Bài tập toán thể tích potx

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a;
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
α
.
Lời giải:

Do (SCI)
⊥
(ABCD) ; (SBI)
⊥
(ABCD)
⇒
SI
⊥
(ABCD)
Kẻ IK
⊥
BC
⇒
SK
⊥
BC (định lý ba đường vuông góc).
Ta có
( )
2
1 1 1
. .(2 )2 .
3 3 2

SABCD ABCD
V S SI a a a SI a SI= = + =
(1)
Mà SI = IK.tg(60
0
) =
3
IK ; BC = BI = a
5
; IC = a
2
BH
2
= BC
2
– HC
2
= 5a
2
–
2
2
2
a
 
 ÷
 ÷
 
=
2

9
2
a

⇒
BH =
3 2
2
a
2
( )
3 2
2
2
3 5
. .
5
5
BIC
a
a
a
S KI BC IC BH KI
a
 
 ÷
 
= = ⇒ = =
Vậy SI =
3 5 3 15

3
5 5
a a
 
=
 ÷
 ÷
 

⇒
3
.
3 15
5
S ABCD
a
V =
(đvtt)
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:
Ta có : BD
⊥
AC; BD
⊥
SA
Þ

BD
⊥
(SAC)
Þ
BD
⊥
SO
Þ

·
( ) ( )
¼
0
, 60SOA SBD ABCD
é ù
= =
ê ú
ë û
0
2 6
tan 60 . 3
2 2
a a
SA OA= = =
3
2
.
1 1 6 6
. . .
3 3 2 6

S ABCD ABCD
a a
V SA S a= = =
(đvdt)
a
D
A
B
C
I
K
2a
60
0
S
D
A
B
C
K
2a
I
H
a
a
O
S
A
B
C

D
Bài 3: Cho hình chóp SABC có góc
( ) ( )
·
0
, 60SBC ABC =
, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a.
Tính thể tích hình chóp S.ABC
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ⊥ BC,
AM ⊥ BC ⇒
·
( )
0
, 60SAM SBC ABC= =

Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng
3
2
a
Do đó
0
1
. . . 60
2
SMA
S SM AM Sin=

16
3a3

2
3
.
4
a3
.
2
1
22
==
Ta có
SABC SBAM SAM
1
V 2V 2. .BM.S
3
= =
16
3a
16
3a
.a.
3
1
32
=
3
=
M
C
B

A
S
M
S
A
B
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,
3SA a=
và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD.
Lời giải:
Thể tích của khối tứ diện SACD là:
3
1 1 3
. . .
3 6 6
SACD ACD
a
V SA S SA DA DC= = =
(đvdt).
O
B
C
A
D
S
60
0
Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
2AD a=

, CD = 2a. Cạnh SA vuông góc
với đáy và
( )
3 2 , 0SA a a= >
. Gọi K là trung điểm của cạnh DC. Chứng minh mặt phẳng (SBK)
vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a.
Lời giải:
Gọi H là giao của AC và BK thì
2 2 3
3 3
a
BH BK= =
và
1 6
3 3
a
CH CA= =

2 2 2 2
2BH CH a BC BK ACÞ + = = Þ ^
.
Từ
BK AC^
và
( ) ( ) ( )
BK SA BK SAC SBK SAC^ Þ ^ Þ ^
2
3
.
1 1 6

. . .3 2.
3 3 2
S BCK BCK
a
V SA S a a= = =
(đvdt)
A
H
S
B
C
D
K
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD (tức SA = SB = SC = SD) và ABCD là hình vuông), cạnh đáy là
a, cạnh bên làm với mặt đáy góc
a
(
4
p
a >
). Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và
a
.
Lời giải: S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
( )
SH ABCDÞ ^
với H là tâm của hình vuông ABCD.
2
.tan .tan
2

a
SH AH a aÞ = =
Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
2 3
1 1 2 1
. . .tan 2 tan .
3 3 2 6
ABCD
a
V SH S a aa a= = =
H
A
B
C
D
S
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích Q. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy, còn các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt là góc
,a b
. Tính thể tích hình chóp theo
Q,
,a b
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB SAD ABCD
SA ABCD
SAB SAD SA

ì
Ù ^ï
ï
Þ ^
í
ï
Ç =
ï
î
Từ
AB BC SB BC^ Þ ^
(định lý ba đường vuông góc)
ˆ
SBA aÞ =
. Tương tự
ˆ
SDA b=
Gọi các cạnh của hình chữ nhật đáy là AB = a; AD = b; h = SA.
Ta có: Q = a.b
a tan
tan
a tan tan
tan
tan
h
b b a
h b
a
a
a a

b
b
ü
=
ï
ï
Þ = Þ =
ý
ï
=
ï
þ
( )
tan
. 1
tan
Q ab a a
a
b
Þ = =
.tan
tan
Q
a
a
b
Þ =
;
( )
tan

a tan .tan .tan .tan 2
tan
h Q Q
a
a a a b
b
= = =
Từ (1) và (2) cho ta:
3
1 1 1
. . .tan .tan .tan .tan
3 3 3
V Q h Q Q Qa b a b= = =
b
l
a
A
B
C
D
S
Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho
điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích hình chóp B.AMNC (đỉnh B, đáy
AMNC)
Lời giải:
Từ
( )
:
:

MI
AM ABC
AI
ì
ï
ï
^ Þ
í
ï
ï
î
Mà
AI BI^
(định lý ba đường vuông góc)
( )
BI AMNCÞ ^
Do đó h = BI là đường cao hình chóp B.AMNC
Diện tích đáy B của hình chóp B.AMNC là hình thang vuông AMNC.
 =
( ) ( )
1 1
. 2
2 2
AM CN AC m n a+ = +
Thể tích hình chóp B.AMNC là:
( )
( )
+
= = + =
2

1 1 1 2
. . . 2.
3 3 2 2 6
m n a
a
V B h m n a
(ycbt)
D
C
B
A
x
y
I
M
N
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc
·
SAB
α
=
. Tính thể tích hình
chóp S.ABCD theo a,
α
.
Lời giải:
đường xiên
hình chiếu
a
M

O
B
C
A
s
D
Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông (đáy của hình chóp A.ABCD).
Ta có: SO là đường cao của hình chóp

OM AB⊥
SM AB
⇒ ⊥
(định lý ba đường vuông góc)
.tan tan
2
a
SM AM
α α
⇒ = =
Định lý pitago trong
µ
( )
0
90SOM O∆ =
, cho ta:
2 2
2 2 2
tan tan 1 . os2
2 2 2 2cos
a a a a

SO SM MO c
α α α
α
   
= − = − = − = −
 ÷  ÷
   
, với
os2 0.c
α
<
Thể tích hình chóp:
3
2
1 1 os2
. . . . . os2
3 3 2cos 6cos
ABCD
a a c
V SO S a c
α
α
α α
−
= = − =
(đvdt).
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD a.
Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:
O

D
A
C
B
S
M
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
SO⇒
là đường cao hình chóp.
Gọi M là trung điểm AB. Ta có:
OM AB SM AB
⊥ ⇒ ⊥
(định lý ba đường vuông góc).
2 2
2 2
3 2
4 4 2
a a a
h SO SM MO= = − = − =
2
ABCD
S a=
.
2 3
2
1 2 2
. .
3 2 6
a a
V a= =

(đvdt)
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60
0
. Các mặt bên hợp
với đáy góc 60
0
. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Lời giải:

O
C
B
A
D
S
I
Gọi I là chân đường cao kẻ từ S trong
.SAD∆
Ta có: các mặt bên hợp với đáy góc 60
0
, nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy sẽ cách đều
các cạnh đáy. Suy ra: SO là đường cao của hình chóp.
∆
SOI vuông
·
os
IO
c SIO
SI
⇒ =

2
os
3
IO
SI IO
c
π
⇒ = =
(1)
∆
AOI vuông
·
sin 2
sin
6
IO OI
OAI OA OI
OA
π
⇒ = ⇒ = =
(2)
Từ (1) và (2):
3
2
a
SI OA= =
(đường cao tam giác đều).
2
2
2 2

2 2 2
3
3
2
3 9 3
2 4 4 16 4
a
SI SI a
h SO SI OI SI a
 
 ÷
 
 
= = − = − = = = =
 ÷
 
2
3
.
2
ABCD
a
S BD AC= =
2 3
1 3 3 3 3
. .
3 4 2 24
a a a
V = =
(đvdt)

Bài 12: Cho tứ diện ABCD, trong đó AD vuông góc với mặt phẳng ABC, AD = 4a, AB = 3a, AC = 4a,
BC = 5a, a là số dương cho trước. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông, tính thể tích tứ
diện đó.
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
25 16 9BC a a a AC AB ABC= = + = + Þ D
là tam giác vuông tại A.
2
1 1
. . .3 .4 6
2 2
ABC
S AB AC a a a= = =
Thể tích tứ diện:
2 3
1 1
. . .6 .4 8
3 3
ABCD ABC
V S AD a a a= = =
(đvdt).
A
C
D
B
Bài 13: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện
tích tương ứng là 24cm2, 30cm2, 40cm2. Tính thể tích của hình tứ diện đó.
Lời giải:
z

x
y
30 cm
40 cm
24cm
S
C
A
B
Đặt: SA = x, SB = y, SC = z.
2.24 48
2.30 60
2.40 80
xy
yz
zx
ì
= =
ï
ï
ï
ï
Þ = =
í
ï
ï
= =
ï
ï
î

Ta lại có:
( )
3
1 1 1 1
. . 48.60.80 .6.10.8 80
6 6 6 6
V xyz xy yz zx cm= = = = =
Bài 14: Cho tứ diện SABC có cạnh
( )
.SA ABC^
Nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông, cho biết:
·
·
( )
0 0
2, 45 ,AS 0 90SB a BSC B a a= = = < <
Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của
a
thì thể tích đó lớn nhất.
Lời giải:
S
A
B
C
Ta có : BC = SB =
2a
sin 2 sinAB SB aa a= =
cos 2 osSA SB a ca a= =
Thể tích tứ diện:
3

1 1 2 sin 2
. . . .
3 6 6
SABC SAB
a
V BC S BC SA AB
a
D
= = =
(đvdt)
( )
3
2
1
6
SABC
a
VÞ £
Đẳng thức trong (1), xảy ra
sin 2 1
4
p
a aÛ = Û =
(nhọn)
3
2
max
6
SABC
a

VÞ =
, tương ứng
.
4
p
a =
(ycbt)
Bài 15: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các điểm A, B, C. Tính
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo:
OA = a, OB = b, OC = c.
Lời giải:
c
a
b
O
C
A
B
K
H
Dựng
( ) ( )
1OK BC BC AOK^ Þ ^
Dng
( )
OH AK OH ABC^ ị ^
ti H (do:
( )
1
BC OHị ^

)
Khi ú ta cú:
( )
;d O ABC OH
ộ ự
=
ở ỷ
.
Xột:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
ụ iO
1 1 1
ụ iO
AOK vu ng ta
OH OA OK
BOC vu ng ta
OK OB OC
ỡ
ù
ù
D ị = +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
D ị = +

ù
ù
ù
ợ
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
ị = + +
2 2 2
abc
OH
a b c
ị =
+ +
(ycbt)
Bi 16: Cho t din SABC cú cnh
( )
SA ABC^
, nh din cnh SB l nh din vuụng. Cho bit cnh
2SB a=
, gúc
ã
0
45BSC =
, gúc
ã
AS 0
2
C
p

a a
ổ ử
ữ
ỗ
= < <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. Tớnh th tớch t din SABC.
Li gii:
S
A
B
C
Ta cú :
( )
( )
2 2 2
AS
os
2 1 2cos 2 os2 ;
4 2
c
SC
AB SB SA a a c
a
p p
a a a

ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
= - = - = - < <
ù
ù
ù
ợ
Th tớch t din l:
( )
3
1 1 2
. . . os os2 ;
3 6 3 4 2
SABC ABC
V BC S BC SA AB a c c
p p
a a a= = = - < <
(ycbt)
Bi 17: Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v O, bỏn kớnh ỏy bng chiu cao v bng a.
Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A, trờn ng trũn ỏy tõm O ly im B sao cho AB = 2a. Tớnh
th tớch t din OOAB.
Li gii:

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng
A’D.
Do
'
à AA 'BH A D v BH^ ^
nên
( )
' 'BH AOO A^
Suy ra :
OO' '
1
. .
3
AB AOO
V BH S=
Ta có:
2 2 2 2
' ' 3 ' 'A B AB A A a BD A D A B a= - = Þ = - =
'BO DÞ D
đều
3
2
a
BHÞ =
.
Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
2
'
1
2

AOO
S a=
Vậy thể tích tứ diện OO’AB là:
2 3
1 3 3
. .
3 2 2 12
a a a
V = =
(ycbt)
Câu 18: Cho hình chóp SABC có đáy là hình chữ nhật với AB = a,
2,AD a SA a= =
và SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và
AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
Lời giải:
a
a
I
M
N
B
C
A
D
S
H
A’
A

B
O
O’
H
D
Xét
ABMD
và
BCAD
vuông có
1
2
AM BA
ABC
AB BC
= = Þ D
đồng dạng
BCAD
·
·
·
·
·
·
·
0 0
90 90ABM BCA ABM BAC BCA BAC AIBÞ = Þ + = + = Þ =
( )
1MB ACÞ ^
( ) ( )

2SA ABCD SA MB^ Þ ^
Từ (1) và (2)
( ) ( ) ( )
MB SAC SMB SACÞ ^ Þ ^
Gọi H là trung điểm của AC
NHÞ
là đường trung bình của
SACD
/ /
2 2
NH SA
SA a
NH
ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
= =
ï
ï
î
nên NH là đường cao của khối tứ diện ANIB.
Do đó:
1
. .
3
ANIB ABI

V NH S
D
=
Ta có:
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 6 2
,
2 3 6
ABI
a a a
AI BI AB AI BI S
AI AB AM
D
= + Þ = = - Þ = Þ =
2 3
1 1 2 2
. . . .
3 3 2 6 36
ANIB ABI
a a a
V NH S
D
Þ = = =
(đvdt)
Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCMN.
Lời giải:

M
H
S
A
B
C
N
K
Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK.
Do
,BC AK BC SA BC AH^ ^ Þ ^
Do
( )
,AH SK AH BC AH SBC^ ^ Þ ^
Xét tam giác vuông SAK:
2 2 2
1 1 1 2 3
19
a
AH
AH SA AK
= + Þ =
Xét tam giác SAB:
2
2
2
4
.
5
SM SA

SA SM SB
SB SB
= Þ = =
Xét tam giác SAC:
2
2
2
4
.
5
SN SA
SA SN SC
SC SC
= Þ = =
Suy ra
2
16 9 9 19
25 25 100
SMN
BCNM SBC
SBC
S
a
S S
S
= Þ = =
Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là:
3
1 3 3
. .

3 50
BCNM
a
V AH S= =
(đvdt)
Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
( )
0 0
0 90j j< <
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a,
j
.
Lời giải:
O
A
B
C
D
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO là đường cao của hình chóp S.ABCD. Suy ra góc
·
SAO j=
.
Ta có:
2 2
tan
2 2
a a
OA SO j= Þ =
2

.
ABCD
S a=
Thể tích hình chóp S.ABCD là:
2 3
1 1 2 2
. . tan . tan
3 3 2 6
ABCD
a
V SO S a aj j= = =
(đvdt)
Bài 21: