Bài tập - Tính toán trên ma trận pdf

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BÀI TẬP CHƯƠNG II.

TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN

1. Cho các ma trận
201
012
110
A
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
và
101 1
11 2 0
11 3 1
B
−
⎡
⎤
⎢
⎥
=−
⎢
⎥
⎢

⎥
−
⎣
⎦
.
a. Tính các ma trận ,,( )
tt t
A
BBAB A A− .
b. Tính ()
f
A với
2
() 2fx x x
=
−+.
2. Cho
cos sin
sin cos
A
α
α
α
α
α
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦

.
a. Chứng minh
,( )
n
n
A
AA A A
α
βαβα α
+
==.
b. Tính
2005
31 11
,
11
13
n
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
⎢⎥
⎣⎦

3. Tìm ma trận
2
()XM∈ \ sao cho
A
XXA
=
với:
a.
11
01
A
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
b.
12
11
A
⎡
⎤
=
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦

4. Tìm ma trận
2
()XM∈ \ sao cho
2
10
2
63
XX
−
⎡
⎤
−=
⎢
⎥
⎣
⎦
.
5. Cho ma trận
ab
A
cd
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
.
a. Chứng minh A là nghiệm của
2
() ( )
f

xx adxadbc
=
−+ + −.
b. Chứng minh nếu 0
k
kA
∃
∈=` thì
2
0A
=

6. Giả sử ma trận ()
n
AM∈ \ thỏa
2
()( ) 0
n
XM XA
∀
∈=\ .
Chứng minh
0
A
= .

7. Cho hai ma trận ,()
n
AB M∈ \ sao cho
A

BBA
=
. Chứng minh :
a.
22
()()
A
BABAB−=− +
b.
22 2
() 2
A
BAABB+=+ +

8. Tính:
a.
11
11
n
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
b.
11
13
n
⎡
⎤
⎢
⎥

−
⎣
⎦
c.
010
010
000
n
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỊNH THỨC

9. Tính các định thức:
a.
21
31−
,
13547 13647
28423 28523

b.
01 2
220
10 3
−
−
−
,
246 427 327
1014 543 443
342 721 621−
,
11
10
101
ii
i
i
+
−
−



c.
3011
1301
1130

0113
,
1234
21 43
3412
43 21
−−
−−
−
−


d.
2
2
2
1
1
1
ε
ε
ε
ε
εε
,
2
2
11 1
1
1

ε
ε
ε
ε
với
ε
là căn bậc 3 khác 1 của đơn vị.
10. Không khai triển định thức, hãy tìm hệ số của
4
x
và
2
x
trong đa thức

212
111
()
32 1
111
xx
x
fx
x
x
−
= .

11. Biết 1020 là bội của 17. Không khai triển định thức, hãy chứng minh

0201
4501
5520
4450
là bội của 17.
12. Chứng minh:
a.
11 11 11 1 1 1
222222 222
33 33 33 333
2
ab bc ca a b c
abbcca abc
abbc ca abc
+++
+++=
+++


ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
b.
22 2 2
22 2 2
22 2 2
22 2 2
(1) (2) (3)
(1) (2) (3)
0
(1) (2) (3)
(1)(2)(3)

aa a a
bb b b
cc c c
dd d d
++ +
++ +
=
++ +
++ +


13. Tính định thức cấp tổng quát:
a.
122 22
222 22
223 22
222 12
222 2
n
n
−
"
"
"
###%##
"
"

b.
123 1

133 1
125 1
123 23
123 121
nn
nn
nn
nn
nn
−
−
−
−
−
−
"
"
"
###%##
"
"

c.
1
2
3
1n
n
axx xx
x

ax xx
x
xa x x
x
xx a x
x
xx xa
−
"
"
"
###%##
"
"

d.
x
yy yy
zxy yy
zzx yy
zzz xy
zzz zx
"
"
"
###%##
"
"
(cấp n)

14. Giải phương trình:
a.
23
1
11 1 1
0
12 4 8
13 9 27
xx x
=
b.
2
5100
112
00 1 0
0
12
00 1
xx x
x
xxx
xx
−+
−
=
−
+

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
c.

111 11
11 1 1 1
112 11
0
111 11
111 1
x
x
nx
nx
−
−
=
−−
−
"
"
"
###%##
"
"


HẠNG MA TRẬN – MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

15. Tìm hạng của ma trận:
a.
13452
01346
35 2 3 4

23 5 6 4
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−−−−
⎢⎥
−
⎣⎦
b.
31325
5 3234
13507
75141
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

c.

203 1
1223
3254
5285
−
⎡⎤
⎢⎥
−−
⎢⎥
−−
⎢⎥
−−
⎣⎦
d.
112
21 5
110 61
a
a
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦

e.
31 1 4
410 1
17173
22 4 3
a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

f.
111
111
11 1
111
m
m
m
m
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎣⎦

16. Cho ma trận

2
32 3
10 2 3
21 3
53 3 7
m
m
A
mm
mm
⎡⎤
⎢⎥
−
=
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
+
⎣⎦
. Tìm m sao cho
a.
2111
1311
1141
1115

1234
1111
rankA rank
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

b.
10014
01025
00136
1231432
4563277
rankA rank
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

c.
04101
48187
10 18 40 17
17173
rankA rank
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦


17. Tìm hạng của ma trận:
a.
1
1
1
1
aa aa
aa a a
aa a a
aa aa
+
⎡⎤
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥

+
⎢⎥
+
⎢⎥
⎣⎦
"
"
##%##
"
"
(cấp n)
b.
00
00
00
00
ab
ab
ba
ba
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
"
"
##%##

"
"
(cấp 2n)

18. Tìm ma trận đảo của:
a.
12
22
⎡⎤
⎢⎥
−
⎣⎦
b.
200
110
21 1
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
c.
103
211
322

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

d.
0111
1011
1101
1110
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
e.
2100
3200
1134
2123
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
−
⎣
⎦


19. Tìm ma trận đảo của ma trận cấp n:
a.
11 1
01 1
00 1
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
"
"
##%#
"
b.
11 1
11 1
11 1
a
a
a
+
⎡

⎤
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎣
⎦
"
"
##%#
"