đồ án: thiết kế công nghệ CAD/CAM trong gia công cơ khí, chương 8 pdf

Chương 8: Hàm xấp xỉ - phép nội
suy
1. Hàm xấp xỉ
Một trong những tư tưởng cơ bản của phần tử hữu hạn là xấp xỉ
đại lượ
ng cần tìm trong mỗi miền con – phần tử V
e
. Điều này cho
phép kh
ả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn
mi
ền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng
hàm x
ấp xỉ đơn giản. Vì vậy, bước quan trọng đầu tiên cần nói đến
là vi
ệc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong
ph
ạm vi mỗi phần tử. Hàm đơn giản thường được chọn ở dạng đa
thức vì 3 lí do sau:

+ Đa thức khi được xem như tổ hợp tuyến tính của các đơn thức
thì t
ập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính như
yêu cầu của Rits, Galerkin.
+ Hàm xấp xỉ ở dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập
công th
ức khi xây dựng các phương trình của phương pháp phần
t
ử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt dễ đạo hàm, tích
phân.
+ Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa

thức xấp xỉ (Về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho
nghi
ệm chính xác). Tuy nhiên trong thực tế ta cũng chỉ thấy các đa
thức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. Chú ý là các hàm đa thức xấp xỉ ở
dạng lượng giác cũng có tính chất và ưu điểm như trên nhưng ít
dùng.
2. Phép nội suy
Trong phương pháp phần tử hữu hạn các hệ số của hàm xấp xỉ
dạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả
giá trị đạo hàm) tại một điểm nút được định trước trên phần tử.
Nói cách khác là hàm x
ấp xỉ được nội suy theo các giá trị (hoặc
các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi
m
ỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa
b
ằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả đạo hàm) của
chính nó t
ại điểm nút của phần tử.
Hình 2.1 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp
Lagrange
Các hàm đa thức bất kì được biểu diễn bằng hàm xấp xỉ bằng
các đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo các giá trị)
của hàm tại các điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này được
g
ọi là phép nội suy Lagrange.
N
ội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy
Hecmit là phép x
ấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 nào đó

tại điểm cơ sở.
Hình 2.2. Hàm nội suy Hecmit
3. Chọn bậc đa thức xấp xỉ (hay hàm xấp xỉ )
Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới những yêu cầu sau:
Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Đây là một
yêu c
ầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là phương
pháp số và do đó phải đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử
giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. Muốn vậy đa
thức xấp xỉ u
e
phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:
 Liên tục trong phần tử V
e
 Bảo đảm tồn tại trong phần tử trong trạng thái đơn vị ( hằng
s
ố ) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm
I(u) đòi hỏi.
I(u) =
, ,, ( )
( , , , , , )
r
V
F x u u u u dx

Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r – 1) là
liên t
ục.
Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng
hướng của hình học. Có như vậy các xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa

độ phần tử. Muốn vậy dạng các đa thức được chọn từ các tam giác
Pascal (cho bài toán 2 chi
ều) hay từ tháp Pascal (bài toán 3 chiều).
Các s
ố phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải
b
ằng số bậc tự do của phần tử q
e
. Yêu cầu này cho khả năng nội
suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút.
4. Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần
t
ử. Ma trận các hàm dạng

Bậc tự do của một nút (Nodal Degree Of Freedom) là các giá
tr
ị (có thể cần cả giá trị đạo hàm) của hàm (hay đa thức) xấp xỉ tại
nút.
T
ập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phân tử được gọi
là vectơ các bậc tự do của phần tử, ký hiệu là { q}
e
. Hay trong vật
r
ắn thường gọi là vectơ chuyển vị nút phần tử. Và các bậc tự do
này (hay các chuy
ển vị nút) là ẩn số của bài toán khi phân tích theo
Phương pháp phần tử hữu hạn:







1 2, 3 4, 5 6
, , , , ,
, , ,
T
i i j j k k
e
T
e
q u v u v u v
q q q q q q


Tóm lại: Nếu phần tử e có r nút và mỗi nút có s bậc tự do thì
vectơ chuyển vị nút phần tử {q}
e
có số thành phần n
e
= s x r
Trong ph
ần tử hữu hạn các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo
vectơ các bậc tự do phần tử {q}
e
hay người ta nói rằng các đa thức
này được nội suy theo {q}
e
.

Khi đó ta có:
 
3
4
2
4
5
q
q
q
q
q
 
 
 

 
 
 
 

(2.2)
Điều này dễ thực hiện được bằng cách thay tọa độ các nút vào
các đa thức xấp xỉ rồi thực hiện đồng nhất, cụ thể:
(2.3)
Trong đó:
[A] là ma trận vuông (n
e
x n
e

) và chỉ chứa tọa độ các điểm nút
ph
ần tử.



 


'
1
e
a A q

 (2.4)













1
( , , ) ( , , ) ( , ,

e
u x y z P x y z a P x y z A q

 







( , , )
e e
u x y z N q

(2.5)
Với :






1
( , , )
N P x y z A


(2.6) và được gọi là ma trận các hàm nội
suy, hay các ma tr

ận hàm dạng
Ví d
ụ: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử lăng trụ chịu kéo – nén
d
ọc trục (hình dưới)
Nên đa thức xấp xỉ u(x) đòi hỏixấp xỉ tuyến tính:
U(x) = a
1
+ a
2
x (0 ≤ x ≤ L )

   


1
2
1 ( )
a
x P x a
a



 
 




Do {a}ch
ỉ có 2 tham số chuyển vị nút {q}
e
của phần tử cũng
chỉ có 2 bậc tự do: đó là chuyển vị dọc trục x của 2 điểm nút đầu
và cu
ối của phần tử. Hay ta có vectơ chuyển vị nút phần tử như
sau:






1 2 1 2
, ,
T T
e e e
q q q u u
 
Điều này cũng phù hợp với yêu cầu đảm bảo tương thích về
biến dạng của bài toán kết cấu đang xét.
Mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và
bi
ến dạng dọc trục, cụ thể là u(x) và є
x
2
2
1 1
2 2

L L
N du
U dx E J dx
E J dx
 
 
 
 
 
Thực hiện đồng nhất phương trình 2.2 ta có:

Vậy:
 


 
1
2
1
( )
1 0
1
( )
1 0
1 1
P x
A
L
P x
A

L L

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
Theo (2.5) ta có các ma trận hàm dạng:
     
1
1 0
( ) . 1
1 1
e
x
N P x A
L
L L


 
 
 
 
   
 
 
 

 
 
 



1 2
( ) ( )
N x N x
 (2.6)
Cu
ối cùng ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục
theo các chuyển vị nút phần tử:
 


1
2
( ) 1
e
e

q
x x
u x N q
q
L L


 

 
   
 
 
 
 
 



Hay
2
1 2
1
( ) ( ) 1
i i
i
x x
u x N x q q q
L L


 
   
 
 

Các hàm N
i
(x) trong 2.6 còn có tên là các hàm nội suy
Lagrange bậc1 có đồ thị như trên.