Đại số tuyến tính - chương 2 Ma trận pdf

Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng

TỐN 2
Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 1


Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 2


NỘI DUNG :
I/ LÝ THUYẾT :
1. Một số định nghĩa.
2. Các phép toán trên ma trận.
II/ BÀI TẬP :
III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN :
Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 3

I/ LÝ THUYẾT
Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 4


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1. Một số định nghĩa :
a/ Một ma trận A cỡ m x n trên trường K
(K là thực hay phức) là một bảng chữ nhật
gồm m hàng, n cột có dạng sau:

Am x n

 a11 a12 ... a1n 
a
a22 … a2 n ÷
÷
=  21
…
÷
a
am 2 … am n ÷
 m1


Người ta thường ký hiệu A m x n = ( ai j )
Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 5


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
Ở đây :
Các số a i j ( i = 1, 2, … , m ; j = 1, 2 , … , n

)

là các phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của
ma trận A.
b/ Tập hợp các ma trận A cỡ m x n trên trường
K được ký hiệu là M m x n ( K )
c/ Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của
nó đều bằng 0.
Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 6


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
 x1 
x ÷

A n x 1 =  2 ÷ được gọi là ma trận cột.
d/
M
÷
x ÷
 n
e/ A 1 x n = ( x1

x2 … xn ) được gọi là ma trận hàng.

f/ Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông.
Ký hiệu : M n ( K ) là tập hợp các ma trận vuông cỡ n x n ,
gọi chung là tập hợp các ma trận vng cấp n.
Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 7


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

g/ Ma trận A n x n

(a

ij

 a11 0
 0 a

22

=
…
 0
0


= 0 ∀i ≠ j

0 …
0 …

0 
0 ÷
÷
÷
÷
0 … an n 

i , j = 1, 2, … , n )

được gọi là ma trận chéo.
Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 8

1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

h/ Ma trận I n x n

 1 0 … 0
 0 1 … 0÷
÷
=
…
÷
 0 0 … 1÷



 a i j = 1 ∀i = j , a i j = 0 ∀i ≠

 i , j = 1, 2, … , n

j
÷


được gọi là ma trận đơn vị cấp n.
Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 9

1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

i/

Ma trận A n x n

 a11 a12 … a1n 
 0 a
… a2 n ÷
22
÷
=
…
÷
 0
÷
0 … an n 


được gọi là ma trận tam giác trên.

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 10


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

Ma trận A n x n

 a11 0 … 0 
a
a22 … 0 ÷
 21
÷
=
…
÷
a
an 2 … an n ÷
 n1


được gọi là ma trận tam giác dưới.

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 11


1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
j/ Ma trận − A = ( − ai j ) được gọi là ma trận
đối của A.

( )

k/ Ma trận A = ai j được gọi là ma trận liên
hợp của A.
Nếu A ∈ M m x n ( R ) thì A = A

Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 12


2. CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN
2. Các phép tốn trên ma trận :
a/ Ma trận bằng nhau :
Cho hai ma trận cùng cỡ m x n
là

A m x n = ( ai j ) và B m x n = ( bi j )

Ta nói :
A = B ⇔ ai j = bi j

∀i = 1, 2, … , m
j = 1, 2, … , n

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 13

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
b/ Ma trận chuyển vị :
Cho ma trận A m x n = ( ai j )
Ta gọi ma trận A T là ma trận chuyển vị
T

( )

của ma trận A nếu như A = a j i

A T có cấp n x m
Như vậy ma trận

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 14


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
…
…

 a11
a
=  21
…

a
 m1

Nếu A m x n

thì AT x m
n

a12
a22

a1n 
a2 n ÷
÷
÷
÷
… am n 

am 2

 a11
a
=  12
…
a
 1n

a21 … am1 
a22 … am 2 ÷
÷

÷
a2 n … am n ÷


Ta dễ dàng nhận thấy ( A

Toán 2

)

T T

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

=A
Slide 15


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Cho ma trận A ∈ M n ( K ) . Khi đó :

∗

Nếu AT = A , tức là ai j = a j i

( i, j = 1, 2,

 , n)

thì A được gọi là ma trận đối xứng.

∗

AT = − A, tức là ai j = − a j i
Nếu

( i, j = 1, 2,

 , n)

thì A được gọi là ma trận phản đối xứng.

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 16


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
c/ Nhân ma trận với một số :

( )

Cho ma trận A m x n = ai j
Ta có : α . Am x n = Bm x n

với bi j = α . ai j ∀i = 1, 2,… , m
j = 1, 2,… , n

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 17


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Dễ dàng nhận thấy :
∗

1. A = A

∗

( −1) . A = − A

∗

0. A = 0 , ∀ ma trận A

∗

α . 0 = 0 , ∀α ∈ K

∗

α ( β . A ) = ( αβ ) A ,

Toán 2

∀α , β ∈ K

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 18


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
d/ Cộng hai ma trận :
Cho 2 ma trận cùng cỡ m x n là
A m x n = ( ai j )

và

B m x n = ( bi j )

Ta có : A m x n + B m x n = C m x n
với c i j = a i j + b i j ,

∀i = 1, 2, … , m
j = 1, 2, … , n

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 19

2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Dễ thấy rằng với các ma trận cùng cỡ thì
∗ A+ B = B + A
∗ A + ( B + C ) = ( A + B) + C

∗ α ( A + B ) = α.A + α.B , ∀α ∈ K
∗

( α + β ) A = α.A + β.A

,

∀α,β ∈ K

∗ A+0 = 0+ A = A

( α . A + β .B ) = α . AT + β .BT
∗
T

Toán 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 20


2. CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN
Ví dụ 1 :
Cho A 2 x 3

 2 1 3
=
4 6 1÷



B 2 x3

1 4 3
=
0 1 6÷



Tính 3A + 2B

Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 21


2. CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN
Ta có :

 2 1 3
1 4 3
3 A + 2 B = 3.

÷ + 2. 0 1 6 ÷
 4 6 1


 6 3 9
2 8 6 
= 
÷ +  0 2 12 ÷
12 18 3 


 8 11 15 
= 
12 20 15 ÷


Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 22


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
d/ Nhân hai ma trận :
Cho 2 ma trận A m x n = ( ai j ) , B n x p = ( bi j )
A m x n . B n x p = Cm x p
Ở đây : Cm x p = ( Ci j )
n

với Ci j = ∑ a i k . b k j ,
k =1

Toán 2

i = 1, 2, …, m

 j = 1, 2, …, p

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 23


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
∗ VD 2 : Cho A 2 x 2

1 2
 2 3
=
÷ , B 2 x 2 = 1 4÷
3 4



Tính A.B và B.A

Tốn 2

A.B = C 2 x 2

B. A = D 2 x 2

Ta có :

 4 11 
=
÷
10 25 
 11 16 
=
13 18 ÷



CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 24


2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
∗ VD 3 : Cho A 2 x 2

1 2
1 2 3 
=
÷ , B 2 x 3 = 1 4 6 ÷
3 4



Tính A.B và B.A
Ta có :

A.B = C 2 x 3

 3 10 15 
=
7 22 33 ÷



B.A khơng tồn tại
Tốn 2

CHƯƠNG 2 : MA TRẬN

Slide 25