Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

1


SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.Đặt vấn đề
Chúng ta đã biết,định nghĩa Đạo hàm được xây dựng dựa vào giới hạn của hàm
số.Bản chất Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
chính là giá trị của giới hạn
dạng
0
lim
xx®
=
0
0
)()(
xx
xfxf
-
-
(1). Do đó để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm ta phải tìm
giới hạn (1).Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu đến các em học sinh con đường
ngược lại.Tức là để tìm giới hạn ta lại đi tính đạo hàm .Đạo hàm là một lĩnh vực quan
trọng của giải tích thể hiện ở rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán THPT. Đạo hàm
được giảng dạy ở cuối lớp 11, ngay sau chương giới hạn, rồi xuyên suốt chương trình
lớp 12 và ôn thi đại học, cao đẳng.Bên cạnh các phương pháp tìm giới hạn hàm số

thông thường, tôi muốn giới thiệu một phương pháp nữa: tìm giới hạn hàm số bằng
định nghĩa đạo hàm .
Việc giải bài toán giới hạn hàm số bằng nhiều cách giúp rèn luyện tư duy khoa
học, tính logic và hệ thống cũng như tăng cường kỹ năng thực hành của học
sinh.Phương pháp này hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh có một con đường mới để
tìm giới hạn, đặc biệt là các bài toán khó về giới hạn trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp
tỉnh.
2. Giải quyết vấn đề
*Cơ sở lý luận của vấn đề
1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên khoảng
( ; )
a b
và
0
( ; )
x a b
Î . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
®

-
-
thì giới hạn đó
được gọi là đạo hàm của hàm số
( )
y f x
=
tại
0
( ; )
x a b
Î , kí hiệu là
'
0
( )
f x
.
Tức là
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
®

-
=
-
.
2. Đạo hàm của hàm số dạng
( ) ( )
n
y f x u x
= = là

' '
' ' '
1 1
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ( )) ( ( ))
n
n n
n n
u x u x
y f x u x
n u x n u x
- -
= = = =

*Cơ sở thực tế của vấn đề
Lứa tuổi học sinh THPT là lứa tuổi thích tìm tòi khám phá.Học sinh khá giỏi
thích tìm nhiều lời giải cho một bài toán, học sinh trung bình thích có quy tắc giải
chung cho một lớp bài toán để dễ nhớ, dễ sử dụng. Bài viết này nhằm đáp ứng một
phần nhu cầu trên. Nếu việc phải nhớ các biểu thức liên hợp, việc nhân, chia,cộng, trừ

chúng,thêm bớt các biểu thức phù hợp, công thức nhị thức Newton,…là nặng nề thì
học sinh chỉ phải dùng định nghĩa đạo hàm.




SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

2


*Nội dung
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
1)
0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -
2)
3
0
1 1
lim
x
x

x
®
+ -
3)
4
0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -

4)
0
1 1
lim
n
x
x
x
®
+ -
5)
0
1 1
lim
n
x

ax
x
®
+ -

Giải
Ta nhận thấy các câu trên đều có thể dùng biểu thức liên hợp để trục căn thức, sau đó
phân tích thành nhân tử và thu gọn đưa về dạng xác định để tính. Tuy nhiên, với đa số
học sinh thì việc tìm liên hợp của các câu số 3,4,5 không đơn giản. Ở đây, cần chỉ cho
học sinh thấy sự tương tự trong các câu trên của dạng biểu thức cần tính giới hạn, đó
là dạng
0
( ) 1
lim
x
f x
x
®
-
. Phân tích kỹ hơn ta thấy
1 (0)
f
=
và mẫu thức chính là hiệu
0
x x
-

với
0

0
x
=
.
Như vậy các câu trên đều là việc tính giới hạn dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
®
-
=
-
, nói
cách khác ta tìm hàm số
( )
y f x
=
và tính đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
.
Ta có lời giải như sau : Xét hàm số ( ) 1

n
y f x ax
= = +
có

'
' ' '
1 1
(1 )
( ) ( 1 )
(1 ) (1 )
n
n n
n n
ax a
y f x ax
n ax n ax
- -
+
= = + = =
+ +

Từ đó,
'
(0)
a
f
n
=
.Vậy kết quả các câu trên lần lượt là:

1 1 1 1
; ; ; ;
2 3 4
a
n n

Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
1)
3
0
8 2 1
lim
x
x x
x
®
- - +
2)
2
1
3 2 4 2
lim
1
x
x x x
x
®
- - - -
-

3)
3
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- - -
-
4)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-

5)
2
3
4

0
1 1 2
lim
x
x x
x
®
+ - -

Giải
Ta nhận thấy các câu 1,3,4,5 đều chứa hai loại căn thức khác nhau, do đó ta
phải thêm bớt số hạng hợp lý để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn chỉ còn
một loại căn thức từ đó tính tiếp bằng cách dùng biểu thức liên hợp hoặc sử dụng đạo
hàm như bài 1. Tuy nhiên, việc thực hiện theo cách trên là khá dài và có khả năng
nhầm lẫn là khá cao. Ở đây ta cũng đi tìm dạng tổng quát của biểu thức trên đều có thể
đưa về dạng
0
0
( ) ( )
lim
n
m
x x
f x g x
x x
®
-
-
. Nhìn kỹ hơn chút nữa, do
0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x g x f x g x
= Þ - =
. Vậy ta có thể đặt
( ) ( ) ( )
n m
h x f x g x
= - thì
0
( ) 0
h x
=
và giới
hạn trên trở thành
0
'
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
h x h x
h x
x x
®
-
=
-

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

3

Chẳng hạn câu 1, xét hàm số
3
( ) 8 2 1
h x x x
= - - +
thì
(0) 0
h
=
và
' '
'
2 2
3 3
(8 ) ( 1) 1 1
( ) 2
2 1 1
3 (8 ) 3 (8 )
x x
h x
x x
x x
- + -
= - = -

+ +
- -

Từ đó
'
1 13
(0) 1
12 12
h
- -
= - = .Suy ra
3
0
8 2 1
13
lim
12
x
x x
x
®
- - +
-
=
Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả còn lại là :
Câu

Hàm số
( )
y h x

=

0
( )
h x

Đạo hàm
'
0
( )
h x

Kết quả

2
2
3 2 4 2
x x x
- - - -

(1) 0
h
=

2
8 1
3
2 4 2
x
x x

-
-
- -

1
2
-

3
3
2 1 3 2
x x
- - -

(1) 0
h
=

2
3
2 3
2 3 2
3 (2 1)
x
x
-
-
-

5

9
-

4
2
3
7 5
x x
+ - -

(1) 0
h
=

2 2
3
2 1
2 5
3 ( 7)
x
x
x
+
-
+

5
12

5

2
3
4
1 1 2
x x
+ - -

(0) 0
h
=

2 2 3
3
4
2 2
3 (1 ) 4 (1 2 )
x
x x
+
+ -

1
2


Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
1)
0
lim
®x

x
x
+-
-+
11
113
3
2)
2
3
4
1
1 26 1 80
lim
3 2
x
x x
x
®
+ - +
+ -

3)
3 4
3 4
0
27 1 81 1
lim
1 1
x

x x
x
®
- + +
- -
4)
2
3
2 2
5
5
4
4 2
lim
6 3 18 9
x
x x
x x
®
+ - +
+ - +

Giải
Ta biến đổi làm xuất hiện dạng
0
'
0
0
0
( ) ( )

lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
®
-
=
-
.
Do cả tử và mẫu cùng chứa căn thức nên ta chia cả tử và mẫu cho
0
x x
-
và xuất
hiện dạng
0
0
'
0 0
'
0
0
0
( ) ( )
( )
lim
( ) ( )
( )
x x

f x f x
x x f x
g x g x
g x
x x
®
-
-
=
-
-
. Từ đây ta có được kết quả như sau:
1)
0
lim
®x
x
x
+-
-+
11
113
3
=
0
lim
®x
)11(
113
3

-+-
-+
x
x
= -
0
lim
®x
x
x
x
x
11
113
3
-+
-+

Mà
' ' '
3
2
3
1
( ) ( 1 3 )
(1 3 )
y f x x
x
= = + =
+

'
(0) 1
f
Þ =

Và g
’
(x) = ( x+1 )
’
=
x+12
1

Þ
g
’
(0) =
2
1

Từ đó kết quả giới hạn là: -2
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

4

2)
2
3

4
2
3
4
1 1
1 26 1 80
1 26 1 80
1
lim lim
3 2 3 2
1
x x
x x
x x
x
B
x x
x
® ®
+ - +
+ - +
-
= =
+ - + -
-

Trong đó
' ' 2 '
3
4

2 2 3
3 4
52 20
( ) ( 1 26 1 80 )
3 (1 26 ) (1 80 )
x
y f x x x
x x
= = + - + = -
+ +
'
52 20 32
(1)
27 27 27
fÞ = - =
' ' '
1
( ) ( 3 )
2 3
y g x x
x
= = + =
+
'
1
(1)
4
g
Þ =

Từ đó
32 1 128
:
27 4 27
B= =
3)
3 4
3
4
3 4
3 4
0
0
27 1 81 1
27 1 81 1
1
lim lim
1 1 1 1
1
x
x
x x
x x
x
C
x x
x
®
®
- + +

- + +
-
= =
- - - -
-

Trong đó
y
’
= f
’
(x) = (
4
4
3
3
181127 ++- xx )
’
=
3
23
2
)127(
27
-x
x
+
4
34
3

)181(
81
+x
x

Þ
f
’
(0) = 0.
' ' '
1
( ) ( 1 )
2 1
y g x x
x
-
= = - =
-
'
1
(0)
2
g
-
Þ =

Từ đó
1
0: 0
2

C
-
= =

4)
2
3
2
3
2 2 2 2
5 5
5 5
4 4
4 2
4 2
5
lim lim
6 3 18 9 6 3 18 9
5
x x
x x
x x
x
D
x x x x
x
® ®
+ - +
+ - +
-

= =
+ - + + - +
-

Trong đó
' ' 2 '
3
2 2
3
1 2
( ) ( 4 2 )
2 4
3 (2 )
x
y f x x x
x
x
= = + - + = -
+
+
'
1 10 11
(5)
6 27 54
f
-
Þ = - =
' ' 2 2 '
5
4

2 3 2 4
54
3 18
( ) ( 6 3 18 9 )
2 (6 3 ) 5 (18 9 )
x x
y g x x x
x x
= = + - + = -
+ +

'
5 2 1
(5)
18 9 18
g
Þ = - =

Từ đó
11 1 11
:
54 18 3
D
- -
= =
Từ các giới hạn trên có thể khái quát dẫn đến các kết quả sau:

1. Cho
0
lim ( ) 0

x
f x
®
=
thì
1
0
. ( )
lim 0
( ) .
n
n
n
x
a f x b b
a
b
f x nb
-
®
+ -
= >
víi
2. Cho
0
lim ( ) 0
x
f x
®
=

và
0
lim ( ) 0
x
g x b
®
= ¹
thì
1
0
. ( ) ( ) ( )
lim
( ) .
n
n
n
x
a f x g x g x
a
f x nb
-
®
+ -
=
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

5

1)
0
sin3
lim
x
x
x
®
2)
0
1 os2
lim
x
c x
x
®
-

3)
0
3
1 2 1 sinx
lim
3 8 2
x
x
x x
®
- + -
+ - -

4)
2
3
0
2 1 2 1
lim
sinx
x
x x
®
+ - +

Giải
Đây là các giới hạn liên quan đến hàm số lượng giác, để tìm giới hạn
chúng ta có thể dùng kết quả
0
sin
lim 1
x
x
x
®
=
. Tuy nhiên trên quan điểm đạo hàm chúng ta
thấy bản chất vẫn là giới hạn dạng
0
'
0
0
0

( ) ( )
lim ( )
x x
f x f x
f x
x x
®
-
=
-
với
( )
y f x
=
là một hàm số
lượng giác nào đó.
1) Xét
( ) sin3
y f x x
= =
thì
(0) 0
f
=
và
'
( ) 3 os3
y f x c x
= =
Do đó

0 0
sin3 sin3 sin0
lim lim 3 os0 3
0
x x
x x
c
x x
® ®
-
= = =
-

2) Xét
( ) os2
y f x c x
= =
thì
(0) 1
f
=
và
'
( ) 2sin 2
y f x x
= = -
Do đó
0
1 os2
lim 2sin 0 0

x
c x
x
®
-
= =

3)
0 0
3 3
1 2 1 sin
1 2 1 sin
lim lim
3 8 2 3 8 2
x x
x x
x x
x
x x x x
x
® ®
- + -
- + -
=
+ - - + - -
=
0
lim
®x
x

xx
x
xx
283
)1sin12(
3
+
-++-

Trong đó
' ' '
1
( ) ( 2 1 sin ) cos (0) 2
2 1
f x x x x f
x
= + + = + Þ =
+


' ' '
3
2
3
1 3
( ) ( 3 8 ) 1 (0)
4
(3 8)
g x x x g
x

-
= + - = - Þ =
+

Từ đó
0
3
1 2 1 sinx
lim
3 8 2
x
x
x x
®
- + -
+ - -
=
8
3

4)
0
2
3
2
3
0
2 1 2 1
2 1 2 1
lim lim

sin
sin
x x x
x x
x x
x
x
x
x
® ®
+ - +
+ - +
= =
'
'
(0) 2
(0) 3
f
g
=

Trong đó
' ' 2 ' '
3
2 2
3
2 2 2
( ) ( 2 1 2 1) (0)
3
3 (2 1) 2 1

x
y f x x x f
x x
= = + - + = - Þ =
+ +


' ' '
( ) os (0) 1
y g x c x g
= = Þ =


Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
1)
3
0
1 1 3 1
lim
x
x x
x
®
+ + -
2)
3
4
0
1 1 3 1 4 1
lim

x
x x x
x
®
+ + + -

3)
3
4
0
1 1 1 1
lim
x
ax bx cx
x
®
+ + + -
4)
3 5
4
0
1 1 1 1 1
lim
x
ax bx cx dx
x
®
+ + + + -

Giải

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

6

Nhận thấy rằng, nếu tính đạo hàm ngay thì kết quả sẽ khá phức tạp do phải
sử dụng đạo hàm của một tích, ta biến đổi biểu thức để chỉ phải tính đạo hàm của
một tổng các biểu thức bằng cách thêm bớt số hạng. Chẳng hạn lấy câu 1 làm ví dụ
1)
3 3 3 3
0 0
1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1
lim lim
x x
x x x x x x
A
x x
® ®
+ + - + + - + + + -
= =
=
3 3
0
( 1 1) 1 3 1 3 1
lim( )
x
x x x
x x
®
+ - + + -

+
=
3
3
0 0 0
( 1 1) 1 3 1 1 3
lim( lim 1 3 lim ) 1
2 2
x x x
x x
x
x x
® ® ®
+ - + -
+ + = + =

Từ các câu trên ta có kết quả tổng quát là:
3
2 3
32
0
1 1 1 1
lim
2 3
n
n
n
x
a x a x a x
a a

a
x n
®
+ + + -
= + + +
Bài 6
1)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®
- - - -
- +
2)
2
3
2
1
7 5
lim
1
x
x x
x

®
+ - -
-

3)
3
2
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- - -
-
4)
2
3
4
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
®
+ - -

+

Giải
Các giới hạn này tính được dựa vào việc phân tích mẫu thức thành nhân tử, sau
đó dùng định nghĩa đạo hàm để tiếp tục tìm giới hạn.
1)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®
- - - -
- +
=
2 2
1 1
3 2 4 2 3 2 4 2
1
lim lim .
( 1)( 2) 1 2
x x
x x x x x x
x x x x
® ®
- - - - - - - -

=
- - - -

Từ đó kết quả là
1 1
.( 1)
2 2
-
- =

2)
2
3
2
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-
=
2 2
3 3
1 1
7 5 7 5
1

lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
® ®
+ - - + - -
=
- + - +

Từ đó kết quả là
5 1 5
.
12 2 24
=

3)
3
2
1
2 1 3 2
lim
1
x
x x
x
®
- - -
-
=

3 3
1 1
2 1 3 2 2 1 3 2
1
lim lim .
( 1)( 1) 1 1
x x
x x x x
x x x x
® ®
- - - - - -
=
- + - +

Từ đó kết quả là :
6
5
-
.
2
1
= -
12
5

4)
2
3
4
2

0
1 1 2
lim
x
x x
x x
®
+ - -
+
=
2 2
3 3
4 4
0 0
1 1 2 1 1 2
1
lim lim .
( 1) 1
x x
x x x x
x x x x
® ®
+ - - + - -
=
+ +

Từ đó kết quả là
1 1
.1
2 2

=

Bài tập đề nghị :Tìm các giới hạn sau:

1.
2
2
0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -

2.
2
3
2
0
1 2 1
lim
x
x
x
®
+ -

3.

0
1 sin 1
lim
x
x
x
®
+ -

4.
2
3
2
0
1 2sin 1
lim
x
x
x
®
+ -

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giáo viên: Đoàn Minh Kế Trường THPT số 1 Quảng Trạch

7

5.
0
4 tan 2

lim
x
x
x
®
+ -

6.
2
3
2
0
1 2tan 1
lim
x
x
x
®
+ -

7.
2
0
(sinx 1 cos )
lim 0
x
a b x a
khia
x
®

+ + - -
>

8.
0
2sin 1 os
lim 0
sin
n n
n
x
a x c x a
khia
x
®
+ + - -
>

9.
2 2
1
1 1
lim
1
x
x x x x
x
®
+ - - + -
-

10.

2 2
3
2
1
2 3 4 2 4
lim
x
x x x x
x x
®
+ - + + -
-

11.

2
4
3
0
sin 1 2sin 1
lim
1 1
x
x x
x
®
- + +

- -

12.

2
3
5
4
3sin 4 5 2cos os
lim
12 sin 4cos 30 2cos
x
x x c x
x x x
p
®
+ - - +
+ - - -

13.

32 2
2
0
1 1 2 1
lim
x
x x
x
®

+ + -

14.

3 2 3
4
0
1 1 2 1 3 1
lim
x
x x x
x
®
+ + + -

15
4 4
2
0
1 os sin
lim
1 1
x
c x x
x
®
- +
+ -

16

4 2
2
0
1 os 3tan
lim
sin cos 1
x
c x x
x x
®
- +
+ -


3. Kết thúc vấn đề
Trên đây là một cách tìm giới hạn trong khuôn khổ chương trình THPT,mà cụ
thể là phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn.Khi gặp một giới hạn mà
đã dùng mọi cách thông thường mà chưa giải được,các em hãy nghĩ tới phương pháp
trên. Qua từng ví dụ các em tự rút ra kinh nghiệm trong việc lựa chọn hàm f(x) thích
hợp.Ngoài ra,còn một số phương pháp giải khác như phương pháp đổi biến, thêm bớt
số hạng và một số phương pháp khử dạng vô định điển hình Chính vì vậy, tôi rất
mong các em học sinh yêu thích môn Toán suy nghĩ tìm tòi để có những phương pháp
giải hay và cùng nhau trao đổi trên website của nhà trường .Chúc các em thành công/.

Quảng Trạch ngày 10 tháng 04 năm 2011

Giáo viên: Đoàn Minh Kế