Một số ứng dụng khác của đạo hàm

Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM
A.Định lí Lagrăng
Định lý:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại ít nhất một
điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho
))(()()(
,
abcfafbf −=−
Ý nghĩa hình học của định lý
Từ đẳng thức
ab
afbf
cfabcfafbf
−
−
=⇒−=−
)()(
)())(()()(
,,
Ta có
ab
afbf
−
− )()(
là hệ số góc của đường thẳng AB ,
)(
,
cf
là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại c
Vậy ý nghĩa hình học của định lý là : Nếu hàm số
)(xf

thỏa mãn điều kiện của định lý Lagrăng thì trên
cung AB của đồ thị hàm số
)(xf
tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó song song với
AB.
Hệ quả: Nếu hàm số
)(xf
liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) và
)()( bfaf =
thì
tồn tại ít nhất một điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho
0)(
,
=cf
.
B.Các ứng dụng khác của đạo hàm
I.Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc x.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a.A =
)
3
2
(cos)
3
2
(coscos
222
xxx −+++
ππ
b.B =

)
3
2
(sin)
3
2
(sinsin
222
xxx −+++
ππ
Bài giải:
a.Đặt f(x) =
)
3
2
(cos)
3
2
(coscos
222
xxx −+++
ππ
ta có
02sin2sin2sin
3
cos22sin
)2
3
sin()2
3

sin(2sin)2
3
4
sin()2
3
4
sin(2sin
)
3
2
sin()
3
2
cos(2)
3
2
sin()
3
2
cos(2sincos2)(
,
=+−=+−=
−−++−=−++−−=
−−+++−−=
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxf
π
ππππ
ππππ

Do
)(0)(
,
xfxf ⇒=
là hằng số
Vậy A không phụ thuộc vào x.
b. Đặt g(x) = B =
)
3
2
(sin)
3
2
(sinsin
222
xxx −+++
ππ
Ta có

02sin2sin)2sin(
3
cos22sin
)
3
sin()
3
sin(2sin)2
3
4
sin()2

3
4
sin(2sin
)
3
2
cos()
3
2
sin(2)
3
2
cos()
3
2
sin(2cossin2)(
,
=−=−+=
−++−=−−++=
−−−+++=
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxg
π
ππππ
ππππ
Do
)(0)(
,
xgxg ⇒=

là hằng số
Vậy B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 2:Tìm a sao cho
xxaxxf
22
cos2sin2cos)( +−=
không phụ thuộc x
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
1
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Bài giải:
xxaxxf
22
cos2sin2cos)( +−=
không phụ thuộc x khi và chỉ khi
Rxxf ∈∀= ,0)(
,
505,02sin)5(
,0sincos6cossin22sin2
−=⇔=+⇔∈∀=+−⇔
∈∀=−−−⇔
aaRxxa
Rxxxxxax
II. Dùng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với
0
>∀
x
ta có
xx

x
x <<− sin
6
3
Bài giải:
Xét hàm số
xx
x
xf sin
6
)(
3
+−=
trên khoảng (0; +∞)
Ta có

xxxf
xxxf
x
x
xf
∀≥−=
−=
+−=
,0cos1)(
sin)(
cos1
2
)(
,,,

''
2
,
Suy ra
)(
,,
xf
đồng biến trên
);0[ +∞
( )
)(,00)(
,,,,,
xfxfxf
⇒∈∀=≥⇒
đồng biến trên
);0[ +∞
)();0[,0)0()(
,,
xfxfxf ⇒+∞∈∀=≥⇒
đồng biến trên [0;+∞)
x
x
xxxx
x
xfxf sin
6
0,0sin
6
0,0)0()(
33

<−⇒>∀>+−⇒>∀=>⇒
(1) .Ta đã có

xxxf sin)(
,
−=
đồng biến trên
.0,sin0)0(sin)();0[
,,
>∀<⇒=>−=⇒+∞ xxxfxxxf
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: với
0>∀x
ta có
xx
x
x <<− sin
6
3
Ví dụ 2: Chứng minh
20
7
20sin
3
1
0
<<
.
Bài giải:
Ta có

0300300
20sin420sin3
2
3
20sin420sin360sin −=⇔−=
Vậy sin20
0
là nghiệm của phương trình
2
3
43
3
=− xx
Xét hàm số
3
43)( xxxf −=
trên R có
2
1
0)(123)(
,2,
±=⇔=⇒−= xxfxxf
Bảng biến thiên:
+
-
-
0
0
f
'

(x)
f(x)
x
1
2
-
1
2
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
2
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Do
0
20sin,
3
1

)
2
1
;
2
1
(
20
7
, −∈
vậy
20
7

20sin;
3
1
0
và
là các giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng
biến của hàm số
3
43)( xxxf −=
Suy ra
8000
7028
2
3
27
23
)
20
7
()20(sin)
3
1
(
20
7
20sin
3
1
00
<<⇔<<⇔<< fff

.
Do BĐT
8000
7028
2
3
27
23
<<
đúng nên BĐT
20
7
20sin
3
1
0
<<
đúng.
Ví dụ 3: Chứng minh
333
4224 +>
.
Bài giải:
Đặt
06666)42(6642
3
33
3
33
=−−⇔+=++=⇔+= xxxxx

Xét hàm số
66)(
3
−−= xxxf
trên R
Ta có :
0)42(
33
=+f
220)(63)(
2,2,
±=⇔=⇔=⇒−= xxxfxxf
Bảng biến thiên:
2
-
2
+
-
0
0
f
'
(x)
f(x)
x
Do
333
2442 và+
đều lớn hơn
2

nên
333
2442 và+
là hai giá trị của biến số x cùng thuộc
khoảng đồng biến
);2( +∞
của hàm số
66)(
3
−−= xxxf
Mà
)42(24(0)24(02761824618)24(
3333
3
33
+>⇒>⇒=−>−= ffff
Suy ra
333
4224 +>
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu x + y = 1 thì
8
1
44
≥+ yx
Bài giải:
Từ giả thiết x + y = 1 suy ra y = 1 - x
4444
)1( xxyx −+=+⇒
Xét hàm số
44

)1()( xxxf −+=
Có
])1([4)1(44)(
3333,
xxxxxf −−=−−=
2
1
0)(
,
=⇔= xxf
Bảng biến thiên:
1
8
+
-
0
f
'
(x)
f(x)
x
1
2
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
3
Mt s ng dng khỏc ca o hm Nguyn c Thanh
T bng bin thiờn
8
1
)

2
1
()( = fxf
du bng xy ra khi v ch khi
2
1
=x
Vớ d 5: Cho
2
0

<<< ba
. Chng minh rng
b
ba
ab
a
ba
22
cos
tantan
cos

<<

Bi gii:
Xột hm s
xxf tan)( =
trờn khong (0;
)

2

Cú
)
2
;0(,0
cos
sin
cos
sincos2
)(
cos
1
)(
34
,,
2
,

>=== x
x
x
x
xx
xf
x
xf
Suy ra
x
xf

2
,
cos
1
)( =
l hm s ng bin trờn khong
)
2
;0(

Trờn [a; b] vi a, b thuc
)
2
;0(

hm s
xxf tan)( =
liờn tc v cú o hm trờn khong (a; b)
Theo nh lớ Lagrng thỡ
);( bac
sao cho
ab
c
ab
ab
ab
c
ab
afbf
cf tantan

cos
tantan
cos
1)()(
)(
22
,
=




=


=
Do
x
xf
2
,
cos
1
)( =
l hm s ng bin trờn khong
)
2
;0(

b

ab
c
ab
a
ab
bca
222222
coscoscoscos
1
cos
1
cos
1
<

<

<<
Vy
b
ab
ab
a
ab
22
cos
tantan
cos

<<

.
Vớ d 6: Cho n l s nguyờn l
3n
. Chng minh rng vi mi
0a
luụn cú:
1)
!)!1(

!3!2
1)(
!

!3!2
1(
13232
<

++++++++

n
a
n
aaa
a
n
aaa
a
nnn

Bi gii:
Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0
Đặt
)!1(

!2
1
!

!3!2
1
12
,
32

++++=+++++=

n
aa
au
n
aaa
au
nn
)!1()!2(

!4!3!2
1
!)!1(

!3!2
1
12432
,
132



++++=


+++=


n
a
n
aaaa
av
n
a
n
aaa
av
nn
nn
Khi đó
!
,
!

,,
n
a
vv
n
a
uu
nn
=+=

0)
)!1(

!4!2
1(2
142
>

++++=+

n
aaa
vu
n
với mọi a và n lẻ n > 2
Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a)
Ta có
)(
!
)

!
()
!
()(
,,,
vu
n
a
n
a
uv
n
a
vuvuuvaf
nnn
+=+=+=
Do





><
<>
>+
00)(
00)(
0,0
,
,

akhiaf
akhiaf
avu
TRNG THPT H TRUNG THANH HểA
4
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Ta cã b¶ng biÕn thiªn
a
∞+∞− 0
)(
,
af

+ -
)(af
1

do a kh¸c 0 nªn f(a) <1 ( ®iÒu ph¶i chøng minh)
III.Dùng đạo hàm để xét phương trình và bất phương trình.
Ví dụ 1: Cho m > 0 và ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện:

0
12
=+
+
+
+ m
c
m
b

m
a
Chứng minh rằng phương trình
0
2
=++ cbxax
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Bài giải:
Xét hàm số
m
cx
m
bx
m
ax
xf
mmm
+
+
+
+
=
++
12
)(
12
ta có f(x) là hàm số xác định trên R và có đạo hàm
)()(
2111,
cbxaxxcxbxaxxf

mmmm
++=++=
−−+
Ta thấy hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện của định lí Lagrăng trên đoạn [0; 1]
Suy ra tồn tại
)1;0(
0
∈x
sao cho
0)(
)(
12
)01)(()0()1(
0
2
0
1
0
0
2
0
1
00
,
=++⇔
++=+
+
+
+
⇔−=−

−
−
cbxaxx
cbxaxx
m
c
m
b
m
a
xfff
m
m
Vì
00)1;0(
0
2
0
1
00
=++⇒≠⇒∈
−
cbxaxxx
m
Vậy phương trình
0
2
=++ cbxax
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và a > 3 thì phương trình

0)2(3)1(
212
=++−+
+++ nnn
axnxn
vô nghiệm.
Bài giải:
Xét hàm số
212
)2(3)1()(
+++
++−+=
nnn
axnxnxf
. Có



=
=
⇔=⇒
−++=++−++=
+
3
0
0)(
)3()1)(2()1)(2(3)1)(2()(
,
1,
x

x
xf
xxnnxnnxnnxf
nnn
Do n chẵn nên
0≥
n
x
. Ta có bảng biến thiên
f(3)
0
3
+
-
-
0
0
f
'
(x)
f(x)
x
Từ bảng biến thiên suy ra
03)3()(min
22
>−==
++ nn
R
afxf
(Do a > 3)

Như vậy đồ thị hàm số f(x) không cắt trục hoành nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.
Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
13
2
+=+ xmx
.
Bài giải:
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
5
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Vì
⇒≠+ 01
2
x
phương trình:
m
x
x
xmx =
+
+
⇔+=+
1
3
13
2
2
.
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
mx

x
xf
+
+
=
2
3
)(
với đường thẳng y =
m.
Xét hàm số
1
3
)(
2
+
+
=
x
x
xf
là hàm số xác định trên R và có
3
1
0)(,
)1(
13
)(
,
32

,
=⇔=
+
+−
= xxf
x
x
xf
Lại có
1
1
3
lim)(lim
2
−=
+
+
=
−∞→−∞→
x
x
xf
xx
và
1
1
3
lim)(lim
2
=

+
+
=
+∞→+∞→
x
x
xf
xx
Bảng biến thiên:
10
1
-1
+
∞
-
∞
+
-
0
f
'
(x)
f(x)
x
1
3
Từ bảng biến thiên ta có:
Nếu m < - 1 hoặc m >
10
phương trình vô nghiệm.

Nếu -1 < m
1≤
hoặc m =
10
phương trình có 1 nghiệm.
Nếu 1 < m <
10
phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 4: Tìm a để phương trình
0218
23
=−+− aaxxx
có 3 nghiệm dương phân biệt.
Bài giải:
Phương trình
)91(20218
2323
xaxxaaxxx −=−⇔=−+−
Nhận thấy
9
1
=x
không phải là nghiệm của phương trình đã cho
Suy ra phương trình
a
x
xx
xaxx =
−
−

⇔−=−
)91(2
)19(2
23
23
Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số
)91(2
)(
23
x
xx
xf
−
−
=
Và đường thẳng y = a cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ dương
Xét hàm số f(x) xác định trên tập D = R \






9
1
và có





=
=
⇔=
−
−−
=
3
1
0
0)(,
)91(
)13(
)(
,
2
2
,
x
x
xf
x
xx
xf
Bảng biến thiên:
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
6
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
-
+
∞

-
∞
0
1
9
+
-
-
0
0
f
'
(x)
f(x)
x
1
3
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy nếu đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) thì không có quá hai
điểm có hoành độ dương
Vậy không có giá trị nào của a để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt.
Ví dụ 5: Tìm m để phương trình
mxxxx =−+−−++ )6)(3(63
có nghiệm.
Bài giải:
Đặt t =
xx −++ 63
với
[ ]
6;3−∈x
Ta có

2
3
63
36
0,
)6)(3(2
36
,,
=⇔



≤≤−
+=−
⇔=
−+
+−−
= x
x
xx
t
xx
xx
t
Bảng biến thiên:
t
3
2
t
'

-3
6
3
3
+
-
0
x
3
2
Từ bảng biến thiên của hàm số t suy ra
[ ]
23;3∈t
Khi đó
2
9
)6)(3(
2
−
=−+
t
xx
Phương trình đã cho trở thành
)1(
2
9
22
9
22
mt

t
m
t
t =++−⇔=
−
−
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y =
m và đồ thị hàm số
2
9
2
)(
2
++−= t
t
tf
có điểm chung.
Xét hàm số
2
9
2
)(
2
++−= t
t
tf
với
[ ]
23;3∈t
có

1)(
,
+−= ttf
Bảng biến thiên :
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
7
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
3
2
-
9
2
3
2
t
3
1
3
-
f
'
(t)
f(t)
Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) ta có những giá trị cần tìm của tham số m là:







−∈ 3;
2
9
23m
Ví dụ 6: Biết rằng: 4a + 3b +3c = 0. Chứng minh rằng phương trình
0
2
=++ cbxax
có nghiệm trong
khoảng (0; 2)
Bài giải:
Xét hàm số
cx
bxax
xf ++=
23
)(
23
. ta có f(x) là hàm số liên tục trên R và
cbxaxxf ++=
2,
)(
Áp dụng định lí Lagrăng
Ta có trên đoạn [0; 2] luôn tồn tại
)2;0(
0
∈x
sao cho
0
0)334(

3
1
3
4
2
2
2
4
3
8
02
)0()2(
)(
0
2
0
0
,
=++⇒
=++=++=
++
=
−
−
=
cbxax
cbacb
a
c
ba

ff
xf
Điều đó chứng tỏ phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2).
Ví dụ 7: Cho a, b , c là ba số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài giải:
Xét hàm số
))()(()( cxbxaxxf −−−=
Là hàm số xác định và có đạo hàm tại mọi x thuộc R
=)(
,
xf
(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c)
Ta có
0)()()( === cfbfaf

Theo định lý Lagrăng thì tồn tại x
1 ,
x
2
sao cho
cxbxa <<<<
21
sao cho
0)()(
2
,
1

,
== xfxf
Điều đó có nghĩa là phương trình
=)(
,
xf
(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có ít nhất hai
nghiệm.
Mặt khác phương trình
=)(
,
xf
(x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 là phương trình bậc hai
nên có tối đa hai nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình
13 +≤−− mxmx
có nghiệm.
Bài giải:
Tập xác định của bất phương trình là
[
)
∞+;3
Đặt
[
)
+∞∈⇒−= ;03 txt
Bất phương trình đã cho trở thành
2
1
2)2(

2
2
+
+
≤⇔+≤+
t
t
mttm
(1)
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
⇔
bất phương trình (1) có nghiệm
0
≥
t
.
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
8
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Điều đó tương đương với có phần đồ thị hàm số
2
1
)(
2
+
+
=
t
t
tf

ứng với
0
≥
t
không nằm dưới đường
thẳng y = m
Xét hàm số
2
1
)(
2
+
+
=
t
t
tf
có
31
0
31
31
0
022
0)(
)2(
22
)(
2
,

22
2
,
+−=⇔





≥




+−=
−−=
⇔



≥
=+−−
⇔=⇒
+
+−−
= t
t
t
t
t

tt
tf
t
tt
tf
Bảng biến thiên:
-
∞
3
+1
4
-1+
3
-1-
3
+
∞
+
∞
+
_-
0
0
f'(t)
f(t)
t
Từ bảng biến thiên suy ra những giá trị cần tìm của m là
4
13 +
≤m

Ví dụ 9: Tìm m sao cho hệ bất phương trình





<++
<−+
013
0123
3
2
mxx
xx
Có nghiệm .
Bài giải:
Với mọi m thì x = 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho nên



















+
−<
<<





+
−>
<<−
⇔







<++
≠
<<−
⇔






<++
<−+
x
x
m
x
x
x
m
x
mxx
x
x
mxx
xx
3
1
3
1
0
3
1
01
013
0
3
1

1
013
0123
3
3
3
3
2
Xét hàm số
x
x
xf
3
1
)(
3
+
−=
trên (-1; 0 ) \
{ }
0
có
3
,
2
3
,
2
1
0)(

3
21
)( =⇔=⇒
−
= xxf
x
x
xf
Bảng biến thiên:
1
3
2
+
-
28
27
1
3
-1
-
∞
+
∞
+
0
0
f'(x)
f(x)
x
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA

9
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Từ bảng biến thiên suy ra hệ (1) có nghiệm khi m > 0 , hệ (2) có nghiệm khi
27
28
−<m
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong hai hệ (1) hoặc (2) có nghiệm
Khi và chỉ khi m > 0 hoặc m <
27
28
−
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi a khác 0 hệ phương trình








+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2

2
2
2
2
Có nghiệm duy nhất
Bài giải:
Do x và y đều khác 0 nên



=−
>=
⇔







>
>
=+++−
+=
⇔








>
>
+=
+=
⇔







+=
+=
)2(2
)1(0
0
0
0)22)((
2
0
0
2
2
2
2
223
22

222
222
222
2
2
2
2
axx
yx
y
x
yxyxyx
ayyx
y
x
axxy
ayyx
x
a
xy
y
a
yx
Ta nhận thấy số nghiệm của hệ phương trình đã cho chính là số nghiệm dương của phương trình (2)
Xét hàm số
23
2)( xxxf −=
trên khoảng
);0( +∞
có

3
1
0)(26)(
,2,
=⇔=⇒−= xxfxxxf
+∞==
+∞→
→
+
x
x
lim;0lim
0
Bảng biên thiên:
+
∞
+
∞
+
_-
1
3
0
0
0
f'(x)
f(x)
x
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đường thẳng y = a
2

chỉ cắt đồ thị hàm số
23
2)( xxxf −=
tại một điểm
có hoành độ dương duy nhất với mọi a nên phương trình (2) chỉ có một nghiệm dương với mọi a suy ra
hệ đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.
C.Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho n > 1 và 0 < a < b. Chứng minh:

)()(
11
abnbababna
nnnn
−<−<−
−−
Bài 2: Với a + b
0
≥
và n nguyên dương. Chứng minh
2
)
2
(
nn
n
baba +
≤
+

Bài 3: Chứng minh rằng:

9
32
)1(
2
≤− xx
với
)1;0(∈∀x
. Áp dụng để chứng minh: Nếu a, b, c dương và
1
222
=++ cba
thì
2
33
222222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
10
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh

Bài 4: Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng:
ne
xx
n
2
1
1. <−
với mọi
)1;0(∈x
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có:
a. sinx
!5!3
53
xx
x +−<
.
b.
!4!2
1cos
42
xx
x +−<
.
Bài 6: Chứng minh rằng nếu
4
0
π
<< x
thì
8

)sin(cossin
cos
2
>
− xxx
x

Bài 7: Chứng minh rằng






∈
5
3
;
5
ππ
x
thì:

3
2
4sin
4
1
3sin
3

1
2sin
2
1
sin ≥+++ xxxx

Bài 8: Chứng minh với a, b > 0 và a + b = 1 thì
2
25
)
1
()
1
(
22
≥+++
b
b
a
a

Bài 9: Chứng minh:
a.
6
1
10tan
0
>
, b.
5

7
55tan
0
>
.
c.
3
333
443943 <+<
, d.
00
5tan66tan5 >
Bài 10: Cho
2
0
π
βα
<<<
. Chứng minh rằng
)cos(cos2sinsin
αβββαα
−>−
Bài 11: Với n là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo a số nghiệm của phương trình:

0
2222
2222
=++
+
+

+
++
a
x
n
x
n
x
nn
Bài 12: Giải phương trình:
973321 =+++++ xxx
Bài 13: Xác định m sao cho phương trình
2
1
14
2
+=−+ mxxx
có đúng 2 nghiệm.
Bài 14: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1
2
+=+ xmmx
Bài 15: Chứng minh phương trình
0)()(
333
=−−++ xbxax
không thể có 3 nghiệm phân biệt với mọi
a, b thuộc R.
Bài 16: Tìm a để phương trình
22

285232 xxaxx −−=−−
có nghiệm duy nhất.
Bài 17: Tìm a để phương trình
axxxx +−=−+− 58102
22
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 18: Chứng minh phương trình
012
235
=−+−+ xxxx
chỉ có một nghiệm duy nhất.
Bài 19: Chứng minh rằng phương trình :
0116
2
23
=++−−− xx
x
x
không có nghiệm âm.
Bài 20: Chứng minh hệ phương trình:





=−
=+−
43
4
2

22
xyy
myxyx
Có nghiệm với mọi m.
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
11
Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh
Bài 21: Cho
3,8,6 ≤−≤≤ cba
. Chứng minh rằng bất phương trình
cbxaxx ≥−−
24
nghiệm đúng với
.1≥∀x
Bài 22: Chứng minh rằng bất phương trình
0
4
≥++ qpxx
nghiệm đúng với
Rx ∈∀
khi và chỉ khi
43
27256 pq ≥
.
Bài 23:Tìm m để bất phương trình
mxx ≥−−+ 41
có nghiệm
Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình







>−−−−
≤−
02022
03
23
2
mmxxx
xx
Có nghiệm.
Bài 25: Tìm m để phương trình
03105)4(22
2
=−++++− xmxmx
có nghiệm.
Bài 26: Cho a, b , c , d là bốn số thực đôi một khác nhau .Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b)(x – c) + (x – a)(x – b)(x – d) + (x – a)(x – c)(x – d)+ (x – b)(x – c)(x – d) = 0 có ba nghiệm
phân biệt.
Bài 27: Cho 4 số a; b; c; d thỏa mãn điều kiện:
0
3456
=+++
dcba
. Chứng minh rằng phương trình
0
23
=+++ dcxbxax

có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA
12