DE THI HS GIOI LOP 8

ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2009- 2010
Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử:
a) (x-y)
3
+(y-z)
3
+(z-x)
3

b) x(y
2
-z
2
)+y(z
2
-x
2
)+z(x
2
-y
2
)
Giải
a) (x - y)
3
+ (y - z)
3
+ (z - x)
3
=(x - y + y - z)[(x - y)

2
-(x - y)(y - z) + (y - z)
2
] + (z - x)
3
=(x - z)[(x - y)
2
- (x - y)(y - z) + (y - z)
2
- (z - x)
2
]
=(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
=(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
=3(x - z)(x - y)(z - y)
b) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
= x(y
2

- x
2
+ x
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
= x(y
2
- x
2
) + x(x
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y

2
)
= (x
2
- y
2
)(z - x) + (x
2
- z
2
)(x - y)
=(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
=(x - y)(z - x)(y - z)
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
1. A= 1999. 2001 và B= 2000
2
2. C=3
n+1
+4.2
n-1
-81.3
n-3
-8.2
n-2
+1 và D = (2
n
+1)
2
+(2
n

-1)
2
-2(4
n
+1)
( Với n nguyên dương.)
Giải
1. A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=2000
2
-1<2000
2

⇒
A<B
2. C=3
n+1
+ 2
2
. 2
n-1
- 3
4
. 3
n-3
- 2
3
. 2
n-2
+1
C=3

n+1
+ 2
n+1
- 3
n+1
- 2
n+1
+ 1 = 1
D=(2
n
)
2
+2.2
n
+ 1 +(2
n
)
2
- 2.2
n
+ 1 - 2.(2
2
)
n
- 2
=2
2n
+ 2
n+1
+ 1 + 2

2n
- 2
n+1
+ 1 -2.2
2n
- 2
= 2.2
2 n
- 2.2
2n
= 0

⇒
C > D
Bài 3: Cho x
2
=a
2
+b
2
+ab và a+b=c. Chứng minh rằng:
2x
4
=a
4
+b
4
+c
4
Giải

Ta có: x
2
=a
2
+b
2
+ab

⇒
x
4
=a
4
+b
4
+a
2
b
2
+2a
2
b
2
+2a
3
b+2ab
3
x
4
=a

4
+b
4
+a
2
b
2
+2ab(a
2
+b
2
+ab)
=a
4
+b
4
+a
2
b
2
+2abx
2
(1)
Mà c=a+b
⇒
c
2
=a
2
+2ab+b

2

⇒
c
2
=x
2
+ab
⇒
c
4
=x
4
+2abx
2
+a
2
b
2
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
2x
4
=x
4
+a
4
+b
4

+2abx
2
+a
2
b
2
⇒
2x
4
=a
4
+b
4
+c
4
(đpcm).
Bài 4: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x
2
+y = y
2
+x
Tính giá trị của biểu thức sau:

A =
1
22
−
++
xy
xyyx

Giải

Ta có: x
2
+y = y
2
+x
⇔
x
2
-y
2
+y-x = 0

⇔
(x-y)[(x+y)-1] = 0
Vì x
≠
y nên x+y-1 = 0
⇔
x+y = 1
Từ đó ta có: A =
1
22
−
−+
xy
xyyx

=
1
)(
2
−
−+
xy
xyyx
=
1
1
−
−
xy
xy
= -1
Vậy A= -1
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1. A = x
2
+5y
2
- 2xy+4y+3
2. B = (x
2
-2x) (x
2
-2x+2)
Giải
1. A= x

2
- 2xy + y
2
+ 4y
2
+ 4y + 1 + 2
= (x-y)
2
+ (2y+1)
2
+ 2
Vì (x-y)
2

≥
0, (2y+1)
2

≥
0 với mọi x, y
⇒
A
≥
2. Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y

⇔
2y+1=0
⇔
y=
2

1−
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2
⇔
x = y =
2
1−
2. B = (x
2
-2x)(x
2
-2x + 2)
Đặt t = x
2
- 2x
⇒
B = t(t +2) = (t+1)
2
-1
≥
-1
Đẳng thức xảy ra
⇔
t+1 =0
⇔
x
2
-2x +1 = 0
⇔
(x-1)
2

= 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1
⇔
x = 1
Bài 6: Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt
đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng:
AE
AB
+
FA
AD
=
GA
AC
.
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Kẻ BM//EF và DN //EF
với M,N trên AC
Xét tam giác ABM có EG // BM nên

AE
AB
=
GA
AM
(1)
Xét tam giác ADN có FG // DN nên

AF
AD
=
GA
AN
(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có

AE
AB
+
FA
AD
=
GA
ANAM +
(3)
Mặt khác:
∆
ABM=
∆
CDN(g.c.g)
Suy ra AN =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được:

AE
AB
+
FA
AD
=

GA
ANNC +
=
AG
AC
(đpcm)

F

G

O

E

B

C

A

D

M

N