Chương 2 - Hệ toán mệnh đề potx

Chương 2. Hệ toán mệnh đề


Trần Thọ Châu
Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Tr 39-69.


Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hệ toán mệnh đề, Định lý suy diễn, Logic
mệnh đề, Tính đầy đủ, Tính phi mâu thuẫn, Tính độc lập.


Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.



Chu
.
o
.
ng 2
Hˆe
.
to´an mˆe
.

nh
dˆe
`
2.1 Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
40
2.1.1 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh ngh˜ıa co
.
ba
’
n 40
2.1.2 C´ac t´ınh chˆa
´
t 42
2.1.3 L´y thuyˆe
´

t tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
43
2.1.4 Di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
44
2.2 Nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n v`a b`ai to´an lˆa
.
p luˆa
.
n trong
logic mˆe
.
nh

dˆe
`
52
2.2.1 Nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n 52
2.2.2 B`ai to´an lˆa
.
p luˆa
.
n trong logic mˆe
.
nh dˆe
`
52
2.3 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh l´y trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
55
2.3.1 T´ınh dˆa
`

y du
’
55
2.3.2 T´ınh phi mˆau thuˆa
˜
n 58
2.3.3 T´ınh dˆo
.
clˆa
.
p 59
2.4 Gi´o
.
i thiˆe
.
u v`ai n´et vˆe
`
logic da tri
.
61
2.5 T´ınh quyˆe
´
t di
.
nh cu
’
ahˆe
.
to´an mˆe
.

nh dˆe
`
62
2.6 Mˆo
.
tsˆo
´
hˆe
.
tiˆen dˆe
`
kh´ac 62
40 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
2.7
´
Ap du
.
ng di
.
nh l´y dˆa

`
y du
’
cho b`ai to´an suy diˆe
˜
n
trong logic mˆe
.
nh
dˆe
`
64
2.8 B`ai tˆa
.
p chu
.
o
.
ng2 66
Trong chu
.
o
.
ng 1, ta
d˜a bu
.
´o
.
c
dˆa

`
u nghiˆen c´u
.
unˆo
.
i dung
da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
.
Dˆe
’
nghiˆen c´u
.
umˆo
.
t c´ach to`an diˆe
.
nv`ahˆe
.
thˆo
´
ng theo ma
.
ch tu

.
duy suy diˆe
˜
n
cu
’
a con ngu
.
`o
.
i, ta chuyˆe
’
n qua viˆe
.
c kha
’
o s´at n´o mˆo
.
t c´ach “h`ınh th´u
.
c”, “tr`u
.
u
tu
.
o
.
.
ng”, nhu
.

ng la
.
i l`am cho qu´a tr`ınh tu
.
duy, suy luˆa
.
nmˆo
.
t c´ach ch´ınh x´ac,
dˆa
`
y du
’
v`a mang t´ınh chˆa
´
t logic To´an ho
.
cho
.
n. M˘a
.
cd`u c´ac hˆe
.
h`ınh th´u
.
c n`ay
du
.
o
.

.
c tr`ınh b`ay mˆo
.
t c´ach tr`u
.
utu
.
o
.
.
ng, nhu
.
ng thu
.
.
cchˆa
´
t n´o nh˘a
`
m phu
.
cvu
.
cho
viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u
da

.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
sˆau s˘a
´
c, c´o t´ınh hˆe
.
thˆo
´
ng v`a c´o nh˜u
.
ng ´u
.
ng
du
.
ng trong nhiˆe
`
u l˜ınh vu
.
.
c kh´ac liˆen quan
dˆe
´
nba
’

nchˆa
´
tcu
’
a da
.
isˆo
´
mˆe
.
nh dˆe
`
.
2.1 Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
2.1.1 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh ngh˜ıa co

.
ba
’
n
Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.1 S du
.
o
.
.
cgo
.
il`al´y thuyˆe
´
t h`ınh th´u
.
c (hay l´y thuyˆe
´
t tiˆen
dˆe
`
),
nˆe
´
u n´o thoa
’
m˜an c´ac
diˆe
`

ukiˆe
.
n sau dˆay:
(1) Mˆo
.
ttˆa
.
p
dˆe
´
m du
.
o
.
.
c c´ac k´yhiˆe
.
u go
.
il`ak´yhiˆe
.
ucu
’
a S.Mˆo
.
t d˜ay h˜u
.
uha
.
n

c´ac k´y hiˆe
.
ucu
’
a S
du
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆo
.
tbiˆe
’
uth´u
.
c cu
’
al´ythuyˆe
´
t S.
(2) Mˆo
.
t thu
’
tu
.
c cho ph´ep x´ac

di
.
nh mˆo
.
tbiˆe
’
uth´u
.
c
d˜a cho c´o pha
’
i l`a mˆo
.
t
cˆong th´u
.
c hay khˆong.
(3) Mˆo
.
ttˆa
.
ph˜u
.
uha
.
n c´ac cˆong th´u
.
c
du
.

o
.
.
cgo
.
i l`a c´ac tiˆen
dˆe
`
cu
’
a l´y thuyˆe
´
t
S.
(4) Mˆo
.
ttˆa
.
ph˜u
.
uha
.
n R
1
,R
2
, , R
k
c´ac quy t˘a
´

cdˆa
˜
n xuˆa
´
t cho ph´ep ta dˆa
˜
n
du
.
o
.
.
ct`u
.
mˆo
.
ttˆa
.
ph˜u
.
uha
.
n c´ac cˆong th´u
.
c
dˆe
´
nmˆo
.
ttˆa

.
p c´ac cˆong th´u
.
cm´o
.
i.
Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.2 Mˆo
.
t d˜ay c´ac cˆong th´u
.
c A
1
, A
2
, A
n
du
.
o
.
.
cgo
.
il`adˆa
˜
n
xuˆa
´

t trong S nˆe
´
ubˆa
´
tk`ymˆo
.
t cˆong th´u
.
c A
i
ho˘a
.
c l`a tiˆen dˆe
`
ho˘a
.
cl`adˆa
˜
n du
.
o
.
.
c
tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u

.
c´ac cˆong th´u
.
c
d´u
.
ng tru
.
´o
.
c n´o nh`o
.
qui t˘a
´
cdˆa
˜
n xuˆa
´
t.
2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
41

Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.3 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
c A cu
’
a l´y thuyˆe
´
t S du
.
o
.
.
cgo
.
il`adi
.
nh l´y
cu
’
a l´y thuyˆe
´
t S nˆe
´
utˆo
`
nta
.

imˆo
.
tdˆa
˜
n xuˆa
´
t trong S : A
1
, A
2
, , A
k
sao cho
A
k
= A,v`adˆa
˜
n xuˆa
´
t n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
il`adˆa
˜
n xuˆa
´

tcu
’
a cˆong th´u
.
c A.
Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.4 L´y thuyˆe
´
t m`a trong d´o c´o tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t thuˆa
.
t to´an cho
ph´ep x´ac di
.
nh mˆo
.
t cˆong th´u
.
c d˜a cho c´o dˆa
˜
n du
.
o
.

.
c hay khˆong du
.
o
.
.
cgo
.
il`al´y
thuyˆe
´
t gia
’
i du
.
o
.
.
c; Tr´ai la
.
i, n´o du
.
o
.
.
cgo
.
il`al´y thuyˆe
´
t khˆong gia

’
i du
.
o
.
.
c.
Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.5 Mˆo
.
t cˆong th´u
.
c A du
.
o
.
.
cgo
.
il`adˆa
˜
n du
.
o
.
.
c trong S t`u
.
tˆa

.
p
ho
.
.
p Γ c´ac cˆong th´u
.
c, khi v`a chı
’
khi tˆo
`
nta
.
i d˜ay c´ac cˆong th´u
.
c A
1
, A
2
, A
n
sao cho A
n
= A v`a ∀i (i =1 n) A
i
ho˘a
.
c l`a tiˆen dˆe
`
, ho˘a

.
c l`a phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a
Γ, ho˘a
.
cl`adˆa
˜
n
du
.
o
.
.
c tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
c´ac cˆong th´u
.
c d´u
.

ng tru
.
´o
.
c n´o nh`o
.
quy t˘a
´
c
dˆa
˜
n xuˆa
´
t.
D˜ay cˆong th´u
.
c n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
il`adˆa
˜
n xuˆa
´
tcu
’
a A t`u

.
Γ. C´ac phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a
Γ
du
.
o
.
.
cgo
.
il`agia
’
thiˆe
´
t, v`a ta k´yhiˆe
.
unhu
.
sau:
Γ Aho˘a
.
cΓ
S

A
v`a
du
.
o
.
.
c do
.
cl`a“A dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
Γ” ho˘a
.
c“A dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
Γ trong S”.

Ch´u ´y 1
1a) Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p Γ l`a h˜u
.
uha
.
n: Γ:={B
1
, B
2
, , B
m
} th`ı ta k´yhiˆe
.
u:
B
1
, B
2
, , B
m
A.
1b) Tru
.

`o
.
ng ho
.
.
pnˆe
´
u Γ=∅ th`ı Γ  A, khi v`a chı
’
khi A l`a di
.
nh l´y, v`a ta k´y
hiˆe
.
u:  A.
Ch´u ´y 2
2a) Mˆo
˜
imˆo
.
ttiˆen dˆe
`
l`a dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u

.
tˆa
.
pbˆa
´
tk`yΓ c´ac cˆong th´u
.
c
2b) Mˆo
˜
imˆo
.
t di
.
nh l´y l`a dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
tˆa
.
pbˆa
´
tk`y Γ c´ac cˆong th´u
.
c

2c) Mˆo
˜
imˆo
.
t phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Γ
dˆe
`
udˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
Γ.
42 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.

to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
2.1.2 C´ac t´ınh chˆa
´
t
(1) Nˆe
´
uΓ⊆ ∆v`aΓAth`ı ∆ A
(2) Γ A, khi v`a chı
’
khi tˆo
`
nta
.
imˆo
.
ttˆa
.
p∆⊆ Γ sao cho ∆ A
(3) Nˆe
´
u∆Av`a ∀B ∈ ∆:ΓBth`ı Γ A.
O
.
’
dˆay ta thˆa
´

y t´ınh chˆa
´
t (1) chı
’
ra r˘a
`
ng mˆo
.
t cˆong th´u
.
c
d˜a dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
mˆo
.
ttˆa
.
p c´ac cˆong th´u
.
cth`ın´oc˜ung dˆa
˜
n du
.

o
.
.
ct`u
.
tˆa
.
pl´o
.
nho
.
n, ngh˜ıa l`a nˆe
´
u
ta c´o thˆem mˆo
.
tsˆo
´
gia
’
thiˆe
´
t v`ao tˆa
.
p
d˜a dˆa
˜
n du
.
o

.
.
c th`ı t´ınh chˆa
´
tdˆa
˜
n du
.
o
.
.
ccu
’
a
cˆong th´u
.
cvˆa
˜
n khˆong thay dˆo
’
i.
T`u
.
t´ınh chˆa
´
t (1) buˆo
.
c ta pha
’
i suy ngh˜ı l`am thˆe

´
n`ao dˆe
’
cho
.
n du
.
o
.
.
cmˆo
.
t
tˆa
.
p gia
’
thiˆe
´
t sao cho n´o v`u
.
a du
’
, khˆong th`u
.
av`ac˜ung khˆong thiˆe
´
u. Nˆe
´
u gia

’
thiˆe
´
tth`u
.
a th`ı t´ınh chˆa
´
tdˆa
˜
n du
.
o
.
.
cs˜e´ıtdu
.
o
.
.
c thuyˆe
´
t phu
.
cho
.
n, c`on nˆe
´
u gia
’
thiˆe

´
t thiˆe
´
u th`ı ta khˆong thˆe
’
dˆa
˜
n
du
.
o
.
.
c dˆe
´
n diˆe
`
u pha
’
ich´u
.
ng minh. Dˆay ch´ınh
l`a ba
’
nchˆa
´
t
dˆa
`
y du

’
cu
’
a t´ınh chˆa
´
t (2).
T´ınh chˆa
´
t (3) thˆe
’
hiˆe
.
n“t´ınh b˘a
´
ccˆa
`
u”cu
’
a ph´ep dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ccu
’
amˆo
.
t cˆong

th ´u
.
c. Ta c´o thˆe
’
h`ınh dung b˘a
`
ng h`ınh a
’
nh ph´ac hoa
.
sau dˆay:
2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
43
2.1.3 L´y thuyˆe
´
t tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.

nh dˆe
`
Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
l`a mˆo
.
tl´y thuyˆe
´
th`ınh th´u
.
c ho´a cu
’
a logic mˆe
.
nh dˆe
`
.Viˆe
.
c
h`ınh th´u
.
c ho´a logic l`a bu
.
´o
.
cco

.
ba
’
n dˆa
`
u tiˆen cho viˆe
.
ch`ınh th´u
.
c ho´a c´ac l´y
thuyˆe
´
t to´an ho
.
c. Nˆo
.
i dung chu
’
yˆe
´
ucu
’
aviˆe
.
ch`ınh th´u
.
c ho´a mˆo
.
tl´y thuyˆe
´

tl`a
xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ngˆon ng˜u
.
h`ınh th´u
.
c dˆe
’
diˆe
˜
nta
’
c´ac ph´an do´an, du
.
a ra mˆo
.
t
hˆe
.
tiˆen dˆe
`
du
.
o
.
.

c xem nhu
.
l`a nh˜u
.
ng chˆan l ´y ban dˆa
`
u, v`a pha
’
i x´ac di
.
nh c´ac
quy t˘a
´
cv`aphu
.
o
.
ng ph´ap suy diˆe
˜
n (hay c`on go
.
il`ach´u
.
ng minh) dˆe
’
t`ım ra c´ac
di
.
nh l´y m´o
.

icu
’
a l´y thuyˆe
´
t. Dˆe
’
nghiˆen c´u
.
umˆo
.
t c´ach cu
.
thˆe
’
,tadi sˆau nghiˆen
c´u
.
u l´y thuyˆe
´
t tiˆen dˆe
`
L du
.
´o
.
i dˆay.
Di
.
nh ngh˜ıa 2.1.6 L´y thuyˆe
´

t tiˆen dˆe
`
L bao gˆo
`
m:
(1) C´ac k´y hiˆe
.
ucu
’
a L:
- ¬, → du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a hai ph´ep to´an nguyˆen thuy
’
- C´ac dˆa
´
u ngo˘a
.
c (,)
- C´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh A, B, C, v`a c´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh c´o chı
’

sˆo
´
A
1
,B
1
,C
1
, . C´ac ch˜u
.
c´ai La-tinh n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh
dˆe
`
.
(2) Cˆong th´u
.
c du
.
o

.
.
c xˆay du
.
.
ng b˘a
`
ng dˆe
.
quy nhu
.
sau:
(a) Tˆa
´
tca
’
c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh dˆe
`
dˆe
`
u l`a cˆong th´u
.
c
(b) Nˆe
´
u A v`a B l`a cˆong th´u

.
cth`ı(¬A), (A→B)c˜ung l`a cˆong th´u
.
c
(c) Mˆo
.
tbiˆe
’
uth´u
.
c l`a cˆong th´u
.
c, nˆe
´
un´odu
.
o
.
.
clˆa
.
pnˆen t`u
.
co
.
so
.
’
(a)
v`a (b).

(3) C´ac tiˆen
dˆe
`
: Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac cˆong th´u
.
c A, B, C tu`y ´y
A1. (A→(B→A))
A2. (A→(B→C)) → ((A→B) → (A→C))
A3. (¬B → ¬A) → ((¬B → A) →B)
(4) Quy t˘a
´
cdˆa
˜
n xuˆa
´
t Modus Ponens (Kˆe
´
t luˆa
.
n): Nˆe
´
u A v`a A→Bth`ı B.
44 Chu
.
o
.

ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
Ch´u ´y 3 Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac ph´ep to´an c`on la
.
i ∧, ∨, ↔ ta c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
nch´ung
qua hai ph´ep to´an {¬, →} nh`o
.
c´ac cˆong th´u
.
ctu
.
o
.
ng du
.

o
.
ng sau dˆay:
D1. (A∧B) l`a tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
i ¬( A→¬B)
D2. (A∨B) l`a tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
i (¬A ) →B
D3. (A↔B) l`a tu
.
o
.
ng du

.
o
.
ng v´o
.
i (A→B) ∧ (B→A)
Bˆo
’
dˆe
`
2.1.1 

A→Adˆo
´
iv´o
.
i cˆong th´u
.
c A tu`y ´y trong L
Ch´u
.
ng minh:O
.
’
dˆay ta k´yhiˆe
.
u MP l`a viˆe
´
tt˘a
´

tcu
’
a Modus Ponens. Ta xˆay
du
.
.
ng dˆa
˜
n xuˆa
´
tcu
’
a cˆong th´u
.
c A→Atrong L nhu
.
sau:
1. (A→((A→A) →A)) → (( A→(A→A)) → ( A→A))
(A2)
2. A→((A→A) →A) (A1)
3. (A→(A→A)) → (A→A) (1, 2, MP)
4. (A→(A→A)) (A1)
5. (A→A) (3, 4, MP)
Vˆa
.
y theo
di
.
nh ngh˜ıa 2.1.2 & 2.1.3 ta c´o:



A→A 
2.1.4 Di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
Trong nhiˆe
`
uch´u
.
ng minh cu
’
ahˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
, ta thu
.
`o
.
ng su
.

’
du
.
ng
di
.
nh l´y
suy diˆe
˜
n sau dˆay:
Di
.
nh l´y 2.1.1 (di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n) Nˆe
´
u Γ l`a tˆa
.
p c´ac cˆong th´u
.
c, A v`a B l`a
c´ac cˆong th´u
.
cv`aΓ, ABth`ı Γ A→B.
Tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p d˘a
.
cbiˆe
.
t, nˆe
´
u ABth`ı A→B(Herbrand).
2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
45
Ch´u
.
ng minh:
Gia
’
su
.
’
B

1
, B
2
B
n
l`a dˆa
˜
n xuˆa
´
tt`u
.
Γ ∪ {A}, trong d´o B
n
= B.Tach´u
.
ng
minh b˘a
`
ng qui na
.
p theo i (i =1 n): Γ A→B
i
.
1) Bu
.
´o
.
c kho
.
’

i
dˆa
`
u i =1:
Khi d´o B
1
ho˘a
.
c l`a phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Γ, ho˘a
.
c l`a tiˆen
dˆe
`
ho˘a
.
c l`a tr`ung v´o
.
i A.
Theo tiˆen
dˆe
`
(A1) cˆong th´u
.

c B
1
→ (A→B
1
) l`a tiˆen dˆe
`
.Dod´o trong
2 tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p dˆa
`
u ta c´o Γ A→B
1
nh`o
.
quy t˘a
´
c Modus Ponens v`a
ch´u´y2.
Tru
.
`o
.
ng ho
.

.
p3: B
1
= A. Khi d´o theo bˆo
’
dˆe
`
2.1.1: A→B
1
.Dod´o
theo ch´u ´y 2 ta c´o: Γ A→B
1
.
2) Gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
p: Gia
’
su
.
’
cˆong th´u
.
cΓA→B
k
d´ung v´o
.

imo
.
i k<i.
3) Ch´u
.
ng minh qui na
.
p:Tach´u
.
ng minh r˘a
`
ng cˆong th´u
.
cc˜ung d´ung v´o
.
i
k = i:
Γ A→B
i
.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta x´et 4 tru
.
`o
.
ng ho
.

.
p c´o thˆe
’
xa
’
yradˆo
´
iv´o
.
i B
i
nhu
.
sau:
B
i
ho˘a
.
c l`a phˆa
`
ntu
.
’
cu
’
a Γ, ho˘a
.
c l`a tiˆen
dˆe
`

, ho˘a
.
cl`aB
i
= A, ho˘a
.
c B
i
dˆa
˜
n du
.
o
.
.
c
tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
c´ac cˆong th´u
.
c B
j
v`a B
m
sao cho

j<i, m<i v`a B
m
= B
j
→B
i
.
Trong 3 tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p dˆa
`
utach´u
.
ng minh tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
i = 1. Tru
.
`o

.
ng
ho
.
.
pth´u
.
4, ta su
.
’
du
.
ng gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
p:
Γ A→B
j
v`a Γ A→(B
j
→B
i
).
Theo tiˆen
dˆe
`
(A2):

 (A→( B
j
→B
i
)) → ((A→B
j
) → (A→B
i
)).
Do
d´o theo qui t˘a
´
c Modus Ponens v`a ch´u´y2:
Γ  (A→B
j
) → (A→B
i
).
46 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
Ta´apdu

.
ng mˆo
.
tlˆa
`
nn˜u
.
a qui t˘a
´
c Modus Ponens:
Γ  (A→B
i
).
Vˆa
.
ytach´u
.
ng minh du
.
o
.
.
cr˘a
`
ng:
∀i (i =1, , n): ΓA→B
i
.
Khi
d´o v´o

.
i i = n ta c´o:
Γ A→B
n
,
v`a v`ı B
n
= B, ta c´o:
Γ A→B

Hˆe
.
qua
’
2.1.1
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac cˆong th´u
.
c A, B, C t u `y ´y
(i) A→B, B→CA→C (b˘a
´
ccˆa
`
u)
(ii) A→(B→C), BA→C (ho´an vi
.
gia

’
thiˆe
´
t).
Ch´u
.
ng minh:
(i) Ta xˆay du
.
.
ng dˆa
˜
n xuˆa
´
t sau dˆay:
1. A→B (gia
’
thiˆe
´
t)
2. B→C (gia
’
thiˆe
´
t)
3. A (gia
’
thiˆe
´
t)

4. B (1, 3, MP)
5. C (2, 4, MP)
Vˆa
.
yt`u
.
1 - 5 ta c´o:
A→B, B→C, AC.
Theo
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:
A→B, B→CA→C

2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe
`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
47
(ii) Ta xˆay du
.
.

ng dˆa
˜
n xuˆa
´
tnhu
.
sau:
1. A→(B→C) (gia
’
thiˆe
´
t)
2. B (gia
’
thiˆe
´
t)
3. A (gia
’
thiˆe
´
t)
4. B→C (1, 3, MP)
5. C (2, 4, MP)
Vˆa
.
yt`u
.
1 – 5 ta c´o:
A→(B→C), B, AC.

Theo di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n:
A→(B→C) , BA→C 
Dˆe
’
nh`ın r˜o ho
.
nt´ınh chˆa
´
t ho´an vi
.
gia
’
thiˆe
´
t ta ´ap du
.
ng thˆem di
.
nh l´y
suy diˆe
˜
n:
A→(B→C) B→(A→C)
´
Ap du
.

ng mˆo
.
tlˆa
`
nn˜u
.
a di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n, ta c´o:
 (A→( B→C)) → (B→(A→C)).
Hˆe
.
qua
’
2.1.2
Dˆo
´
iv´o
.
ibˆa
´
tk`y c´ac cˆong th´u
.
c A, B c´ac cˆong th´u
.
c sau dˆay
dˆe
`

ul`adi
.
nh l´y trong L:
a) ¬¬B → B
b) B → ¬¬B
c) ¬A → (A→B)
d) (¬B → ¬A) → (A→B)
e) (A→B) → (¬B → ¬A)
48 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
f) A→(¬B → ¬(A→B))
g) (A→B) → ((¬A → B) →B).
Ch´u
.
ng minh:
a) 

¬¬B → B
Ta xˆay du
.
.

ng dˆa
˜
n xuˆa
´
tnhu
.
sau:
1. ( ¬B → ¬¬B) → ((¬B → ¬B ) →B) (A3)
2. ¬B → ¬B (bˆo
’
dˆe
`
2.1.1)
3. ( ¬B → ¬¬B) →B (1, 2, ho´an vi
.
gia
’
thiˆe
´
t)
4. ¬¬B → (¬B → ¬¬B) (A1)
5. ¬¬B → B (3, 4, b˘a
´
ccˆa
`
u)
Vˆa
.
yt`u
.

1 – 5 ta c´o:


¬¬B → B.

b) 

B → ¬¬B
1. ( ¬¬¬B → ¬B) → ((¬¬¬B → B) → ¬¬B) (A3)
2. ¬¬¬B → ¬B (theo a))
3. ( ¬¬¬B → B) → ¬¬B (1, 2, MP)
4. B→(¬¬¬B → B) (A1)
5. B → ¬¬B (3, 4, b˘a
´
ccˆa
`
u)
Vˆa
.
yt`u
.
1 - 5 ta c´o:


B → ¬¬B.

2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe
`

trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
49
c) 

¬A → (A→B)
1. ¬A (gia
’
thiˆe
´
t)
2. A (gia
’
thiˆe
´
t)
3. A→(¬B → A) (A1)
4. ¬A → (¬B → ¬A) (A1)
5. ¬B → A (2, 3, MP)
6. ¬B → ¬A (1, 4, MP)
7. ( ¬B → ¬A) → ((¬B → A) →B) (A3)
8. ( ¬B → A) →B (6, 7, MP)
9. B (5, 8, MP)
Vˆa
.
yt`u

.
1 - 9 ta c´o:
¬A, A

B.
´
Ap du
.
ng
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:
¬A 

A→B
´
Ap du
.
ng mˆo
.
tlˆa
`
nn˜u
.
a di
.
nh l´y suy diˆe
˜

n ta c´o:


¬A → (A→B).

d) 

(¬B → ¬A) → (A→B)
1. ¬B → ¬A (gia
’
thiˆe
´
t)
2. A (gia
’
thiˆe
´
t)
3. ( ¬B → ¬A) → ((¬B → A) →B) (A3)
4. A→(¬B → A) (A1)
5. ( ¬B → A) →B (1, 3, MP)
50 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh

dˆe
`
6. A→B (4, 5, b˘a
´
ccˆa
`
u)
7. B (2, 6, MP)
Vˆa
.
yt`u
.
1 - 7 ta c´o:
¬B → ¬A, A

B
´
Ap du
.
ng
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n:
¬B→¬AA→B
´
Ap du
.
ng mˆo

.
tlˆa
`
nn˜u
.
a di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:


(¬B → ¬A) → (A→B)

e) 

(A→B) → (¬B → ¬A)
1. A→B (gia
’
thiˆe
´
t)
2. ¬¬A → A (theo a))
3. ¬¬A → B (1, 2, b˘a
´
ccˆa
`
u)
4. B → ¬¬B (theo b))
5. ¬¬A → ¬¬B (3, 4, b˘a

´
ccˆa
`
u)
6. ( ¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) (theo d))
7. ¬B → ¬A (5, 6, MP)
Vˆa
.
yt`u
.
1 – 7 ta c´o:
A→B

¬B → ¬A.
´
Ap du
.
ng
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:


(A→B) → (¬B → ¬A.)

2.1. Hˆe
.
tiˆen dˆe

`
trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
51
f) 

A→(¬B → ¬(A→B))
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng: A, A→BB.
´
Ap du
.
ng 2 lˆa
`
n
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:
A→((A→B) →B) (1)

M˘a
.
t kh´ac theo e) ta c´o:
 (( A→B) →B) → (¬B → ¬(A→B)) (2)
´
Ap du
.
ng (1), (2) v`a Hˆe
.
qua
’
b˘a
´
ccˆa
`
u ta c´o:


A→(¬B → ¬(A→B)).

g) 

(A→B) → ((¬A → B) →B)
1. A→B (gia
’
thiˆe
´
t)
2. ¬A → B (gia
’

thiˆe
´
t)
3. ( A→B) → (¬B → ¬A) (theo e))
4. ¬B → ¬A (1, 3, MP)
5. ( ¬A → B) → (¬B → ¬¬A) (the e))
6. ¬B → ¬¬A (2,5 MP)
7. ( ¬B → ¬¬A) → ((¬B → ¬A) →B) (A3)
8. ( ¬B → ¬A) →B (6, 7, MP)
9. B (4, 8, MP)
Vˆa
.
yt`u
.
1 - 9 ta c´o:
A→B, ¬A → B  B
´
Ap du
.
ng hai lˆa
`
n
di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n ta c´o:


(A→B) → ((¬A → B) →B).


52 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
2.2 Nguyˆen l´y suy diˆe
˜
nv`ab`ai to´an lˆa
.
pluˆa
.
n
trong logic mˆe
.
nh
dˆe
`
2.2.1 Nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n
Di
.
nh ngh˜ıa 2.2.1 Mˆo

.
ttˆa
.
p cˆong th´u
.
c S = {A
1
, A
2
, , A
n
} du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphi
mˆau thuˆa
˜
n,nˆe
´
utˆo
`
nta
.
imˆo
.
t minh hoa

.
t´u
.
cl`amˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.
chˆan
l´y dˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong hˆe
.
S sao cho mo
.
i A
i
(i =1 n) dˆe
`
u nhˆa
.

n
gi´a tri
.
d´ung; Tr´ai la
.
i, S du
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆau thuˆa
˜
n,nˆe
´
u khˆong c´o mˆo
.
t minh hoa
.
n`ao nhu
.
vˆa
.
y.
Di
.
nh ngh˜ıa 2.2.2 Cˆong th´u
.
c A du

.
o
.
.
cgo
.
i l`a logic k´eo theo t`u
.
tˆa
.
p c´ac cˆong
th ´u
.
c S,nˆe
´
u trong mo
.
i minh hoa
.
m`a ta
.
i
d´o c´ac cˆong th´u
.
c thuˆo
.
c S
dˆe
`
u nhˆa

.
n
gi´a tri
.
d´ung th`ı A c˜ung d´ung. Khi d´o ta k´yhiˆe
.
u:
S |= A.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d˘a
.
cbiˆe
.
t, nˆe
´
u S = ∅ th`ı khi d´o |= A ngh˜ıa l`a cˆong th´u
.
c A
l`a h˘a
`
ng
d´ung. Dˆe
˜
d`ang ch´u

.
ng minh du
.
o
.
.
c c´ac t´ınh chˆa
´
t sau.
Di
.
nh l´y 2.2.1 (nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n)
V´o
.
imo
.
i cˆong th´u
.
c A, B, H
1
, H
2
, , H
n
ta c´o:
1. A|= B⇔|=(A→B)
2. {H
1

, H
2
, , H
n
}|= A⇔|= H
1
∧H
2
∧ ∧H
n
→A
3. {H
1
, H
2
, , H
n
}|= A⇔{H
1
, H
2
, , H
n
, ¬A} |= F
2.2.2 B`ai to´an lˆa
.
p luˆa
.
n trong logic mˆe
.

nh dˆe
`
Trong nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
’
a logic mˆe
.
nh
dˆe
`
v`ao c´ac hˆe
.
tr´ı tuˆe
.
nhˆan ta
.
o, ta
thu
.
`o
.
ng g˘a
.
p b`ai to´an lˆa
.

p luˆa
.
n(reasoning) sau dˆay:
2.2. Nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n v`a b`ai to´an lˆa
.
p luˆa
.
n trong logic mˆe
.
nh dˆe
`
53
Cho mˆo
.
tco
.
so
.
’
tri th´u
.
c S gˆo
`
m c´ac cˆong th´u
.
c H
1
, H

2
, , H
n
v`a mˆo
.
t cˆong
th ´u
.
c d´ıch (Goal)l`aA.Ho
’
ir˘a
`
ng A c´o pha
’
i l`a logic k´eo theo t`u
.
hˆe
.
S hay
khˆong?
T´u
.
cl`a
S = {H
1
, H
2
, , H
n
}|= A?

Theo nguyˆen l´y suy diˆe
˜
n, ta lˆa
.
phˆe
.
m´o
.
i S

= {H
1
, H
2
, , H
n
, ¬A} c´o l`a
mˆau thuˆa
˜
n hay khˆong?
M˘a
.
t kh´ac, ta
d˜a biˆe
´
tmˆo
˜
imˆo
.
t cˆong th´u

.
cmˆe
.
nh dˆe
`
dˆe
`
utu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
i
hˆo
.
icu
’
amˆo
.
ttˆa
.
p c´ac Clause, trong d´o mˆo
˜
i Clause l`a tuyˆe
’

ncu
’
amˆo
.
tsˆo
´
c´ac
literal (o
.
’
dˆay literal l`a mˆo
.
tk´yhiˆe
.
umˆe
.
nh dˆe
`
ho˘a
.
cphu
’
di
.
nh cu
’
ak´yhiˆe
.
umˆe
.

nh
dˆe
`
). Do d´o nˆe
´
u ta thay trong hˆe
.
S

mˆo
˜
i cˆong th´u
.
cbo
.
’
ihˆo
.
i c´ac Clause tu
.
o
.
ng
´u
.
ng, th`ı ta du
.
o
.
.

c S

tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
ihˆo
.
i c´ac Clause v`a b`ai to´an S

|= A du
.
o
.
.
c
qui vˆe
`
b`ai to´an: mˆo
.
ttˆa
.
p c´ac Clause (m`a hˆo
.
itu
.

o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
itˆa
.
p S

) c´o l`a
mˆau thuˆa
˜
n hay khˆong?
Phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.
`o
.
ng du
.
o
.
.
cd`ung l`a phu

.
o
.
ng ph´ap phˆan gia
’
i(resolution)
cu
’
a Robinson dˆe
`
xuˆa
´
t m`a nˆo
.
i dung c´o thˆe
’
tr`ınh b`ay so
.
lu
.
o
.
.
cnhu
.
sau:
Gia
’
su
.

’
S c´o hai Clause:
C
1
= D
1
∨ Q v`a C
2
= D
2
∨¬Q, trong d´o Q l`a k´y hiˆe
.
umˆe
.
nh dˆe
`
. Khi d´o
ta lˆa
.
p Clause m´o
.
i C = D
1
∨ D
2
b˘a
`
ng c´ach khu
.
’

k´yhiˆe
.
umˆe
.
nh
dˆe
`
Q v`a ¬Q
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng trong C
1
v`a C
2
rˆo
`
ilˆa
.
p tuyˆe
’
nm´o
.
i C. Khi d´o C du
.
o
.

.
cgo
.
il`agia
’
i
th´u
.
c t`u
.
c´ac Clause C
1
v`a C
2
.Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng {C
1
,C
2
}|= C,v`adod´o
hai tˆa
.
p S v`a S

= S ∪{C} tu

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nhau.
Phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i du
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n trˆen nguyˆen l´y gia
’
i sau dˆay:
Cho S l`a mˆo
.
ttˆa

.
p c´ac Clause. Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
S ta thu
.
.
chiˆe
.
n liˆen tiˆe
´
p c´ac
ph´ep gia
’
ith´u
.
c, t´u
.
c l`a thˆem v`ao S c´ac gia
’
ith´u
.
ccu
’
abˆa
´
t k`y 2 Clause c´o tru
.
´o

.
c
(hai Clause c´o da
.
ng Q v`a ¬Q)chodˆe
´
n khi thu du
.
o
.
.
c gia
’
ith´u
.
crˆo
˜
ng  ho˘a
.
c
khˆong c´o thˆem mˆo
.
t gia
’
ith´u
.
cn`aon˜u
.
ath`ıkˆe
´

tth´uc. Khi d´o tˆa
.
p S l`a mˆau
thuˆa
˜
n, khi v`a chı
’
khi ta thu
du
.
o
.
.
c gia
’
ith´u
.
crˆo
˜
ng .
T`u
.
nguyˆen l´y phˆan gia
’
itac´othˆe
’
´ap du
.
ng cho nhiˆe
`

u c´ach th´u
.
c kh´ac nhau
dˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.
nphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i nh˘a
`
m´u
.
ng du
.
ng trong hˆe
.
tri th´u
.
cch´u
.
ng minh
54 Chu

.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
t´ınh mˆau thuˆa
˜
ncu
’
amˆo
.
ttˆa
.
p c´ac cˆong th´u
.
c logic mˆe
.
nh dˆe
`
ho˘a
.
c logic tˆan t`u
.
(predicate), t´u
.

cl`ahˆo
.
i cu
’
a cˆong th´u
.
c d´o cho ta kˆe
´
t qua
’
l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
c
dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai.
Th´ı du
.
2.2.1
C
1
. P ∨Q
C
2
. Q
C

3
.P





(S)
C
4
P (1, 2, gia
’
ith´u
.
c)
C
5
 (3, 4, gia
’
ith´u
.
c)
Vˆa
.
y ta c´o: S = {
P ∨ Q, Q, P } l`a mˆau thuˆa
˜
n, khi v`a chı
’
khi hˆo

.
icu
’
an´ol`a
cˆong th´u
.
c A =(P ∨ Q) ∧ Q ∧ P l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t sai.
Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta chı
’
cˆa
`
nbiˆe
´
n dˆo
’
inhu
.
sau:
A =(
P ∨ Q) ∧ Q ∧ P
≡ (P ∨ Q) ∧ (Q ∨ P )
≡ (

P ∨ Q)
  
X
∧ ( P ∨ Q)
  
X
= F alse

Ta c´o cˆay dˆa
˜
n xuˆa
´
tcu
’
arˆo
˜
ng  nhu
.
sau:
2.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh l´y trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe

`
55
2.3 Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh l´y trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
2.3.1 T´ınh dˆa
`
y du
’
Di
.
nh l´y 2.3.1 Mˆo
˜
imˆo
.
t di
.
nh l´y cu
’
al´y thuyˆe
´

t tiˆen dˆe
`
L dˆe
`
ul`adˆo
`
ng nhˆa
´
t
d´ung.
Ch´u
.
ng minh:Tadˆe
˜
d`ang kiˆe
’
m tra du
.
o
.
.
cr˘a
`
ng mˆo
˜
imˆo
.
t tiˆen dˆe
`
t`u

.
(A1) dˆe
´
n
(A3) dˆe
`
ul`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
M˘a
.
t kh´ac theo di
.
nh l´y 1.4.1 (chu
.
o
.
ng 1) qui t˘a
´
c Modus Ponens chuyˆe
’
n
c´ac cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´

t d´ung th`anh cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. Diˆe
`
u d´o
ch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng mˆo
˜
imˆo
.
t di
.
nh l´ycu
’
a l´y thuyˆe
´
t tiˆen dˆe
`
L dˆe
`
ul`adˆo

`
ng nhˆa
´
t
d´ung. 
Bˆo
’
dˆe
`
2.3.1 Gia
’
su
.
’
A l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
cmˆe
.
nh dˆe
`
v`a B
1
,B
2
, , B
k
l`a c´ac
biˆe

´
n c´o m˘a
.
t trong A. Dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
n
B

1
,B

2
, , B

k
nhu

.
sau:
B

i
=

B
i
, nˆe
´
u B
i
= T
¬B
i
, nˆe
´
u B
i
= F
v`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
cm´o
.
i A

.

A

=

A, nˆe
´
u A nhˆa
.
n gi´a tri
.
T dˆo
´
iv´o
.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n´oi trˆen
¬A, nˆe
´
u A nhˆa
.
n gi´a tri
.
F dˆo
´
iv´o

.
ibˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n´oi trˆen
Khi
d´o ta c´o:
B

1
,B

2
, , B

k
A

.
Th´ı du
.
2.3.1 Cho A = ¬(¬A → B). Ta lˆa
.
pba
’
ng gi´a tri
.

chˆan l´ycu
’
a cˆong
th ´u
.
c A nhu
.
sau:
56 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
AB¬(¬A → B)
TT F
TF
F
FT
F
FF T
Gia
’
su
.

’
ta lˆa
´
ybˆo
.
phˆan bˆo
´
o
.
’
d`ong th´u
.
3: (F, T ) → F th`ı khi d´o ta c´o
(theo A

cu
’
aBˆo
’
dˆe
`
2.3.1):
¬A, B ¬¬( ¬A → B)hayl`a
¬A, B  (¬A → B).
C`on nˆe
´
ulˆa
´
y d`ong th´u
.

4: (F, F ) → T th`ı ta c´o:
¬A, ¬B ¬(¬A → B).
Ch´u
.
ng minh:Tach´u
.
ng minh b˘a
`
ng qui na
.
p theo n l`a sˆo
´
c´ac ph´ep to´an c´o
m˘a
.
t trong cˆong th ´u
.
c A.
1. n = 0: Khi d´o A chı
’
ch´u
.
a d´ung mˆo
.
tbiˆe
´
n B
1
v`a ta dˆe
˜

d`ang c´o du
.
o
.
.
c:
B
1
 B
1
v`a ¬B
1
¬B
1
luˆon luˆon d´ung.
2. Gia
’
su
.
’
bˆo
’
dˆe
`
d´ung v´o
.
imo
.
i j<n.
3. Ch´u

.
ng minh qui na
.
p: bˆo
’
dˆe
`
c˜ung d´ung v´o
.
i j = n.
Ta x´et c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau dˆay:
• Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p1: A = ¬B, trong d´o B c´o ´ıt ho
.
n n ph´ep to´an. X´et
mˆo
.

tbˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n`ao d´o c´ac gi´a tri
.
chˆan l´ycu
’
a c´ac biˆe
´
nc´om˘a
.
t
trong A.
(1a) Nˆe
´
u B nhˆa
.
n gi´a tri
.
T th`ı B

= B v`a A nhˆa
.
n gi´a tri
.
F dˆo
´

iv´o
.
i
bˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n`ay. Khi d´o ta c´o cˆong th´u
.
c:
A

= ¬A = ¬¬B = B = B

.
2.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh l´y trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
57

Theo gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
pcu
’
a B : B

1
,B

2
, , B

k
B

,dod´o:
B

1
,B

2
, , B

k
B.Vˆa

.
y B

1
,B

2
, , B

k
A

.
(1b) Nˆe
´
u B nhˆa
.
n gi´a tri
.
F th`ı B

= ¬B v`a A nhˆa
.
n gi´a tri
.
T dˆo
´
i
v´o
.

ibˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
n`ay. Do d´o ta c´o cˆong th´u
.
c:
A

= A = ¬B.
Theo gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
pcu
’
a B: B

1
,B

2
, , B

k
B


,nˆen ta c´o:
B

1
,B

2
, , B

k
¬B
Vˆa
.
y B

1
,B

2
, , B

k
A

.
• Tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p2: A =(B→C), trong d´o B v`a C c´o sˆo
´
ph´ep to´an ´ıt
ho
.
n n so v´o
.
i A. Khi d´o, theo gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
p:
B

1
,B

2
, , B

k
B

v`a B


1
,B

2
, , B

k
C

.
(2a) Nˆe
´
u B nhˆa
.
n gi´a tri
.
F th`ı A nhˆa
.
n gi´a tri
.
T . Khi d´o cˆong th ´u
.
c
B

= ¬B v`a A

= A.Dod´o B

1

,B

2
, , B

k
¬B

.
M˘a
.
t kh´ac, theo hˆe
.
qua
’
2.1.2 (c) v`a qui t˘a
´
c MP:
B

1
,B

2
, , B

k
B→C,nhu
.
ng B→Cch´ınh l`a A


.
Vˆa
.
y B

1
,B

2
, , B

k
A

.
(2b) Nˆe
´
u C nhˆa
.
n gi´a tri
.
T th`ı A c˜ung nhˆa
.
n gi´a tri
.
T .Do
d´o C

= C

v`a A

= A. Theo gia
’
thiˆe
´
t qui na
.
p: B

1
,B

2
, , B

k
Cv`a tiˆen dˆe
`
(A1) ta c´o: B

1
,B

2
, , B

k
B→Cnh`o
.

qui t˘a
´
c Modus Ponens,
nhu
.
ng B→Cch´ınh l`a A

.Vˆa
.
y B

1
,B

2
, , B

k
A

.
(2c) Nˆe
´
u B nhˆa
.
n gi´a tri
.
T v`a C nhˆa
.
n gi´a tri

.
F th`ı A nhˆa
.
n gi´a tri
.
F .Dod´o B

= B, C

= ¬C v`a A

= ¬A.
Ta c´o: B

1
,B

2
, , B

k
Bv`a B

1
,B

2
, , B

k

¬C.Dod´o theo hˆe
.
qua
’
2.1.2 (f) v`a qui t˘a
´
c Modus Ponens: B

1
,B

2
, , B

k
¬(B→C),
nhu
.
ng ¬(B→C) ch´ınh l`a A

.
Vˆa
.
y B

1
,B

2
, , B


k
A


58 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
Di
.
nh l´y 2.3.2 Nˆe
´
u A l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
c dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung trong L th`ı A l`a
mˆo

.
t di
.
nh l´y trong L.
Ch´u
.
ng minh: Gia
’
su
.
’
A l`a
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung v`a B

1
,B

2
, , B

k
l`a c´ac biˆe
´
nc´o
m˘a
.

t trong cˆong th´u
.
c A. Dˆo
´
iv´o
.
ibˆa
´
tk`ymˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
I
0
c´ac gi´a tri
.
chˆan l´y
cu
’
a c´ac biˆe
´
n B
1
,B
2
, , B
k
ch´ung ta c´o B


1
,B

2
, , B

k
A(Theo bˆo
’
dˆe
`
2.3.1
v`a A

= A v`ı A dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung).
Do d´o, nˆe
´
u B
k
nhˆa
.
n gi´a tri
.
T th`ı B


1
,B

2
, , B

k−1
,B
k
A,v`anˆe
´
u B
k
nhˆa
.
n gi´a tri
.
F th`ı B

1
,B

2
, , B

k−1
, ¬B
k
A.
M˘a

.
t kh´ac, theo di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n: B

1
,B

2
, , B

k−1
 B
k
→Av`a B

1
,B

2
, ,
B

k−1
¬B
k
→A.
Do d´o theo Hˆe

.
qua
’
2.1.2 (g) v`a qui t˘a
´
c Modus Ponens:
B

1
,B

2
, , B

k−1
A.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, B
k−1
c´o thˆe
’
nhˆa
.
n gi´a tri

.
T ho˘a
.
c F , ´ap du
.
ng di
.
nh l´y suy diˆe
˜
n
v`a hˆe
.
qua
’
2.1.2 (g), ta c´o thˆe
’
loa
.
itr`u
.
B

k−1
d´ung nhu
.
B

k
. Khi d´o chı
’

cˆa
`
n
thu
.
.
chiˆe
.
n sau k bu
.
´o
.
c ta c´o: 

A 
T`u
.
di
.
nh l´y 2.3.1 v`a di
.
nh l´y 2.3.2 ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay:
Di
.
nh l´y 2.3.3 (dˆa
`
y du
’

)
Trong l´y thuyˆe
´
t tiˆen
dˆe
`
L,l´o
.
p c´ac di
.
nh l´y tr`ung v´o
.
il´o
.
p c´ac cˆong th´u
.
c
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
2.3.2 T´ınh phi mˆau thuˆa
˜
n
Di
.
nh l´y 2.3.4 (phi mˆau thuˆa
˜
n)

Hˆe
.
L l`a phi mˆau thuˆa
˜
n, ngh˜ıa l`a trong L khˆong tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t cˆong th´u
.
c A
sao cho A v`a ¬A dˆe
`
ul`adi
.
nh l´y.
Ch´u
.
ng minh: Theo di
.
nh l´y dˆa
`
y du
’
:mˆo
˜
imˆo
.

t di
.
nh l´y cu
’
a l´y thuyˆe
´
t tiˆen dˆe
`
L l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung nˆen phu
’
di
.
nh cu
’
a n´o l`a khˆong dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung. Do d´o
khˆong thˆe
’
tˆo
`
nta
.
imˆo

.
t cˆong th´u
.
c A sao cho A v`a ¬A dˆe
`
ul`adi
.
nh l´y.
2.3. Mˆo
.
tsˆo
´
di
.
nh l´y trong hˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
59
2.3.3 T´ınh dˆo
.
clˆa
.
p
Di
.
nh ngh˜ıa 2.3.1 Mˆo
.

ttˆa
.
p con X cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p c´ac tiˆen
dˆe
`
du
.
o
.
.
cgo
.
il`a
dˆo
.
c
lˆa
.
p,nˆe
´
u khˆong c´o mˆo
.
t tiˆen dˆe

`
n`ao cu
’
a X l`a dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
c´ac tiˆen dˆe
`
c`on la
.
i
khˆong thuˆo
.
c X.
Di
.
nh l´y 2.3.5 (dˆo
.
clˆa
.
p)
Mˆo
˜
imˆo

.
t tiˆen
dˆe
`
t`u
.
(A1) dˆe
´
n (A3) dˆe
`
ul`adˆo
.
clˆa
.
p.
Ch´u
.
ng minh:Phu
.
o
.
ng ph´ap chung dˆe
’
ch´u
.
ng minh t´ınh dˆo
.
clˆa
.
pcu

’
amˆo
.
t tiˆen
dˆe
`
A, ta pha
’
icho
.
n ra mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
t P n`ao d´o sao cho:
• Mˆo
˜
i tiˆen dˆe
`
kh´ac A dˆe
`
u c´o t´ınh chˆa
´
t P .
• Qui t˘a
´
c Modus Ponens c´o t´ınh chˆa
´
t P :nˆe
´

u A→Bv`a A c´o t´ınh chˆa
´
t P
th`ı B c˜ung c´o t´ınh chˆa
´
t P .
• Tiˆen
dˆe
`
A khˆong c´o t´ınh chˆa
´
t P .
a) T´ınh
dˆo
.
clˆa
.
pcu
’
a tiˆen dˆe
`
(A1)
X´et c´ac ba
’
ng sau
dˆay
A ¬ AABA → B
01 00 0
11 10 2
20 20 0

01 2
11 2
21 0
02 2
12 0
22 0
60 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
Gia
’
su
.
’
cho mˆo
.
tbˆo
.
phˆan bˆo
´
c´ac gi´a tri
.

0, 1, 2 cu
’
a c´ac biˆe
´
n c´o m˘a
.
t trong
cˆong th´u
.
c A. Khi d´o nh`o
.
hai ba
’
ng n`ay ta x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
cmˆo
.
t gi´a tri
.
tu
.
o
.
ng ´u
.

ng cu
’
a cˆong th´u
.
c A.Tadu
.
a ra mˆo
.
t t´ınh chˆa
´
t P nhu
.
sau:
Nˆe
´
u A luˆon luˆon nhˆa
.
n gi´a tri
.
0th`ıA
du
.
o
.
.
cgo
.
il`acho
.
n (select). Ta dˆe

˜
d`ang kiˆe
’
m tra du
.
o
.
.
cr˘a
`
ng c´ac tiˆen dˆe
`
(A2) v`a (A3) dˆe
`
u c´o t´ınh chˆa
´
t
cho
.
n.Nhu
.
ng tiˆen dˆe
`
(A1): (A → (B → A)) khˆong c´o t´ınh chˆa
´
t cho
.
n,
v`ır˘a
`

ng cˆong th´u
.
c n`ay nhˆa
.
n gi´a tri
.
l`a 2 khi A =1v`aB =2.
b) T´ınh
dˆo
.
clˆa
.
pcu
’
a tiˆen dˆe
`
(A2)
X´et c´ac ba
’
ng sau
dˆay
A ¬ AABA → B
01 00 0
10 10 0
21 20 0
01 2
11 2
21 0
02 1
12 0

22 0
Ta go
.
imˆo
.
t cˆong th´u
.
c luˆon luˆon nhˆa
.
n gi´a tri
.
0tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i hai ba
’
ng
n`ay l`a k`ycu
.
c (grotesque). Dˆe
˜
d`ang kiˆe
’
m tra
du

.
o
.
.
cr˘a
`
ng qui t˘a
´
c Modus
Ponens c´o t´ınh chˆa
´
tk`ycu
.
c v`a c´ac tiˆen dˆe
`
(A1) v`a (A3) dˆe
`
u c´o t´ınh
chˆa
´
tk`ycu
.
c. Tuy nhiˆen tiˆen dˆe
`
(A2): (A → (B → C)) → ((A → B) →
(A → C)) khˆong c´o t´ınh chˆa
´
tk`ycu
.
c,v`ır˘a

`
ng cˆong th´u
.
c n`ay nhˆa
.
n gi´a
tri
.
l`a 2 khi A =0,B=0v`aC =1.
c) T´ınh dˆo
.
clˆa
.
pcu
’
a tiˆen dˆe
`
(A3) Gia
’
su
.
’
A l`a mˆo
.
t cˆong th´u
.
c. Khi d´o h(A)
l`a cˆong th´u
.
c nhˆa

.
n du
.
o
.
.
ct`u
.
A b˘a
`
ng c´ach bo
’
di tˆa
´
tca
’
c´ac dˆa
´
uphu
’
di
.
nh
(¬) c´o m˘a
.
t trong A.Tadˆe
˜
d`ang kiˆe
’
m tra

du
.
o
.
.
cr˘a
`
ng mˆo
˜
imˆo
.
t cˆong
2.4. Gi´o
.
i thiˆe
.
u v`ai n´et vˆe
`
logic
da tri
.
61
th ´u
.
c A thuˆo
.
ctˆa
.
p tiˆen dˆe
`

(A1) − (A2) c´o t´ınh chˆa
´
t h(A)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t
d´ung.
Qui t˘a
´
t Modus Ponens c´o t´ınh chˆa
´
t h(A)
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung
Nˆe
´
u h(A→B)l`adˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung v`a h(A)-dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung th`ı h(B)
c˜ung

dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.
Ch´u´yr˘a
`
ng h(A→B)=h(A) → h(B).
Do vˆa
.
ybˆa
´
tk`ymˆo
.
t cˆong th´u
.
c A dˆa
˜
n du
.
o
.
.
ct`u
.
(A1) − ( A2) nh`o
.
qui t˘a
´
c

Modus Pones c´o t´ınh chˆa
´
tl`ah(A) dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.Nhu
.
ng [h((¬A →
¬A) → (( ¬A → A) → A)) =
(A → A) → ((A → A) → A)] l`a khˆong
dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.Dod´o cˆong
th ´u
.
c(¬A →¬A) → ((¬A → A) → A) l`a tiˆen dˆe
`
(A3), nhu
.
ng cˆong
th ´u
.
c n`ay khˆong dˆa
˜
n du
.
o

.
.
ct`u
.
(A1)-(A2) nh`o
.
qui t˘a
´
c Modus Ponens. 
2.4 Gi´o
.
i thiˆe
.
uv`ai n´et vˆe
`
logic
da tri
.
Tu
.
tu
.
o
.
’
ng
du
.
o
.

.
csu
.
’
du
.
ng
dˆe
’
ch´u
.
ng minh t´ınh dˆo
.
clˆa
.
pcu
’
a tiˆen dˆe
`
(A1) −
(A2) c´o thˆe
’
tˆo
’
ng qu´at ho´a cho kh´ai niˆe
.
m logic da tri
.
.Tago
.

i c´ac sˆo
´
0, 1, 2, , n
l`a “gi´a tri
.
chˆan l´y” v`a gia
’
su
.
’
0 ≤ m<n. C´ac sˆo
´
0, 1, 2, , m
du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a c´ac
gi´a tri
.
thiˆe
´
tkˆe
´
(designated values). Ta su
.
’

du
.
ng mˆo
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
n c´ac “ba
’
ng
chˆan l´y” dˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n c´ac h`am cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p {0, 1, 2, , n} v`ao ch´ınh n´o. Dˆo
´
i
v´o

.
imˆo
˜
imˆo
.
tba
’
ng ta du
.
a v`ao mˆo
.
tdˆa
´
uhiˆe
.
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng du
.
o
.
.
cgo
.
il`aliˆen kˆe
´

t.
Su
.
’
du
.
ng c´ac liˆen kˆe
´
t n`ay v`a c´ac biˆe
´
nlˆe
.
nh, ta c´o thˆe
’
xˆay du
.
.
ng c´ac “cˆong th´u
.
c
lˆe
.
nh”, v`a mˆo
˜
imˆo
.
t cˆong th´u
.
clˆe
.

nh x´ac di
.
nh mˆo
.
t “h`am chˆan l´y” cu
’
atˆa
.
pho
.
.
p
{0, 1, 2, , n} v`ao ch´ınh n´o. Mˆo
.
t cˆong th´u
.
clˆe
.
nh m`a h`am chˆan l´ytu
.
o
.
ng ´u
.
ng
cu
’
a n´o chı
’
nhˆa

.
n c´ac gi´a tri
.
thiˆe
´
tkˆe
´
du
.
o
.
.
cgo
.
il`aphi thu
.
`o
.
ng (exceptional).
C´ac sˆo
´
n, m v`a c´ac ba
’
ng chˆan l´yco
.
ba
’
n x´ac di
.
nh cho ta mˆo

.
t logic da tri
.
M.
L´y thuyˆe
´
t tiˆen dˆe
`
c´o su
.
’
du
.
ng c´ac biˆe
´
nlˆe
.
nh v`a c´ac liˆen kˆe
´
tcu
’
a M
du
.
o
.
.
cgo
.
i

l`a th´ıch ho
.
.
p (suitable) dˆo
´
iv´o
.
i M, khi v`a chı
’
khi tˆa
.
ptˆa
´
tca
’
c´ac di
.
nh l´y cu
’
a
l´y thuyˆe
´
t n`ay tr`ung v´o
.
itˆa
.
p c´ac cˆong th´u
.
c phi thu
.

`o
.
ng cu
’
a M.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p, nˆe
´
u n =1v`am = 0, v`a c´ac ba
’
ng chˆan l´y d˜a cho dˆo
´
i
62 Chu
.
o
.
ng 2. Hˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`

v´o
.
i hai ph´ep to´an ¬, → trong chu
.
o
.
ng tru
.
´o
.
cth`ıo
.
’
dˆay l`a logic 2 - gi´a tri
.
cu
’
a
chu
.
o
.
ng mu
.
c n`ay. C´ac cˆong th´u
.
c phi thu
.
`o
.

ng trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay du
.
o
.
.
cgo
.
i
l`a dˆo
`
ng nhˆa
´
t d´ung.Hˆe
.
L l`a mˆo
.
t th`anh cˆong dˆo
´
iv´o
.
i logic n`ay nhu
.
c´ac di

.
nh
l´y 2.3.1 v`a 2.3.3 d˜a ch´u
.
ng minh. Trong c´ac ch´u
.
ng minh vˆe
`
t´ınh dˆo
.
clˆa
.
pcu
’
a
c´ac tiˆen dˆe
`
(A1) - (A2) ngu
.
`o
.
itad˜a su
.
’
du
.
ng logic 3 - gi´a tri
.
{0, 1, 2}.
2.5 T´ınh quyˆe

´
t di
.
nh cu
’
ahˆe
.
to´an mˆe
.
nh
dˆe
`
Di
.
nh l´y 2.5.1 Tˆo
`
nta
.
imˆo
.
t thuˆa
.
t to´an sao cho v´o
.
imo
.
i cˆong th´u
.
cmˆe
.

nh dˆe
`
A bˆa
´
tk`y: A c´o pha
’
il`adi
.
nh l´y cu
’
ahˆe
.
to´an mˆe
.
nh dˆe
`
L hay khˆong l`a quyˆe
´
t
di
.
nh du
.
o
.
.
c.
Ch´u
.
ng minh:Dˆe

˜
d`ang nhˆa
´
tl`atad`ung phu
.
o
.
ng ph´ap lˆa
.
pba
’
ng chˆan l´y cho
mo
.
i cˆong th´u
.
cbˆa
´
tk`y dˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
nmˆe
.
nh dˆe
`
c´o m˘a
.

t trong cˆong th´u
.
c d´o,
v`a ta c´o thˆe
’
xˆay du
.
.
ng thuˆa
.
t to´an dˆe
’
quyˆe
´
t di
.
nh v´o
.
imo
.
i cˆong th´u
.
c A: A c´o
pha
’
i l`a h˘a
`
ng d´ung hay khˆong.
M˘a
.

t kh´ac theo
di
.
nh l´y dˆa
`
y du
’
2.3.3: A l`a h˘a
`
ng d´ung khi v`a chı
’
khi A l`a
di
.
nh l´y trong L. Do vˆa
.
y thuˆa
.
t to´an d´o c˜ung quyˆe
´
t di
.
nh du
.
o
.
.
cv´o
.
imo

.
i cˆong
th ´u
.
c A bˆa
´
tk`y: A c´o pha
’
il`adi
.
nh l´y trong L hay khˆong.
2.6 Mˆo
.
tsˆo
´
hˆe
.
tiˆen dˆe
`
kh´ac
Ngo`ai hˆe
.
tiˆen dˆe
`
L d˜a tr`ınh b`ay o
.
’
trˆen c`on c´o nhiˆe
`
uhˆe

.
tiˆen
dˆe
`
kh´ac c˜ung
rˆa
´
t thuyˆe
´
t phu
.
c. Ta c´o thˆe
’
thay c´ac ph´ep to´an ¬, → du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a c´ac ph´ep
to´an nguyˆen thuy
’
b˘a
`
ng c´ac ph´ep to´an th´ıch ho
.
.
p kh´ac dˆe
’

x´ac di
.
nh mo
.
i liˆen
kˆe
´
t kh´ac vˆe
`
chˆan l´y – h`am.
Th´ı du
.
2.6.1 C´ac hˆe
.
tiˆen
dˆe
`
L1,L2v`aL4 sau dˆay:
L1: - C´ac ph´ep to´an nguyˆen thuy
’
l`a ∨ v`a ¬.
-Ch´ung ta su
.
’
du
.
ng cˆong th´u
.
c A→Bthay b˘a
`

ng ¬A ∨ B.
- C´ac tiˆen
dˆe
`
gˆo
`
m c´o: