DA,de thi HSG truong THPT HOANG MAI NAM2010

Trờng THPT hoàng mai
Tổ :Toán - Tin

Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2009-2010
Môn :Toán 10
Câu 1 (6 điểm)
a) Giải phơng trình :
2 2
1 1 2x x x x + + =
b) Giải bất phơng trình :
( ) ( )
4
2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + +
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Tìm m để Phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )
3 2 3 0m x m x m + + =
b) Tìm m để hệ phơng trình:
2 2
2
4x y
x y m

+ =

=

có nghiệm
Câu3(2,5 điểm)
Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn diều kiện : x - 2y + 4 = 0.Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :

2 2 2 2
6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + +
Câu4 (5,5 diểm)
a) Cho tam giác ABC , gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AC ; E ,F
lần lợt là các điểm thoả mãn :
1
3
ME MN=
uuur uuuur
,
1
3
BF BC=
uuur uuur
.
Chứng minh rằng A,E,F thẳmg hàng.
b) Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
.
Biết A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng (d) : 3x- 6y - 8=0.
Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam giác .
Hết

1
Hớng dẫn và biểu điểm chấm
Môn : Toán 10
Câu Nội dung Biểu
điểm
Câu1

1.a.
Giải phơng trình :
2 2
1 1 2x x x x + + =
(1)
ĐK:
1x
Nhận xét :
2 2
1. 1 1x x x x + =
Đặt :
2
1t x x=

( )
0t
PT (1) có dạng:
1
2 1t t
t
+ = =
PT (1)
2
1 1 1x x x = =
1.b
Giải BPT:
( ) ( )
4
2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + +
(1)

Giải: TXĐ:
2
[ ; )
3
D = +
Trên D
2 0x + >
,ta cha hai vế cho
2 0x + >
BPT(1)
4
3 2 3 2
2. 1 3.
2 2
x x
x x

+
+ +
Đặt :
4
3 2
; 0
2
x
t t
x

=
+

BPT
2
1
2 3 1 0 0
2
t t t +
hoặc
1t

Với
4
1 3 2 1 2 34
0
2 2 2 3 47
x
t x
x


+
Với
4
3 2
1 1 2
2
x
t x
x

+
Vậy tập nghiệm của BPT là :
2 34
[ ; ] [2; )
3 47
T = +
Bài 2
2.a
Tìm m để Pt sau có nghiệm :
( ) ( )
3 2 3 0m x m x m + + =
(1)
Giải:
Đk:
0x

Đặt:
; 0t x t=
PT (1) trở thành :
( ) ( )
2
2 3 3 0m t m t m + + =
(2)
PT(1) có nghiệm khi và chi khi Pt(2) có nghiệm thoả mãn :
0t
+Nếu:
2m
TH1:PT(2) có nghiệm : t=0

m=3

TH2: PT(2) có nghiệm :
1 2
0
5
0 0 2
3
0
t t S m
P



< > <


>

TH3: PT(2) có nghiệm:
1 2
0t t< <
2 3m < <
+Nếu m=2thì PT (2) có 1 nghiệm t=1 (t/m)
2
Vậy PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
5
3
3
m
2.b
Tìm m để hệ PT:

2 2
2
4x y
x y m

+ =

=

có nghiệm
Hệ Pt:
2 2
2
4x y
x y m

+ =

=

( )
2
2
4 0
y x m
x x m

=

+ =


( )
2
4 0
x m
y x m
x x m



=


+ =

+Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi PT:
( )
2
( ) 4 0f x x x m= + =
có
nghiệm trong
[ ; )m +
(*)
Ta có :
4 17m
= +
nên f(x) = 0 PT có nghiệm khi:

17
4
m
và
1 4 17
2
m
x
+
=
Suy ra f(x)=0 có nghiệm thoả mãn (*)
1 4 17
2 1 4 17
2
m
m m m
+
+ +
( )
2
2 1 0
17
2 1 0
2
4
4 17 2 1
m
m
m
m m

+


+






+ +



Cách 2: Nhận xét : Từ PT:
2 2
4x y+ =

2 2
2 2
4 0 2 2
4 0 2 2
x y y
y x x

=


=

Hệ PT :
2 2
2
4x y
x y m

+ =

=


( )
2
2
(1)
4 0(*)
y x m
x x m

=


+ =


Hệ (1) có nghiệm
[ ]
2
2
( ; ) 2; 2

4 (*)
y x m
x y
x x m

=


+ =

( )
2
4 0x x m + =
có nghiệm trên [-2;2].
Xét đồ thị hàm số
2
4y x x= +
trên [-2;2] và đồ thị hàm số y = m
Ta có; nghiệm của PT :
2
4x x m + =
trên [-2;2] là giao điểm của hai đồ
thị hàm số.
Vậy;
17
2
4
m
Bài 3
Tìm GTNN của

2 2 2 2
6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + +

Giải:
2 2 2 2
6 12 45 10 16 89P x y x y x y x y= + + + + +
Biến đổi;
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 6 5 8P x y x y= + + +
Trong mặt phẳng toạ độ với hệ 0xy ta gọi là đờng thẳng có phơng
trình: x - 2y + 4 = 0 và các điểm M(x;y), A(3;6), B(5;8) thì P= MA+MB
Bài toán trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc sao cho tổng MA+MB
đạt giá trị nhỏ nhất
3
Rõ ràng A,B nằm về cùng một phía với .
Ta tìm đợc điểm A(5;2) , đối xứng A qua .
Với M thuộc ta có :MA + MB = MA+ MB AB (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,M,B thẳng hàng hay M chính là giao
điểm của với dờng thẳng AB
Tìm đợc PT đờng thẳng AB là x 5 = 0
Giải hệ PT:
5 0
2 4 0
x
x y
=


+ =

5
9
2
x
y
=




=


Kết kuận:Min P = 6
5
9
2
x
y
=




=


Bài4
4.a

Chứng minh A,E,F thẳng hàng
Biến đổi:
1 1
3 6
AE AB AC= +
uuur uuur uuur

2 1
3 3
AF AB AC= +
uuur uuur uuur
Vậy; ta có ;
2AF AE=
uuur uuur
( ĐPCM)
4.b
Gọi C(a;b) .
1
.
2
S AB CH=
Ta có :
2AB =
Phơng trình AB: x y -5 =0
5
( , )
2
a b
CH d C AB

= =
Do đó:
5
3 1
(1) . . 2
2 2
2
a b
=
5 3a b =
8
2
a b
a b
=



=

Toạ độ:
5 5
;
3 3
a b
G
+

ữ

.
( ) ( )
3 5 5
8 0
3 3
a b
G
+
=
3 4a b
=
TH1:
( )
3 4 2
2; 10
8 10
a b a
C
a b b
= =



= =

Chu vi tam giác ABC:
2 2 65 89P AB BC CA= = = = + +
3
2 65 89
S

r
P
= =
+ +
TH2:
( )
3 4 1
1; 1
2 1
a b a
C
a b b
= =



= =

Chu vi tam giác ABC:
3
2 2 2 5
2 2 5
P r= + =
+
4
5