Bài tập Xử lý tín hiệu số, Chương 8 pdf

Xử lý số tín hiệu
Chương 8: Biến đổi DFT và FFT
Các phép biến đổi Fourier
Miền thời gian Miền tần số
dt
tf
πj2
es(t)S(f)






dt
T
0
t
ωkj
es(t)
T
1
k
c



Periodic
(period T)
Discrete
Continuous

FT
FTAperiodic
FS
FS
Continuous
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t





1N
0
n
N

nk
π2
j
es[n]
N
1
k
c
~
Discrete
Discrete
DFS
DFSPeriodic
(period T)
ContinuousDTFT
Aperiodic
Discrete
DFT
DFT
nfπ2j
e
n
s[n]S(f)









0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12
time, t
k
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
time, t
k





1N
0
n
N
nk
π2

j
es[n]
N
1
k
c
~
Chuỗi Fourier (Fourier series-FS)
 Tín hiệu x(t) tuần hoàn, chu kỳ T
p
, tần số F
0
= 1/T
p




k
tkFj
k
ectx
0
2
)(




p

T
tkFj
p
k
dtetx
T
c
0
2
)(
1

X(f)
f
-T
p
T
p
0
x(t)
τ
t
F
0
-F
0
Biến đổi Fourier (Fourier transform-FT)
 Tín hiệu x(t) không tuần hoàn
 




 dfeFXtx
ftj

2
)(
   




 dtetxfX
ftj

2
X(ω)
ω
2π/τ-2π/τ
x(t)
-
τ/2
t
τ/2
Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
Biến đổi Fourier thời gian rời rạc
Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)
 Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn
 





deXnx
nj


2
2
1
)(
   




n
nj
enxX


Chuỗi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Sequence (DFS)
 Tín hiệu x(n) rời rạc, tuần hoàn với chu kỳ N




1
0

/2
)(
N
k
Nknj
k
ecnx

 





1
0
/2
1
N
n
Nknj
k
enx
N
c

Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
 Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn, chiều dài L hữu
h

ạn  Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω)
0 L-1 n
x(n)
|X(ω)|
ω-π π
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
 Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu x
p
(n)
tu
ần hoàn chu kỳ N
0
N
x
p
(n)
N-1
nL-1
n
 x
p
(n) tuần hoàn chu kỳ N  Tính DFS của x
p
(n)  X
p
(k)
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
0

N
x
p
(n)
N-1
n
L-1
n
|X
p
(k)|
k
0 N-N
X
p
(k) tuần hoàn chu kỳ N  Đặt X(k) = X
p
(k), k = 0, ,N-1
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
|X(k)|
k0 N-1
0 L-1 n
x(n)
DFT
Công thức biến đổi DFT N-điểm cho chuỗi chiều dài L:
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
 
1, ,2,1,0 , )(

1
0
/2





NkenxkX
L
n
Nknj

   
1, ,2,1,0 ,
1
1
0
/2




NnekX
N
nx
N
k
Nknj


IDFT
DFT
 Tính trực tiếp DFT N – điểm của x(n):
T
ổng quát: X(k) và x(n) là số phức:
Tính tr
ực tiếp cần:
• 2N
2
phép tính hàm lượng giác
• 4N
2
phép nhân thực
• 4N(N-1) phép cộng thực
Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
     










1
0
2

sin
2
cos
N
n
IRR
N
kn
nx
N
kn
nxkX

     










1
0
2
cos
2
sin

N
n
IRI
N
kn
nx
N
kn
nxkX

Chi phí tính
toán l
ớn
 Đặt

 Tính đối xứng:
 Tính tuần hoàn:
Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
Nj
N
eW
/2



 





1
0
)(
N
n
nk
N
WnxkX
k
N
Nk
M
WW 
 2/
k
N
Nk
M
WW 

 Xét chuỗi x(n) = {x(0), x(1)}
 FFT 2 điểm của x(n):
(Lưu ý: W
2
=
1)
Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
)1()0()1()0()1(

)1()0()1()0()0(
1
2
0
2
0
2
0
2
xxWxWxX
xxWxWxX


x(0)
x(1)
X(0)
X(1)
-1
1 Bướm
(Butterfly)
 Xét chuỗi x(n) có chiều dài N = 2
K
 Đặt g(n) = x(2n)  g(n) = {x(0), x(2), … }
 Đặt h(n) = x(2n + 1)  h(n) = {x(1), x(3), …}
 DFT N điểm của x(n):
 G(k), H(k) : DFT N/2 điểm của g(n), h(n)
Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
(Decimation in time – DIT)
1
2

, ,1,0 , )()( )( 
N
kkHWkGkX
k
N
1, ,
2
, )
2
()
2
( )(
2


N
N
k
N
kHW
N
kGkX
N
k
N
Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
FFT N/2
điểm
FFT N/2
điểm

g(0)
g(N/2 -1)
g(1)
G(0)
G(N/2 -1)
G(1)
FFT N/2

điểm
FFT N/2
điểm
h(0)
h(N/2 -1)
h(1)
H(0)
H(N/2 -1)
H(1)
0
N
W
X(0)
1
N
W
X(1)
12/ N
N
W
X(N/2-1)
k =0


N/2 -1
0
N
W
X(N/2)
1
N
W
X(N/2 + 1)
k = N/2

N - 1
12/ 

N
N
W
X(N – 1)
Chi phí tính toán
 So với tính trực tiếp: chi phí tính toán thấp hơn
0
500
1000
1500
2000
0 10 20 30 40
Number of samples, N
Number of Operations
DFT

DFT


N
N
2
2
FFT
FFT


N log
N log
2
2
N
N
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Ví dụ
 Thứ tự chuỗi x(n) trong pp Decimation – in - time
Số thứ tự Dạng nhị phân Đảo bit n
0 000 000 0
1 001 100 4

2 010 010 2
3 011 110 6
4 100 001 1
5 101 101 5
6 110 011 3
7 111 111 7
Số thứ tự Dạng nhị phân Đảo bit
0 000 000
1 001 100
2 010 010
3 011 110
4 100 001
5 101 101
6 110 011
7 111 111
Số thứ tự Dạng nhị phân
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Số thứ tự
0
1
2
3
4

5
6
7
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo tần số (Decimation in freq)
Ví dụ
 FFT 8 điểm phân chia theo tần số