Tuyển tập bộ đề thi vào lớp 10(hay)

Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:
P =
3
2
1
2
)1(2
1
)1(2
1
a
a
aa
−
+
−
−
+
+
1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng
xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại
B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau
đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.

Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB
lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các
tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P;
đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM,
E là giao điểm của OQ và BM.
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được.
2, Chứng minh: AB // DE.
3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm
chung nào nữa không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
2x
4
– x
3
– 5x
2
+ x + 2 = 0
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1994 – 1995
(150 phút)
Bài 1 (2 , 5đ):
Cho biểu thức:
P =









−
+
+








++
−
−
+
a
a
a
aa
a
a
a
1
1
1

1
12
3
3
1, Rút gọn P.
2, Xét dấu của biểu thức: P.
a−1
Bài 2 (2,5đ):
Hai ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược từ B về A.
Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến
A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc
ngược dòng là bằng nhau.
Bài 3 (4đ):
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90
o
). Một cung tròn BC nằm bên trong tam
giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các
đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao
điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH.
1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.
2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC.
4, Gọi (O
1
) là đường tròn đi qua M, P, K; (O
2
) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N
là giao điểm thứ hai của (O
1
) và (O

2
) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N,
D thẳng hàng.
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:
01)2.(25
2
=+++− yyxx
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A =
2
232
−
−−
x
xx
; B =
2
22
3
+
−+−
x
xxx
1, Rút gọn A và B.

2, Tìm giá trị của x để A = B.
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
x
2
– 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)
1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại.
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi giá trị của
m.
3, Với giá trị nào của m thì x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C
khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn
(O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC
cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q.
1, Chứng minh: Tam giác ABN cân.
2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ?
3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có thể xảy ra ba
điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):

Giải phương trình:
)(
2
1
199619952 zyxzyx ++=−+++−
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1996 – 1997
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa

aa
1, Rút gọn P.
2, Tìm a để
1=P
3, Tìm các giá trị của a
∈
N sao cho P
∈
N
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha
so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm
trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N.
1, Chứng minh: AF
⊥
BC. Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình
vuông AMCD và MBEF.
2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N.
3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn
đi qua điểm cố định.
4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Bài 4 (2đ):
Cho hai phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx

2
+ bx + a = 0 (2)
Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và
phương trình (2), chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1997 – 1998
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
P =
1
2
2
3
2
)3(3
−
−
−
+
+
+
−+
−+
x
x
x
x
xx

xx

1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P <
4
15
.
Bài 2 (2,5đ):
Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nước có thể tích 60m
3
với thời gian dự định
trước. Khi đã bơm được 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện trở lại người ta
sử dụng thêm một máy bơm có công suất 10m
3
/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm
đầy bể trong đúng thời gian dự kiến.
Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian hoạt động của máy bơm đó.
Bài 3 (4đ):
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường
tròn tại D, tia phân giác của góc C cắt đường tròn tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại
F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân.
2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB.
3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp
ba lần diện tích tứ giác AIFK.
Bài 4 (1đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức:
( ) ( )( ) ( )
3243234732 −=+−+−

xx
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =








+
+
−
−
+
−









+
−
+
+
+
+
1
1
1
1:1
11
1
xy
x
xy
xxy
xy
xxy
xy
x
1, Rút gọn P.
2, Cho
6
11
=+
yx
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
(x + 1)

4
– (m – 1)(x + 1)
2
– m
2
+ m – 1 = 0 (*)
1, Giải phương trình với m = – 1.
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi giá trị của
tham số m.
3, Tìm các giá trị của m để
2
21
=+ xx
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một
điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R
3
. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn
(O; R).
3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác
PAM chạy tren một cung tròn cố định.
4, Dựng hình chữ nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)

Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
A =








+
+
+








+
+
+
xyy
xy
xyx

xy
yx
yxyxxy
22
:
22
1
1, Rút gọn A.
2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn
6=+ yx
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để phương trình sau:
x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 1 = 0
Có nghiệm x
1
, x
2
sao cho: x
1
2
+ x
2
2
= 5
2, Cho hàm số:
y = x

2
– (2m + 1)x + m
2
– 1 = 0.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
< 0; x
2
> 0 và x
1
> ׀ ׀
2
x
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động
trên đường tròn (O) sao cho góc BAC =
∝
không đổi (
∝
> 90
o
). Qua B dựng một tia song
song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E
là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng:

1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.
3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
≥ 1. Chứng minh:

1
333
≥++
x
z
z
y
y
x
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =
2

1
:
1
xxxxxx
x
−++
+
1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.
2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q =
1
2
2
+
+
x
xP
cũng là số nguyên.
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình:
(m – 1)x
2
– 2mx + m + 2 = 0 (m là tham số)
1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ giữa x
1
, x

2
không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức:
06
1
2
2
1
=++
x
x
x
x
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx
2
+ 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và
có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với
đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với
AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn.

2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD.
Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành.
3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định.
Bài 5 (1đ):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
( )
2
2
4
1
1
+
+
x
x
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Giải phương trình:
19991999
24
=++ xx
Bài 2 (2đ):
Tìm tham số m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung:
mx + 1 > 4m (1) ; x
2
– 9 < 2 (2)
Bài 3 (3đ):

Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội
tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB.
1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)
2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
Bài 4 (1,5đ):
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau.
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác
nhau.
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3
đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi S
n
là số miền con
tìm được từ n đường thẳng đó.
1, Tìm S
3
, S
4
.
2, Chứng minh: S
n
= S
n – 1
+ n
3, Chứng minh: S
n
=
2
2

2
++ nn
BTT
8
BYTE
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện:



=++
=++
14
0
222
cba
cba
Hãy tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + a
4
+ b
4
+ c
4

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:
8273 −=−−+ xxx
2, Giải hệ phương trình:







=+
=+++
2
51
2
911
xy
xy
yx
yx
Bài 3 (1,5đ):
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n
2
+ 9n – 2 chia hết cho n + 11.
Bài 4 (3,5đ):
Cho đường tròn (T ) và điểm I ở trong đường tròn. Qua I dựng hai dây cung bất kỳ
MIN và EIF. Gọi M
’
, N
’

, E
’
, F
’
là lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác M
’
E
’
N
’
F
’
nội tiếp.
2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tứ giác M
’
E
’
N
’
F
’
có bán kính không đổi.
3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau.
Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M
’
E
’
N

’
F
’
có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =






+








+
2
2
2
2
11
x

y
y
x
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên toán – ĐHSPHN
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Ngày thứ nhất:
Bài 1 (2đ):
1, Tính:
A =






+






+







+






+






+






+






+







+
1999
1000
1
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999

1
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của:
n – a
n
+ 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
)3()2()1( +=+++ xxxxxx
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
22
=
−+
−−+−−
xx
nnxnx
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:
444444444
111222
zyxxz
z
zy
y
yx
x
++≤
+

+
++
Bài 4 (4đ):
Trên cùng mặt phẳng toạ độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0). Xét hai điểm
M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với nhau.
1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM. ON không đổi khi M, N
biến thiên. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định. Tìm toạ
độ hai điểm cố định này.
2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí M, N sao
cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2000 – 2001
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =
xx
xx
xx
xx
x
x
+
+
−
−
−
+
+ 1122

1, Rút gọn P.
2, So sánh P với 5.
3, Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
P
8
chỉ nhận một
giá trị nguyên.
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x
2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1
điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3, Tìm giá trị của tham số m để S
∆ABC
bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N
sao cho luôn có AM. BN = a
2

1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90
o
.
2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp
xúc với một nửa đường tròn cố định tại H.
3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố
định.
4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất.

Tính giá trị lớn nhất đó theo a.
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
P =








+
−








−
+
−
−

+
−
+−
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P
2
5
−≤
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
223
2
mxmx −−=−

(1)
1, Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, tính nghiệm đó với
m =
12 +
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x =
625 −
là nghiệm.
3, Gọi m
1
, m
2
là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m). Tìm x để m
1
, m
2
là số đo
hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
224 −
.
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O
’
;
2
R
) tiếp xúc ngoài tại A. Trên đường tròn
(O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O
’
)
tại điểm thứ hai N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và

cắt đường tròn (O
’
).
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O
’
AN.
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị
đó theo R.
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A = – x
2
– y
2
+ xy + 2x +2y
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Đề thi vào các trường THPT
THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức:
(y + 2)x
2
+ 1 = y
2

Bài 2 (2đ):

1, Giải phương trình:
2
2)1()13( xxxxx =−−+
2, Giải hệ phương trình:





=+
+=++
2
32
22
2
yx
yxxyx
Bài 3 (3,5đ):
Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt
phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30
o
.
Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F. Kẻ EE
’
, FF
’
vuông góc
xuống AB.
1, Cho AM =
2

a
Tính diện tích hình thang vuông EFE
’
F
’
theo a.
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
Bài 4 (1,5đ):
Giả sử x, y, z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức:





=++
−=+++++
1
2)
11
()
11
()
11
(
333
zyx
yx
z
xz
y

xy
x
Hãy tính giá trị biểu thức:
P =
zyx
111
++
Bài 5 (1đ):
Với x, y, z là những số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
))()(( xzzyyx
xyz
+++
Đề thi vào các trường THPT

Đề thi chung
Năm học 1998 – 1999
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho - 1 < x < 0. Hãy rút gọn biểu thức:
A =
4
4
3
12
48
3
2
2
+







−−+
x
x
x
x

Bài 2 (2,5đ):
1, Giải và biện luận theo a hệ phương trình sau:



=+
=+
1
2
ayx
ayax
(*)
2, Trong trường hợp hệ (*) có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
). Tìm tất cả các giá trị nguyên
của a để x

0
, y
0
đều là các giá trị nguyên.
Bài 3 (1,5đ):
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
– x – 1 = 0. Không giải phương trình
hãy chứng tỏ:
A = x
1
7
+ x
2
7
là một số nguyên & hãy phân tích số A thành các thừa số nguyên tố.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
1, Chứng minh hằng đẳng thức:
2
11
2
−









+=+
x
x
x
x
(với x > 0)
2, Xét biểu thức:
A =
6
1
4
1
+








++







+
x
x
x
x
(với x > 0)
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm x để A = 4
Bài 2 (2đ)
Cho hệ phương trình:



−=+
=−
mmyx
myx
3732
22
2
(I) (m là tham số)
1, Giải hệ phương trình khi m = - 1
2, Tìms m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:
S = x – y + 1 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):
0)(4
2222
=++− baabxx
(1)
1, Chứng minh rằng vói mọi giá trị của a, b thì phương trình (1) không thể có hai
nghiệm phân biệt.
2, Tìm a và b để phương trình (1) có nghiệm kép = 1
Bài 4 (4đ):
Cho (O; 3cm) và hai điểm B, C nằm trên đường tròn sao cho góc BOC = 90
o
. Trên
tia đối của tia BC lấy điểm A bất kỳ (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với M, N
là hai tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của dây BC, tia MI cắt
đường tròn tại K (K khác M).
1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2, Tứ giác ABKN là hình gì ? vì sao ?
3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành.
4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành
đó và tính độ dài đoạn MN.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
1, Chứng minh rằng
∀
x ≠ 0 thì ta có hằng đẳng thức:
( )

2
22
1
2
21
2
21
+=






+
−






+
+ x
x
x
x
x
x
2, Xét biểu thức:

P =
( )
2
2
2
2
21
1
2
21








+
+++
+
+
x
x
x
x
x
x
(với x ≠ 0)
Chứng minh rằng:

a, Với x < 0 thì P là hằng số
b, Với x > 0 thì P ≥
)12.(2 +
, dấu bằng xảy ra khi nào ?
Bài 2 (2,5đ )
1, Cho đa thức:
P(x) = x
2
+ 3(a + b)x + 2a
2
+ 2b
2
+ 5ab
a, CMR với mọi giá trị của a, b phương trình P(x) = 0 luôn có nghiệm
b, Tìm a và b biết rằng:
P(
2
) = P(
3
) = 0
2, Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x.(y + z) + y.(3z + 2x) + z
2
+ 2(x
2
+ y
2
)
Bài 3 (2đ ):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O

’
; R
’
) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A (R
’
< R).
Trên đường tròn (O; R) lấy 1 điểm B (B ≠ A), từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (O
’
;
R
’
) (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đường tròn (O
’
; R
’
) tại điểm D khác A
1, Chứng minh:
'
RR
R
BD
AB
−
=
2, Cho biết BC = a, hãy tính độ dài đoạn thẳng AB theo R, R
’
, và a.
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC cân ở B, góc ABC > 60
o

nội tiếp trong đường tròn (O; R). Trong
hình tròn (O) lấy một điểm D (D và A nằm cùng phía so với BC) sao cho tam giác BCD là
tam giác đều. Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm E khác A.
1, Tam giác OCE là tam giác gì ? vì sao ?
2, Biết rằng BC =
2
3R
, hãy tính độ dài đoạn DE và DA theo R.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm 2000 – 2001
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức :
A =
122
22
23
23
+−−
−−+
aaa
aaa
với a ≠
±
1 và a ≠
2
1
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tính giá trị của biểu thức A khi a =

2
2
3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 (2đ):
Cho hệ phương trình:





−=−
+=+
573
432
myx
myx
(*) (với m là tham số)
1, Giải hệ phương trình (*) khi m = 1
2, Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (*) có nghiệm
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình:
012)23(
22
=+−+− mxxmm
(1) (mlà tham số)
1, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?
2, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Bài 4 (4đ):
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Trên
cạnh BC lấy điểm E bất kì sao cho 0 < CE <

2
a
. Qua M kẻ đường thẳng // với AE cắt cạnh
CD tại điểm F.
1, Cmr: Tứ giác AMEF là hình thang nhưng không thể là hình thang cân.
2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM từ đó => hệ thức BE. DF =
4
AC

3, Đặt CE = x. Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhận xét về kết quả vừa tìm được
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm 2000 – 2001
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ ):
Cho biểu thức:
A =
5811541 −−++−−− xxxx
(với x ≥ 5)
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tính giá trị biểu thức A khi biết 9 ≤ x ≤ 21
3, Tìm x để A = 4
Bài 2 (2đ):
Tìm các số nguyên a, b, c (a ≠ 0). Biết rằng 4a + 2b + c = 3 đồng thời phương trình
bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm đều là số nguyên
Bài 3 (1,5đ):
Giả sử A =
2

2
1
x
x +
và B =
x
x
1
−
với x ∈ R và x ≠ 0 sao cho A, B nhận giá tri dương.
Hãy tìm x để
B
A
nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (4đ ):
Cho ∆ABC vuông tại A; AC = b, Ab = c. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; I và K
theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh AB và AC. D là một
điểm bất kỳ trên cạnh BC (D không trùng với các điểm B, C và M). Đường trung trực của
đoạn thẳng AD cắt các đường thẳng MI và NK tại các điểm E và F tương ứng.
1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn.
2, Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF
3, Đặt AD = x. Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x. Xác định vị trí điểm D để
diện tích ∆AEF là nhỏ nhất.
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm 2001 – 2002
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức:
A =

( )
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
+
+








−
−
−
−
−
2
1, Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình:
x
2

+ (m + 1)x + m = 0 (1)
a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức:
B = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
đạt giá trị lớn nhất.
c, Tìm m để phương trình (1) và phương trình x
2
+ (m – 5)x + 7m + 6 = 0 có nghiệm
chung.
2, Giải phương trình:
x
4
+ x
2
+ 6x + 1 = 0
Bài 3 (2đ):
Cho parabol y = ax

2
(P) và đường thẳng y = x + m (d) trên cùng một hệ trục toạ độ
xOy.
1, Tìm giá trị của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1).
2, Với giá trị của a tìm được ở câu 1; tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc
với parabol (P) tại điểm N. Xác định toạ độ điểm N.
3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn vị độ dài trên Ox và Oy là như nhau).
Bài 4 (3,5đ):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Các đường cao BE và CF
của tam giác ABC thứ tự cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M, N.
1, Chứng minh EF //MN
2, Chứng minh OA
⊥
MN
3, Với góc BAC = 47
o
. Xét vị trí tương đối của điểm O với đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BFEC.
4, Cố định BC = a < 2R. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có bán
kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC.
Đề thi vào các trường THPT

Đề thi chung
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
B =
)
1

1
1
3
(:)
1
8
1
1
1
1
(
−
−
−
−−
−
−
+
−
−
−
+
a
a
aa
a
a
a
a
a

a
1, Rút gọn B
2, So sánh B với 1
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình ẩn x (m là tham số):
x
2
– mx + m – 1 = 0
1, Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép của
phương trình (nếu có) và giá trị m tương ứng.
2, Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
a, Chứng minh : A = m
2
– 8m + 8
b, Tìm m sao cho A = 8
c, Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m
Bài 3 (2đ):

1, Vẽ đồ thị hàm số sau:
| y | + x = – 1
2, Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH và phân giác BE. Biết góc AEB = 45
o
.
Tính góc EHC.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), kẻ hai đưòng kính AB, CD cố định và vuông góc với nhau.
Những đường thẳng nối C và D với một điểm M chuyển động trên đường tròn lần lượt cắt
AB ở E và F.
1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE. OF không đổi.
2, Cho I là trung điểm của EF. Tính góc IMO
3, Dựng điểm M sao cho EF = R
Bài 5 (1đ):
Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn:
y
2
( x + 1 ) = 1576 + x
2

Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chuyên toán + toán tin
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho phương trình bậc hai:
ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
1, Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b

2, Xác định a, b để phương trình có nghiệm x
1
= – 2; x
2
=
2
3
−

Bài 2 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số:
y = |
212
2
−+− xx
|
2, Căn cứ vào đồ thị, hãy cho biết nghiệm của phương trình:
212
2
−+− xx
= 0 và
khẳng định lại kết quả bằng phép tính.
Bài 3 (2đ):
Giải các hệ phương trình sau:
1,



=++
=++

2
4
22
yxyx
yxyx
2,





=+
=+
1
1
44
33
yx
yx
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:
1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A
1
, B
1
,
C
1
. Chứng minh rằng:
1

A
1
1
1
1
1
1
=++
CC
MC
BB
MB
A
MA
2, Một đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác ABC cắt BC, CA, AB thứ
tự tại A
2
, B
2
, C
2.
Chứnh minh:
3
A
2
2
2
2
2
2

=++
GC
MC
GB
MB
G
MA
3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC kéo dài về
phía C và cắt cạnh CA, AB thứ tự tại các điểm A
3
, B
3
, C
3
. Chứng minh:

333
111
GCGBGA
=+

Bài 5 (1,5đ):
1, Gọi A là tổng của 10 số thực dương, còn B là tổng của 10 số nghịch đảo của
chúng. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích A. B
2, Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô bằng màu đỏ hoặc màu xanh.
Chứng minh rằng tốn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.
Đề thi chung
Đề thi vào các trường THPT
Năm 2006 – 2007
(150 phút)

Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1
2
1
1
2
2
333
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa
aa
1, Rút gọn P
2, Tìm a để | P | = 1
3, Tìm các giá trị của a
∈
N để P
∈
N
Bài 2 (2đ):

Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt
mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi
mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB.
Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại
D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng
3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4, Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi
qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho hai phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2) với a. c < 0.
Gọi m và n tương ứng là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2).
Chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Bài 5 (1,5đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức sau:

)32(4)32)(347()32( −=+−+−
xx
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm 2008 – 2009
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):

1, Giải hệ phương trình:
2 4 0
4 2 3
x
x y
+ =


+ = −

2, Giải phương trinh:
2
( 2) 4x x+ + =
Bài 2 (3đ):
1, Cho hàm số: y = f(x) = 2x
2
– x + 1
Tính f
1
2
 
−
 ÷
 
; f
( )
3
2, Rút gọn biểu thức sau:
A =
( )

1 1
.
1
1
x x x
x x
x
x
 
+ −
− −
 ÷
 ÷
−
+
 
với x ≥ 0; x ≠ 1
3, Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0 (*)
a, Tìm m để phương trình (*) có nghiệm kép
b, Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 3 (1,5đ):
Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc do
phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải nhiều hơn dự định
4 sản phẩm.
Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công
nhân là như nhau.
Bài 4 (3đ):

Cho đường tròn (O; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là điểm bất kỳ thuộc
đường tròn (B ≠ A, C). Kẻ đường kính BB
’
. Gọi H là trực tâm của ∆ ABC.
1, Chứng minh: AH // B
’
C.
2, Chứng minh: HB
’
đi qua trung điểm của AC.
3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C). Chứng minh: H luôn nằm trên 1
đường tròn cố định.
Bài 5 (1đ):
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 (d) và điểm
A (- 2;3).
Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lờn nhất.
Đề thi vào các trường THPT
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
A =
(
)
2
2 4 2 2 4 2
4 4
1
x x x x

x
x
+ − − + + + −
− +
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3đ):
1, Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– (2m – 3)x + 1 – m = 0
Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
1
. x
2.
(x
1
+ x
2
) đạt giá trị lớn nhất

2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
a
2003
+ b
2003
= 2. a
2003
. b
2003
Chứng minh rằng phương trình x
2
+ 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
Bài 3 (3đ):
1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180
o
. Tính tỉ số
BC
AB
2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với
nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường
thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
Tính góc ACD.
Bài 4 (1đ):
Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2
a b a c b c+ − + ≤ −
Với a, b, c là các số thực bất kỳ.