Toán học căn bản - Phần 6 ppt

CHƯƠNG I - TỨ GIÁC
§1 TỨ GIÁC
- Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB,BC,CD,DA trong đó bất kỳhai đoạn thẳng nào
cũng không nằm trên một đoạn thẳng
- Tứ giác lồi: là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngchứa bất kỳ cạnh
nào của tứ giác.
- Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360
0


§2. HÌNH THANG
- Đònh nghóa: hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song
- ABCD là hình thang Ù AB//CD
- Nếu hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng
nhau.
- Nếu hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên ø song song và bằng nhau.
- Hình thang vuông: là hình than có một góc vuông.
§ 3. HÌNH THANG CÂN
Đònh nghóa: là hình than có 2 góc kề một đáy bằng nhau.
ABCD là hình thang cân :Ù CD//AB

DC
ˆ
ˆ
=
hoặc
B
A
ˆ
ˆ
=

Đònh lí 1: Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau.
Đònh lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằn g nhau
Dấu hiệu nhận biết :
- Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
§ 4 . ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG.
1) Đường trung bình của tam giác
:
- Đònh lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ
hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
- Đònh nghóa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam
giác
- Đònh lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
2) Đường trung bình của hình thang
:
- Đònh lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên và
Song song với 2 cạnh đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ 2.


- Đònh nghóa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nói trung điểm 2 cạnh bên cảu
hình thang
MN là đtb của hthang ABCD Ù AM=MD; NB=NC
- Đònh lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với 2 cạnh đáy và bằng nửa tổng
2 cạnh đáy.

§ 5. DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA DỰNG HÌNH THANG

§6. ĐỐI XỨNG TRỤC
Hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng:

Đònh nghóa: Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trục trực của
đoạn thẳng nối 2 điểm đó.
A’ đối xứng với A qua d.



Quy ước:Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối
xứng với B qua đường thẳng d cũng là điểm B.
- Hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d
nếu mỗi
điểm thuộc hình này đối xứngvới một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
- Hình có trục đối xứng: đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của
hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
Đònh lý:Đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy hình thang cân là trục
Đối xứng của hình thang cân đó.
§ 7. HÌNH BÌNH HÀNH
1) Đònh nghóa:hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
Tứ giác ABCD là hình bình hành
Ù AB // CD
AD // BC

2) Tính chất:
Đònh lý: Trong hình bình hành:
a) Các cạnh đối bằng nhau
b) Các gốc đối băng nhau
c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
ABCD là HBH AC cắt BD tại O : khi đó AB = CD ;
DBCA
ˆˆ
;

ˆˆ
==
; OA=OC ; OB=OD
3) Dấu hiệu nhận biết:
a. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
b. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
c. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
d. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
§ 8. ĐỐI XỨNG TÂM
1) Hai điểm đối xứng với nhau qua một điểm:
Đònh nghóa: hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O
nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.
Quy ước: điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng chính là điểm O.
2) Hai hình đối xứng qua một điểm:
Đònh nghóa: hai hình gọi là đối xứng qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với 1
điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.
Đònh lí: Nếu 2 đoạn thẳng đối xứng nhau qua 1 điểm thì chúng bằng nhau
3) Hình có tâm đối xứng:
Đònh nghóa: điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H
qua điểm O cũng thuộc hình H
- Đònh lí : giao điểm điểm của 2 đường chéo hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành
đó. Ví dụ
: O là tâm đx của hbh ABCD

§ 9. HÌNH CHỮ NHẬT
1) Đònh nghóa: hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông
Tứ giác ABCD là hcn Ù
0
90

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
==== DCBA

2) Tính chất : trong hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường
3) Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:
- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Chú ý: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và
ngược lại.
§ 10. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:là khoảng
cách từ một điểmTùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
- Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước:các điểm các đều đường thẳng b
một khoảng cách bằng h nằm trên 2 đường thẳng song song với b và cách b một khoảng cách bằng
h.
- Các đường thẳng song song cách đều:Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đoạn
thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau và ngược lại.
§ 11. HÌNH THOI
Đònh nghóa: hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
ABCD là hình thoi Ù AB=BC=CD=DA
Tính chất: trong hình thoi ta có
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

Dấu hiệu nhận biết :
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc là hình thoi.
§ 12. HÌNH VUÔNG
Đònh nghóa: hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và có 4 cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình vuôngÙ
0
90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
==== DCBA

AB = BC = CD = DA.

Tính chất:
- Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
- Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
- Hình chữ nhật có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- HÌnh thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Vậy một tứ giác vừa là hình chữ nhật vừa hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
CHƯƠNG II – ĐA GIÁC DIỆN TÍCH ĐA GIAC

§ 1. ĐA GIÁC – ĐA GIÁC ĐỀU
Khái niệm về đa giác: đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác đó .
- Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
§ 2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT
1) Công thức tính diện tích hình chữ nhật :
S = a.b
(a,b là hai kích thước của hình chữ nhật)
2) Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông:
Diện tích hình vuông: S = a2 (a : cạnh hình vuông)
Diện tích tam giác vuông: S =
2
1
a.b (a,b là hai cạnh góc vuông)
§ 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Diện tích tam giác:S =
2
1
a.h. (a: cạnh đáy; h: chiều cao)
§ 4. DIỆN TÍCH HÌNH THANG
1) Công thức tính diện tích hình thang: S = (a + b).h Trong đó : a, b : hai đáy; h : chiều cao.
2) Công thức tính diện tích hình bình hành : S = a . h Trong đó : a : cạnh ; h : chiều cao
§ 5. DIỆN TÍCH HÌNH THOI
1) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc :S =
2
1
d
1
. d
2

Trong đó : d
1
, d
2
là hai đường chéo.
2) Diện tích hình thoi: S =
2
1
d
1
. d
2
(d
1
, d
2
là hai đường chéo). Hoặc: S = a . h (a: cạnh;
h : chiều cao)
§ 6. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Để tính diện tích đa giác ta thường đưa về tính diện tích tam giác sau đó cộng các tam giác đó lại

CHƯƠNG III – TAM GIAC ĐỒNG DẠNG
§ 1. ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC
- Tỉ số của hai đoạn thẳng
Đònh nghóa: tỉ số của a đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vò đo.
CD
AB
: Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD
a

b
a
a
b

a
h
a
b
h
a
h
- Đoạn thẳng tỉ lệ:
Đònh nghóa: hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với 2 đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ
thức sau: AB và CD tỉ lệ với A’B’ và C’D’
⇔
''
''
DC
BA
CD
AB
=
hay
'''' DC
CD
B
A
AB
=

Đònh lí Talet trong tam giác: Nếu một đườn thẳng song song với một cạnh đáy của tam giác và
cắt 2 cạnh còn lại của thì nó đònh ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

§ 2 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TALET

Đònh lí đảo: Nếu một đườn thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và đònh ra
trên 2 cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đườn thẳng đó song songvới cạnh còn lại của
tam giác:
A
C
AC
A
B
AB
''
= ⇒ B’C’ // BC
- Hệ quả của Đònh lí Talet : Nếu một đườn thẳng cắt 2 cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác
đã cho

B’C’ // BC ⇒
BC
CB
A
C
AC
A
B
AB

''''
==
§ 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Đònh lí: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành
2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy.

Cho ∆ABC, AD là đường phân giác của góc A ⇒

A
C
AB
DC
DB
=
hay
A
C
DC
A
B
DB
=

§ 4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
- Tam giác đồng dạng : Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với ABC nếu:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

==
===
CA
AC
BC
CB
AB
AB
CCBBAA
''''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ

Hay viết tắc :∆A’B’C’ ∼ ∆ABC ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
===

CA
AC
BC
CB
AB
AB
CCBBAA
''''
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ
;
ˆ
'
ˆ

CA
AC
B
C
CB
A
B
AB ''''
==
= k gọi là tỉ số đồng

dạng .
Tính chất
- Mỗi tam giác đều đồng dạng với chính nó.
- Nếu :∆A’B’C’ ∼ ∆ABC thì ∆ABC ∼ ∆A’B’C’
- Nếu :∆A’B’C’ ∼ ∆A’’B’’C’’ và ∆ABC ∼ ∆A’’B’’C’’ thì ∆A’B’C’∼ ∆ABC (T/c bắt cầu)
- Đònh lí: nếu một đường thẳng cắt 2 cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo
thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
§ 5. TRƯỜNG HP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT.
Đònh lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng
dạng.
§ 6. TRƯỜNG HP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI
Đònh lí:Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các
cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
§ 7. TRƯỜNG HP ĐỒNG DẠNG THỨ BA.
A
B’
B
C’
C
A
B’
B
C’
C
A
D
C
B
Đònh lí:Nếu hai góc của tam giác này bằng với hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng
dạng với nhau.

§ 8. CÁC TRƯỜNG HP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG.
Áp dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vào tam giác vuông
- Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
Đònh lí1: nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng.
-Tỉ số hai đường cao , tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng:
 Tỉ số 2 đường cao tưng ứng của 2 tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

CHƯƠNG III HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU
§ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
-Hình hộp chữ nhật: có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh
( 6 mặt là 6 hình chữ nhật)
-Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình vuông
-Mặt phẳng và đường thẳng:
+ Đường thẳng: AB,CD,A’D’…là những đường thẳng.
+ Mặt phẳng: ABCD, ABA’B’,AA’D’D… là những mặt phẳng
- Hai đường thẳng song song trong không gian: trong không gian hai đường thẳng a,b được gọi là
song song với nhau, nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Ví dụ: ta có các đoạn thẳng song song AB//CD ; AD//A’D’ ; A’B’//AB…
- Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai mặt phẳng song
Ta có : AB // mp(A”B’C’D’)
mp(ABCD) // mp(A’B’C’D’)
 Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.
 Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung
 Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm
đó ta nói 2 mặt phẳng này cắt nhau
§ 3. THỂ TÍCH HÌNH HỘP CHỮ NHẬT.
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc.
 Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi

đường thẳng đi qua A và nằm trong mât phẳng đó.
 Khi một trong 2 mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì
người ta nói 2 mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
- Thể tích của hình hộp chữ nhật.
• Thể tích của hình hộp chữ nhật:V = a.b.c (a,b,c là các kích thước của hình hộp chữ nhật)
• Thể tích của hình lập phương: V = a3 (a: cạnh của hình lập phương)
§ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Hình lăng trụ đứng: KH: ABCD.A’B’C”D’
§ 5. DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Công thức tính diện tích xung quanh. Sxq = 2p.h (p: nửa chu vi đáy; h: chiều cao)
Công thức tính diện tích toàn phần Stp = Sxq + 2 ( Sđ: diện tích đáy)
§ 6. THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG.
Công thức tính thể tích: V = S . h (S: diện tích đáy; h: chiều cao)
A
B C
D
C’
D’
B’
A’
A
A
B
B’
C
C’
D
D’
§ 7. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU.
Hình chóp: Kí hiệu: S.ABCD

Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên là
các tam giác cân.
HÌnh chóp cụt đều: có các mặt bên là các hình thang cân.
§ 8. DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU
Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp:
Sxq = p . d (p : nửa chu vi đáy ; d : trung đoạn của hình chóp đều)
§ 9. THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU.
Công thức tính thể tích hình chóp đều:
hSV .
3
1
= (S: diện tích đáy; h: chiều cao)








S
D
C
B
A
Mặt bên
Mặt đáy