ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9

GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
ÔN TẬP TOÁN 9.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1)HẰNG ĐẲNG THỨC:
( A ± B )
2
= A
2
± 2AB + B
2
(A ± B)
3
= A
3
± 3A
2
B +3AB
2
± B
3
A
2
– B
2
= (A – B) (A + B) A
3
± B
3
= (A ± B)(A
2

m
AB +B
2
Chú ý: Với X ≥ 0 ta có :
3
X X 1 X 1 ( X 1)(X X 1)± = ± = ± +m

( ) ( ) ( )
2
X 1 X 1 X 1 X 1
− = − = − +
2)CÁC QUI TẮC VỀ LUỸ THỪA :
.A
m
.A
n
= A
m + n
; A
m
: A
n
=A
m – n
; (A
m
)
n
= A
m.n

.(A.B.C)
m
= A
m
.B
m
.C
m
;
A A
B B
m
m
m
 
=
 ÷
 

3) CÁC QUI TẮC VỀ CĂN BẬC HAI:
.
A
có nghĩa (xác định)
⇔
A ≥ 0
.Qui ước:
A 0
≥
.
2

A
A A
A

= =

−

-Với các điều kiện có nghĩa thì:
.
A. B AB
=
;
( )
A A
n
n
=
;

( )
A. B. C A . B . C
m
m m m
=
.
A
A : B ;(A 0;B 0)
B
= ≥ >

;
2
A B A B
=
(B
≥
0)
;
2
2
A B;(A 0;B 0)
A B
A B;(A 0;B 0)

≥ ≥

=

− < ≥

.
( )
2
AB AB
;; AB 0;B 0
B B
= ≥ ≠

.
( )

A A B
;; B 0
B
B
= >
.
( )
2
2
1 A B
;; A 0;A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
.
( )
( )
A B C
A
;; B 0;C 0;B C
B C
B C
= ≥ ≥ ≠
−
±
m

ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
1
Nếu A
≥
0
Nếu A < 0
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
BÀI TẬP:
PHẦN I : BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ:
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
1)
( )
28 2 14 7 . 7 7 8− + +
2)
( ) ( )
8 3 2 10 . 2 3 0,4− + −
3)
( )
15 50 5 200 3 450 : 10+ −
4)
( ) ( )
2 2
1 2 2 3− − +
5)
8 2 15 8 2 15− − +
6)
1 1
4 3 2 4 3 2
−
− +

7)
2 3
3 2
+

8)
2 3 2 3
2 3 2 3
+ −
+
− +
9)
4 2 3. 4 2 3+ −
10)
4 2 3 4 2 3+ − −
11)
( )
10 6 . 4 15− +
12)
( )
2 6 . 2 3− +
13)
7 2 10 7 2 10− − +
14)
14 6 5 14 6 5+ + −
15)
7 4 3 7 4 3− − +
16)
2 80 3 2 5 3 3 5 48− −
17)

2 5 125 80 605− − +
; 18)
( )
2 3 6 2− +
; 19)
15 216 33 12 6− + −
;
20)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+ −
; 21)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +
−
− +
; 22)
16 1 4
2 3 6
3 27 75
− −
;
23)
4 3
2 27 6 75
3 5
− +

; 24)
( )
3 5. 3 5
10 2
− +
+
25)
8 3 2 25 12 4 192− +
;
26)
3 5 3 5− + +
; 27)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +
; 28)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − −
;
29)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ + − −
; 30)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −
+
+ + − −
; 31)
( )

2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−
;
32)
14 8 3 24 12 3− − −
; 33)
4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+ − −
;
34)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+ − −
35)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
− + + +
.
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau:
A =
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
 

− −
+
 ÷
 ÷
− − −
 
B =
2 3 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3
+ −
+
+ + − −
C =
( )
15 4 12
. 6 11
6 1 6 2 3 6
 
+ − +
 ÷
+ − −
 
D =
( )
3 2 3 2 2
2 3
3 2
+ +
+ − +
E =

5,5 3 2 5,5 3 2
6 2
+ − −
F =
4 4
9 4 5 9 4 5
−
− +
G =
2 1 3
8 2 15 5 2 6 7 2 10
− −
− − +
H =
( ) ( )
4 15 . 4 15. 10 6+ − −
P =
216 2 3 6 1
.
3
8 2 6
 
−
−
 ÷
 ÷
−
 
Q =
5 2 6 8 2 15

7 2 10
+ + −
+
Bài 3 : 1) Cho hai số: A =
36 10 11+
B =
36 10 11−
Tính : A . B và A + B
Rút gọn các biểu thức A và B .
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
2
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
2) Cho hai số : U =
10 6−
và V =
4 15+

Chứng tỏ rằng : V =
( )
1
5 3
2
+
Tính giá trị của biểu thức : U.V
Bài 4 : Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:
A =
2
2x x 6x 9+ − +
với x = – 5 B =
2

1 6a 9a 3a− + −
với a =
2
3
C =
( )
2
2
2
4x 4x 1
x 8x 16
x 16
+ +
− +
−
với x = 8 D =
2
9x 6x 1
5x
1 3x
− +
−
−
với x = – 3
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x y y x
xy
−
1) Rút gọn biểu thức B . Nêu điều kiện để biểu thức B có nghĩa .
2) Tính giá trị của biểu thức B với x =

2 3+
; y =
2 3−

Bài 6 : Cho biểu thức : N =
x 4 x 4 x 4 x 4+ − + − −
1) Rút gọn biểu thức trên.
2) Tìm x để N = 4
Bài 7 : Cho biểu thức : A =
a a a a
1 1
a 1 a 1
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
( với a
0≥
và a
1≠
)
1) Rút gọn biểu thức A . ( KQ: A = a – 1 )
2) Tìm a
0≥
và a
1≠
thoả mãn đẳng thức : A = – a

2
(KQ: a =
1 5
2
− +
)
Bài 8 : Cho biểu thức : S =
y y 2 xy
:
x y
x xy x xy
 
+
 ÷
 ÷
−
+ −
 
( với x > 0 ; y > 0 và x ≠ y)
1) Rút gọn biểu thức trên. (KQ : S =
1
x
)
2) Tìm giá trị của x và y để S = 1 (KQ : x = 1 ; y > 0 thì S = 1)
Bài 9 : Cho biểu thức : P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
(với x > 0 và x ≠ 1)

1) Rút gọn P. (KQ:
x 1
1 x
+
−
)
2) Tính giá trị của P khi x =
1
2
( P = 3 +
2
)
Bài 10 :Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 
+ − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
( với x > 0 và x ≠ 1)
1) Chứng minh Q =
2
x 1−
2) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.

Bài 11 : Cho biểu thức : M =
1 x 1 x x
1 x 1 x x
− −
−
− + +
( với x ≥ 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức trên . 2) Tìm x để M ≥ 2.
Bài 12 : Cho biểu thức : A =
1 1 x 2 x 1
:
x x 1 x 1 x 2
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
 
; (với x > 0 ; x ≠ 1và x ≠ 4)
1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm x để A = 0 .
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
3
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
(KQ: 1. A =
x 2
3 x

−
; 2 . x = 4 loại )
Bài 13 : Cho biểu thức : Q =
1 x 1 x 1
x .
x x 1 x 1
 
+ −
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
; ( với x > 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức trên 2) Tìm x để Q = 8
(KQ: Q =
2(x 1)
x
+
; Q = 8
⇔
x = 7 ± 4
3
)
Bài 14 : Cho biểu thức : P =
5 x 2 x 4
1 . x

x 2 x 3
 
+ +
 
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
 
 
; ( với x ≥ 0 và x ≠ 4)
1) Rút gọn biểu thức P . 3) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
2) Tìm x để P > 1 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 15 : Cho biểu thức : P =
2
1 1 x x x x x
x.
x 1 x 1 x x 1 x 1
− −
 
+ + +
 ÷
− + + + −
 

1) Rút gọn biểu thức P . ( Với x ≥ 0 và x ≠ 1)
2)Tìm x là số nguyên để P nhận giá trị nguyên thoả mãn biểu thức đã cho .
( KQ: P =
2

2x
x 1−
)
Bài 16 : Cho biểu thức : P =
x x 2 x 1
1 :
x x 1 x x 1
+ +
 
−
 ÷
− + +
 
(với x ≥ 0)
1) Rút gọn biểu thức P . 3) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
2) Tìm x để P < 0 . 4) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 17 : Cho biểu thức : B =
2 x x 1 x 2
: 1
x x 1 x 1 x x 1
   
+ +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− − + +
   
; ( với x ≥ 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức B 2) Tính

B
khi x = 5 + 2
3
(KQ: B =
1
x 1−
)
Bài 18 : Cho biểu thức : P =
2x 1 x 1 x x
. x
x x 1 x x 1 1 x
   
+ +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− + + +
   
; (với x ≥ 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức P . 2) Xét dấu của biểu thức : P.
1 x−
( KQ: P =
x 1−
; P.
1 x−
= (
x 1−
).
1 x−
, ĐK để có

1 x−
là x ≤ 1
Kết hợp với ĐK: x ≥ 0 và x ≠ 1
⇒

x
< 1 hay
x
- 1 < 0 mà
1 x−
> 0
nên P.
1 x−
< 0 )
Bài 19 : Cho biểu thức : Q =
1 1 x 1
:
x x x 1 x 2 x 1
+
 
+
 ÷
− − − +
 
(với x > 0 ; x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức Q 2) Tính giá trị của Q với x =
1
4
. 3)So sánh Q với 1 .
( Q =

x 1
x
−
; Q = 1 –
1
x
< 1 vì
x
> 0.)
Bài 20 : Cho biểu thức : K =
a 1 1 2
:
a 1
a 1 a a a 1
 
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
; (với a > 0 ; a ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức K .
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
4
(KQ: P =
x 4

x 2
−
−
)
( KQ: P =
x 1
x 1
− +
+
)
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
2) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2
3) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
( K =
a 1
a
−
; K < 0
⇔
a 1
a
−
< 0
⇔
a 1 0
a 0
− <



>


⇔
a 1
a 0
<


>


⇔
0 < a < 1 )
Bài 21 : Cho biểu thức : A =
4 x 8x x 1 2
:
4 x
2 x x 2 x x
   
−
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
; ( với x > 0 ; x ≠ 4)
1) Rút gọn A . 2)Tìm giá trị của x để A = – 1
2) Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có :

( )
m. x 3 .A x 1− > +
( A =
4x
x 3−
; * Bất phương trình đưa về dạng 4mx > x + 1
⇔
(4m – 1)x > 1
* Nếu 4m – 1 ≤ 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m – 1 > 0
thì nghiệm bất phương trình là x >
1
4m 1−
. Do đó bất phương trình thỏa mãn với mọi
x > 9
⇔
9 ≥
1
4m 1−
và 4m – 1 > 0. Ta có m ≥
5
18
)
BÀI 22 : Cho biểu thức : B =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
+ +

 ÷
 ÷
− + + −
 
với x > 0 ; x ≠ 1
1) Rút gọn B . 2) Chứng minh rằng 0 < B < 2
( B =
2
x x 1+ +
; vì x > 0 nên x +
x
+ 1> 1 suy ra 0 < B =
2
x x 1+ +
< 2)
Bài 23 : Cho biểu thức : C =
2
x 2 x 2 1 x
.
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
−
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +

 
 
; (với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1) Rút gọn C . 2) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C > 0
3)Tìm giá trị lớn nhất của C .
( C =
x
.(1 –
x
) ; 2) Với 0 < x < 1 thì
x
> 0 và
x
< 1 hay 1 –
x
> 0
do đó C =
x
.(1 –
x
) > 0 ; 3) C =
x
– x = – (
x
–
1
2
)
2
+

1
4
≤
1
4
…0
Bài 24 : Cho biểu thức : D =
( )
2
2 x 1
x x 2x x
x x 1 x x 1
−
− +
− +
+ + −
; (với x > 0 ;x ≠ 1)
1) Rút gọn D . 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của D.
3) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
D
nhận giá trị là số nguyên .
( D = x –
x
+ 1 ; D = (
x
–
1
2
)

2
+
3
4
≥
3
4
… ; Q =
2 x
D
=
2 2
1
M
x 1
x
=
+ −
Với x > 0 và x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:
M =
1
x 1
x
+ −
> 1, suy ra 0 < Q < 2. Do đó Q nguyên
⇔
Q = 1
⇔
x =
7 3 5

2
±
)
Bài 25 : Cho biểu thức : M =
2
x 1 x 1 x 1
.
2
2 x x 1 x 1
   
− +
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
; (với x > 0 ; x ≠ 1)
1) Rút gọn M . 2) Tìm các giá trị của x để M > 0 .
( M =
1 x
x
−
; vì
x
> 0 nên M > 0
⇔
0 < x < 1.)
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
5
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN

Bài 26 : Cho biểu thức : N =
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
− − +
+ −
+ − − +
; (với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
1) Rút gọn N . 2) Tìm giá trị của x để N =
1
2
. 3) Chứng minh N ≤
2
3
(N =
2 5 x
x 3
−
+
; x =
1
121
; N =
2 5 x
x 3
−
+
=
17 5( x 3)
x 3
− +

+
=
17
x 3+
– 5 ≤
17
3
– 5 =
2
3
…)
Bài 27 : Cho biểu thức : A =
6 x x
x 3
− −
+
(với x ≥ 0)
1) Rút gọn A . 2) Tìm x để A ≤ 1 . 3) Tìm giá trị lớn nhất của A .
( A = 2 –
x
;
A 1≤
⇔
2 x 1− ≤

⇔
– 1 ≤ 2 –
x
≤ 1  1 ≤
x

≤ 3 1 ≤ x ≤ 3)
Bài 28 : Cho biểu thức : B =
3
1 1 x x
x 1 x x 1 x x 1
−
+ +
− − − + −
(với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
a) Rút gọn B . b) Tìm x để B > 0 . c) Tìm giá trị của B nếu x =
53
9 2 7−
( B = x – 2
x 1−
; (
x 1−
– 1)
2
≥ 0 )
Bài 29 : Cho biểu thức : C =
x 2 x 1 1
x x 1 x x 1 1 x
+ +
+ +
− + + −
(với x ≥ 0 ; x ≠ 1)
a) Rút gọn C . b) Chứng minh rằng C luôn luôn bé hơn
1
3
.

( C =
x
x x 1+ +
; Ta có (
x
– 1)
2
≥ 0 hay x – 2
x
+ 1 ≥ 0
⇒
x +
x
+ 1 ≥ 3
x
(1)
Vì x +
x
+ 1 luôn luôn dương với mọi x ≥ 0 nên chia 2 vế của (1) cho 3(x +
x
+ 1)
được
x
x x 1+ +
≤
1
3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Nhưng điều kiện đã nêu
không xảy ra P =
1

3
. P luôn luôn bé hơn
1
3
)
Bài 30 : Cho biểu thức : D =
x 1 1 8 x 3 x 2
: 1
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
với x ≥ 0 ; x ≠
1
9
a) Rút gọn D . b) Tìm các giá trị của x để D =
6
5
( D =
x x
3 x 1
+
−
)

Bài 31 : Cho biểu thức : P =
3x 9x 3 x 1 x 2
x x 2 x 2 1 x
+ − + −
− +
+ − + −
với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a) Rút gọn P . b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
c) Tìm các giá trị của x để P > 1 . ( P =
x 1
x 1
+
−
)
Bài 32: Cho biểu thức : M =
2
3 3
1 a : 1
1 a
1 a
 
 
+ − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
với – 1< a < 1

a) Rút gọn M. b) Tính giá trị của M khi a =
3
2 3
+
(M =
1 a−
)
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
6
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
Bài 33: Cho biểu thức: N =
a 1 2 a
1 :
a 1
a 1 a a a a 1
   
+ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
với a ≥ 0 và a ≠ 1
a)Rút gọn N. b)Tìm các giá trị của a để N < 1 (N =
a a 1
a 1
+ +
−
)
c)Tính giá trị của N nếu

a 19 8 3= −

Bài 34: Cho biểu thức: P =
x 2 x x 4
x :
1 x
x 1 x 1
 
+ −
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
a)Tìm đ/kiện của x để P x/định. Rút gọn P. b) Tìm x để P = 1/2
c)Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x.
( P =
x 1
x 2
−
+
; …=
x 2 3
x 2
+ −
+

= 1–
3
x 2+
có
x
≥ 0 với mọi x …,
x
+ 2 ≥ 2

1 1 3 3 1 3 1
1 1 P
2 2 2 2
x 2 x 2 x 2
− −
≤ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≥ −
+ + +
Bài 35 : Cho biểu thức: R =
( )
3 x 3
2 x x 2 x 2
: 1
x 9
x 3 x 3 x 3
 
+
 
−
 ÷
+ − −
 ÷

 ÷
 ÷
−
+ − −
 
 
với x ≥ 0 và x
≠
9
a) Rút gọn R . b) Tìm các giá trị của x để R > – 1
c) Tìm các giá trị của x để giá trị của biểu thức R nhỏ nhất , tìm GTNN đó.
(R =
3( x 3)
x 3
−
+
; … =
3( x 3) 18 18
3
x 3 x 3
+ −
= −
+ +
, R nhỏ nhất
18
x 3
+

18
x 3

+
lớn nhất

x
+ 3 nhỏ nhất 
x
+ 3 = 3 
x
= 0  x = 0 …R
min
= – 3  x = 0)
Bài 36: Cho biểu thức: Q =
2 x 9 x 3 2 x 1
x 5 x 6 x 2 3 x
− + +
− −
− + − −

a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa. b) Rút gọn Q .
c) Tìm các trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên .
Bài 37 : Cho biểu thức: P =
( )
( )
( )
2 2
2
a 1 3 2 a 1
2
a a 1 a 1
3 a a 1

− − −
− +
− −
+ −
với a
≥
0 và a ≠ 1
a) Rút gọn P. b) So sánh P với Q =
2 a 1
a 1
−
−
c) Tìm các giá trị của a để P > 1
( P =
a
a 1
−
; P – Q = … = – 1 < 0…
Bài 38: Cho biểu thức:

2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ − +
+ −
− +
với x > 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P. b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8

P
chỉ nhận đúng một
giá trị nguyên.
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
7
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
PHẦN II : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
Giải các phương trình sau :
1)
x 12 x+ =
2)
x 1 x 1+ = −
3)
3 2x 3 2+ − =
4)
x x 1 13+ − =
5)
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
6)
6 x x 2 2− + − =
7)
x 3 x 4 1+ − − =
8)
15 x 3 x 6− + − =
9)
10 x x 3 5− + + =
10)
x 1 x 1 2− − + =
11)
4x 1 3x 4 1+ − + =

12)
( ) ( )
2 2
8 x x 1 3 x x 1+ = − +
13)
2x 5 3x 5 2+ − − =
14)
2
9x 16 2 2x 4 4 2 x+ = + + −
15)
2 2
x 2x 3 x 2 x 3x 2 x 3− − + + = + + + −
16)
2
x x 12 x 1 36+ + + =
17)
2 2
2x 3x 2x 3x 9 33+ + + + =
18)
2 2
x 5 x 5 7− + − =
19)
2 2
3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + =
20)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
21)
2
x 7 9 x x 16x 66− + − = − +

22)
x 2 x 1 x 1 1− − − − =
23)
x 2x 1 x 2x 1 2+ − + − − =
24)
x 6x 9 x 6x 9 6+ − + − − =
25)
2 2
x 4x 4 x 6x 9 1− + + − + =
26)
x 4 4 x x 9 6 x 1+ − + + − =
27)
x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1+ − − + + − − =
28)
x x 1 x 1+ + − =
29)
2
1 x x x 1− − = −
30)
2 2
x 6 x 2 x 1+ = − −
31)
2x 1 x 2 x 1− + − = +
32)
2 2
2x 8x 6 x 1 2x 2+ + + − = +
33)
3x 15 4x 17 x 2+ − + = +
34)
4 4

x 3.x 2 2008x 2008v+ = − +
35)
2
7 x x 5 x 12x 38− + − = − +
PHẦN III: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC .
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
a b 2 ab 1
: a b
a b a b
+ −
= −
− +
với a > 0 ; b > 0 và a
≠
b
2)
a a a a
2 . 2 4 a
a 1 1 a
   
− +
+ − = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +
   
với a > 0 và a ≠ 1
3)
a 2 a 2 a 1 2

.
a 1 a 1
a 2 a 1 a
 
+ − +
− =
 ÷
 ÷
− −
+ +
 
với a > 0 và a ≠ 1
4)
( )
2
1 a a 1 a a
a . a 1 a
1 a 1 a
   
− +
+ − = −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− +
   
với a ≥ 0 và a ≠ 1
5)
a b a b 2b 2 b
b a
2 a 2 b 2 a 2 b a b

+ −
− − =
−
− + −
với a ≥ 0 ; b ≥ 0 và a ≠ b
6)
2
a a b b a b
ab 1
a b
a b
  
+ +
− =
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
+
  
với a ≥ 0 ; b ≥ 0 và a ≠ b
7)
5 3 5 3
8
5 3 5 3
+ −
+ =
− +
8)
3 3
2

3 1 1 3 1 1
− =
+ − + +
9)
3 2 6 54 2
. 1
3
12 2 6
 
+
− = −
 ÷
 ÷
+
 
10)
3 2 3 2 2 1
: 1: 1
3 2 2 1 2 3
 
+ +
 
+ =
 ÷
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.

8
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
PHẦN IV: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Bài 1: a) Cho x , y là các số không âm . Chứng minh rằng:
x y
xy
2
+
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho x > 0 , y > 0 , chứng minh:
y
x
2
y x
+ ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Cho a > 0 , b > 0 , chứng minh :
4ab
a b
1 ab
+ ≥
+
Bài 3: Cho a > 0, b > 0, c > o, chứng minh :
a b c
3
b c a
+ + ≥
Bài 4: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh:
a b c ab ac bc+ + ≥ + +

Bài 5: Chứng minh :
a b a b
2 2
+ +
〈
với a > 0 , b > 0 , a ≠ b .
Bài 6: Chứng minh:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
Bài 7: Chứng minh :
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ + ≥
+ + +
với a , b , c là các số dương.
Bài 8: Chứng minh:
1 1 1
2 3 2 2
2 3
n n
n
− < + + + < −
với
; 2n N n∈ ≥
Bài 9: Chứng minh rằng:
1 1 1 1

2
2
3 2 4 2 2008 2007
+ + + + <
Bài 10: Chứng minh:
( ) ( )
a b c d+ + ≥
ac bd+
với a , b ,c , d là các số dương.
HÀM SỐ BẬC NHẤT – PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1). Hàm số bậc nhất : y = a.x + b (a ≠ 0). Y y
a) Tập xác định: R.
b) Chiều biến thiên: A(0;b) A(0;b)
a > 0 : Hàm số đồng biến
a < 0 : Hàm số nghịch biến
c) Đồ thị là đường thẳng cắt trục tung B(
;0
b
a
−
) 0 x 0 B(
;0
b
a
−
) x
và trục hoành tại A(0;b) ; B(
;0

b
a
−
)
. a gọi là hệ số góc và
a
= tg
α
(
α
là góc nhọn tạo bởi đường thẳng và trục hoành )
. Nếu a = 0 thì y = b , đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành.
d) Xét hai đường thẳng: y = a
1
.x + b (d
1
)
y y = a
2
.x + b (d
2
)
. d
1
cắt d
2

1 2
a a⇔ ≠
b y = b . d

1
// d
2

1 2
1 2
a a
b b
=

⇔

≠


0 x .
1 2
1 2
1 2
a a
d d
b b
=

≡ ⇔

=

. d
1

⊥
d
2

⇔
a
1
.a
2
= – 1
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
9
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
2).Phương trình a.x + b = 0 (1), (a; b
∈
R).
. Nếu a ≠ 0. Phương trình(1) là bậc nhất có nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
.
. Nếu a = 0 và b
≠
0 . Phương trình (1) vô nghiệm.
. Nếu a = 0 và b = 0 . Phương trình (1) nghiệm đúng
x R∀ ∈
3).Phương trìnhbậc nhất hai ẩn: a.x + b.y = c (2) ; (
2 2
a b 0+ ≠

)
Phương trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:
(x
∈
R;
c a.x
y
b
−
=
) hoặc
c by
y R; x
a
−
 
∈ =
 ÷
 
4). Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng tổng quát:
( )
( )
1 1 1
2 2 2
; 1
; 2
a x b y c
a x b y c
+ =



+ =


.
1 1
2 2
a b
a b
≠
. Hệ có nghiệm duy nhất (đ/t 1 cắt đ/t 2)
.
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= ≠
. Hệ vô nghiệm (đ/t 1 // đ/t 2)
.
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
. Hệ vô số nghiệm (đ/t 1 trùng với đ/t 2)
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(x
A

; y
A
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax
2
biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2
a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(–2;2) và đường thẳng (d) có phương
trình: y = – 2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy – 2.( – 2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a

1
x + b
1
.
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) cắt (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d

2
)
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
10
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
d) (d
1
) (d
2
) a
1
a
2
= – 1
IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
BÀI TẬP: I/ HÀM SỐ BẬC NHẤT .
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) =(m – 1).x + 2m – 3 .
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? nghịch biến?
b) Biết f(1) = 1, tính f(2) ;
c) Biết f(-3) = 0 ,hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến
Bài 2 : Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = – 5.x + (m + 1)
và y = 4.x + (7 – m)
Cắt nhau tạimột điểm trên trục tung. Tìm toạ độ giao điểm đó.
Bài 3 : Tìm các giá trị của a để hai đường thẳng y = (2 – a).x + 3 và y = (a – 3).x + 1 song
song với nhau.
Bài 4 : Xác định giá trị của k và m để hai đường thẳng sau trùng nhau :
y = k
2

x + (m + 3) và y = (3k – 2).x + (5 – m)
Bài 5 : Cho hai hàm số y = (k – 1).x + 3 và y = (2k + 1).x – 4 . Với giá trị nào của k
thì đồ thị của hai hàm số là :
a) Hai đường thẳng cắt nhau . b) Hai đường thẳng song song.
c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được ko? Vì sao?
Bài 6 : Tìm giá trị của k để 3 đ/thẳng sau đồng qui tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ:
y = 2x – 7 (d
1
) ; y = x + 5 (d
2
) ; y = kx + 5 (d
3
)
Bài 7 : Cho ba đường thẳng : y = kx – 2 (d
1
) ; y = 4x + 3 (d
2
) ; y = (k – 1)x + 4 (d
3
)
Tìm điều kiện của k để :
a) (d
1
) song song với (d
2
) b) (d
1
) vuông góc với (d
2
)

c) (d
1
) song song với (d
3
) d) (d
1
) vuông góc với (d
3
)
Bài 8 : Cho hàm số y = a.x – 7. Hãy xác định hệ số a biết rằng :
a) Đồ thị h/ số song song với đường thẳng y= – 3
3
x ;
b) Khi x=1 –
5
thì y=
5
– 6.
Bài 9 : Trên mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm A(2 ;3), B(– 1, – 3) và C(0, – 1).
a) Tìm hệ số góc của đường thẳng AB
b) Chứng tỏ rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 10 : Cho 2 đường thẳng : y= (m + 6)x +2 và y = (2m – 1)x + 4
a) C/m : khi m= – 2 thì thì 2 đường thẳng đó song song với nhau.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để 2 đường thẳng đó song song với nhau.
Bài 11 : Cho 2 đường thẳng : y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4.
a) C/m : khi m= – 1/2 thì 2 đường thẳng vuông góc với nhau.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Bài 12 : Xác định h/số y = ax + b trong các trường hợp sau :
a) Khi a =
3

, đồ thị h/số cắt trục tung tại điểm có tung độ = –
3
b) Khi a= – 5, đồ thị h/số đi qua điểm A(– 2 ;3)
c) Đồ thị h/số đi qua 2 điểm M(1 ; 3) và N(– 2 ; 6)
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
11
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
d) Đồ thị h/số song song với đường thẳng y=
7
x và đi qua điểm C(1 ; 7 +
7
)
Bài 13 : Cho đường thẳng y = 4x (d).
a)Viết phương trình đg/ thẳng (d
1
) song song với đ / thẳng (d) và có tung độ gốc = 10.
b)Viết phương trình đường thẳng (d
2
) vuông góc vời đg/thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm
có hoành độ = – 8
c)Viết phương trình đường thẳng (d
3
) song song với đg /thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt
trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB = 8.
Bài 14 : Cho 2 đường thẳng : y = (k – 3)x – 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để : a) (d

1
) và (d
2
) cắt nhau.
b) (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
c) (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d) (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e) (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 15 : Cho h/số y= (m + 3)x + n (d) ; (m
≠
– 3)
Tìm các giá trị của n, m để đường thẳng (d) :
a) Đi qua 2 điểm A (1 ; – 3) và B(– 2 ;3)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ = 1+

3
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
= 3 +
3
.
c) Cắt đường thẳng 3y – x – 4 = 0.
d) Song song với đường thẳng 2x + 5y = – 1 .
e) Trùng với đường thẳng y – 3x – 7 = 0
Bài 16 : Cho 3 đường thẳng :
x + y = 1 (d
1
) ; x – y = 1 (d
2
) ; (k + 1)x + (k – 1)y = k + 1 (d
3
). Với k
≠
1.
Tìm các giá trị của k để :
a) (d
1
) và (d
3
) vuông góc với nhau.
b) 3 đường thẳng (d
1
), (d
2
) và (d
3

) đồng quy tại 1 điểm trong mp tọa độ Oxy.
c) C/m : khi k thay đổi thì đg/ thẳng (d
3
) luôn đi qua 1 điểm cố định trong mp tọa độ.
Bài 17: Cho các đường thẳng:
(d
1
): y = 2x + 2 .
(d
2
): y = – x + 2.
(d
3
): y = m.x ( m là tham số).
a) Tìm toạ độ các giao điểm A, B, C theo thứ tự của (d
1
) với (d
2
) ; (d
1
) với trục hoành ;
(d
2
) với trục hoành.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d
3
) cắt cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2

).
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d
3
) cắt cả hai tia AB và AC.
BÀI 18 : Cho đường thẳng y = (1 – 4m).x + m – 2 . (d)
a)Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ .
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc
nhọn ? một góc tù ?
c) Tìm giá trị nào của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng
3/2 ?
d) Tìm giá trị nào của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ
bằng 1/2 ?
BÀI 19 : Cho đường thẳng : (m – 2).x + (m – 1).y = 1 (1) ; m là tham số.
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
12
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
a) C/m rng ng thng (1) luụn i qua mt im c nh vi mi giỏ tr ca m.
b) Tỡm giỏ tr ca m khong cỏch t gc to O n ng thng (1) ln nht.
II/ H HAI PHNG TRèNH BC NHT HAI N :
Bài 1 : Giải các HPT sau:
1.1.
a.
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =

+ = = = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =

+ = + = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=


- Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2

x y y y x
x y x y x y
+ = = = =



+ = + = + = =

Vậy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=

- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:

1.2.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =



+ = =

+ = =

= =
+ =
+ +



+

Vy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
Đặt

1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2
3
1
2
1

1
1
x
x
y
y

=


=
+




=
=



(TMĐK)
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
13
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
VËy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x

y

= −



=

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình ( bằng phương pháp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y

− =


+ =

1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =



+ + =


Bài 2: Giải các hệ phương trình ( bằng phương pháp cộng đại số)
2.1.
3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2
x y
b
x y

+ =


− =


Bài 4:
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
a) m = – 1 b) m = 0 c) m = 1
Bài 5:
a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình

2 4
5
x by
bx ay
+ =


− = −

có nghiệm là
(1; – 2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1

3
1
1 1
m n
m n
m n
m n

+ =


+ +


+ = −

+ +

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

;

1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =


+ − =

;

0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =

;
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =

;

5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15

2 4 2
x y
x y
+ =



+ =



ƠN TẬP TỐN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
14
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
Bài 8: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a = 3 ; b = 2
b) Tìm a; b để hệ có nghiệm là (x;y) = (
)3;2
Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau
a)

=


+
=


+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843

yx
yx
c)





=+
=
1222
32423
yx
yx
(đk: x;y

2 )

3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;

2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=


;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ =

=

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

=


+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1

x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ = +


+ = +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
+ + =


+ =

;
3( ) 5( ) 12

5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

;

1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




=


;
1 2
2
5 4
3

x y x y
x y x y

=

+



=

+

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y

=

+ +



+ =

+ +

Bi 10 : Cho h phng trỡnh vi tham s a :
( ) ( )
( ) ( )
1 1., 1
1 2., 2
a x y a
x a y
+ = +

+ =


a) Gii h phng trỡnh vi a = 2.
b) Gii v bin lun h phng trỡnh.
c) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a h phng cú nghim nguyờn.
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca a nghim ca h phng trỡnh tho món iu kin
x + y nh nht.
Bi 11 : Cho h phng trỡnh :
( )
a 1 x y 4
a.x y 2a
+ + =


+ =


vi a l tham s
a) Gii h phng trỡnh khi a = 2.
b) Cmr

giỏ tr ca a h luụn cú nghim duy nht (x,y) sao cho: x + y 2 .
Bi 12:
a) Vi giỏ tr no ca k thỡ h phng trỡnh:
kx y 1 0
x y 1 0
+ =

+ + =

nhn cp s (x = 1; y = 0)
lm nghim .
b)Vi giỏ tr no ca a thỡ h phng trỡnh:
x y 1
ax 2y 0
+ =


+ =

cú nghim duy nht .
c)Vi giỏ tr no ca m thỡ h phng trỡnh:
2
2mx m y 3
2x my 3

+ =

+ =

vụ nghim, vụ s nghim.
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
15
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
d)Xác định m ; n để hệ phương trình :
mx y n
mx ny 3

− =


+ =

có nghiệm
x 2; y 3= − =
;
có nghiệm duy nhát .
Bài 13: Cho hệ phương trình :
ax y 2
x ay 3
− =


+ =

với a là tham số
a) Giải hệ phương trình khi
a 3 1= −
.
b) Cmr hệ đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi a .
c) Tìm a để hpt có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y < 0
d) Tìm a để hpt có nghiệm (x ; y) thoả mãn điều kiện :
x y 2=
Bài 14: Xác định a ; b để hpt :
2x ay b
ax by 1
− =



+ =

có nghiệm
x 2;y 3= =
; có vô số nghiệm .
Bài 15: Cho hệ phương trình :
ax 2y a
2x y a 1
− =


− + = +

với a là tham số.
a) Giải hpt với a = – 2 .
b) Tìm g/trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho : x – y = 1 .
Bài 16: Cho hệ phương trình :
( )
2
m 1 x my 2m 1
mx y m 2
 + + = −


− = −


với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình .

b) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm x ; y đạt GTLN.
Bài 17: Cho hệ phương trình :
( )
mx 2y 1
3x m 1 y 1
+ =



+ + = −


với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình với m = 3.
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương có nghiệm nguyên.
Bài 18: Cho hệ phương trình:
( )
( )
m 1 x y 3m 4
x m 1 y m
− + = −


+ − =


với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình với m = – 1 .
b) Giải và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương có nghiệm nguyên.
d) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm dương duy nhất.
e) Trong t/ hợp hệ có nghiệm dương duy nhất , tìm các g/trị của m để tích xy nhỏ nhất.
Bài 19: Cho hệ phương trình:
mx y 1
x y
334
2 3
− =



− =


với m là tham số.
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 20: Cho hệ phương trình:
x ay 1
ax y 2
+ =


+ =

với a là tham số.
a) Giải hệ phương trình khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.

16
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS giải đợc các bài toán thực tế bằng cách lập HPT.
* Kĩ năng: HS đợc củng cố kĩ năng phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải bài
toán bằng cách lập HPT.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, lô gíc chặt chẽ, rõ ràng.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1: + Lập HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập HPT.
* Bớc 2: Giải HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A
tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2. Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc
tăng14 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ.
Tính quãng đờng AB, vận tốc và thời gian dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau
Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận
tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3
km/h.
Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau. Tính quãng
đờng AB và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một và gặp
nhau sau 1 giờ 40 phút.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ. Một lần khác ca nô

xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ. Tính vận tốc của dòng nớc và
vận tốc thật của ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30
phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng
còn lại. Tính thời gian xe chạy.
Bài 6. Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ
B lúc 7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi ngời đi hết
quãng đờng AB. Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút.
HPT:
2 1
1
1
3
x y
y x

=




=


HPT:
10
2
1 ( 2 ) 2( )
5
x y

x y x y
=



+ = +


Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B
thì số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng
tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao
nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi
vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm
trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ
hoàn thành trong bao lâu.
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi
5m thì diện tích giảm đi 75
2
m
. Tính diện tích thửa ruộng đó.
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
17
im chớnh gia quóng ng AB l 10 km v xe i chm tng
vn tc gp ụi thỡ hai xe gp nhau sau 1 gi 24 phỳt.
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi

bằng nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê
thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
có bao nhiêu ghế.
HM S Y = AX
2
PHNG TRèNH BC HAI.
I.Túm tt lớ thuyt:
1. Hm s y = ax
2
:
* Tp xỏc nh: R.
* Chiu bin thiờn:
.a > 0: Hm s nghch bin trong
khong ( ; 0) v ng bin trong
khong (0; + ). Giỏ tr nh nht = 0.
.a < 0: Hm s ng bin trong
khong ( ; 0) v nghch bin trong
khong (0; + ). Giỏ tr ln nht = 0.
* th l mt Parabol nhn trc Oy lm trc i xng.
2. Phng trỡnh bc hai : ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0):
a) Dng khuyt:
Dng 1: ax
2
= 0

x = 0.
Dng 2: ax
2

+ c = 0

x
2
=
c
a
* Nu
c
a
> 0 (tc a, c trỏi du): 2 nghim phõn bit: x =
c
a

* Nu
c
a
< 0 ( tc a,c cựng du) : Vụ nghim.
Dng 3: ax
2
+ bx = 0

x(ax + b) = 0

x
1
= 0 v x
2
=
b

a
b) Dng y :
* = b
2
4ac
. > 0 : Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: x
1, 2
=
b
2a

V
. = 0: Phng trỡnh cú nghim kộp: x
1, 2
=
b
2a
.
. < 0: Phng trỡnh vụ nghim.
* = b
2
ac vi b = 2b.
. > 0: Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: x
1, 2
=
b' '
a

V

. = 0: Phng trỡnh cú nghim kộp: x
1, 2
=
b'
a
.
. < 0: Phng trỡnh vụ nghim.
3. nh lớ Vi-ột v ng dng:
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
18
a > 0
a < 0
y = ax
2
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
a) Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a


+ = −




=


Chú ý: * Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có: a + b + c = 0 thì phương trình có một
nghiệm là: x
1
= 1, còn nghiệm kia là: x
2
=
c
a
.
* Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có: a – b + c = 0 thì phương trình có một
nghiệm là: x
1
= – 1, còn nghiệm kia là: x
2
= –
c
a

.
b)
1 2
1 2
2
x x S
x .x P
S 4P 0

+ =

=


− ≥


⇔
x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình X
2
– SX + P = 0
c) Dấu các nghiệm số:
* Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0
* Phương trình có hai nghiệm dương: x

2
≥ x
1
> 0
⇔

0
P 0
S 0
∆ ≥


>


>


* Phương trình có hai nghiệm âm: x
1
≤ x
2
< 0
⇔

0
P 0
S < 0
∆ ≥



>




d) Phương trình trùng phương:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 đặt x
2
= t ≥ 0 đưa về tìm nghiệm không âm của phương trình :
at
2
+ bt + c = 0.
BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
TT
C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo
∆
TT
C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo
∆
'
1. 6 x
2
– 25x – 25 = 0 1. x
2

– 4x + 2 = 0
2. 6x
2
– 5x + 1 = 0 2. 9x
2
– 6x + 1 = 0
3. 7x
2
– 13x + 2 = 0 3. – 3x
2
+ 2x + 8 = 0
4. 3x
2
+ 5x + 60 = 0 4. x
2
– 6x + 5 = 0
5. 2x
2
+ 5x + 1 = 0 5. 3x
2
– 6x + 5 = 0
6. 5x
2
– x + 2 = 0 6. 3x
2
– 12x + 1 = 0
7. x
2
– 3x – 7 = 0 7. 5x
2

– 6x – 1 = 0
8. x
2
– 3 x – 10 = 0 8. 3x
2
+ 14x + 8 = 0
9. 4x
2
– 5x – 9 = 0 9. – 7x
2
+ 6x = – 6
10. 2x
2
– x – 21 = 0 10. x
2
– 12x + 32 = 0
11. 6x
2
+ 13x – 5 = 0 11. x
2
– 6x + 8 = 0
12. 56x
2
+ 9x – 2 = 0 12. 9x
2
– 38x – 35 = 0
13. 10x
2
+ 17x + 3 = 0 13.
x

2
–
2 3
x + 2 = 0
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
19
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
14. 7x
2
+ 5x 3 = 0 14.
4
2
x
2
6x
2
= 0
15. x
2
+ 17x + 3 = 0 15.
2x
2

2 2
x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi gi
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x 1) 15 ; b) x

2
+ 7x 3 = x(x 1) 1
c) 2x
2
5x 3 = (x+ 1)(x 1) + 3 ; d) 5x
2
x 3 = 2x(x 1) 1 + x
2

e) 6x
2
+ x 3 = 3x(x 1) 11 ; f) 4x
2
+ x(x 1) 3 = x(x +3) + 5
g) x
2
x 3(2x + 3) = x(x 2) 1 ; h) x
2
4x 3(2x 7) = 2x(x + 2) 7
i) 8x
2
x 3x(2x 3) = x(x 2) ; k) 3(2x + 3) = x(x 2) 1
Bài tập 3: Cho phơng trình: x
2
2(3m + 2)x + 2m
2
3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2; m = 2; m = 5; m = 5; m = 3; m = 7; m = 4
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng

x = 3; x = 3; x = 2; x = 5; x = 6; x = 1
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4: Cho phơng trình: x
2
2(m 2)x + m
2
3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2; m = 3; m = 7; m = 4; m = 2; m = 7; m = 8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = 4; x = 2; x = 6; x = 7; x = 3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5: Cho phơng trình: x
2
2(m 2)x + 2m
2
+ 3m = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2; m = 3; m = 7; m = 4; m = 2; m = 7; m = 8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = 4; x = 2; x = 6; x = 7; x = 3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 6: Cho phơng trình: x
2
2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= x
2
Bài tập 7: Cho phơng trình : ( m + 1) x
2
+ 4mx + 4m 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 2x
2

Bài tập 8: Cho phơng trình : 2x
2
6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 2x
2
Bài tập 9: Cho phơng trình : x
2
2(m 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 3x
2

Bài tập 10: Biết rằng phơng trình : x
2
2(m + 1 )x + m
2
+ 5m 2 = 0
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
20
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 11: Biết rằng phơng trình : x
2
2(3m + 1 )x + 2m
2
2m 5 = 0
( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 12: Biết rằng phơng trình : x
2
(6m + 1 )x 3m
2
+ 7 m 2 = 0
( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 13: Biết rằng phơng trình : x
2

2(m + 1 )x + m
2
3m + 3 = 0
( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14: Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = 5
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phơng trình có 1 nghiệm x = 1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài tập 16: Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x + m
2
3m = 0
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1
và x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
1
2
+ x
2
2

Bài tập 17: Cho phơng trình: mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
Bài tập 18: Cho phơng trình: x
2

(2a 1)x 4a 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
1
2
+ x
2
2

Bài tập 19: Cho phơng trình: x
2
2.(m 3)x + m 13 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
1
. x
2
x
1
2
x
2
2

Bài tập 20: Cho phơng trình: x
2
2(m + 4)x + m
2

8 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x
1
+ x
2
3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x
1
2
+ x
2
2
x
1

x
2
Bài tập 21: Cho phơng trình: ( m 1) x
2
+ 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn: A = x
1
2
x
2
+ x
2
2
x
1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình
mx
2
2(m 2)x + (m 3) = 0 thoả mãn điều kiện

1
2
2
2
1
=+
xx
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
21
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
Bài tập 23: Cho phơng trình x
2
2(m 2)x + (m
2
+ 2m 3) = 0. Tìm m để phơng
trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thoả mãn
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bài tập 24: Cho phơng trình x

2
(m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x
1
= 2x
2
.
Bài tập 25: Cho phơng trình mx
2
2(m + 1)x + (m 4) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn: x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
HD: 1) Vi m = 0 thỡ ph/t cú dng: 2x 4 = 0 cú nghim duy nht x = 2.
Vi m 0 thỡ ph/t ó cho l ph/t bc hai. Ph/t cú nghim

= (m + 1)
2
m(m 4)
= 6m + 1 0

m
1
6

KL :

m
1
6

.
2) Vi m
1
6

phng trỡnh cú nghim. Theo nh lớ Vi-ột ta cú :
S = x
1
+ x
2
=
2(m + 1)
m
; P = x
1

.x
2
=
m 4
m

; K phng trỡnh cú hai nghim
trỏi du l : P < 0

m 4
m

< 0

0 < m < 4 . Khi ú. Do 0 < m < 4 nờn S > 0, do
ú nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn.
3) Vi m
1
6

cú:
1 2
1 2
2(m + 1)
x + x
m
x + 4x 3

=

=



2
1
m 2
x
3m
5m +1
x
3m


=




=


m x
1
.x
2
=
m 4

m




m 2
3m

.
5m +1
3m
=
m 4
m


2m
2
17m + 8 = 0

m = 8 ; m =
1
2
(t/m K)
4) Vi m
1
6

, ta cú : x
1

+ x
2
= 2 +
2
m
; x
1
.x
2
= 1
4
m
thay
2
m
= x
1
+ x
2
2


x
1
.x
2
= 1 2(x
1
+ x
2

2)

x
1
.x
2
= 5 2(x
1
+ x
2
)
Bài tập 26:a)Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung.
Tìm nghiệm chung đó?
x
2
(m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
(m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của phơng
trình (2) và ngợc lại.
Bài tập 27: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
(2m 1)x + m 2 = 0
Tìm m để
2

2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 28: Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình: 2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x
1
x
2
2x
1
2x
2

HD: phng trỡnh cú nghim thỡ phi cú: = (m + 1)
2
2(m
2
+ 4m + 3)
= m

2
6m 5 0

(m + 1)(m +5) 0

5 m 1
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
22
GIO VIấN: NG NGC THANH TRNG THCS TNG VN TRN
Khi ú theo h thc Vi-ột ta cú: x
1
+ x
2
= m 1 ; x
1
x
2
=
2
m + 4m + 3
2
Do ú: A =
2
m + 8m + 7
2
=
(m + 1)(m + 7)
2
vi 5 m 1 thỡ (m + 1)(m + 7) 0

A =
2 2
m 8m 7 9 (m + 4) 9
2 2 2

=
vi mi m. Vy max A =
9
2
khi m = 4
Bài tập 29: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
+ 2(m 2)x 2m + 7 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 30: Cho phơng trình: x
2
mx + (m 2)
2
= 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
Bài tập 31: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).
Tìm m sao cho 2 nghiệm x
1
; x
2
của phơng trình thoả mãn 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
HD: phng trỡnh cú nghim thỡ phi cú:
= (m + 1)
2

2m 10 = m
2
9 0

m 3 hoc m 3.
Theo nh lớ Vi-ột cú: x
1
+ x
2
= 2(m + 1) ; x
1
.x
2
= 2m + 10
A = 10 x
1
.x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)
2

+ 8 x
1
.x
2
= 4(m + 1)
2
+ 8.(2m + 10)
= 4m
2
+ 8m + 4 + 16m + 80 =4m
2
+ 24m + 36 + 48 = 4(m + 3)
2
+ 48 48 vi mi m.
Vy min A = 48 khi m = 3.
Bi 32: Cho phng trỡnh: x
2
+ (2m 1)x m = 0 ( m l tham s).
1) Gii phng trỡnh vi m = 1.
2) Chng t rng phng trỡnh luụn luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
3) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim: x
1
; x
2
tha món: x
1
x
2
= 1.
4) Tớnh A = x

1
2
+ x
2
2
6x
1
x
2
theo m.
5) Tỡm giỏ tr ca m A cú giỏ tr nh nht.
HD: 1) Vi m = 1 ta cú phng trỡnh : x
2
3x + 1 = 0
= ( 3)
2
4 = 9 4 = 5 > 0


x
1
=
3 + 5
2
; x
2
=
3 5
2

2) Phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú:
= (2m 1)
2
4( m ) = 4m
2
+ 1 > 0 vi mi m. Vy .
3) Phng trỡnh ó cho cú nghim vi mi m. Nờn theo nh lớ Vi-ột ta cú:
x
1
+ x
2
= 1 2m (1) m: x
1
x
2
= 1 (gt) (2) T (1) v (2)

x
1
= 1 m ; x
2
= m
Li theo nh lớ Vi-ột, ta cú : m = x
1
.x
2
= (1 m)( m )

m
2

= 0

m = 0
4) A = x
1
2
+ x
2
2
6x
1
x
2
= x
1
2
+ 2x
1
.x
2
+ x
2
2
8x
1
x
2
= (x
1
+ x

2
)
2
8x
1
x
2

= (1 2m)
2
8.( m ) = = (2m + 1)
2

5) Vỡ (2m + 1)
2
0 vi mi m , nờn Amin = 0

2m + 1 = 0

m = 0,5
Bi 33: Cho phng trỡnh vi m l tham s: (m 2) x
2
2m x + m 4 = 0
a) Gii phng trỡnh vi m =
3
2

b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit.
c) Gi s phng trỡnh cú nghim x
1

; x
2
. Tớnh x
1
2
+ x
2
2
HD: a) x
1
= 1; x
2
= 5.
b) K ph/trỡnh cú nghim: a 2 v > 0



m > 4/3 v m 2
ễN TP TON 9 BI TP C BN THI VO THPT.
23
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
c) S =
2
2
2m 12m 16
(m 2)
+ −
−
Bài 34: Cho phương trình với m là tham số: x
2

– 2.(m + 1) x + m – 4 = 0
1) Giải phương trình với m = – 5.
2) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
4) Tìm m để
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình trên)
5) Chứng minh biểu thức: M= x
1
(1 – x
2
) + x
2
(1 – x
1
) không phụ thuộc m.
6) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
1
1
x
;
2
1
x

(x
1
; x
2
là nghiệm của p/t trên)
HD: 1) Với m = – 5, phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= – 9.
2) ∆’ = m
2
+ m + 5 = (m +
1
2
)
2
+
19
4
> 0 với mọi m.
3) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0
⇔
m – 4 < 0
⇔
m < 4
4)Theo chứng minh trên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.
Theo đ/lí Vi-ét: x

1
+ x
2
= 2(m + 1) ; x
1
.x
2
= m – 4.
Ta có:
1 2
x x
−
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 4 x
1
.x
2
= [2(m + 1)]
2
– 4(m – 4) = (2m + 1)
2
+ 19
Do (2m + 1)
2

≥ 0 với mọi m, nên (2m + 1)
2
+ 19 ≥ 19 với mọi m
⇒
1 2
x x
−
2
≥ 19 với
mọi m
⇒
1 2
x x
−
≥
19
với mọi m.
⇒

1 2
x x
−
=
19

⇔
(2m + 1)
2
= 0
⇔

m =
1
2
−
*Vậy m =
1
2
−
thì
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất .
5) M =…= x
1
+ x
2
– 2x
1
.x
2
= 2(m + 1) – 2(m – 4) = 10….
6) S =
1
1
x
+
2
1
x

=
1 2
1 2
x + x
x .x
=
2(m + 1)
m 4
−
; P =
1 2
1
x .x
=
1
m 4
−
(m ≠ 4)
Vậy p/t cần lập là: X
2
–
2(m + 1)
m 4
−
X +
1
m 4
−
= 0
Hay : (m – 4)X

2
– 2(m + 1)X + 1 = 0 (m ≠ 4)
Bài 35: Cho phương trình: x
2
– (m – 1) x – m
2
+ m – 2 = 0 ; với m là tham số.
1) Giải phương trình với m = – 1.
2) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
3) Gọi 2 nghiệm là: x
1
; x
2
. tính S = x
1
2
+ x
2
2
và xác định m để S đạt giá trị nhỏ nhất.
HD : 1) Với m = – 1 , phương trình có 2 nghiệm x
1
= – 1 +
5
; x
2
= – 1 –
5

2) Ta có : ac = – m

2
+ m – 2 = – {(m –
1
2
)
2
+
7
4
} < 0 với mọi m
3) S = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2 x
1
.x
2
= 3m
2
– 4 m + 5 = 3(m
2

–
4
3
m +
4
9
) +
11
3
≥
11
3
Min S =
11
3

⇔
m =
2
3
.
Bài 36: Cho phương trình với m là tham số: (m – 4)x
2
– 2.mx + m – 2 = 0
1) Giải phương trình khi m = 3.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
24
GIÁO VIÊN: ĐẶNG NGỌC THANH – TRƯỜNG THCS TỐNG VĂN TRÂN
3) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất.

HD: 1) Với m = 3 , ta có phương trình: x
2
+ 6x – 1 = 0.
Phương trình có hai nghiệm: x
1
= – 3 +
10
; x
2
= – 3 –
10
.
2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
m ≠ 4 m ≠ 4 m ≠ 4 , m ≠ 4
∆’ > 0 m
2
– (m – 4)(m – 2) > 0 6m – 8 > 0 m >
4
3
3) Với m = 4 phương trình, phương trình đã cho trở thành p/t: – 8x + 2 = 0, có
nghiệm duy nhất x = 0,25.
Với m ≠ 4thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất

⇔
∆’ = 0
⇔
6m – 8 = 0
⇔
m = 4/3. Vậy với m = 4 hoặc m = 4/3 thì ph/t đã cho
có nghiệm duy nhất.

Bài 37: Cho phương trình: x
-2
– (2m + 1)x + m
2
+ m = 0
1) Biết phương trình có một nghiệm x
1
= 2; Tìm m rồi tìm nghiệm kia?
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
– 2 < x
1
< x
2
< 4.
HD: 1) x
1
= 2 là một nghiệm của phương trình nên: 4 – 2(2m + 1) + m
2
+ m = 0
Hay: m
2
– 3m + 2 = 0 có: a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0
⇒
m
1
= 1 ; m
2
= 2
Với m

1
= 1 thì nghiệm còn lại là: x
2
=
2
m m
2
+
= 1.
Với m
2
= 2 thì nghiệm còn lại là: x
2
=
2
m m
2
+
= 3.
2) Ta có: ∆ = (2m + 1)
2
– 4(m
2
+ m) = 1 > 0 với mọi m
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
3) x
1
=
2m + 1 1
2

−
= m ; x
1
=
2m + 1+1
2
= m + 1 ; x
1
< x
2
, do đó :

1
2
x 2
m > 2 m > 2
2 m < 3
x 4 m + 1< 4 m < 3
> −
− −

 
⇔ ⇔ ⇔ − <
  
<
 

Bài 38: Cho phương trình: x
2
– mx + m – 1 = 0 (m là tham số)

1) Giải phương trình với m = – 3.
2) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu
thức: P =
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x +3
x + x +2(x x +1)
HD: 1) Với m = – 3, ta có phương trình: x
2
+ 3x – 4 = 0; có a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0

⇒
x
1
= 1 ; x
2
= – 4.
2) Ta có : ∆ = m
2
– 4(m – 1) = m
2
– 4m + 4 = (m – 2)
2
≥ 0 với mọi m. Vậy …

3) Theo định lí Vi-ét ta có : x
1
+ x
2
= m ; x
1
.x
2
= m – 1.
P =
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x +3
x + x +2(x x +1)
=
1 2
2 2
1 2
2x x +3
2m +1
(x + x ) + 2 m 2
=
+


⇒
(m
2
+ 2)P = 2m + 1

⇔
Pm
2
– 2m + 2P – 1 = 0 (*). Để tồn tại m thì phương
trình (*) phải có nghiệm, nghĩa là : ∆’ = 1 – P(2P – 1) ≥ 0
⇔
2P
2
– P – 1 ≤ 0
ÔN TẬP TOÁN 9 BÀI TẬP CƠ BẢN THI VÀO THPT.
25
⇔
⇔
⇔