SKKN Mot so pt quy ve bac 2.doc

trờng đại học s phạm hà nội
Khoa toán
***
Đề tài
Một số phơng trình quy về
phơng trình bậc hai
Giáo viên hớng dẫn:
Ngời thực hiện:
hảii dơng, năm 2006
Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho
học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng
xuyên ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp
cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà
còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp
logíc tìm ra đợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh
sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai, phơng trình quy
về phơng trình bậc hai là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng
xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trung
học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến
thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về phơng
trình quy về phơng trình bậc hai. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham
khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng
và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu
khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của
học sinh.
Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa
ra một hệ thống kiến thức nói về phơng trình quy về phơng trình bậc hai với
một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời

dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi.
Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai là một hệ thống kiến
thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách
giải của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai.nh: Phơng trình
chứa ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ
Với mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví
dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ng-
ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Do thời gian hạn hẹp cũng nh kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong
quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
Phần I: Những vấn đề chung
A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài
Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ
bản nhất, chung nhất về các dạng phơng trình đa về phơng trình bậc hai nhằm:
+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dỡng học sinh giỏi
+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình đa đợc
về phơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t duy nhanh nhạy, sáng tạo, có
kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phơng trình này.
+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.
B. Đối t ợng nghiên cứu
Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nói
chung và phơng trình bậc hai nói riêng.
Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS.
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
Phần 2: Nội dung
A cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Toán học là một môn khoa học trìu tợng, đóng vai trò quan trọng trong
đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ
nắm bắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính
toán, phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống.
Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà
trờng THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duy
sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ.
số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu
đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình và
phơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến
nhiều. Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡng
cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm,
lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiến
thức này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngời
dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại
số 9 đã đa ra cho học sinh một số laọi phơng trình quy về phơng trình bậc hai
nh: phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa
vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức
độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các
lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần
hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức phơng trình
quy về phơng trình bậc hai.
B. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph ơng
trình:
Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và
kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng,

trừ, nhân, chia )
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của
phơng trình, tập xác định của một biểu thứcc
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận phơng trình bậc hai nmột ẩn, phơng trình
chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
C Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai
I. Nhắc lại về phơng trình bậc hai một ẩn số
1. Định nghĩa:
+ Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng tổng quát:
ax
2
+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a

0)
+ Nghiệm của một phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà
khi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận hệ ph ơng trình bậc hai
*) Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0

(a

0) ta cần quan tâm tới biệt số của phơng trình:

=b

2
- 4ac
+ Nếu

<0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu

=0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép:
x
1
=x
2
=
a
b
2

+ Nếu

>0: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

Khi b chẵn, hay b=2b

(b

) khi đó ta có:


=b
2
- ac
+ Nếu


<0: phơng trình vô nghiệm
+ Nếu


=0: phơng trình có nghiệm kép
+ Nếu


>0: phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phơng trình bậc hai có dạng phân
biệt và trái dấu nhau (vì

>0).
*) Đối với một số phơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên)
trong trờng hợp phơng trình có nghiệm (

>=0) ta có thể dùng định lý Viet để
nhẩm nghiệm của phơng trình.

Định lý Vi-et
Nếu phơng trình ax
2
+bx+c=0 (a

0) có nghiệm số x
1
;x
2
(


0)
thì:
x
1
+x
2
=
a
b
x
1
.x
2
=
a
c
Tr ờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x

2
=
a
c
+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=-1; x
2
=-
a
c
*)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phơng trình
bậc hai
+ Phơng trình bậc hai có cùng dấu khi:


0 hay b
2
-4ac

0
x
1
.x
2
>0
0>
a
c
+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng khi

0 hay b
2
- 4ac

0
x
1
.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
>0
0>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:


0 hay b
2
- 4ac

0

x
1
.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
<0
0<

a
b
+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:
0<
a
c
+ Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi:
x
1
.x
2
<0
0<
a
c

x
1
+x
2
=0 hay
0=

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0<

a
b
*) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa
bậc n hai nghiệm của phơng trình: x
nn

x
21

(Với n
)Z
Ví dụ:
Phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm x
1
;x
2
thì:
x
2
2
2
21
2
21
2
2
2
1
2
.2)(2)(
a
acb
a
c

a
b
xxxxx

=

=+=+
x
22
2
21
22
2
2
1
4
2
4
1
)(2)
2
()(2)(
a
c
a
acb
xxxxx

=+=+
II. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai:

Trong trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng phơng trình quy về
phơng trình bậc hai sau:
1. Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu
Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là những phơng trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của phơng trình.
a) Cách giải:
+ Tìm tập xác định của phơng trình
+ Quy đồng, khử mẫu
+ Biến đổi phơng trình, đa phơng trình về dạng ax
2
+bx+c=0
+ Giải phơng trình dạng ax
2
+bx+c=0
+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm đợc
không thuộc tập xác định của phơng trình).
b ) ví dụ :
Ví dụ 1:
Giải và biện luận theo a và b phơng trình:
2=

+
ax
b
bx
a
(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải Điều kiện: x
:, bxa

Ta có: (1)
)()())((2 bxbaxabxax +=
02)(32
222
=++++ abbaxbax
0)()(32
22
=+++ baxbax
2
)( ba +=
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
bax +=
1
2
2
ba
x
+
=
*
0
1
bax
0
1
abx
*
ax
2
babx

2
Vậy với a
0,0; bab
thì (1) có hai nghiệm phân biệt
0
32
1
672
4
4
1
12832
4
2223
=
+
+
++



+
x
xxxxxx
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(**)
0
32
1
)32)(2(

4
)2)(2(
1
)32)(2)(2(
4
=
+
+
++

+

++

xxxxxxxx
TXĐ: x-2
0
2x
x+2
0


2
3
x
2x+3
0
Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2)
0484324

2
=++ xxx
056
2
=+ xx
Giải phơng trình : x
2
-6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x
1
=1, x
2
=5
Đối chiếu với TXĐ ta thấy x
1
= 1 và x
2
= 5 là 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
+ Loại phơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại thờng gặp ở trờng phổ thông.
+ Khi giải loại này cần lu ý: Cần so sánh các giá trị tìm đợc của ẩn với
TXĐ trớc khi kết luận về nghiệm của phơng trình.
2. Ph ơng trình bậc ba
Phơng trình bậc ba (một ẩn số) là phơng trình có dạng tổng quát:
ax
3
+bx
2
+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a
0
a) Cách giải

Để giải một phơng trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thờng phải
biến đổi đa về phơng trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất
với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng
phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
2x
3
+7x
2
+7x+2=0 (*)
Giải
(*)

(2x
3
+2)+(7x
2
+7x)=0

2(x
3
+1)+7x(x+1)=0

2(x+1)(x
2
-x+1)+7x(x+1)=0

(x+1)(2x
2

+5x+2=0

x+1=0 (1)
2x
2
+5x+2=0 (2)
Phơng trình (1) cho nghiệm x=-1
Phơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
2
1
Vậy phơng trình (8) có nghiệm S= -
2
1
;2;1
Ví dụ 2:
Cho phơng trình x
3
-(2a+1)x
2
+(a
2
+2a-b)x-(a
2
-b)=0 (1)
Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phơng trình đã cho.
Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x
1
=1. Do đó (1) có thể viết:
(x-1)(x

2
-2ax+a
2
-b)=0.
Xét phơng trình bậc hai:
x
2
-2ax+a
2
-b=0 (2)


=b
* Nếu b<0

(2) vô nghiệm
(1) có nghiệm duy nhất x=1
* Nếu b=0

(2) có nghiệm kép: x=a
(1) có hai nghiệm: x=1;x=a
* Nếu b>0

(2) có hai nghiệm phân biệt:
(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+

; x=a-

;
c. Nhận xét:

Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa
thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Khi đó, ta có
một hệ thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một ph-
ơng trình bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phơng trình bậc ba:
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có nghiệm là x=1.
Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có một nghiệm là:x=-1.
Khi biết trớc một nghiệm, ta chia vế trái của phơng trình cho đa thức x-
1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử.
+ Với phơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên
thì nghiệm nguyên đó phải là ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự
tồn tại nghiệm nguyên của phơng trình với hệ số nguyên).
3. Những ph ơng trình bậc cao quy đ ợc về ph ơng trình bậc hai
3-1 Ph ơng trình trùng ph ơng
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax
4
+bx
2
+c=0. Trong
đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a
0
Cách giải
Với loại phơng trình này khi giải ta thờng dùng phép đặt ẩn phụ x

2
=t

0. Từ đó ta có một phơng trình bậc hai trung gian: at
2
+bt+c=0, giải phơng
trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x
2
=t (Nếu những giá trị của t
tìm đợc thoả mãn t

0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng trình ban đầu.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: x
4
x
2
6 = 0 (**)
Giải:
Đặt x
2
=t

0 phơng trình (**) trở thành:
t
2
t 6 = 0
Giải phơng trình t
2
-t-6=0 ta đợc t

1
=-2;t
2
=3
+ Với t=-2(loại vì t<0)
+ Với t=3
3= x
Vậy phơng trình (**) có hai nghiệm: S = -
3;3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
x
4
-2(m-1)x
2
-(m-3)=0 (***)
Với giá trị nào của tham biến m thì phơng trình trên
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm
d) vô nghiệm.
Giải:
Đặt x
2
=t

0 khi đó phơng trình (***) đợc quy về một phơng trình bậc hai:
t
2
-2(m-1)t-(m-3)=0 (****)

=(m-1)
2
+(m-3)=m
2
-m-2
a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (***) phải có 2 nghiêm d-
ơng phân biệt tơng đơng với:


>0 m
2
-m-2>0
x
1
+x
2
>0 hay m-1>0
x
1
x
2
>0 m-3<0
(m+1)(m-2)>0 m-2>0
m>1

m>1 (do m>1)
m<3 m<3
m>2

m>1 do đó 2<m<3
m<3
Khi 2<m<3 thì phơng trình (****) có hai nghiệm dơng phân biệt, do
vậy phơng trình (***) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và khác
nhau).
b) Phơng trình (***) có 3 nghiệm khi phơng trình (****) có nghiệm x=0 và
nghiệm số thứ hai là số thực dơng.
Do vậy, trớc hết phơng trình (***) có dạng:
ax
4
+ bx
2
= 0 (c=0)
Do đó m-3=0

m=3.
Với m=3 thì phơng trình (***) trở thành
x
4
- 4x
2
= 0

x
2
(x
2
-4)=0
Phơng trình (***) có nghiệm: x
1

=2; x
2
=-2 và một nghệm kép x
3
= 0
c) Điều kiện để phơng trình (***) có hai nghiệm:
*) Hoặc phơng trình (****) có nghiệm kép dơng.
*) Hoặc phơng trình (****) có 2 nghiệm phân biệt nhng chỉ có một
nghiệm dơng, nghệm còn lại là âm.
d) phơng trình (***) vô nghiệm khi:
*) phơng trình (****) vô nghiệm.
*) Hoặc phơng trình (****) có hai nghiệm âm.
Nh vậy: Phơng trình (****) vô nghệm khi


<0
hay m
2
- m - 2 < 0

(m+1)(m-2)<0
Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng
biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b (a

0)
Ta thấy nghiệm của bất phơng trình (m+1)(m-2)<0 là -1<m<2
Vậy phơng trình (****) vô nghiệm khi -1<m<2
Phơng trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi
0

'

m
2
-m-2
0

0>
a
c
hay -(m-3)>0
0<

a
b
2(m-1)<0
Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phơng trình m
2
-m-2
0

cho nghiệm m
2;1 m
Bảng xét dấu:
m -

-1 2
+

m+1 - 0 + 1 +

m-2 - 1 - 0 +
(m+1)(m-2) + 0 - 0 +
Vậy hệ tơng đơng với m
1
m
2
m<3
m<1
Kết hợp với điều kiện này ta đợc: m

-1
Vậy phơng trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi m

-1
*) Tóm lại: Phơng trình (***) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m

-1.
d) Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của phơng trình trùng phơng:
ax
4
+bx
2
+c=0 (a
0
) ta có nhận xét
+ Phơng trình vô nghiệm khi:
*) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (

<0)

*) Hoặc phơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm
sảy ra khi:
0
0>
a
c
0<

a
b
+ Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi:
*) Phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dơng
Xảy ra khi:
0=
0
2
>

a
b
*) Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm d-
ơng, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi
0<
a
c
+ Phơng trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0)
Xảy ra khi at
2
+bt+c=0 có hai nghiệm t
1

=0;t
2
=
0>

a
b
Muốn vậy ta phải có: c=0
0>

a
b
Khi đó nghiệm của phơng trình trùng phơng là: x=0; x=
a
b

+ Phơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phơng trình bậc hai
trung gian có hai nghiệm dơng phân biệt. Khi đó nghiệm của phơng trình
trùng phơng là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t=0 (xảy ra khi
b=c=0) thì phơng trình có nghiệm x=0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phơng trình trùng phơng là số lẻ thì trong
đó phải có nghiệm số kép.
3-2. Ph ơng trình dạng: (x+a)
4
+ (x+b)
4
= c
(Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số)
a) Cách giải:

Ta biến đổi t = x +
2
ba +
tức là: x+a=t+
2
ba
x+b=t-
2
ba
Phơng trình đã cho trở thành
2t
4
+12
0
2
2
2
4
2
2
=







+

c
ba
t
ba
(Đây là phơng trình trùng phơng ẩn t- Ta đã biết cách giải)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
( ) ( )
253
44
=+++ xx
(*)
Giải:
Đặt t=
4
2
53
+=
+
xt
Khi đó: x + 3 = t - 1
x + 5 = t + 1
Phơng trình (*) có dạng: (t-1)
4

+(t+1)
4
=2
06
22122
24
24
=+
=++
tt
tt
Phơng trình t
4
+ 6t
2
= 0 có nghiệm kép t = 0
Ta có x + 4 = t

x + 4 = 0

x = - 4
Vậy phơng trình (*) có nghiệm kép x = - 4
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x + 6)
4
+ (x - 4)
4
= 82 (**)
===============================
Giải
Đặt t=x+

1
2
46
+=

x

x + 6 = t + 5
x 4 = t 5
Phơng trình (**) có dạng: (t+5)
4
+ (t-5)
4
=82

2t
4
+ 300t
2
+ 1250 = 82

t
4
+ 150t
2
+ 584 = 0 (***)
Giải phơng trình (***)
Đặt t
2
= v

0
Thay vào phơng trình (***) ta có:
v
2
+ 150v + 584 = 0
715041
50415845625
'
'
==
==
Ta có v
1
= - 75+71=-4

Không thoả mãn điều kiện v
0
v
2
=-75 -71 =-146

Không thoả mãn điều kiện v
0
Vậy phơng trình (***) vô nghiệm

phơng trình (**) vô nghiệm.
c) Nhận xét:
Bằng phép đổi biến t=x+
2
ba +

ta đa đợc phơng trình (x+a)
4
+(x+b)
4
=c về
một phơng trình trùng phơng (trung gian) có dạng tổng quát:
t
4
+Bt
2
+C=0
Qua phép biến đổi t
2
=X (với x
0
) Ta đa đợc phơng trình về một phơng trình
bậc hai trung gian:
X
2
+ BX + C=0
Số nghiệm của phơng trình (x+a)
4
+(x+b)
4
=c phụ thuộc vào số nghiệm
của phơng trình bậc hai trung gian X
2
+BX +C=0
*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì
phơng trình trùng phơng t

4
+Bt +C=0 vô nghiệm và do đó phơng trình đầu vô
nghiệm.
*) Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X
0

thì phơng
trình đầu có nghiệm:
x=t
0
-
2
ba +
ở đó t
0
=
0
X
t
0
= -
0
X
Lu ý rằng số nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của
phơng trình trùng phơng và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình
bậc hai trung gian.
Nh vậy: Nếu phơng trình bậc hai trung gian X
2
+BX+C=0
+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phơng trình đầu vô

nghiệm.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng, một nghiệm
âm thì phơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phơng trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dơng (phân biệt) thì
phơng trình đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm dơng và một
nghiệm bằng 0 thì phơng trình dầu có 3 nghiệm
+ nếu phơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dơng thì ph-
ơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
4.3 Ph ơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m.
Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng
nhau, chẳng hạn: a+d=b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Khai triển tích đó đa về phơng trình dạng:
x
2
+(a+d)x+ad
Do a+d=b+c nên ta đặt x
2
+(a+d)x+k=t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).
Khi đó, ta sẽ đa đợc phơng trình về dạng:
At
2
+Bt +C =0 (A=1)
Giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của t (khi phơng trình có
nghiệm). Giải tiếp phơng trình: x
2
+(a+d)x+ad=t ta sẽ có kết luận về nghiệm
của phơng trình ban đầu.

Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đơng nhiên phơng
trình ban đầu vô nghiệm.
b)Ví dụ:
Giải phơng trình:
(x+4)(x+5)(x+8)=4 (1)
Giải:
Nhận xét: Ta thấy 4+8=5+7=12
Ta biến đổi phơng trình (1)
[ ]
)8)(4( ++ xx
[ ]
4)7)(5( =++ xx
4)3512)(3212(
22
=++++ xxxx
(*)
Đặt x
2
+12x+32=t

x
2
+12x+35=t+3
Thay vào (*) ta có: t(t+3)=4 hay t
2
+3t-4=0 (2)
Phơng trình (2) có nghiệm t
1
=1; t
2

=-4 (Vì a+b+c=0)
+ Với t=1 Ta có x
2
+12x+32=1 hay x
2
+12x+31=0
5
'
=

x
1
=-6+
5
; x
2
=- 6-
5
;
+ Với t=-4 Ta có x
2
+12x+32=-4 hay x
2
+12x+36=0
0
'
=

Phơng trình có nghiệm kép x
3,4

=-6
Vậy phơng trình ban đầu cho ta các nghiệm: S =
{ }
656;56 +
Ví dụ 2:
Giải phơng trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (3)
Giải:
Ta thấy 1+4=7-2=5
Ta biến đổi phơng trình (3) ta đợc:
[ ][ ]
19)2)(7()4)(1( =+++ xxxx
19)145)(45(
22
=+++ xxxx
(*)
Đặt x
2
+5x-14=t

x
2
+5x+4=t+18
Thay vào phơng trình (*) có: t(18+t)=19

t
2
+18-19=0
Do 1+19-19=0 nên t
1

=1; t
2
=-19
+) Với t=1 thay vào x
2
+5x-14=t
Ta có x
2
+5x-15=0
Ta có
5858605
2
==+=
Vậy x
1
=
2
855 +
x
1
=
2
855
+) Với t=-19 Thay vào x
2
+5x-14=t
ta có x
2
+5x-14=-19
055

2
=++ xx
Ta có
552025 ===
Vậy x
3
=
2
55 +
x
3
=
2
55
Vậy phơng trình(3) có 4 nghiệm đơn:
S=






++
2
55
;
2
55
;
2

855
;
2
855
c) Nhận xét:
Với loại phơng trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái đợc phơng trình
bậc 4 đầy đủ

ta sẽ khó giải bởi THCS cha học. Bằng việc nhóm hợp lý 2
đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đa đợc về phơng trình bậc
hai trung gian.
+ Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình ban đầu
vô nghiệm.
+ Khi giải phơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đợc giá
trị ta trả biến và giải phơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phơng
trình này (nếu có) là nghiệm của phơng trình đầu.
3-4. Phơng trình đối xứng
Dạng tổng quát: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+dx+e=0 (I)
Trong đó x là ẩn số,a;b;c;d;e là hệ số; a
0

và

2






=
d
b
a
e
với e

0
Khi
1=
a
e
hay e=a thì d=
b

thì phơng trình (I) có dạng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2

bx +a=0
+ Vì e
0
nên x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (I) chia cả
hai vế của phơng trình (I) cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng
ax
2
+bx+c+
0
2
=+
x
e
x
d
(II)
Nhóm
0
2
2
++

++






+ c
x
d
bx
x
e
ax
Hay a
0
2
2
=+






++

+ c
bx
d
xb
ax
e
x
Đổi biến: x+
2
22
2
2
.2 t
b
d
xb
d
xt
bx
d
=++=
(do
a
e
b
d
=
2

2
)
Nên x
b
d
t
ax
e 2
2
2
2
=+
Ta có phơng trình: a
0
2
2
=++






cbt
b
d
t
Ta đợc phơng trình trung gian: at
2
+bt+c=0

Giải phơng trình at
2
+bt+c=0 tìm đợc nghiệm (sau trả biến và giải phơng
trình x+
t
bx
d
=
) Sau đó ta biện luận về nghiệm của phơng trình (I)
c) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
2x
4
+3x
3
-16x
2
+3x+2=0 (*)
Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (*) nên chia cả hai
vế cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng:
2x
3
+3x-16+
0
23
2
=+

x
x
Suy ra
016
1
3
1
2
2
2
=






++






+
x
x
x
x
(**)

Đặt x
t
x
=+
1
thì
2
1
2
2
2
=+ t
x
x
Phơng trình (*) trở thành 2
( )
01632
2
=+ tt
02032
2
=+ tt
Giải phơng trình:
02032
2
=+ tt
Ta đợc
4
4
133

1
=

=t
5,2
4
133
2
=
+
=t
+) Với t=-4 ta có x+
4
1
=
x
(x
0

)
014
2
=++ xx
Giải phơng trình
014
2
=++ xx
Ta đợc: x
1
=-2+

;3
x
2
=-2-
;3
(Thoả mãn x
0

)
+)Với
5,2=t
ta có
5,2
1
=+
x
x
(x
0

)
015,2
2
=+ xx
Giải phơng trình
015,2
2
=+ xx
Ta đợc:
;

2
5,15,2
3

=x
;
2
5,15,2
4
+
=x
(Thoả mãn x
0

)
Vậy phơng trình (*) có 4 nghiệm:
s
{ }
2;5,0;32;32 +=
Ví dụ 2: Giải ph ơng trình:
2x
4
-12x
3
+74x
2
-105x+50=0 (***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình
Chia 2 vế của phơng trình(***) cho x

2
ta đợc
0
50105
74212
2
2
=++
x
x
xx
074
105
21
50
2
2
2
=+






+

+
x
x
x
x
074
5
21
25
2
2
2
=+






+






+
x

x
x
x
Đặt
t
x
x =+
5
thì
10
25
2
2
2
=+ t
x
x
Phơng trình (****) trở thành:
07421)10(2
2
=+ tt
054212
2
++ tt
Giải phơng trình: 2t
2
-21t+54+0 ta đợc: t
1
=6; t
2

=4,5
+) Với t=6 ta có x+
6
5
=
x
(x
0

)
056
2
=+ xx
Giải phơng trình
056
2
=+ xx
ta có: x
1
=1; x
2
=5 thoả mãn (x
0

)
Với t=4,5 Ta có x+
5,4
5
=
x

(x
0

)
055,4
2
=+ xx
Giải phơng trình x
055,4
2
=+ x
ta có: x
3
=2;x
4
2,5 (thoả mãn x
0

)
Vậy phơng trình (***) có 4 nghiệm:
S=
{ }
5,2;2;5;1
c) Nhận xét:
+ Giải phơng trình đối xứng: bằng phép biến đổi tơng đơng và đổi biến
đa về phơng trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phơng
trình đối xứng ban đầu.
+ về số nghiệm của phơng trình đối xứng:
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

phơng trình đầu vô
nghiệm.
- Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t
1
,t
2
nhng các phơng trình
1
t
bx
d
x =+
;
2
t
bx
d
x =+
vo nghiệm

phơng trình đầu
cũng vô nghiệm.
- Nếu các phơng trình
1
t
bx
d
x =+
;
2

t
bx
d
x =+
có bao nhiêu nghiệm thì phơng
trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
3-5. Phơng trình dạng:
( )
[ ]
( )
0
2
=++ cxbfxfa
(1)
(Trong đó
0a
; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phơng trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định cảu phơng trình bằng phép đổi biến f(x)=t
- Đa phơng trình về dạng: at
2
+bt+c=0 (2)
- Nếu phơng trình (2) có nghiệm t=t
0
, ta giải tiếp phơng trình f(x)=t
0
(*)
- Nghiệm của phơng trình (*) thoả mãn điều kiện)

là nghiệm của

phơng trình đã cho.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: x
6
-9x
3
+8=0 (*)
Giải: Đặt x
3
=y: (*) trở thành y
2
-9y+8=0 với nghiệm số y
1
=1 và y
2
=8. Từ đó ta
có hai phơng trình: x
3
=1 và x
3
=8
Suy ra (*) có hai nghiệm x
1
=1; x
2
=2.
Ví dụ 2: Giải ph ơng trình:
x
4
+6x

3
+5x
2
-12x+3=0 (*)
Giải:
TXĐ:
Rx
Buến đổi vế trái: x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0
= x
4
+6x
3
+9x
2
-12x+3
= (x
2
+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3
Phơng trình (*) trở thành: (x
2

+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3=0
Đặt x
2
+3x=t
Thay vào (x
2
+3x)
2
-4(x
2
+3x)+3=0
Ta có phơng trình bậc hai trung gian: t
2
-4t+3=0
Do 1-4+3=0

t
1
=1; t
2
=3
Trả biến:
+) Với t=1 thì x
2
+3x=1

x
2
+3x-1=0
Giải ra ta đợc: x
1,2
=
2
133
+) Với t=3 thì x
2
+3x=3

x
2
+3x-3=0
Giải ra ta đợc: x
3,4
=
2
213
Vậy phơng trình (*) có 4 nghiệm (vì đều thoả mãn điều kiện)
S =






++
2

213
;
2
213
;
2
133
;
2
133
Ví dụ 3: Giải ph ơng trình:
36
13
2
1
1
1
22
=






+
+

+ xx
(**)
Giải:
TXĐ:
;1x
2

x
Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức:
2
1
.
1
1
.2
++

xx
Ta đợc phơng trình tơng đơng:
2
1
.
1
1
.2
36
13

2
1
.
1
1
.2
2
1
1
1
22
++
=
++







+
+






+ xxxxxx

Hay
)2)(1(
2
36
13
2
1
1
1
2
++
=






+

+ xxxx
0
36
13
)2)(1(
2
)2)(1(
1
2
=

++
+






++ xxxx
(***)
Đặt ẩn phụ:
t
xx
=
++ )2)(1(
1
Thay vào phơng trình (***) ta có
0
36
13
2
2
=+ tt
0137236
2
=+ tt
Giải phơng trình:
0137236
2
=+ tt

Ta đợc t
1
=
;
6
13
t
2
=
6
1
+) Với t=
6
13
ta có
6
13
)2)(1(
1
=
++ xx
0323913
2
=++ xx
Phơng trình này vô nghiệm.
+) Với
6
1
=t
ta có

( )( )
6
1
21
1
=
++ xx
043
2
=+ xx
Giải phơng trình
043
2
=+ xx
Ta đợc x
1
=1; x
2
=-4 (thuộc TXĐ)
Vậy phơng trình (**) có 2 nghiệm: S = 1; -4
3-6 Vài ph ơng trình bậc cao khác:
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x
5
+ 2x
4
5x
3
-10x

2
+4x+8=0 (*)
Giải:
Đây là phơng trình bậc 5, ta biến đổi đa về dạng phơng trình tích
Dễ thấy phơng trình (*) có nghiệm x=-1.
Chia vế trái của phơng trình (*) cho x+1, ta đợc:
(x+1)(x
4
+x
3
-6x
2
-4x+8)=0 (**)
Đa thức f(x) = x
4
+x
3
-6x
2
+8 có nghiệm x=1 (vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho x-1. Khi đó, phơng trình (**) có dạng:
(x+1)(x-1)( x
3
-2x
2
-4x-8)=0
Hay (x+1)(x-1)(x+2)(x
2
-4)=0

x+1=0

x=-1
x-1=0

x=1
x+2=0

x=-2
x
2
-4=0

x=
2
Vậy phơng trình (*) có tập nghiệm là:
S = -1; 1; -2; 2
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
x
4
+4x
3
+3x
2
+2x-1=0 (*)
Ta nhóm các số hạng lại thì đợc: (x
4
+4x
3

+4x
2
)-(x
2
-2x+1)=0
(x
2
+2x)
2
-(x-1)
2
=0
(x
2
+x+1)(x
2
+3x-1)=0

x
2
+x+1=0 (1)
x
2
+3x-1=0 (2)
phơng trình (1) vô nghiệm
phơng trình (2) có hai nghiệm
x
1,2
=
2

133
Vậy (*) có hai nghiệm:
x
1,2
=
2
133
Ví dụ 3:
Giải phơng trình: x
4
-4x
3
-10x
2
+37x-14=0
Giải:
Giả sử phân tích vế trái của phơng trình thành (x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên cha xác định. Ta có:
x
4
-4x
3
-10x
2
+37x-14=(x
2

+px+q)(x
2
+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng
nhất thức ta có hệ phơng trình sau:
p + r= - 4
s + q + pr= - 10
ps + qr= 37
qs = - 14
Giải hệ phơng trình trên với nghiệm nguyên ta đợc:
p=-5; q=2; r=1; s=-7
Do đó phơng trình đã cho trở thành:
(x
2
-5x+2)(x
2
+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phơng trình sau:
x
2
-5x+2=0; x
2
+x-7=0 và
đợc tập nghiệm là: S =

2
291
;
2
175
b) Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các phơng trình bậc cao trên:
+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
+ Phân tích thành nhân tử đa phơng trình về hệ thống phơng trình bậc
nhất và bậc hai (đã biết cáhc giải)
+ Số nghiệm của phơngt rình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của phơng
trình ban đầu).
4.1 Ph ơng trình vô tỷ:
Dạng thờng gặp: *)
Mxfa =)(
*) af(x)+b
cxg =)(
(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
x=
17 +x
(1)
Giải:
Điều kiện:
7

x
: (1)

x+1=
7+x
(2)
Bình phơng hai vế (2) ta đợc: (x+1)
2
=
( )
2
7+x
712
2
+=++ xxx
06
2
=+ xx
Giải phơng trình
06
2
=+ xx
ta có x
1
=-3; x
2
=2
Thay x=-3 vào phơng trình (1) ta thấy không thoả mãn.
Thay x=2 vào phơng trình (1) ta thấy thoả mãn.
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải ph ơng trình
2x+

163 =x
(2)
Giải:
Điều kiện:
3x
Đặt
tx = 3
(*)
xt =+ 3
2
t
0
(2)

2t
2
+6+t=16
t
0

2t
2
+ t - 10 = 0

t
1
=2
t
0

t
2
=
2
5
(loại)
t
0
Thay gia trị của t vào (*) ta có:
23 =x
43 = x

x=7 (Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phơng trình (2) là x=7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ của phơng trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
Cô lập căn thức, rồi bình phơng hai vế để khử căn bậc hai
(hai vế của phơng trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
)()(
2
xgxf
k
=

f(x)=
[ ]
k
xg

2
)(
(1)
g(x)
0
(2)
Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của phơng trình:
Phơng trình vô nghiệm nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm
Phơng trình vô nghiệm nếu nghiệm của phơng trình bậc hai trung gian
không thoả mãn điều kiện của phơng trình đầu.
Phơng trình có nghiệm nếu nghiệm của phơng trình bậc hai trung gian
thuộc TXĐ của phơng trình đầu.
5.Một số phơng trình đặc biệt
Ví dụ:
Ví dụ 1: giải phơng trình:
(x
2
+3x-4)
3
+(2x
2
-5x+3)
3
=(3x
2
-2x-1)
3
Ta thấy (x
2

+3x-4)+(2x
2
-5x+3)=(3x
2
-2x-1)
T đó đặt a=x
2
+3x-4; b=2x
2
-5x+3 thì phơng trình đã cho có dạng
a
3
+b
3
=(a+b)
3
mà (a+b)
3
=a
3
+3ab(a+b)+b
3
suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:
- Hoặc a=x
2
+3x-4=0 (có hai nghiệm là 1 và -4)
- Hoặc b=2x
2
-5x+3=0 (có hai nghiệm là 1 và 3/2)
- Hoặc a+b=3x

2
-2x-1=0 (có hai nghiệm là 1 và -1/3)
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là: S = (1; -4; 3/2; -1/3)
Ví dụ 2:
Giải phơng trình: x
4
+y
4
+
44
11
yx
+
=4
Giải: Do
2
1
;2
1
44
4
++
y
y
x
x
nên vế trái
4
. Dấu bằng sảy ra khi
x

4
4
4
4
1
;
1
y
y
x
==
Từ đó phơng trình đã cho có nghiệm x=
1;1 = y
Ví dụ 3: Giải phơng trình: (1+t
2
)
2
=4t(1-t
2
)
Giải: Ta có (1+t
2
)
2
=(1-t
2
)
2
-4t
2

phơng trình đã cho trở thành
(1-t
2
)
2
4t(1-t
2
) + 4t
2
=0 hay
( )
[ ]
021
2
2
= tt