­­ung dung cua hai hang dang thuc dep

GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền
Từ một hẳng đẳng thức.
Bài toán:
Chứng minh :
))((3
222333
cabcabcbacbaabccba ++++=++
(*)
Nhận xét.
Việc chứng minh hằng đẳng thức trên không khó khăn lắm ta có thể tiến
hành theo hai hơng sau:
- Biến đổi VF = VT
- Biến đổi VT = VF
Tiến hành theo hai hơng khác nhau thị mức độ thuận lợi cũng khác nhau
Từ hằng đẳng thức trên ta có hệ qủa sau:
Nếu
0=++ cba
thì
abccba 3
333
=++
(**)
Vận dụng hệ quả này ta có các bài tập sau:
Bài1. Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử
a.
33
)()()(
3
accbba ++
b.
333

)33()12()2( ++++ xxx
giải

a. Nhận thấy: (a - b) + (b c) + (c a) = 0
áp dụng (**) có:
))()((3)()()(
33
3
accbbaaccbba =++
b. nhận thấy: (x + 2) + (2x + 1) + (-3x 3) = 0
Từ:
333333
)33()12()2()33()12()2( ++++=++++ xxxxxx

)1)(12)(2(9
)33)(12)(2(3
+++=
++=
xxx
xxx
Bài2. Cho xy + yz + zx = 0 và
0xyz
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
22
2
y
zx
x
yz
z

xy
A +=
Giải
Từ : xy + yz + zx = 0
0=
++

xyz
zxyzxy
0
111
=++
zyx
(2.1)
Biến đổi biểu thức A nh sau:

)
111
(
33322
2
zyx
xyz
y
zx
x
yz
z
xy
A ++=+=

Vận dụng (**) cho trờng hợp ba số
zyx
1
;
1
;
1
thoả mãn điều kiện (2.1)
Khi đó
3
3
.)
111
(
333
==++=
xyz
xyz
zyx
xyzA
Bài3. các số a, b, c thoả mãn điều kiện gì khi
abccba 3
333
=++
Giải
Từ:
033
333333
=++=++ abccbaabccba
(3.1)

Từ một hằng đẳng thức suy rộng
GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền
Theo (*) thì
))((3
22333
2
cabcabcbacbaabccba ++++=++
Khi đó (3.1) thành:
0))((
22
2
=++++ cabcabcbacba


0
=++
cba
hoặc
0
222
=++ cabcabcba
Nếu
0
222
=++ cabcabcba

cba
accbba
==
=++ 0)()()(

222

Bài4. Cho x,y,z thoả mãn:
xyzzyx 3
333
=++
. Hãy tính giá trị của biểu thức
sau:
)1)(1)(1(
y
z
z
x
x
y
M +++=
Giải
Biến đổi tơng biểu thức
)1)(1)(1(
y
z
z
x
x
y
M +++=

))()((
y
zy

z
xz
x
yx
M
+++
=
(4.1)
Theo bài 3. Nếu
xyzzyx 3
333
=++
.

0=++ zyx
hoặc
zyx ==
* Nếu
0=++ zyx
khi đó
1
))()((
=

=
xyz
zyx
M
* Nếu x = y = z khi đó M = 8
Bài4. trong mặt phẳng toạ độ oxy tìm các điểm M(x;y) thoả mãn:

xyyx 31
33
=
Giải
Từ.
xyyx 31
33
=
chúng ta đa về dạng hằng đẳng thức (*)

xyyx 31
33
=

0)1)((3)1()(
333
=++ yxyx

0)1()( =++ yx
hoặc
01
22
=++++ xyxyyx
* Nếu x + (-y) +(-1) = 0 x y 1 = 0 y = x - 1
Vậy tập hợp các điểm đó năm trên đờng thẳng y = x 1
* Nếu
01
22
=++++ xyxyyx

0)1()1()(
222
=++++ xyyx


x = -1
y = 1

Điểm M(-1;1)
Bài6. trục căn thức của biểu thức
333
1
cba
A
++
=
Giải
Đối với mẫu thức chúng ta xem nh x + y + z, để xuất hiện hằng đẳng thức
(*). Ta phải nhân với đa thức
zxyzxyzyx ++
222
. Khi đó mẫu thức có
dạng
xyzzyx 3
333
++
.
Từ một hằng đẳng thức suy rộng
GV: Phạm Văn Định/ Trờng THCS Nga Điền

Vậy phải nhân
333
cba ++
với
333333
3
2
3
2
3
2
accbbacba ++

333
333333333
3

cbacba
accbbacba
A
++
++
=
Nh vậy ta đã đa biểu thức về dạng:
3
kn
m
A
+
=

Khi ở dạng trên thì chỉ cần nhân với biểu thức liên hợp quen thuộc là:

3
3
22
knkn +
thì ta đã khủ mẫu hoàn chỉnh
Nhận xét: tuy nhiên không phải bài toán nào cũng phải nhân hai lần liên
hợp . nh bài toán sau chẳng hạn
Bài 7. Trục căn thức sau:
162244
1
33
+
=A
Giải
Biểu thức liên hợp:
33
3
3
3
23246488256441616 ++++
thì biểu thức có
dạng
240
240470264
88.16.325616256
23246488256441616
33
3

33
3
3
3

++
=
++
++++
=A
Bài 8. Giải và biện luận phơng trình
0
3
=++ cbxax
với điều kiện
0
27
4
3
3
2
2
+
a
b
a
c
Giải
Từ phơng trình
0

3
=++ cbxax

0
3
=++
a
c
a
bx
x
Ta biến đổi phơng trinh về dạng

0
3
3
3
=

+
a
bx
a
c
x

03
333
=++ dexedx
áp dụng hẳng đẳng thức (*) thì phơng trình trên thành

0))((
222
=++++ deexdxedxedx

edx
=
(8.1)
Với
33
,ed
là nghiệm của phơng trình sau:

0
27
3
3
2
=
a
b
X
a
c
X

3
3
2
2

27
.4
a
b
a
c
+=
Bài 9. Giải phơng trrình:
a.
02954
3
=+ xx
b.
0536
3
=+ xx
Từ một hằng đẳng thức suy rộng
GV: Ph¹m V¨n §Þnh/ Trêng THCS Nga §iÒn
Tõ mét h»ng ®¼ng thøc suy réng