Bài tập Xử lý tín hiệu số, Chương 5 potx

Xử lý số tín hiệu
Chương 5: Biến đổi Z
 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
 Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)
1. Định nghĩa
)2()1()0()1()2(
)()(
212







zxzxxzxzx
znxzX
n
n





n
n
znhzH )()(
2. Các tính chất cơ bản
a. Tính tuyến tính
b. Tính trễ
c. Tính chập

)()()()(
22112211
zXAzXAnxAnxA
Z







)( zXzDnxzXnx
D
ZZ


X(z)H(z)(z) )(h(n)(n)




Ynxy
2. Các tính chất cơ bản
Ví dụ 1 Dùng và tính chất của biến đổi
Z, xá
c định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)
Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín
hi

ệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
)()1()( nnunu




Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)
n
u(n)
Bi
ến đổi Z:
T
ổng hội tụ khi
3. Miền hội tụ


 )(zXCzROC








0
1

)5.0()()5.0()(
n
n
n
nn
zznuzX
5.015.0
1


zz


5.0 zCzROC
 
5.0z ,
5.01
1
)5.0(
1




z
nu
Z
n
|
z

|
ROC
z-plane
z
0
.
5
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)
n
u(-n -1)
Bi
ến đổi Z:
 Kết quả:
3. Miền hội tụ







1
1
1
])5.0[()5.0()(
m
mn
n
n
zzzX



5.0 zCzROC
5.0z ,
5.01
1
)1()5.0(
1




z
nu
Z
n
|
z
|
ROC
z-plane
z
0
.
5
3. Miền hội tụ
 Tổng quát:
a
az
nua

Z
n




z ,
1
1
)(
1
a
az
nua
Z
n




z ,
1
1
)1(
1
|
a
|
ROC
z-plane

a
|
z
|
cực
|
a
|
ROC
z-plane
a
|
z
|
cực
 Tín hiệu nhân quả dạng:
có bi
ến đổi Z là:
V
ới ROC:
4. Tính nhân quả và ổn định
)()()(
2211
 nupAnupAnx
nn

11
)(
1
2

2
1
1
1






zp
A
zp
A
zX
i
i
pz max
p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
 Tín hiệu phản nhân quả dạng:
c
ũng có biến đổi Z là:

V
ới ROC:
4. Tính nhân quả và ổn định
)1()1()(
2211
 nupAnupAnx
nn

11
)(
1
2
2
1
1
1






zp
A
zp
A
zX
i
i
pz min

p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
a. x(n) = (0.8)
n
u(n) + (1.25)
n
u(n)
b. x(n) = (0.8)
n
u(n) – (1.25)
n
u(-n – 1 )
c. x(n) = – (0.8)
n
u(-n-1) + (1.25)
n
u(n)
d. x(n) = – (0.8)
n
u(- n – 1) – (1.25)
n
u(-n – 1)

4. Tính nhân quả và ổn định
x(n) ổn định ROC có chứa vòng tròn đơn vị
Các trường hợp:
4. Tính nhân quả và ổn định

p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
vòng tròn đơn vị
p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
vòng tròn đơn vị
5. Phổ tần số
 Biến đổi Z của x(n):
 Biến đổi DTFT của x(n):
 Đặt (Tần số số)


Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.





n
fnTj
enxfX

2
)()(




n
n
znxzX )()(



j
ez
n
nj
zXenxX







)()()(
s
f
f
fT


2
2

5. Phổ tần số
 Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):
 X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần
hoàn chu k
ỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
 DTFT ngược:



j
ez
n
nj
zHenhH







)()()(
   
dfefX
f
deXnx
S
S
S
ffnj
f
f
S
nj
/2
2/
2/
1
2
1
)(










5. Phổ tần số
Điều kiện tồn tại X(ω): ROC của X(z) chứa
vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
Mặt phẳng Z
e
jω
ω = π ω = 0
0
Vòng tròn
đơn vị
5. Phổ tần số
 Xét X(z):
 X(z) có 1 cực z = p
1
và 1 zero z = z
1
 Thay z = ejω,
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
pz
zz

zp
zz
zX








2
1
1
1
)()(
ze
ze
X
pe
ze
X
j
j
j
j












5. Phổ tần số
1
0
z
1
p
1
e
jω
|z-z
1
|
|z-p
1
|
φ
1
ω
1
ω
0
|X(
ω)|

zero
pole
φ
1
ω
1
6. Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
 Đưa X(z) về dạng
Tùy theo ROC, suy ra x(n)
Ví dụ:
 ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8
n
u(-n-1)-1.25
n
u(-n-1)
 ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8
n
u(n) – 1.25
n
u(-n-1)
 ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8
n
u(n) + 1.25
n
u(n)

11
)(
1

2
2
1
1
1






zp
A
zp
A
zX
11
25
.
1
1
1
8
.
0
1
1
)(






zz
zX
6. Biến đổi Z ngược
A. Pp khai triển phân số từng phần:
Bậc của mẫu số D(z) bằng M
 Trường hợp 1: Bậc của N(z) nhỏ hơn M:
V
ới
)1) (1)(1(
)(
)(
)(
)(
11
2
1
1



zpzpzp
zN
zD
zN
zX
M
11

2
2
1
1
1
1

11
)(







zp
A
zp
A
zp
A
zX
M
M




M ,2,1,i,)(1

1



i
pz
ii
zXzpA
6. Biến đổi Z ngược
 Ví dụ: Khai triển
=>
V
ới
  
11
1
21
1
25.118.01
05.22
05.21
05.22
)(











zz
z
zz
z
zX
1
2
1
1
25
.
1
1
8
.
0
1
)(





z
A
z
A

zX
 
 
1
25.11
05.22
)(8.01
8.0
1
1
8.0
1
1















z
z

z
z
zXzA
 
 
1
8.01
05.22
)(25.11
25.1
1
1
25.1
1
2
















z
z
z
z
zXzA
6. Biến đổi Z ngược
 Trường hợp 2: Khi bậc của N(z) bằng M:
 Với
11
2
2
1
1
1
0
1

11
)(







zp
A
zp
A

zp
A
AzX
M
M




M ,2,1,i,)(1
1



i
pz
ii
zXzpA


zXA
z 0
0
lim


6. Biến đổi Z ngược
 Trường hợp 3: Khi bậc của N(z) lớn hơn M:
 Chia đa thức D(z) cho N(z):
 Khai triển bằng phương pháp phân số từng phần

)(
)(
)(
)(
)(
)(
zD
zR
zQ
zD
zN
zX

)(
)(
zD
zR
6. Biến đổi Z ngược
B. PP “Khử - phục hồi”:
 Đặt
 Khai triển phân số từng phần của W(z)
Ví dụ:
 Đặt:
 Mặt khác:
 
)()()(
)(
1
zWzNzX
zD

zW 


5.0zzROC ,
25.01
6
)(
2
5






z
z
zX
111
5.01
5.0
5.01
5.0
25.01
1
)(








zzz
zW
)()5.0(5.0)()5.0(5.0)( nununw
nn



)5()(6)(
)()(6)(6)(
55



nwnwnx
zWzzWzWzzX