De tai - Phan tich DT thanh NT.DOC

Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Th viện SKKN của Quang Hiệu />A/ đặt vấn đề.
I/ Lí luận chung.
Hiện nay trong các nhà trờng việc ôn tập và bồi dỡng cho học sinh, đặc
biệt là học sinh giỏi đã đợc quan tâm thích đáng và trở thành mũi nhọn của
mục tiêu phấn đấu chất lợng. Đối với bộ môn Toán công việc này càng đợc
sự quan tâm đặc biệt hơn.
Việc bồi dỡng học sinh giỏi hiện nay có những thuận lợi nh : Giáo viên
có trình độ chuyên môn, trách nhiệm, học sinh ham học , thông minh,
sách tham khảo phong phú Bên cạnh những thuận lợi nêu trên vẫn còn bỏ
ngỏ về mặt phơng pháp bồi dỡng, ôn luyện sao cho học sinh chủ động phát
huy đợc những mặt tích cực nhằm nâng cao chất lợng dạy và học.
Chất lợng học tập của học sinh phải đợc thể hiện trong kết quả bài làm.
Do vậy việc giải một bài toán không chỉ dừng lại ở các yêu cầu cơ bản nh:
chính xác về mặt kiến thức , logic, suy luận mà còn đòi hỏi có sự tìm tòi,
khai thác bài toán ở nhiều mức độ khác nhau. Việc khai thác đó có tác
dụng làm cho học sinh nắm vững, khắc sâu kiến thức hơn. Nắm đợc vấn
đề có tính khái quát hơn.
II/ Lí do chọn đề tài.
Phân tích đa thức thành nhân tử chiếm một thời lợng kiến thức lớn trong
nội dung chơng trình đại số bậc trung học cơ sở. Học sinh đợc bắt đầu làm
quen với dạng toán này từ năm học lớp 8 và sử dụng nó trong suốt những
năm học cuối cấp bậc trung học cơ sở và sau này. Giải bài toán "phân tích
đa thức thành nhân tử" là việc làm có ích trong nội dung chơng trình nó đ-
ợc ứng dụng vào việc: Giải phơng trình, bất phơng trình bậc cao, chứng
minh đẳng thức,bất đẳng thức,
Trong chơng trình đại số 8, học sinh đợc tiếp xúc một số phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử nh: Đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng
thức, nhóm thích hợp các hạng tử Xong nhiều khi chỉ với các phơng
pháp đó đợc trình bày trong sách giáo khoa thì học sinh khó có thể thực

hiện đợc các bài toán nâng cao. Hơn nữa trong một số đề thi học sinh giỏi
các cấp bậc trung học cơ sở thì nội dung kiến thức lại vợt quá nội dung
sách giáo khoa. Mặt khác cha thoả mãn ham muốn khám phá của những
học sinh giỏi toán .
Mặt khác trong giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhiều khi học
sinh cha có kĩ năng giải bài hoặc cha có sự phối hợp các phơng pháp vào
bài làm cũng nh việc trình bày còn ít nhiều hạn chế trong những bài toán
nâng cao.
Vì những lí do trên tôi đã chọn đề tài " Một số phơng pháp phân
tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng ".
Với thời gian cha nhiều, tài liệu tham khảo cha thực sự phong phú, cho
dù tác giả đă có sự cố gắng, đề tài này sẽ không tránh khỏi những thiếu
xót. Tôi rất mong đợc các thầy cô đóng góp cũng nh những ý kiến của
đồng nghiệp để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
2
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
B/nội dung
.
i. Các kiến thức liên quan.
1.1 Đa thức phân tích đ ợc và đa thức không phân tích đ ợc.
Trong vành đa thức R[x] với R là trờng số thực,đa thức bậc dơng
f(x,y z) gọi là phân tích đợc nếu nó có ớc không tầm thờng với hệ số
trong trờng đó.
Ngợc lại đa thức chỉ có ớc tầm thờng thì gọi là đa thức bất khả quy(hay
còn gọi là đa thức nguyên tố)
Ví dụ
Ví dụ 1: Các đa thức bậc nhất đều không phân tích đợc.
Ví dụ 2: Đa thức x
2

+1 không phân tích đợc trên trờng số thực nhng phân
tích đợc trên trờng số phức bởi vì :
x
2
+ 1 = x
2
- (-1) = x
2
-i
2
= (x-i)(x+i)
Ví dụ 3: Đa thức x
2
-2 không phân tích đợc trên trờng số hữu tỉ nhng lại
phân tích đợc trên trờng số thực, vì:
3
)2)(x2-(x2-x 2-x
22
+==
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Định lý:
Đa thức f(x) trên trờng số k cho trớc có thể biểu diễn đợc dới dạng tích
các đa thức không phân tích đợc trong trờng số đó và sự phân tích đó là
duy nhất tức là :
f(x) = f
1
(x)f
2
(x) f

k
(x) (Trong đó f
i
(x) (i=1,k) là không phân tích đ-
ợc).
* Chú ý: Các đa thức bất khả quy quy ớc gọi là đa thức không phân tích
đợc.
Ví dụ : Ta coi sự phân tích đa thức:3x
2
-5x-2 là nh nhau trong các cách:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử nhiều khi cần áp dụng việc tìm
nghiệm của đa thức .
1 .2 Nghiệm của đa thức
.
Định nghĩa:
Cho f(x) k[x], k là một trờng. Số a (a k) gọi là nghiệm của đa thức
f(x) nếu f(a)=0.
Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau:
Định lí 1: ( định lí BơZu)
Giả sử K là một trờng, f(x) K[x], cK. Khi đó f(c) là d trong phép
chia f(x)
cho (x-c)
Hệ quả 1:
Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x-a khi và chỉ khi f(a)=0
Hệ quả 2:
Nếu đa thức f(x) ( bậc lớn hơn 1) có nghiệm x=a trong trờng K thì nó
phân tích đợc trong trờng đó.
:
Định lí 2: ( Định lý cơ bản của đại số học cổ điển ).
Mọi đa thức với hệ số phức có ít nhất một nghiệm số phức.

*Trong đề tài này trờng K đợc xét là trờng số thực vậy ta có một số tính
chất sau:
Định lý 3:
Trong vành R[x] chỉ có đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 có dạng :
ax
2
+bx+c với =b
2
-4ac<0 là không phân tích đợc.
Hệ quả:
Mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có nghiệm thực . Nghĩa là:
Mọi đa thức bậc lẻ hệ số thực đều phân tích đợc trên trờng số thực.
*Chú ý: Đa thức bậc nhất có sự phân tích là chính nó.
1.3 Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
a. (a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

4
1)-
2
x
1)(2(3x 2-5x-3x
2)-1)(x(3x 2-5x-3x
2)-)(x
3
1

3(x 2-5x-3x
2
2
2
+=
+=
+=
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
b. (a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
c. a
2
-b
2
=(a-b)(a+b).
d. a
3
-b
3
= (a-b) (a
2
+ab+b
2
).
e. a

n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b+ +ab
n-2
+b
n-1
).
g. a
3
+b
3
= (a+b) (a
2
-ab+b
2
).
h. a
n
+b
n
=(a+b)(a
n-1
-a
n-2
b+ ab

n-2
+b
n-1
).
i. (a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3.
k. (a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
.
.
II. Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
1. Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp này dựa trực tiếp vào luật phân phối :

a(b+c)=ab+ac
1.1Ví dụ
a. 2x
2
+x=x(2x+1): Đặt x làm nhân tử chung.
b. A= 2ax
2
+4bx
2
y+2x
2
(ax-by).
Đặt 2x
2
làm nhân tử chung ta có :
A= 2x
2
(ax+2by+ax-by)=2x
2
(2ax+by).
1.2 Bài tập vận dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. 12x
2
-18xy
2
-30y
3
.
b. 16x

2
(x-y)-10y(y-x).
2. Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức.
áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi tổng, hiệu thành
tích.
2.1 Ví dụ : a. x
2
-4 =x
2
-2
2
=(x-2)(x+2).
b. x
2
+2xy+y
2
-25=(x+y)
2
-5
2
=(x+y+5)(x+y-5).

2.2 Bài tập vận dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. (x-y)
2
-(y-z)
2
.
b. x

3
-36x
2
y+54xy
2
-27y
3
.
C. 4a
2
b
2
-(a
2
+b
2
-c
2
)
2
.
3. Ph ơng pháp nhóm các hạng tử .
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành
nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức
mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoăc biến đổi sơ bộ rồi nhó3m lại thì
xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung
3.1 Ví dụ :
a. xy-yz-y+z= (xy-xz)- (y-z )= x(y-z)- (y-z)
= (y-z)(x-1)
b. x

2
+ y
2
-z
2
+2xy+2z-1= (x
2
+2xy+y
2
)-(z
2
-2z+1)
5
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
= (x+y)
2
- (z-1)
2
= (x+y-z+1)(x+y+z-1).
3.1 Bài tập vận dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. 5x
2
-5xy-10x+10y.
b.x
3
-x
2
y-x

2
z-xyz.
c.2x
2
+2y
2
-x
2
z+z-y
2
z-2.
d.(a
2
+b
2
)xy+(x
2
+y
2
)ab.
4.Ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc
thêm bớt cùng hạng tử
.
Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức tạo ra những hạng tử thích hợp
để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
4.1 Ví dụ:
a. 5x
2
+6xy+y
2

.
Cách 1: tách 6xy thành 5xy +xy có:
5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy)+ (xy + y
2
)
= 5x( x+y)+ y( x+y)
= (5x+y)(x+y).
Cách 2: Thêm 4x
2
vào 5x
2
rồi bớt 4x
2
ta có :
5x
2
+ 6xy + y
2

= 9x
2
+ 6xy+y
2
- 4x

2

= (9x
2
+ 6xy+y
2
)- 4x
2

= 3x+y)
2
-(2x)
2
= (5x+y)(x+y).
4.2 Bài tập vận dụng.
1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c).
b. x
3
+3x
2
-4.
c. x
5
+x+1.
d.x
7
+x
2
+1.

2. Tìm số tự nhiên n để biểu sau là số nguyên tố:
a. n
3
-4n
2
+4n-1.
b. n
3
+6n
2
+9n-2.
5. Ph ơng pháp dùng phép chia đa thức.
Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x)
(q(x) là thơng của phép chia: f(x): g(x) )
Đặc biệt : f(x) chia hết cho x-a <=> f(a) = 0
Xét ví dụ ở trên : Phân tích đa thức 5x
2
+ 6xy + y
2
thành nhân tử (sử
dụng phép chia đa thức) .
Coi đa thức trên là đa thức biến x (y là tham số).
Xét f(-y) = 5y
2
+6y
2
+y
2
= 0 .
Vậy f(-y) = 0 nên đa thức f(x) chia hết cho (x+y) .

Thực hiện chia đa thức : 5x
2
+ 6xy + y
2
cho x+y đợc thơng là : 5x+y.
Vậy 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x+y)(x+y) .
* Đối với đa thức f(x)= a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
nếu có nghiệm hữu tỉ
p/q thì p là ớc của a
0
,q là ớc của a
n
.
5.1 Ví dụ :
6

Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
4
-2x
3
+x
2
-4.
Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4.
Ư(4) = -
+
4; -
+
2; -
+
1.
Thấy x=-1 là nghiệm nên : x
4
-2x
3
+x
2
-4= (x+1)(x
3
-3x
2
+4x-4).
Mà g(x) = x
3

-3x
2
+4x-4 có x=2 là nghiệm .
Do vậy g(x) = (x-2)(x
2
-x+2).
Với đa thức : x
2
-x+2 có = 1-8 = -7 < 0 nên đa thức này không phân
tích đợc trên R.
Do vậy: x
4
-2x
3
+x
2
-4 = (x+1)(x-2)(x
2
-x+2).
5.2 Bài tập vận dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. 2x
3
-5x
2
+8x-3.
b. 2x
3
+5x
2

+5x+2.
c.1+6x-6x
2
-x
3
.
6.Ph ơng pháp dùng ẩn số phụ

Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới
để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa
một đa thức bậc về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm
nghiệm của đa thức bậc 2 .
6.1 Ví dụ
Ví dụ a: f(x) = (2x
2
+3x+5)
2
+5(2x
2
+3x+5)+6.
Đặt : 2x
2
+3x+5 = t ta có f(t) = t
2
+5t+6.
Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t+2)(t+3) từ đó ta có :
f(x) = (2x
2
+3x+7) (2x
2

+3x+8)
Ví dụ b: f(x) =(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9
=(x+1)(x+7)(x+5)(x+3)-9
= (x
2
+8x+7) (x
2
+8x+15) - 9
Đặt : (x
2
+8x+11) = t ta có f(t) = (t-4)(t+4) -9.
Suy ra f(t) = t
2
-16-9 = t
2
-25 = (t-5)(t+5)
Do vậy : f(x) = (x
2
+8x-16) (x
2
+8x-6).
6.2 Bài tập vận dụng.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. (x
2
+x)
2
+4x
2
+4x=12.

b. 6x
4
-11x
2
=3.
c. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24.
Giải phơng trình:
a. (x
2
+2x+3)
2
-9(x
2
+2x+3) +18 = 0.
b. (x-1)(x+1)(x+3)(x+5) = 9.
7. Ph ơng pháp hệ số bất định .
Phơng pháp hệ số bất định thờng đợc sử dụng để xác định một đa thức
khi biết một số điều kiện nhất định.
Phơng pháp này là sự vận dụng trực tiếp tính hẳng đẳng của hai đa thức
:
7
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Ta cho các hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức hằng
đẳng bằng nhau để biết đợc những phơng trình mà ẩn số là các hệ số cần
xác định .
Giải hệ thống các phơng trình đó ta tìm đợc các hệ số của đa thức cần
xác định .
7.1 Ví dụ 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x

3
-5x
2
+8x-3 bằng phơng pháp
hệ số bất định .
Giả sử : 2x
3
-5x
2
+8x-3 phân tích đợc dới dạng : (ax+b)(cx
2
+dx+e).
Thực hiện phép nhân : (ax+b)(cx
2
+dx+e)
= acx
3
+(ad+bc)x
2
+(ae+bd)x+be.
Đồng nhất các hệ số đồng dạng ta đợc :
ac = 2
ad+bc = -5
ae+bd = 8
be = -3 Giải ra ta đợc : a=2;b=-1 ;c=1 ,d=-2 ;e=3
Vậy : 2x
3
-5x
2
+8x-3 = (2x-1)(x

2
-2x+3).
7.2 Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất
định.
a. 3x
2
-22xy-4x+8y+7y
2
+1.
b. x
4
+6x
3
+11x+6x=1.
c. 12x
2
+5x-12y
2
+12y-10xy-3.
8 Ph ơng pháp xét giá trị riêng
8.1 ví dụ.
Ta xét bài toán sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử : P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c).
Nếu thay a bởi b ta có: P = 0+bc(b-c)-bc(b-c) =0.
Do vậy P chia hết cho a-b. Do vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức P
nên P chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a).
Đa thức P và đa thức (a-b)(b-c)(c-a) có bậc 3 đối với tập hợp các biến
nên :
P =k (a-b)(b-c)(c-a). (k là hằng số).

Ta cho các biến nhận giá trị riêng: a=2; b=1; c=0 ta đợc:
2.1.1+0+0= k.1.1(-2) => k=-1
Vậy P=(a-b)(b-c)(c-a).
8.2 Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị riêng.
a. a(b
2
-c
2
)+b(c
2
-a
2
)+c(a
2
-b
2
).
b. (a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
.
8
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông

III ./ứng dụng của việc phân tích đa thức thành
nhân tử vào giải toán
1. Giải ph ơng trình bậc cao.
Xét đa thức: f(x)= a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x+a
0

(n 3)
Để tìm nghiệm của đa thức f(x) ta giải phơng trình :
a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x+a
0

=0.
Đối với phơng trình bậc lớn hơn 2 ta không có công thức tìm nghiệm ở
chơng trình phổ thông
Vậy ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử có bậc nhất hoặc bậc 2 mà
ta có thể tìm nghiệm bằng công thức:
f(x) = f
1
(x).f
2
(x) f
k
(x) có f(x)=0 khi f
i
(x)=0 (i=1,2, ,k)
1.1 Ví dụ
Ví dụ a:
Giải phơng trình: x
3
+3x
2
-4=0.
Đa thức: x
3
+3x
2
-4 tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm x=1 tức là
đa thức x
3
+3x
2

-4 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia: x
3
+3x
2
-4 cho x-1
ta đợc thơng là x
2
+4x+4 hay (x+2)
2
.
Nên phơng trình: x
3
+3x
2
-4=0 (x-1) (x+2)
2
=0
x-1=0 x=1
x+2=0 x=-2.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x
1
=1; x
2
=-2
,
Ví dụ b :
Giải phơng trình : (x
2
+x)
2

+4x
2
+4x-12=0
Đặt: x
2
+x= t ta có phơng trình: t
2
+4t-12=0.
Phân tích đa thức t
2
+4t-12 thành nhân tử ta đợc: t
2
+4t-12=(t+6)(t-2) ta
có phơng trình : (x
2
+x+6)( x
2
+x-2)=0.
Tiếp tục phân tích đa thức x
2
+x-2thành nhân tử ta đợc:
x
2
+x-2=(x-1)(x+2).
Vậy phơng trình cho đợc viết nh sau:
(x-1)(x+2)(x
2
+x+6)=0 x=1 hoặc x=-2.
1.2 Bài tập đề nghị.
Giải các phơng trình sau.

a. 5x
2
-4(x
2
-2x+1)-5=0.
b. x
4
-4x
3
4x-1.
9
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
c. (x+1)
4
+(x+3)
4
=16.
2. Giải bất ph ơng trình bậc cao .
Giả sử giải bất phơng trình :
a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a
1

x+a
0
0 (n 2)
Ta phân tích đa thức f(x)= a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x+a
0
thành các nhân tử :
f
1
(x);f
2
(x); ;f
k
(x) ta có bất phơng trình f
1
(x).f
2
(x) f
k
(x) 0
Đa về giải bất phơng trình dạng tích bằng cách xét dấu .

Ta xét một số ví dụ sau :
2.1 Ví dụ
Ví dụ a:
Giải bất phơng trình : x
2
+5x+6.
Ta phân tích đa thức x
2
+5x+6 thành nhân tử
x
2
+5x+6 = (x
2
+2x)+(3x+6)= x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3).
Ta có bất phơng trình : (x+2)(x+3)>0.
Bất phơng trình tơng đơng với :
x+2>0 x>-2
x+3>0 x>-3
x>-2
x+2<0 x<-2 x<-3
x+3<0 x<-3
Vậy bất phơng trình có nghiệm x>-2 hoặc x<-3
Ví dụ b:
Giải bất phơng trình : x
4
-5x
3
+7x
2
-5x+6<0

Ta có : x
4
-5x
3
+7x
2
-5x+6 = x
4
-5x
3
+6x
2
+x
2
-5x+6
= x
2
(x
2
-5x+6)+ (x
2
-5x+6)
= (x
2
-5x+6)(x
2
+1).
Phân tích đa thức x
2
-5x+6 thành nhân tử ta đợc :

(x
2
-5x+6) = (x-2)(x-3)
Vậy bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau:
(x-2)(x-3)(x
2
+1) < 0
( x-2)(x-3) < 0 (vì x
2
+1>0x)

x-2>0 x>2
x-3<0 x<3
2<x<3.
x-2<0 x<2
x-3>0 x>3
Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là : 2<x<3.
2.2 Bài tập đề nghị.
Giải bất phơng trình.
a. x
2
-7x+10<0.
b. x
4
-5x+1>0.
10
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
3. Các bài toán chứng minh đẳng thức ,biểu thức .
Nhiều khi trong việc giải bài toán chứng minh đẳng thức , chứng minh

một biểu thức có một tính chất nào đó ta sử dụng việc phân tích đa thức
thành nhân tử để biến đổi đẳng thức hoặc biểu thức .
Ta xét một số ví dụ sau :
3.1 Ví dụ
Ví dụ a:
Chứng minh rằng : (a+b+c)
3
-(a
3
+b
3
+c
3
)=3(a+b)(b+c)(a+c).
Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích đa thức sau thành nhân tử :
(a+b+c)
3
-(a
3
+b
3
+c
3
) = (a+b)
3
+c
3
+3(a+b)c (a+b+c)- a
3
-b

3
-c
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3ab(b+a)+3 (a+b)(a+b+c)c- a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(ab+bc+ac+c
2
)
= 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=3(a+b)(b+c)(a+c).
Vậy: (a+b+c)
3
-(a
3
+b
3
+c
3
)=3(a+b)(b+c)(a+c)
Ví dụ b: Chứng minh nếu a+b+c=0 thì: a

3
+b
3
+c
3
=3abc.
Giải
Do a+b+c=0 => c= -(a+b) nên a
3
+b
3
+c
3
= a
3
+b
3
- (a+b)
3
Ta phân tích đa thức a
3
+b
3
- (a+b)
3
thành nhân tử .
Ta có a
3
+b
3

- (a+b)
3
= a
3
+b
3
-a
3
-3a
2
b -3ab
2
-b
3

= -3ab(a+b)
= -3ab(-c)
= 3abc
Vậy : a
3
+b
3
+c
3
= 3abc với a+b+c = 0.
Ví dụ b:
Chứng minh rằng x Z thì biểu thức :
P = (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 9 là số chính phơng .
Giải.
Ta phân tích đa thức P thành nhân tử

P= (x-1)(x-6)(x-3)(x-4) + 9.
= (x
2
-7x+6) (x
2
-7x+12) + 9.
= [(x
2
-7x+9)-3][ (x
2
-7x+9)+3]+9.
= (x
2
-7x+9)
2
-9+9
= (x
2
-7x+9)
2
Do xZ nên (x
2
-7x+9)Z => (x
2
-7x+9)
2
là bình phơng của một số
nguyên
Vậy P là số chính phơngxZ.
Ví dụ c:

Chứng minh rằng với x,ynguyên biểu thức:
M=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y
4
là số chính phơng.
Giải:
M= x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y
4
= (x
2
+5xy+4y
2
)(x
2
+5xy+6y
2
)+y
4
= [(x
2
+5xy+5y
2
)-y
2
][(x
2
+5xy+5y
2
)+y
2
] +y

4
= (x
2
+5xy+5y
2
)
2
-y
4
+y
4

= (x
2
+5xy+5y
2
)
2
.
Do x,yZ nên x
2
+5xy+5y
2
Z
Suy ra M = (x
2
+5xy+5y
2
)
2

.là số chính phơng.
11
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Ví dụ d.
Chứng minh rằng nếu: a+b+c=0 thì: a
3
+b
3
+c
3
=3abc.
Chứng minh:
Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử:
(a+b+c)
3
- (a
3
+b
3
+c
3
)= ( a+b )
3
+c
3
+3(a+b)c (a+b+c)-a
3
-b
3

-c
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c- a
3
-b
3
-c
3
= 3(a+b)(ab+bc+ac+c
2
)
= 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=3(a+b)(b+c)(a+c)
Vậy (a+b+c)
3
- (a
3
+b
3
+c
3
)= 3(a+b)(b+c)(a+c).
3.2 Bài tập đề nghị.
1. Giả sử a,b,c Z chứng minh rằng:

[(a-c)
2
+(b-d)
2
](a
2
+b
2
)-(ad-bc)
2
là số chính phơng.
2. Chứng minh rằng nếu:
thì:
4. Chứng minh tính chia hết .
Ta xét một số ví dụ sau :
41. Ví dụ
Ví dụ a :
Chứng minh A =n
3
-n chia hết cho 3 n Z .

Giải:
Ta có n
3
-n = n(n
2
-1) = n(n-1)(n+1) do n Z nên A là tích của 3 số
nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3 .
Ví dụ b:
Chứng minh M = m

3
(m
2
-7)
2
-36m chia hết cho 5040 với m là số
nguyên
Giải :
Ta có M = m
3
(m
2
-7)
2
-36m = m {[m(m
2
-7)]
2
-6
2
}
= m[m(m
2
-7)-6] [m(m
2
-7)+6]
= m(m
3
-7m-6) (m
3

-7m+6).
Ta có (m
3
-7m-6)= m
3
-9m+2m-6 = m(m
2
-9)+2(m-3) = (m-3)[m(m+3)+2]
=( m-3)(m
2
+3m+2)=(m-3)[m(m+2)+(m+2)] = (m+1)(m+2)(m-3)
Tơng tự ta có: m
3
-7m+6 = (m-1)(m-2)(m+3)
Vậy M = (m+1)(m+2)(m+3)m(m-1)(m-2)(m-3).
Do m Z nên M là tích của 7 số nguyên liên tiếp do đó M chia hết cho:
2.3.4.5.6.7=5040.
Vậy M chia hết cho 5040.
Ví dụ c : Chứng minh rằng biểu thức A sau :
12
cbacba
++
=++
1111
2003200320032003
)(
1111
cbacba ++
=++
623

32
nnn
++
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Có giá trị nguyên với n Z.
Giải.
Ta có :
Mà: n
3
+3n
2
+2n= n(n
2
+3n+2)=n[n(n+2)+(n+2)]=n(n+1)(n+2)
Do n là số nguyên nên n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp
nên chia hết cho cả 2 và 3 hơn nữa (2,3)=1.
Suy ra: n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3=6 hay n(n+1)(n+2) =6k (kZ).
Suy ra A= k mà k là số nguyên nên biểu thức trên luôn có giá trị nguyên
nZ(đpcm).
4.2 Bài tập đề nghị.
1. Chứng minh rằng đa thức : z
2
+y(2x-y)-x
2
chia hết cho
đa thức : x-y+z
2. Chứng minh rằng đa thức :(a
2
+3a+1)

2
-1 chia hết cho 24 với a Z.
3. Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của 2 số lẻ thì chia hết cho 8.
4. Cho : x+y=1; x
3
+y
3
=a; x
5
+y
5
=b . Chứng minh rằng : 5a(a+1)=9b+1.
5. Chứng minh rằng : 2
0
+2
1
+ +2
5n-2
+2
5n-1

chia hết cho 31 nếu n Z
+
.
5. Chứng minh bất đẳng thức .
Ta xét một số ví dụ về việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào
chứng minh bất đẳng thức sau:
5.1 Ví dụ.
Ví dụ a:
Chứng minh rằng: Nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :

A=(b
2
+c
2
-a
2
)
2
-4b
2
c
2
luôn âm.
Chứng minh :
Ta phân tích đa thức A thành nhân tử
Ta có A= (b
2
+c
2
-a
2
)
2
-4b
2
c
2
=(b
2
+c

2
-a
2
)
2
- (2bc)
2
= (b
2
+c
2
-a
2
-2bc) (b
2
+c
2
-a
2
+2bc)
= [(b
2
-2bc+c
2
)-a
2
][(b
2
+2bc+c
2

)-a
2
]
= [(b-c)
2
-a
2
][(b+c)
2
-a
2
]
2

= (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a).
Vậy A= ( b-c-a) (b-c+a) (b+c-a) (b+c+a).
Do a.b.c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
b-c-a < 0
b-c+a >0 A< 0 (ĐPCM).
b+c-a >0
b+c+a>0
Ví dụ b:
13
6
23
623
2332
nnnnnn ++
=++
6

6
623
32
knnn
=++
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Chứng minh rằng : P= (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9 luôn không âm x R
Giải :
Ta có : P= (x-1)(x-6)(x-4)(x-3)+9 .
= (x
2
-7x + 6) (x
2
-7x + 12) +9
Đặt: (x
2
-7x + 9)= t Ta có P= (t-3)(t+3)+9= t
2
-9+9=t
2
0 t
Vậy:P= (x
2
-7x + 9)
2
0 với x (ĐPCM).
5.2 Bài tập đề nghị:
a. Chứng minh rằng:
y/xz(x+z)+1/y(x+y)(x+z)(1/x+1/y).

b. Chứng minh rằng :
a
4
+b
4
a
3
b+ab
3
.
c. Chứng minh rằng :
(ac-bc)
2
(a
2
-b
2
)(c
2
-d
2
).
6. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một biểu thức .
Ta xét một số ví dụ sau :
6.1 Ví dụ.
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau:
N= (x
2
+3x+2) (x
2

+7x+12)+2003.
Giải:
Trớc hết phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x
2
+3x+2) và (x
2
+7x+12)
Ta có (x
2
+3x+2)= (x
2
+2x)+(x+2)=x(x+2)+(x+2)= (x+2)(x+1).
(x
2
+7x+12) = x
2
+4x+3x+12=x(x+4)+3(x+4)=(x+3)(x+4).
Khi đó N=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+2003
=(x+1)(x+4)(x+3)(x+2)+2003
= (x
2
+5x+4) (x
2
+5x+6)+2003.
Đặt (x
2
+5x+5)=t Ta có N= (t-1)(t+1)+2003= t
2
-1+2003= t
2

+2002
Vậy do t
2
0 với t N2002.
Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 khi t=0 hay (x
2
+5x+5)=0 khi
và chỉ khi:
6.2 Bài tập đề nghị.
Bài 1
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
(x+1)(x+2)(x+5)(x+6) +15.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
(1-x)(x-2) (x-3)(x-4) -3.
Bài 2.
Tìm số k lớn nhất thoả mãn bất đẳng thức:
(x
2
+10x+24)(x
2
+8x+15) k.
7. Giải ph ơng trình nghiệm nguyên :
7.1 Ví dụ a:
Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn : x+y=xy
Giải :
14
2
55 +
=x
2

55
=x
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Ta có xy=x+y xy-x-y+1=1 x(y-1)-(y-1)=1 (x-1)(y-1)=1.
Do x,y nguyên nên ta có :
x-1=1 hoặc x-1=-1
y-1=1 y-1=-1
Suy ra (x=2;y=2) hoặc (x=0;y=0).
Vậy cặp số nguyên (x,y) cần tìm là (2;2) và (0;0).
7.2 Bài tập đề nghị.
Bài 1.
Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn các phơng trình sau;
a. x
2
=y
2
+2.
b. xy-3x-2y-7=0.
c. xy+2x+y= -2.
Bài 2 .
Giải phơng trình nghiệm nguyên:
{{x+2}-3}=1.
8. Rút gọn biểu thức :
Xét phân thức đại số :
Trong đó f(x,y, z) ; và g(x,y, ,z) 0 là các đa thức chứa các biến
x,y, ,z.
Để rút gọn biểu thức A ta thờng phân tích các đa thức f(x,y, z) ; và
g(x,y, ,z) thành nhân tử .
Chia cả : f(x,y, z) ; và g(x,y, ,z) cho nhân tử chung.

8.1 Ví dụ
Ví dụ 1:
Rút gọn biểu thức :


Giải : TXĐ: xy
Ví dụ 2:
Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau hãy rút gọn:
15
), ,,(
), ,,(
zyxg
zyxf
A =
22
22
33
yx
yyxx
A

+
=
yx
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx
yx

yxyx
yx
yyxx
A
+
++
=
+
++
=
+
++
=

+
=

+
=
3
))((
)3)((
)).((
)(3)).(()33()(33
22
22
22
22
))((
1

))((
1
))((
1
222222
ababccbaaccbabacbcbacacb
A
+
+
+
+
+
=
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Giải :
Ta phân tích các mẫu thành nhân tử:
a
2
+ac-b
2
-bc=(a
2
-b
2
)+(ac-bc)=(a-b)(a+b)+c(a-b)= (a-b)(a+b+c)
Tơng tự: b
2
+ab-c
2

-ac= (b-c)(a+b+c)
c
2
+bc-a
2
-ab = (c-a)(a+b+c).
Do đó mẫu chung là : MC=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
Vậy :
8.2 Bài tập đề nghị.
Bài 1: cho a,b,c 0 và :
Hãy tính:
Bài 2 :chứng minh rằng: c
2
+2(ab-ac-ac)=0 ,b 0, a+c 0 thì :
Iv một số bài tập vận dụng
Bài 1:
Cho biểu thức A=a
4
-6a
3
+27a
2
-54a+32.
a. phân tích đa thức A thành nhân tử
b. Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn ( a Z)
H ớng dẫn:
a. A= a
4
-6a
3

+27a
2
-54a+32
= a
4
-a
3
-5a
3
+22a
2
+5a
2
-22a-32a-32
= a
3
(a-1)-5a
2
(a-1)+22a(a-1)-32(a-1)
= (a-1)(a
3
-5a
2
+22a-32)
16
0
0)()()(
==
++
=

MCMC
cbbaac
A
222
c
ab
b
ac
a
bc
M
++=
cb
ca
cbb
caa


=
+
+
22
22
)(
)(
0
111
=++
cba
Phân tích đa thức thành nhân tử

Nguyễn Văn Đông
Mà a
3
-5a
2
+22a-32= a
3
-2a
2
-3a
2
+6a+16a-32
= a
2
(a-2)-3a(a-2)+16a(a-2)
= (a-2)(a
2
-3a+16)
Xét a
2
-3a+16 có =9-4.6=-15<0 do đó a
2
-3a+16 không phân tích đợc
trên R. Vậy A=(a-1)(a-2)(a
2
-3a+16).
b. Do aZ nên (a-1)(a-2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia
hết cho 2 .
Suy ra A chia hết cho 2 A=2k (kZ) Vậy A là số chẵn với aZ
Bài 2:

Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
N= 2a
2
b
2
+2b
2
c
2
+2a
2
c
2
-a
4
-b
4
-c
4
luôn dơng .
H ớng dẫn :
Có N= 4a
2
b
2
-(a
4
+2a
2
b

2
+b
4
)+2b
2
c
2
+2a
2
c
2
-c
4
=4a
2
b
2
-(a
2
+b
2
)
2
+2c
2
(b
2
+a
2
)-c

4
=(2ab)
2
-(a
2
+b
2
-c
2
)
2
=(2ab- a
2
-b
2
+c
2
)(2ab+ a
2
+b
2
-c
2
)
=[c
2
-(a-b)
2
][(a+b)
2

-c
2
]
=(c-a+b)c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).
Ta thấy a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy
ra bốn nhân tử đều dơng . Vậy N>0.
Bài 3.
Trong mặt phẳng cho ba điểm A,B,C phân biệt đặt AB=c; AC=b; BC=a
Chứng minh rằng : Nếu phơng trình ẩn x sau:
b
2
x
2
+(b
2
+c
2
-a
2
)x+c
2
=0 có nghiệm kép thì ba điểm A,B,C thẳng hàng :
H ớng dẫn :
Do A,B,C phân biệt suy ra AC 0 b
2
0 .
Có =(b
2
+c
2

-a
2
)
2
-4b
2
c
2
.
Phân tích thành nhân tử :
áp dụng bài tập phần trên ta có = (a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)
Do a+b+c 0 nên xảy ra ba trờng hợp :
Hoặc (b+c-a)=0 a=b+c BC=AC+AB Anằm giữa B,C.
hoặc (a+b-c)=0 c=a+b AB=BC+AC Cnằm giữa B,A
hoặc(b-c-a)=0 b=a+c AC=BC+AB B nằm giữa A,C.
Vậy A,B,C thẳng hàng.
Bài 4:
Cho đa thức P = (x+y)(y+z)(x+z)
a.phân tích đa thức P thành nhân tử
b.Chứng minh rằng : nếu x,y.z nguyên và (x+y+z) chia hết cho 6 thì
Q = (P-3xyz) chia hết cho 6.
H ớng dẫn:
a. Có P = [(x+y+z)-z][ (x+y+z)-y][ (x+y+z)-x] + xyz
= (x+y+z)
3
- (x+y+z)
2
(x+y+z) + (x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz+xyz
=(x+y+z) (xy+yz+xz).
b. Do: (x+y+z) : 6 P : 6

Để chứng minh Q : 6 ta Chứng minh 3xyz : 6 xyz : 2.
17
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Thật vậy: (x+y+z) : 6 (x+y+z) : 2 (x+y+z) là số chẵn không thể
x,y,z cùng lẻ ít nhất một trong ba số x,y,z là chẵn xyz là số chẵn
xyz : 2 .
Vậy: 3xyz : 6.
Bài 5
Chứng minh rằng : (n
5
-5n
3
+4n) chia hết cho 120 n Z
H ớng dẫn:
Ta có:
n
5
-5n
3
+4n = n(n
4
-5n
2
+4n) = n[(n
4
4n
2
)-(n
2

-4)] = n[n
2
(n
2
-4)-(n
2
-4)]
= n(n
2
-4)(n
2
-1) = n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2).
Do nZ n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2) là tích của năm số nguyên liên tiếp
nên chia hết cho 2.3.4.5=120.
Vậy: n
5
-5n
3
+4n chia hết cho 120.
Bài 6
Chứng minh rằng: nếu a+b+c+d =0 thì : a
3
+b
3
+c
3
+d
3
=3(ac-bd)(b+d).
H ớng dẫn

Từ giả thiết : a+b+c+d =0 a+c=- (b+d)(a+c)
3
= -(b+d)
3

a
3
+c
3
+3(a+c)ac=-b
3
-c
3
-3(b+d)bd thay a+c=-(b+d) ta đợc:
a
3
+b
3
-3(b+d)ac=-b
3
-c
3
-3(b+d)bd.
Hay: a
3
+b
3
+c
3
+d

3
= 3ac(b+d)-3(b+d)bd= 3(b+d)(ac-bd).(ĐPCM).
C/ Kết luận
Trong đề tài này tôi đã chứng tỏ khả năng vận dụng quan điểm hoạt
động vào một lĩnh vực cụ thể là: Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng
dụng.
Đề tài này tôi đã trình bày các phơng pháp giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử dựa trên nguyên tắc: Đảm bảo tính khoa học, tính
logic, tính s phạm và tính hiệu quả.
Trong quá trình trình bày các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử chúng tôi đã chú ý đến các phơng diện sau :
- Phù hợp với trình độ khác nhau của học sinh từ trung bình đến khá
giỏi.
- Phù hợp với quan điểm hoạt động trong học tập tức là phân chia các
hoạt động từ thấp đến cao,từ đơn giản đến phức tạp . Từng bớc nâng cao
yêu để đạt tới hoạt động vận dụng tổng hợp ,phức tạp .Phát huy đợc các
năng lực t duy toán học cho học sinh .
Trên cơ sở những kinh nghiệm của những năm dạy học và vận quan
điểm hoạt động vào việc phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng
.Những nội nghiên cứu của tôi trớc hết là bổ ích cho bản thân và cũng là
tài liệu tham khảo tốt cho các bạn đồng nghiệp và cho học sinh .Đơng
nhiên những kết quả của đề tài có sức thuyết phục hơn nếu chúng đợc
minh chứng bằng một thực nghiệm s phạm .Đó cũng chính là ý định của
tác giả đề tài này.
Lời cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã đóng góp
những ý kiến quí báu cho đề tài này.Đặc biệt em chân thành cảm ơn cô
18
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nguyễn Văn Đông
Nguyễn Thị Phúc giảng viên khoa Toán trờng Đại học S phạm I Hà Nội đã

trực tiếp hớng dẫn em hoàn thành đề tài này


Hải Dơng ngày :10-01-2003
Ngời thực hiện:
Nguyễn Văn Đông


19