (2)
.
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 0.
Ta có (1) ⇔ y (x + y) + x + y = (x − y) (x + y) ⇔ (x + y) (y + 1 − x + y) = 0 ⇔ x = 2y + 1.
Với x = 2y + 1 thay vào (2) ta có
(2y + 1)
2y − y
2y = 2y + 2 ⇔ (y + 1)
2y = 2 (y + 1) ⇔
2y = 2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 5
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 2).
d) Xét hệ
xy + x − 2 = 0 (1)
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy − y = 0 (2)
.
Ta có (2) ⇔ 2x
x
2
− y
− y
x
2
− y
+ x
2
− y = 0 ⇔
x
2
− y
(2x − y + 1) = 0 ⇔
y = x
2
y = 2x + 1
.
Với y = x
2
thay vào (1) ta có x
3
+ x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1.
Với y = 2x + 1 thay vào (1) ta có 2x
2
+ 2x − 2 = 0 ⇔ x =
−1±
√
5
2
⇒ y = ±
√
5.
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) =
−1+
√
5
2
;
√
5
và (x; y) =
−1−
√
5
2
; −
√
5
.
e) Xét hệ
x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy (1)
2
x
2
− 2y − 1 +
3
y
3
− 14 = x − 2 (2)
.
Điều kiện: x
2
≥ 2y + 1.
Ta có (1) ⇔ x
2
(x − y) = 2y (x −y) ⇔ (x −y)
x
2
− 2y
= 0 ⇔
x = y
x
2
= 2y (loại)
.
Với x = y thay vào (2) ta có 2
√
x
2
− 2x − 1 +
3
√
x
3
− 14 = x − 2(∗).
Đặt
√
x
2
− 2x − 1 = u ≥ 0,
3
√
x
3
− 14 = v ⇒ v
3
− 6u
2
= (x − 2)
3
.
Phương trình (∗) trở thành
v
3
− 6u
2
= (2u + v)
3
⇔ 2u
u
2
+ 3(u + v)
2
+ 3u
= 0 ⇔ u = 0 ⇒ x = 1 ±
√
2
Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) =
1 +
√
2; 1 +
√
2
và (x; y) =
1 −
√
2; 1 −
√
2
.
24
Chuyên đề 9. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số
f) Xét hệ
5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0 (1)
xy
x
2
+ y
2
+ 2 = (x + y)
2
(2)
.
Ta có (2) ⇔ xy
x
2
+ y
2
+ 2 = x
2
+ y
2
+ 2xy ⇔
x
2
+ y
2
(xy − 1) = 2 (xy − 1) ⇔
x =
1
y
x
2
+ y
2
= 2
.
Với x =
1
y
thay vào (1) ta có
3
y
− 6y + 3y
3
= 0 ⇔ 3y
4
− 6y
2
+ 3 = 0 ⇔ y
2
= 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1.
Với x
2
+ y
2
= 2 (3) thay vào (1) ta có
5x
2
y − 4xy
2
+ 3y
3
−
x
2
+ y
2
(x + y) = 0 ⇔ x
3
− 4x
2
y + 5xy
2
− 2y
3
= 0 (∗)
Nhận thấy y = 0 không phải nghiệm của hệ. Với y = 0, chia hai vế phương trình (∗) cho y
3
ta có
x
y
3
− 4
x
y
2
+ 5
x
y
− 2 = 0 ⇔
x
y
= 1
x
y
= 2
⇔
x = y
x = 2y
Với x = y thay vào (3) ta có 2y
2
= 2 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1.
Với x = 2y thay vào (3) ta có 5y
2
= 2 ⇔ y = ±
2
5
⇒ x = ±2
2
5
.
Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1), (x; y) = (−1; −1), (x; y) =
2
2
5
;
2
5
và (x; y) =
−2
2
5
; −
2
5
.
Bài tập 9.26. Giải các hệ phương trình sau:
a) (A-03)
x −
1
x
= y −
1
y
2y = x
3
+ 1
. b)
x
2
+ y
2
+
2xy
x + y
= 1
√
x + y = x
2
− y
.
c)
6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
d) (B-2013)
2x
2
+ y
2
− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0
4x
2
− y
2
+ x + 4 =
√
2x + y +
√
x + 4y
.
Lời giải.
a) Xét hệ
x −
1
x
= y −
1
y
(1)
2y = x
3
+ 1 (2)
.
Điều kiện: x = 0, y = 0.
Ta có (1) ⇔ x
2
y − y = xy
2
− x ⇔ xy (x −y) + x − y = 0 ⇔ (x − y) (xy + 1) = 0 ⇔
y = x
y = −
1
x
.
Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x
3
+ 1 ⇔
x = 1
x =
−1±
√
5
2
⇒
y = 1
y =
−1±
√
5
2
.
Với y = −
1
x
thay vào (2) ta có −
2
x
= x
3
+ 1 ⇔
x
2
−
1
2
2
+
x +
1
2
2
+
3
2
= 0 (vô nghiệm).
Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) và (x; y) =
−1±
√
5
2
;
−1±
√
5
2
.
b) Xét hệ
x
2
+ y
2
+
2xy
x+y
= 1 (1)
√
x + y = x
2
− y (2)
.
Điều kiện: x + y > 0. Ta có
(1) ⇔
(x + y)
2
− 2xy
(x + y) + 2xy = x + y
⇔ (x + y)
(x + y)
2
− 1
− 2xy (x + y − 1) = 0
⇔ (x + y −1) [(x + y) (x + y + 1) − 2xy] = 0
⇔ (x + y −1)
x
2
+ y
2
+ x + y
= 0 ⇔
y = 1 − x
x
2
+ y
2
+ x + y = 0 (vô nghiệm)
Với y = 1 −x thay vào (2) ta có x
2
+ x − 2 = 0 ⇔
x = 1
x = −2
.
Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) và (−2; 3).
c) Hệ đã cho tương đương với
6x
2
− (3y − 1)x + y − 1 = 0 (1)
x
2
+ y
2
= 1 (2)
.
25
