Đề thi HSG 12 Huế 2009- 2010 có đáp án

s 6: Hu 2009- 2010
Bi 1: (4 im)
a) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s:

( ) 2cos 6sin
2

= +
trờn on
0;
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
.
b) Chng minh rng vi mi tam giỏc ABC ta u cú:
5 10
sin sin 6sin
4
+ + Ê
Bi 2: (4 im)
a) Cho tam giỏc ABC v ng thng (d). Trờn cnh AB ta ly im E sao cho
2 , =
l trung im cnh AC v I l nh th t ca hỡnh bỡnh hnh

. Vi
mi im P trờn ng thng (d), ta dng im Q sao cho:
2 3 6 + + =
uuur uuur uuur uur
.
Tỡm tp hp im Q khi P thay i.
b) Cho hai ng trũn ng tõm O, khỏc bỏn kớnh v ng trũn (O'). Dng tam giỏc u cú

mt nh trờn (O') v hai nh cũn li ln lt nm trờn hai ng trũn ng tõm O.
Bi 3: (4 im)
a) Gii h phng trỡnh
( ) ( )
17 5
9 4 17
log 3 2 log 3 2 1


ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ - - =
ù
ù
ợ

b) Tỡm tp xỏc nh ca hm s
1 1
3 2
2 1
( ) log log
2

ộ ự
ổ ử
+
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
=
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Bi 4: (4 im)
a) Cho cỏc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5. Cú bao nhiờu s gm 6 ch s khỏc nhau c thnh lp t
cỏc ch s ó cho, trong ú hai ch s 0 v 1 khụng ng cnh nhau ?
b) Tớnh tng:
1 2 2 3 3
2 2.2 2.3 2. 2 .


= + + + + + +
Bi 5: (4 im)
Khi ct mt cu (O, R) bi mt mt kớnh, ta c hai na mt cu v hỡnh trũn ln ca mt
kớnh ú gi l mt ỏy ca mi na mt cu. Mt hỡnh tr gi l ni tip na mt cu (O, R) nu

mt ỏy ca hỡnh tr nm trong ỏy ca na mt cu, cũn ng trũn ỏy kia l giao tuyn ca
hình trụ với nửa mặt cầu. Cho
1 =
, hãy tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp
nửa mặt cầu (O, R) để khối trụ đó có thể tích lớn nhất.
2
ỏp ỏn s 6: Hu 2009- 2010
Bi 1 NI DUNG IM
(4)
( ) 2cos 6sin
2

= +
a)
(2,0)
Trờn on
0;
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
:
2
'( ) sin 6cos 2 6sin sin 6
2 2 2

= - + = - - +
6 6
'( ) 2 6 sin sin
2 4 2 3

ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
.
Trờn on
0;
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
:
6
0 sin 0 sin 0
2 2 2 2 3

Ê Ê ị ị + >
0
0
6 6
'( ) 0 sin sin 2arcsin

2 4 2 4



ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= = = =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
0
0
6 6
'( ) 0 sin 0 sin
2 4 2 4 2 2


> - < < < <
(vỡ hm s sin
ng bin trờn khong
0;
2

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
).
Suy ra:
0
'( ) 0 < >
.
Do ú,
'( )
i du t dng sang õm khi x i qua im
0

, nờn hm s
( )
cú
mt cc tr duy nht, cng l giỏ tr ln nht ca hm s ti
0

.
( ) ( )
0 2; 0 = =

( )
2
0 0 0
0
0;
6 6 10
( ) 2cos 2 6sin cos 2 1 2 6
2 2 2 4 4 4



ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= = + = - + ì ì
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
0;
5 10
( )

4


ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
=
;
0;
( ) 0

ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
=
0,5
0,5
0,5
0,5
b)
(2,0)
b) Trong tam giỏc ABC:
sin sin 6sin 2sin cos 6sin 2cos cos 6sin
2 2 2 2


+ - -
+ + = + = +
Ta cú:
0 cos 0

2 2 2

< < ị >
, nờn luụn luụn cú:
2cos cos 2cos
2 2 2
-
Ê
.
Suy ra:
( )
sin sin 6sin 2cos 6sin ; 0
2

+ + Ê + < <
.
Theo cõu a) ta cú:
5 10
sin sin 6sin 2cos 6sin
2 4

+ + Ê + Ê
.
Du ng thc xy ra khi v ch khi:
0,5
0,5
0,5
3
cos 1
2

6
6
2arcsin
sin
4
2 4
 
 


ì
ï
-
ì
ï
ï
=
=
ï
ï
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
ï ï
=
ï ï

ï
î
ï
ï
î
Hay tam giác ABC cân tại C và
6
2arcsin
4
 =
0,5
Bi 2
(4đ)
a)
(2,0)
Ta có:
( ) ( )
2 3 2 3        + + = + + + + +
uuur uuur uuur uur uur uur uur uur uur
6 2 3   = + + +
uur uur uur uur
mà
1 1
2 3
    = + = - -
uur uur uur uuur uuur
1 2
2 3
    = + = - +
uur uur uuur uuur uuur

1 1
3 2
    = + = - +
uur uur uuur uuur uuur
Suy ra:
2 3 0  + + =
uur uur uur r
Do đó:
2 3 6   + + =
uuur uuur uuur uur
Ta có:
2 3 6 6 6       + + = Û = Û = -
uuur uuur uuur uur uur uur uur uur
Suy ra, Q là ảnh của P qua phép đối xứng tâm I.
Vậy tập hợp Q khi P chạy khắp (d) là đường thẳng (d') đối xứng của (d) qua I.
Nếu (d) đi qua I thì (d') trùng với (d); nếu (d) không đi qua I thì (d')//(d) và (d') đi
qua điểm
0
'
đối xứng với một điểm
0

chọn trước trên (d).
0,5
0,5
0,5
0,5
Gọi (C
1
) và (C

2
) là hai đường tròn đồng tâm O.
Lấy một điểm A trên (O'). Giả sử dựng được tam giác đều ABC sao cho B ở trên
(C
1
) và C ở trên (C
2
).
Khi đó, C là ảnh của B qua phép quay Q(A, 60
0
) (hoặc Q'(A, -60
0
)), nên C ở trên
đường tròn (C'
1
) ảnh của (C
1
) qua phép quay Q(A, 60
0
) (hoặc Q'(A, -60
0
)), do đó C là
giao điểm của (C'
1
) và (C
2
) (nếu có).
b)
(2,0)
Cách dựng: Lấy trước một điểm A trên (O').

Dựng đường tròn (C'
1
) là ảnh của C
1
) qua phép quay Q(A, 60
0
) (hoặc Q'(A, -60
0
)),
nếu (C'
1
) và C
1
) cắt nhau tại điểm C, ta dựng ảnh B là ảnh của C qua phép quay
Q'(A, -60
0
) (hoặc Q(A, 60
0
)), điểm B phải ở trên
đường tròn(O
1
). Tam giác ABC là tam giác đều
cần dựng. Có hình vẽ đã dựng.
Chứng minh: Theo cách dựng, (C'
1
) là ảnh của (C
1
)
qua phép quay góc 60
0

(hoặc (-60
0
), nên trong
phép quay ngược lại C biến thành B thuộc (C
1
).
Tùy theo số giao điểm của (C'
1
) và (C
2
) mà bài
toán có bấy nhiêu nghiệm hình.
Bây giờ, nếu dựng ảnh (C
2'
) của (C
2
) qua phép
quay Q(A, 60
0
) (hoặc Q'(A, -60
0
)), (C
2'
) nếu cắt (C
1
) thì ta có thêm một số nghiệm
hình nữa.
0,5
0,5
0,5

0,5
4
Bi 3 (4)
a)
(2,5)
( ) ( )
17 5
9 4 17
log 3 2 log 3 2 1


ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ - - =
ù
ù
ợ
0,5
1,0
( ) ( )
( ) ( )
17 5
3 2 3 2 17 (1)
log 3 2 log 3 2 1 (2)

ỡ
ù
+ - =
ù
ù

ớ
ù
+ - - =
ù
ù
ợ
Logarit húa 2 v ca (1):
( ) ( )
17 17
log 3 2 log 3 2 1

+ + - =
Bin i (2) v cựng c s 17:
( ) ( ) ( )
( )
17
17 5 17
17
log 3 2
log 3 2 log 3 2 1 log 3 2 1
log 5

-
+ - - = + - =
t
( ) ( )
17 17
log 3 2 ; log 3 2

= + = -
. Khi ú, h phng trỡnh tr thnh:
17
17
1
1
1
1
0
1
1 0
log 5
log 5







ỡ
ỡ
ù

= -
ù
+ =
ù
ù
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ù ù
ổ ử

ớ ớ ớ
ữ
ỗ
ữ
ù ù ù
=
+ =
ỗ - =
ữ
ù ù ù
ỗ
ợ
ữ
ữ
ỗ
ù ù

ố ứ
ù
ợ
ù
ợ
( )
( )
( )
17
17
log 3 2 0
3 2 1 3 9
2; 3
3 2 17 2 8
log 3 2 1





ỡ
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
- =
- = =
ù
ù

ù
ù ù ù
= =
ớ ớ ớ
ù ù ù
+ = =
+ =
ù ù ù
ù
ợ
ù
ợ
ù
ợ
0,5
0,5
b)
(1,5)
Hm s
1 1
3 2
2 1
( ) log log
2



ộ ự
ổ ử
+

ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
=
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
xỏc nh khi:
1
2
2 1
2 1 2 1
0
0 0
1
2
2 2
1
2 1
2 1 1
2
log 0

1 0
2
2 2









ỡ
ù
ỡ ỡ
+
ù ù
+ +
ù
ù ù
>
ù
> >
ù ù
ù
+
ù ù
ù ù ù
+ +
- < <

ớ ớ ớ
ổ ử
+
ù ù ù
+ -
ữ
ỗ
ù ù ù
ữ
>
ỗ
< <
ù ù ù
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ù ù ù
+
ố ứ
+ +
ù ù
ợ ợ
ù
ợ
Vy: Tp xỏc nh ca hm s l
1
; 1
2

ộ ự
ờ ỳ
= -
ờ ỳ
ở ỷ
0,5
0,5
0,5
Bi 4 (4 )
a)
(2,0)
Gi
1 2 3 4 5 6

l s gm 6 ch s ụi mt khỏc nhau c thit lp t tp
{ }
0,1,2,3,4,5
.
+ lp thnh mt s dng
1 2 3 4 5 6

:
1
0 ạ
nờn cú 5 cỏch chn
1

, sau ú chn mt hoỏn v 5 ch s cũn li.
Do ú cú tt c
5

5. 5 5! 600 = =
s dng
1 2 3 4 5 6

.
+ Ta tỡm cỏc ch s cú hai ch s 0 v 1 ng cnh nhau:
Cú 5 v trớ trong mi s
1 2 3 4 5 6

2 ch s 0 v 1 ng cnh nhau:
3 4 5 6 1 4 5 6 1 2 5 6 1 2 3 6 1 2 3 4
, , , , ,
trong ú v trớ u bờn
0,5
0,5
5
trỏi ch cú mt kh nng l
3 4 5 6
10 ,
cỏc v trớ cũn li l mt hoỏn v ca 0 v 1.
Sau khi chn v trớ hai ch s 0 v 1 ng cnh nhau, ta chn mt hoỏn v cỏc ch
s cũn li cho cỏc ch cũn trng.
Do ú cú
9 4! 216 =
s dng
1 2 3 4 5 6

, trong ú cú ch s 0 v ch s 1 ng
cnh nhau.
Vy: Cú tt c

600 216 384- =
s gm 6 ch s khỏc nhau, trong ú hai ch s 0
v 1 khụng ng cnh nhau
0,5
0,5
b)
(2,0)
1 2 2 3 3
2 2.2 2.3 2. 2 .


= + + + + + +
.
Ta cú:
( ) ( )
0 0
1 2 2 2






= =
+ = =
ồ ồ
0 1 2 2 2 3 3 3
2 2 2 2

= + + + + +
Ly o hm hai v, ta cú:
( )
1
1 2 2 3 3 2 1 1
2 1 2 2 2.2 2.3 2 . 2 .




-
- -
+ = + + + + + +
.
Vi
1 =
, ta cú:
1 2 2 3 3 1
2 2.2 2.3 2. 2 . 2 .3



-
= + + + + + + =
1,0
0,5
0,5
Bi
5
(4)

+ Hỡnh tr ni tip na mt cu, nờn theo gi thit ng
trũn ỏy trờn cú tõm O' cú hỡnh chiu ca O xung mt ỏy
(O'). Suy ra hỡnh tr v na mt cu cựng chung trc i
xng v tõm ca ỏy di hỡnh tr trựng vi tõm O ca na
mt cu.
+ Gi

v

ln lt l bỏn kớnh ỏy v chiu cao ca
hỡnh tr. Ta cú:
2 2
' = = -

( )
0 1 < Ê =
Th tớch khi tr l:
2 2 2 2
( ) = = -
0,5
0,5
0,5
0,5
( ) ( )
2 2 2
3
2 2
2 2 2 2 2
2 3 2 3
'( ) 2

1






ộ ự
- -
ờ ỳ
= - - = =
ờ ỳ
- - -ờ ỳ
ở ỷ
( )
0 1< Ê
0,5
2 6 6
'( ) 0 ; '( ) 0
3 3 3
= = = > <
, do ú trờn khong (0 ; 1) hm
s V(r) i du t õm sang dng, nờn
0
6
3
=
l im cc i ca hm s V(r).
Vy:
(

0;1
6 2 3
( )
3 9


ự
ỳ
ỷ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(vtt) khi
0
6
3
=
v
0
3

3
=
0,5
0,5
0,5
6