Đề KT và đáp án HSG Toán 9

Đề KIểM TRA ĐộI TUYểN tuần 19
Môn:Toán 9
(Thời gian:150 phút)
Câu 1: Giải phơng trình
a)
3
53
14
5 =
+


x
x
x
b)
01102610
234
=++++ xxxx
Câu 2: Tìm x,y,z trong phơng trình sau:

5634224 ++=+++ zyxzyx
Câu 3: Mỗi ngời trong nhóm 50 cô gái có tóc nâu hay tóc vàng và mắt xanh hay
mắt nâu.Nếu có 14 cô có tóc nâu mắt xanh,31 cô có tóc vàng và 18 cô mắt nâu thì
có bao nhiêu cô tóc vàng mắt nâu?
Câu 4: Cho tam giác ABC,điểm F chia cạnh AC theo tỉ số 1:2.Gọi I là trung điểm
của BF và E là giáo của AI và BC.Khi đó điểm E chia cạnh BC theo tỉ số nào?
Câu 5: Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) có
2RACAB ==
a) Tính BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC,đờng thẳng AM cắt đờng thẳng

BC tại D.Chứng minh rằng tích AM.AD không đổi.
c) Chứng minh rẳng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một
đờng cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.
Câu 6: CMR
a)
( )
*
13
1
2
12
6
5
4
3
2
1
Nn
n
n
n

+



b)
0,34
2
2

2
2









+++ yx
x
y
y
x
x
y
y
x

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu1:
a) ĐK:
5
≥
x
.Đặt
3
3

9
;05
2
=
+
−
−⇒≥=−
t
t
ttx
luôn đúng với mọi
0
≥
t
.
KL:Nghiệm của phương trình đã cho là
5
≥
x
.
b) *x=0 không là nghệm.
*
0≠x
chia cả hai vế của phương trình cho x
2
.Đặt
2,
1
≥=+ tt
x

x
,đưa về
phương trình dạng
024.10
2
=++ tt
Câu 2: Đưa phương trình về dạng
( ) ( ) ( )
0352312
222
=−−+−−+−− zyx
Câu 3: Mỗi cô gái trong 50 cô gái phải thuộc 1 trong 4 nhóm sau:
1.tóc nâu mắt xanh
2.tóc nâu mắt nâu
3.tóc vàng mắt xanh
4.tóc vàng mắt nâu.
Gọi x,y,z,t là số cô gái thuộc các nhóm 1,2,3,4.Khi đó ta có hệ phương trình







=+
=+
=
=+++
18
31

14
50
ty
tz
x
tzyx
13=⇒ t
Câu 4:
Kẻ FH // AE. IE là đường trung bình của
tam giác BFH nên BE=EH
FH // AE nên CF:FA=CH:HE=2
KL:BE:EC=1:3
Câu 5:
a) Do OA
2
+OC
2
=AC
2
nên tam giác OAC
vuông cân tại O.Do đó tam giác ABC vuông
tại A => BC=2R.
b) Tứ giác ABCM nội tiếp nên góc AMC=135
0
tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD nên
AM :AC=AC:AD Hay AM.AD=AC
2
=2R
2
.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD.Ta có CID=2CMD (góc ở
tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung CD)và AMC=135
0
nên CID=2CMD=2.45
0

nên tam giác CID vuông cân do vậy ACI vuông tại C.Tập hợp điểm I là đường
thẳng vuông góc với AC tại C không đổi.
Câu 6:
a) Dùng quy nạp
*Với n=1,bất đẳng thức đúng.
*Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k
2≥
,tức là
( )
2,
13
1
2
12
6
5
4
3
2
1
*
≥∈
+
≤

−
⋅⋅⋅⋅⋅ kNk
k
k
k
(1)
*Từ (1) ta có:
22
12
13
1
22
12
2
12
6
5
4
3
2
1
+
+
⋅
+
≤
+
+
⋅
−

⋅⋅⋅⋅⋅
k
k
k
k
k
k
k
Ta cần chứng minh
42028124192812
43
1
22
12
13
1
2323
+++≤+++⇔
+
≤
+
+
⋅
+
kkkkkk
k
k
k
k
bất đẳng

thức cuối cùng luôn đúng với mọi k
2≥
. Tức bất đẳng thức cần chứng minh
cũng đúng với n=k+1.
Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.
b)Đặt
2≥⇒+= t
x
y
y
x
t
,đưa về BĐT
0)2)(1(023
2
≥−−⇔≥+− tttt
luôn đúng
với mọi
2≥t
.đpcm