Quan hệ vuông góc(hình học 11) có đáp số

QUAN H VUễNG GểC
A. Các vấn đề chính:
1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng.
2. Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng,
đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.
3. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng
và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng.
4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1
mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau.
5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện.
B. Bài tập:
Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng:
1. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.
a) Chứng minh BC

(SAB)
b) Gọi AH là đờng cao của

SAB. Chứng minh: AH

(SBC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB,
BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:
a) SO

(ABCD)
b) IJ

(SBD)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA

(ABCD). Gọi
H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng: CD

(SAD), BD

(SAC)
b) Chứng minh: SC

(AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c) Chứng minh: HK

(SAC), từ đó suy ra HK

AI
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh: BC

(AID)
b) Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH

(BCD)
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gi H là điểm
thuộc
mp(ABC) sao cho OH

(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC

(OAH)

b) H là trực tâm của

ABC
c)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC =
2a
. Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Chứng minh: SH

(ABCD)
b) Chứng minh: AC

SK và CK

SD
7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R). CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I.
Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là
điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông ở S
b) SD

CE c) Tam giác SCD vuông.
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:
8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đờng
cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD

a) Chứng minh: AB

(BCD)
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)
c) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH

(ADC)
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 60
0
, SA

(ABCD)
và SA =
6a
. Chứng minh:
a) (SAC)

(ABCD) và (SAC)

(SBD)
b) (SBC)

(SDC)
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO

(ABCD); (SAC)

(SBD)
b) Một mặt phẳng (

) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D.
Chứng minh AC

BD và 2 tam giác ABC và ADC đối xứng với nhau qua mặt
phẳng (SAC)
11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I.
Dựng đoạn SD =
6
2
a
vuông góc với (ABC). Chứng minh:
a) Mặt phẳng (SAB)

(SAC)
b) Mặt phẳng (SBC)

(SAD)
12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD =
2
3
a
. Trên đờng thẳng vuông
góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a.
a) Chứng minh tam giác ASC vuông
b) Chứng minh: (SAB)

(SAD)
13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên
hệ giữa a, b, x, y để:

a) (ABC)

(BCD)
b) (ABC)

(ACD)
14.Cho

ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với (ABC)
Giỏo viờn : Phm Hi
2
a) (ABB)

(ACC)
b) Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và ABC. Chứng minh rằng hai
mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với (AHK)
Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng:
15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a.
SA vuông góc với AB và AD, SA =
2 3
3
a
. Tính góc của 2 đờng thẳng:
a) SB và DC (30
0
)
b) SD và BC (cos

=
42

14
)
16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD.
Tính góc giữa AB và CI (cos

=
3
6
)
17.Cho hình lập phơng ABCD.ABCD
a) Tính góc giữa: AB và BC; AC và CD (60
0
và 90
0
)
b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CD. Hãy tính góc giữa: MN và CD; BD và
AD; MN và

; AP và DN. (60
0
, 45
0
, 90
0
)
Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng:
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =
6a
vuông góc với đáy.
Tính góc của:

a) SC với (ABCD) (60
0
)
b) SC với (SAB)
7
tan
7


=
ữ

c) SB với (SAC)
14
sin
14


=
ữ

19.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi
I là trung điểm AB.
a) Chứng minh SI

(ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)
15
tan
5

=
ữ

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD)
3 6
;sin
2 4
a


=
ữ

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ)

(ABCD).
Tính góc hợp bởi SI với (SDC)
2
tan
3


=
ữ

20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi
M, N lần lợt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 60
0
a) Tính MN, SO

10 30
;
2 2
a a
MN SO

= =
ữ

b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD)
2
sin
5


=
ữ

Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:
Giỏo viờn : Phm Hi
3
21.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lợt là
trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (60
0
)
22.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (30
0
)
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy

2
tan
3


=
ữ

23.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60
0
và hình chiếu H của đỉnh A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2)
b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC (tan

= 3)
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABBA) và mặt đáy
( )
tan 2 3

=
24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA =
3a
vuông góc với (ABCD). Tính góc:
a) (SAB) và (ABC) (90
0
)
b) (SBD) và (ABD)
( )
tan 6

=
c) (SAB) và (SCD) (30
0
)
25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc
giữa (SBC) và (SCD) bằng 60
0
(SA = a)
26. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB =
3
a
, vẽ SO

(ABCD) và SO =
6
3
a
a) Chứng minh: góc ASC = 90
0
b) Chứng minh: (SAB)

(SAD)
27. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều,

DBC vuông cân tại D.
Biết AB = 2a, AD =
7a
. Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (30
0

)
Loại 6: Các bài toán về khoảng cách:
28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB

(BCD) và AB = a. Tính k/c:
a) Từ D đến (ABC) (
3
2
a
)
b) Từ B đến (ACD) (
21
7
a
)
29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và
SA = SB = b. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD) (
2 2
1
4
2
b a
)
b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB (
5
5
a
)
c) Từ AD đến (SBC) (

2 2
4
2
a b a
b

)
30. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a
2
.
Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh (SIJ)

(SBC)
Giỏo viờn : Phm Hi
4
b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB (
42
7
a
)
31. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA

(ABC) và AA = a, đáy là tam giác vuông tại
A có BC = 2a, AB = a
3
.
a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng(BCCB) (
3
2

a
)
b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) (
21
7
a
)
c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACCA) và tính khoảng cách từ A
đến (ABC) (
2
2
a
)
32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA

(ABCD). Dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung của:
a) SB à AD b) AB và SC (
2
2
a
;
2
2
a
)
33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách giữa 2 đờng thẳng:
a) SC và BD b) AC và SD (
6

6
a
;
3
3
a
)
Giỏo viờn : Phm Hi
5