ĐÈ TÀI PHÂN TÍCH ĐA TH]CS THÀNH NHÂN TỬ

Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A. Đặt vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức toán học quan
trọng, lý thú. Đồng thời cũng rất phong phú và không đơn giản đối với học sinh
bậc THCS.
Vấn đề này đợc giới thiệu khá đầy đủ trong chơng trình 8 và có thể coi là
nội dung lòng cốt của chơng trình bởi nó đợc vận dụng rất nhiều ở các chơng
sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phơng thức, biến
đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ (vô tỷ lớp 9), giải phơng tình. Thực tế giảng dạy
cho thấy với số tiết dạy theo phơng pháp chơng trình, đa số học sinh còn lúng
túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đề
cập tới.
Vậy dạy phân tích đa thức thành nhân tử nh thế nào cho đại trà học sinh
và để bồi dỡng học sinh khá giỏi đạt kết quả tốt là một vấn đề cần đợc quan
tâm. Và để đạt kết quả đó, ngoài phơng pháp truyền thụ, ngời thầy phải nắm đ-
ợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đa ra đề tài này. Về
nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những phơng pháp cơ bản, phơng pháp đặc
biệt, tôi đa ra các bài tập vận dụng cụ thể.
Tất cả các phần đều đợc trình bày theo lôgic. Giới thiệu phơng pháp các
bớc làm, ví dụ minh hoạ.
Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài
liệu hớng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho việc
giảng dạy của giáo viên các trờng THCS.
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
1
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B. NộI DUNG
Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
I. Các ph ơng pháp cơ bản :
1. phơng pháp đặt nhân tử chung

a) Phơng pháp :
+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng
tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử
khác.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của
mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng).
b) Ví dụ:
+) 28a
2
b
2
- 21ab
2
+ 14a
2
b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
+) 2x( y z) + 5y( z y ) = 2(y- z) 5y(y- z) = (y z)(2- 5y)
+) x
m
+ x
m+3
= x
m
(x
3
+ 1) = x
m
( x+ 1)(x
2

x + 1)
2) Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phơng pháp: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích
đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
9x
2
4 = (3x)
2
2
2
= ( 3x- 2)(3x + 2)
8 27a
3
b
6
= 2
3
- (3ab
2
)
3
= (2- 3ab
2
)( 4 + 6ab
2
+ 9a
2
b
4

)
25x
4
10x
2
y + y
2
= (5x
2
y)
2
3) Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
a)Phơng pháp:
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
2
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc
dùng hằng đẳng thức.
b) Ví dụ:
2x
3
- 3x
2
+ 2x 3 = ( 2x
3
+ 2x) (3x
2
+ 3)
= 2x(x

2
+ 1) 3( x
2
+ 1)
= ( x
2
+ 1)( 2x 3)
x
2
- 2xy + y
2
16 = ( x- y)
2
- 4
2
= ( x y 4)( x y + 4)
4) Phối hợp nhiều ph ơng pháp
a) Phơng pháp :+ Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b) Ví dụ:
3xy
2
12xy + 12x = 3x( y
2
4y + 4)
= 3x(y 2)
2
3x

3
y 6x
2
y 3xy
3
- 6axy
2
3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
2y y
2
2ay- a
2
+ 1)
= 3xy[( x
2
2x + 1) - (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy[(x 1)
2
(y + a)
2
]
= 3xy[(x 1)- ( y+ a)][(x 1) + (y+ a)]

= 3xy( x -1 y a)(x -1 +y + a)
5 Ph ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
a) Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hani hạng tử để đa thức có
nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử
chung.
b) Ví dụ: Phân tích: x
2
- 6x + 8
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
3
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Cách 1: x
2
6x + 8 = x
2
2x 4x + 8
= x(x 2) 4( x 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 2: x
2
- 6x + 8 = x
2
6x + 9 - 1
= (x 3)
2
1 = ( x 3 -1)(x-3 + 1)
= (x- 4)( x- 2)
* Cách 3: x
2
- 6x + 8 = x
2

4 6x + 12
= ( x 2)(x+ 2) 6(x- 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 4: x
2
- 6x + 8 = x
2
16 6x + 24 = ( x- 4)(4 + x) - 6(x 4)
= (x- 4)( x + 4 6) = (x - 4) ( x 2)
* Cách 5 : x
2
- 6x + 8 = x
2
4x + 4 2x + 4 = (x- 2)
2
2( x -2)
= (x- 2)( x- 2 2) = ( x- 2)(x 4)
Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:
* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c thành nhân tử
ta làm nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi
cách.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ: 4x
2

4x 3
Tính tích: ac = 4.(-3) = - 12
Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4)
Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (-6)
4x
2
4x 3 = 4x
2
+ 2x - 6x 3 = 2x(2x + 1) 3(2x+ 1)
= (2x+ 1)(2x 3)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
4
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành 2 hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng.
Ví dụ: 4x
2
4x 3 = 4x
2
4x +1 4 = ( 2x 1) -2
2

= ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2)
= (2x + 1)(2x- 3)
3x
2
8x + 4 = 4x
2
8x + 4 x
2

= (2x-2)
2
x
2
= ( 2x 2 x)(2x 2 + x)
= (x -2)(3x 2)
6. ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về dạng
hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thờng hay đa về dạng a
2

b
2
sau khi thêm bớt.
b) Ví dụ: 4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 36x
2
= ( 2x
2
+ 9)
2
(6x)
2
= (2x
2

+ 9 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x + 1 = x(x
6
1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
+1)(x- 1)(x
2
+ x + 1) + ( x
2
+ x + 1)

= (x
2
+ x+ 1)(x
5
- x
4
x
2
- x + 1)
II. Các ph ơng pháp khác:
1. Ph ơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
a) Phơng pháp: Đặt ẩnphụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử
dụng cac phơng pháp cơ bản.
b) Ví dụ: Đa thức đã cho có dạng :
+) 6x
4
- 11x
2
+ 3
Đặt x
2
= y ta có 6y
2
-11y + 3 = ( 3y 1)( 2y 3)
Vậy : 6x
4
- 11x
2
+ 3 = (3x
2

1)( 2x
2
3)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
5
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+) (x
2
+ x)
2
+ 3( x
2
+ x) + 2 Đặt x
2
+ x = y
Ta có y
2
+ 3y +2 = ( y + 1)( y + 2)
Vậy : (x
2
+ x)
2
+ 3( x
2
+ x) + 2 = (x
2
+ x + 1)(x
2
+x + 2)
2.Ph ơng pháp hệ số bất định.

a) Phơng pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậcnhất hoặc
bậc hai hay một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc hai dạng
( ax +b)( cx
2
+ dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ
số của đa thức kia.
b) Ví dụ: x
3
19x 30
Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
x(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b)x
2
+ ( ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất trên
a+ b = 0
ab + c = -19
ac = -30
Chọn a =2, c = - 15
Khi đó b = - 2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy: x
3
19x 30 = (x + 2))( x
2
- 2x 15)
3. Ph ơng pháp xét giá trị riêng.
a) Phơng pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức,

rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định các thà số còn lại.
b) Ví dụ:
p = x
2
( y z) + y
2
(z c) + z(x - y)
Thay x bởi y thì p = y
2
( y z) + y
2
( z y) = 0
Nh vậy p chứa thừa số(x y)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
6