Kien Thuc Co Ban On Thi Thi Tot Nghiep THPT (Co ban)

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Ph ầ n A: Gi ả i Tích
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( )
0
/
=C
( )
1
/
=x
( )
x
x
2
1
/
=
( )
1
/
−
=
nn
nxx
 2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( )
//
/
vuvu +=+
( )

//
/
vuvu −=−
( )
//
/
. uvvuvu +=
2
//
/
v
uvvu
v
u −
=






//
ukuk =
,
Rk ∈
2
/
/
1
v

v
v
−=






2
/
/
.
v
v
k
v
k
−=






( )
///
/
uvwwuvvwuwvu ++=
2

/
11
x
x
−=






( )
2
/
dcx
bcad
dcx
bax
+
−
=






+
+
k

u
k
u
/
/
=






,
Rk
∈
xux
uyy
///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp (
( )
xuu =
( )
1
/
.
−

=
αα
α
xx
( )
/1
/
uuu
−
αα
α
2
/
11
x
x
−=






2
/
/
1
v
v
v

−=






( )
x
x
2
1
/
=
( )
u
u
u
2
/
/
=
( )
xx cossin
/
=
( )
uuu cos.sin
/
/

=
( )
xx sincos
/
−=
( )
uuu sin.cos
/
/
−=
( )
x
x
x
2
2
/
tan1
cos
1
tan +==
( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/

/
tan1
cos
tan +==
( )
( )
x
x
x
2
2
/
cot1
sin
1
cot +−=−=
( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/
/
cot1.
sin
cot +−=−=
( )

xx
 =
/
( )
uu
u  .
/
/
=
( )
aaa
xx
ln.
/
=
( )
auaa
uu
ln
/
/
=
( )
x
x
1
ln
/
=
( )

u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
x
a
ln.
1
log
/
=
( )
au
u
u
a
ln.
log
/
/
=
 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :
dcxaxaxy +++=
23

( )
0≠a
- MXĐ :
RD =
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=y
tìm
yx
⇒
- Tính giới hạn :
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞
nếu
0
>
a

lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
nếu
0
<
a
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm
/
y
) , kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến , điểm
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
cực đại , cưc tiểu của hàm số.
- Cho điểm đặc biệt :
+ Cho hai điểm lân cận của điểm cưc đại , cực tiểu .
+Tính đạo hàm
//
y
; giải phương trình
0
//

=y
tìm
00
yx ⇒

⇒
Điểm uốn
( )
00
; yxI
- Vẽ đồ thị : Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .Đồ thị của hàm số nhận điểm uốn
( )
00
; yxI

làm tâm đối xứng .
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba:
dcxaxaxy +++=
23

( )
0≠a
Nếu
0>a
Nếu
0<a
Nếu phương trình
0
/
=y

có 2
nghiệm phân biệt
21
; xx
+ Hàm số có hai cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

2
x

1
x

x

y

2
x

1
x

x
Nếu phương trình
0
/
=y

có
nghiệm kép
21
xxx ==
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x
Nếu phương trình
0
/
=y
vô
nghiệm
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn :
cbxaxy ++=
24

( )
0≠a
- MXĐ :
RD =
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=y
tìm
yx ⇒
- Tính giới hạn :
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
nếu

0>a

lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞
nếu
0<a
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm
/
y
) , kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến , điểm
cực đại , cưc tiểu của hàm số.
- Cho điểm đặc biệt :
Cho hai điểm lân cận của điểm cưc đại , cực tiểu , thường cho
2
giá trị đối nhau:
0
xx ±=

- Vẽ đồ thị : Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị , đồ thị của hàm số đối xứng qua trục
Oy
.

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn:
cbxaxy ++=
24

( )
0≠a
Nếu
0
>
a
Nếu
0
<
a
O
O
O
O
O
O
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Nếu phương trình
0
/
=y
có 2
nghiệm phân biệt
321
;0; xxx =
.

+ Hàm số có ba cực trị

y

1
x

3
x

x

y

1
x

3
x

x
Nếu phương trình
0
/
=y
có 1
nghiệm
0
=
x

+ Hàm số có không có cực trị

y

x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0 ≠−≠ bcada
- MXĐ :






−=
c
d
RD \

c
d
xy −≠∀> ;0
/
Nếu
0>− bcad
- Tính đạo hàm
( )
2
/
dcx
bcad
y
+
−
=

c
d
xy −≠∀< ;0
/
Nếu
0<− bcad
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận :

lim
x
a
y

c
→+∞
=

lim
x
a
y
c
→−∞
=
c
a
y =⇒
là tiệm cận ngang
Nếu
c
d
xy −≠∀> ;0
/
thì
+∞=
−
−→
c
d
x
ylim
và
−∞=

+
−→
c
d
x
ylim
Nếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
thì và
−∞=
−
−→
c
d
x
ylim
+∞=
+
−→
c
d
x
ylim
- Lập bảng biến thiên :
Nếu
c
d

xy −≠∀> ;0
/


x
∞−

c
d
−

∞+

/
y
+ +
y

∞+

c
a



c
a

∞−

O
O
O
O
c
d
x −=
là tiệm cận ngang
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng






+∞−∪






−∞− ;;
c
d
c
d
và không có cực trị .
Nếu

c
d
xy −≠∀< ;0
/
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng






+∞−∪






−∞−
;;
c
d
c
d
và không có cực trị .
- Cho điểm đặc biệt :
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho
d
b
yx =⇒= 0

+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho
a
b
xbaxy −=⇔=+⇔= 00
+ Cho các điểm lân cận của đường tiệm cận đứng :
c
d
x −=

- Vẽ đồ thị :
+ Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .
+ Đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
gồm hai nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua
giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm






−
c
a
c

d
I ;

+ Ta vẽ hai đường tiệm cận trước ,chấm giao điểm của hai đường tiệm cận , rồi sau đó
vẽ hai nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua giao điểm
I
của hai đường tiệm cận
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0 ≠−≠ bcada
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y

y

c
a

∞+


∞−

c
a

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :
a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm
( )
0, =mxg

( )
∗
Cách giải :
+ Đưa phương trình
( )
∗
về dạng :
( )
BAmxf +=
, trong đó

( )
xfy =
là đồ thị
( )
C
đã vẽ và

BAmy +=

( )
d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
Ox
.
+ Số nghiệm của phương trình
( )
∗
là số hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
và
( )
d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp )
Chú ý : Khi biện luận chỉ dựa vào
CĐ
y
và
CT
y

của hàm số để biện luận .
Nếu
0
/
>y
Nếu
0
/
<y

y

x

c
d
x −=

y


O

x

c
a
y =

c

d
x −=
O
c
a
y =
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy =
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
Cách giải :
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
có
dạng :
( )( )

00
/
0
xxxfyy −=−

( )
∗
Thế
( )
0
/
00
;; xfyx
đã cho hoặc vừa tìm vào
( )
∗
ta được tiếp tuyến cần tìm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy =
biết tiếp tuyến có hệ số góc k
cho trước:
Cách giải :
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
có dạng :

( )( )
00
/
0
xxxfyy −=−

( )
∗
Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên
( )
/
0
f x k=
, giải phương trình này tìm được

( )
000
xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
biết tiếp tuyến song
song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cách giải :
Gọi

( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm .Phương trình tiếp tuyến có dạng :
( )( )
00
/
0
xxxfyy −=−

( )
∗
( Ta tìm
( )
0
/
00
;; xfyx
).
 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng
baxyd +=:
thì
( )
axf =
0
/
, giải phương trình
này tìm được
( )
000

xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .
 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
baxyd +=:
thì

( ) ( )
a
xfaxf
1
1.
0
/
0
/
−=⇔−=
, Giải phương trình này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
.
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
xfy =
trên đoạn
[ ]
ba;
:
Cách giải :

+ Tính đạo hàm
( )
xf
/
, giải phương trình
( )
0
0
/
=xf
tìm nghiệm
[ ]
bax ;
0
∈
+ Tính các giá trị :
( )
af
;
( )
0
xf
;
( )
bf
+ Kết luận :
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0

;
axf ; ;
a b
x Max f a f x f b
M
=

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
inf ; ;
a b
M x Min f a f x f b
=
f) Tìm tham số
m
để đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
hoặc tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang
đi qua điểm
( )
00
; yxM
cho trước :

Cách giải :
 Nếu đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì thế điểm
( )
00
; yxM
vào
hàm số
( )
xfy =
ta tìm được
m
.
 Nếu tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
xfy =
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì ta tìm tiệm cận

đứng rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận đứng , ta tìm được
m
 Nếu tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
xfy =
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì ta tìm tiệm
cận ngang rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận ngang, ta tìm được
m
g) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
có cực trị (cực đại, cực tiểu ):
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
/
y

, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình
0
/
=y

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
có hai nghiệm phân biệt
{
m
a
⇒⇔
≠
>∆
0
0
h) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị tại

0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
xx =
( )
mxf
⇒⇔
0
/
i) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
đạt cực đại tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy

//
=

+ Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực đại tại
0
xx =

( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=
<
0
0
0
/
0
//
k) Tìm tham số
m
để hàm số

( )
xfy =
đạt cực tiểu tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=

+ Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx =

( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=

>
0
0
0
/
0
//
m) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên MXD
D
của
nó.
Cách giải :
+ Tìm MXĐ
D
của hàm số
( )
xfy =
.
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
, tính
∆

hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Hàm số
( )
xfy =
đồng biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≥⇔
>
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số
( )
xfy =
nghịch biến trên
D
{
mDxy
a

⇒⇔∈∀≤⇔
<
≤∆
0
0
/
0
n) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
( )
xfy =
Cách giải :
+ Tìm điểm cực đại
( )
AA
yxA ;
và điểm cực tiểu
( )
BB
yxB ;
của hàm số
( )
xfy =
+ Viết phương trình đường thẳng
AB
A
AB
A
yy
yy
xx

xx
AB
−
−
=
−
−
:
l) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị tại
0
x
và giá trị cực trị bằng
0
y
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Theo đề bài ta có
( )
( )
{

m
xf
yxf
⇒
=
=
0
0
/
00
 6) Hàm số mũ , hàm số lũy thừa , hàm số lôgarit:
a) Lũy thừa :

aaaa
n
=
(
n
thừa số ) 
n
n
a
a
a
aaaa
1
;
1
;;1
110

====
−−

n−
0;0
0
không có nghĩa . 
nnn
abba =.

n
n
n
b
a
b
a
=

aa
n
n
=
khi
n
lẻ

kn
n
k

aa
.
=

aa
n
n
=
khi
n
chẵn

n
m
n
m
r
aaa ==

nmnm
aaa
.
. =
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh

nm
n
m
a
a

a
−
=

( )
nm
n
m
aa
.
=

( )
nm
n
m
aa
.
=

m
m
m
b
a
b
a
=







 Nếu
1
>
a
thì
nmaa
nm
>⇔>
 Nếu
10
<<
a
thì
nmaa
nm
<⇔>
b) Hàm số lũy thừa
α
xy =
:
 Tập xác định : + Nếu
+
∈ Z
α
thì
RD =

+ Nếu
−
∈ Z
α
hoặc
0
=
α
thì
{ }
0\RD =
+ Nếu
Z∉
α
thì
( )
+∞= ;0D

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lũy thừa
α
xy =
( SGK trang 58-59 )
c) Hàm số lôgarit :
 Tập xác định :
xy
a
log=
xác định
{
10

0
≠<
>
⇔
a
x
 Định nghĩa :
bab
a
=⇔=
α
α
log
Tính chất :
01log
=
a
;
1log
=
a
a
;
ba
b
a
=
log
;
( )

α
α
=
a
a
log
 Quy tắc :

( )
2121
loglog.log bbbb
aaa
+=

21
2
1
logloglog bb
b
b
aaa
−=









( )
naaana
bbbbbb log loglog log
2121
+++=

b
b
aa
log
1
log −=







bb
aa
log.log
α
α
=

bb
aa
log.log

α
α
=


b
n
b
a
n
a
log.
1
log
=

 Công thức đổi cơ số :

a
b
b
c
c
a
log
log
log
=

a

b
b
a
log
1
log
=

bb
a
a
log
1
log
α
α
=
 Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:
+ Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số
10
, Kí hiệu :
bb
10
loglg
=
+ Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số

, Kí hiệu :
ln log
e

b b=
d) Hàm số mũ
x
ay
=
:
 Tập xác định :
RD =
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ
x
ay
=
( SGK trang 73-74 )
e) Hàm số
xy
a
log=
:
 Tập xác định :
( )
+∞= ;0D
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
xy
a
log=
( SGK trang 75-76 )
Hàm số
( )
xfy
a

log=
xác định
( )
{
0
10
>
≠<
⇔
xf
a
7) Phương trình mũ , phương trình lôgarit: Nếu
0
≤
b
thì phương trình vô nghiệm .
a) Phương trình mũ:
 Phương trình mũ cơ bản:
ba
x
=
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Nếu
0
>
b
thì
bxba
a
x

log=⇔=
.
 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :
( ) ( )
( ) ( )
xgxfaa
xgxf
=⇔=
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xf
at =
ĐK:
0>t
Giải phương trình mới theo
t
, tìm được
0>t
, rồi tiếp tục giải
( )
xf
at =
tìm được
x
+Phương pháp logarit hóa hai vế :
b) Phương trình logarit:
 Phương trình logarit cơ bản:
b
a

axbx
=⇔=
log

( )
10 ≠< a

 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxgxf
aa
=⇔=
loglog
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xft
a
log
=
(không có ĐK của
t
)
Giải phương trình mới theo
t
, tìm được
t
, rồi tiếp tục giải
( )
xft

a
log
=
tìm được
x
+ Phương pháp mũ hóa hai vế :
 8) Bất phương trình mũ ,bất phương trình lôgarit:
a) Bất phương trình mũ:
 Bất phương trình mũ cơ bản: Nếu
1>a
thì
bxba
a
x
log>⇔>

ba
x
>

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log<⇔>

Nếu
1>a

thì
bxba
a
x
log<⇔<

ba
x
<

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log>⇔<

Nếu
1>a
thì
bxba
a
x
log≥⇔≥

ba
x
≥

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log≤⇔≥

Nếu
1>a
thì
bxba
a
x
log≤⇔≤

ba
x
≤

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log≥⇔≤
 Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :

( ) ( )
xgxf >⇔
nếu
1>a

( ) ( )
xgxf
aa >

( ) ( )
xgxf <⇔
nếu
10 << a
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh

( ) ( )
xgxf <⇔
nếu
1
>
a

( ) ( )
xgxf
aa <

( ) ( )
xgxf >⇔
nếu
10

<<
a

( ) ( )
xgxf ≥⇔
nếu
1
>
a

( ) ( )
xgxf
aa ≥

( ) ( )
xgxf ≤⇔
nếu
10
<<
a

( ) ( )
xgxf ≤⇔
nếu
1
>
a

( ) ( )
xgxf

aa ≤

( ) ( )
xgxf ≥⇔
nếu
10
<<
a
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xf
at =
ĐK:
0
>
t
Giải bất phương trình mới theo
t
,với điều kiện
0>t
, rồi tiếp tục giải tìm được tập
nghiệm của bất phương trình đã cho .
b) Bất phương trình logarit:
 Bất phương trình logarit cơ bản: Nếu
1>a
thì
b
a
axbx >⇔>log


bx
a
>log

Nếu
10 << a
thì
b
a
axbx <<⇔> 0log
Nếu
1>a
thì
b
a
axbx <<⇔< 0log

bx
a
<log

Nếu
10 << a
thì
b
a
axbx >⇔<log
Nếu
1>a
thì

b
a
axbx ≥⇔≥log

bx
a
≥log

Nếu
10 << a
thì
b
a
axbx ≤<⇔≤ 0log
Nếu
1>a
thì
b
a
axbx ≤<⇔≤ 0log

bx
a
≤log

Nếu
10 << a
thì
b
a

axbx ≥⇔≥log

 Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xf
a
t log=
ĐK:
( )
0>xf
Giải bất phương trình mới theo
t
, kết hợp điều kiện
( )
0>xf
rồi tiếp tục giải tìm
được tập nghiệm của bất phương trình đã cho .
 9) Nguyên hàm ,tích phân và ứng dụng của tích phân:
a) Nguyên hàm :
Định nghĩa : Hàm số
( )
xF
là nguyên hàm của
( ) ( ) ( )
xfxFxf =⇔
/
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Họ nguyên hàm ( tích phân bất định ) :

( ) ( ) ( ) ( )
∫
=⇔+= xfxFCxFdxxf
/
 Tính chất :

( ) ( )
Cxfdxxf +=
∫
/

( ) ( )
∫∫
= dxxfkdxxfk

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf
 Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp:
Nguyên hàm của các hàm số thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp
∫
= Cdx.0
( )
( )
( )
∫
+
+

+
=+
+
C
a
bax
dxbax
1
1
α
α
α
∫
+= Cxdx
( )
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
ln
11
∫
+
+
=
+
C

x
dxx
1
1
α
α
α

( )
1−≠
α
( ) ( )
∫
+=
++
C
a
dx
baxbax

1
∫
+= Cxdx
x
ln
1

( )
0≠x
( )

( )
∫
+=
+
+
C
a
a
a
dxa
bax
bax
ln
1
∫
+= Cdx
xx

( ) ( )
∫
++=+ Cbax
a
dxbax sin
1
cos
∫
+= C
a
a
dxa

x
x
ln

( )
10 ≠< a
( ) ( )
∫
++−=+ Cbax
a
dxbax cos
1
sin
∫
+= Cxxdx sincos
( )
( )
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
tan
1
cos
1
2
∫

+−= Cxxdx cossin
( )
( )
∫
++−=
+
Cbax
a
dx
bax
cot
1
sin
1
2
∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2
( ) ( )
∫
++−=+ Cbax
a
dxbax cosln
1
tan
∫

+−= Cxdx
x
cot
sin
1
2
( ) ( )
∫
++=+ Cbax
a
dxbax sinln
1
cot
Phương pháp tính nguyên hàm :
 Phương pháp đổi biến số:
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
CxuFdxxuxuf +=
∫
/
.
, với
( )
xuu =
 Phương pháp từng phần :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dxxvxuxvxudxxvxu
∫∫

−=
//
hay :
∫∫
−= duvvudvu
b)Tích phân:
Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
,
( )
xF
là một nguyên hàm của
( )
xf

 Tính chất :

( ) ( )
∫∫
=
b
a
b

a
dxxfkdxxfk

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a
∫∫∫
±=±

( ) ( ) ( )
dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
∫∫∫
+=

( )
bca <<
Phương pháp tính tích phân :

 Phương pháp đổi biến số:
( ) ( )
[ ]
( )
dtttfdxxf
b
a
/
ϕϕ
β
α
∫∫
=
, với
( ) ( ) ( )
batx
===
βϕαφϕ
,,

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Phương pháp từng phần :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dxxvxuxvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a

∫∫
−=
/

hay :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvvudvu
Chú ý : Giả sử tính tích phân
( ) ( )
dxxQxPI
b
a
∫
= .
- Nếu
( )
xP
và
( )
xQ
có liên quan với nhau về mặt đạo hàm thì ta sử dụng phương pháp tích phân
đổi biến số .
- Nếu

( )
xP
và
( )
xQ
không liên quan với nhau về mặt đạo hàm thì ta sử dụng phương pháp tích
phân từng phần .
- Các dạng thường gặp và cách đặt của tích phân từng phần :
1. Dạng 1:
( )
( )
( )
dxxPI
nmx
nmx
nmx
b
a

















=
+
+
+
∫

sin
cos

;
( )
xP
là một đa thức theo
x

Đặt :
( ) ( )
dxxPduxPu
/
=⇒=

(Lấy vi phân )

( )
( )
( )

( )
dxvdxdv
nmx
nmx
nmx
nmx
nmxnmx
∫














=⇒

















=
+
+
+
+
++
sin

cos
sin

cos

sau đó áp dụng công thức tích phân từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b

a
duvvudvu
Dạng 2 :
( ) ( )
dxnmxxPI
b
a
+=
∫
ln.
;
( )
xP
là một đa thức theo
x

Đặt :
( ) ( )
[ ]
dxnmxdunmxu
/
lnln
+=⇒+=

(Lấy vi phân )

( ) ( )
dxxPvdxxPdv
∫
=⇒=

(Lấy nguyên hàm )
sau đó áp dụng công thức tích phân từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvvudvu
c)Ứng dụng của tích phân:
1
c
) Diện tích hình phẳng:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Đường cong
( ) ( )
xfyC =:
Trục hoành :
0=y
Ta có :
( )
dxxfS
b
a
∫
=
Hai đường thẳng
bxax == ;

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường:

Hai đường
( ) ( )
xfyC
11
: =
và
( ) ( )
xfyC
22
: =
Hai đường thẳng
bxax == ;

Ta có :
( ) ( )
dxxfxfS
b
a
∫
−=
21
2
c
) Thể tích của khối vật thể tròn xoay:
 Thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng
( )
H

giới hạn bởi :
Hai đường cong
( ) ( )
xfyC =:
Trục hoành :
0=y

Hai đường thẳng
bxax == ;
Quay quanh trục
Ox
Ta có :
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
 Thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi :
Đường cong
( ) ( )
xfyC
11
: =

và
( ) ( )
xfyC
22
: =
Trục hoành :
0=y

Hai đường thẳng
bxax == ;
Quay quanh trục
Ox
Ta có :
( ) ( )
2 2
1 2
b
a
V f x f x dx
π
= −   
   
∫

 10) Số phức :
a) Số
i
:
2
1i = −

b) Định nghĩa số phức :
Số phức có dạng :
z a bi
= +
;
2
, ; 1a b R i∈ = −
.
a
là phần thực ,
b
là phần ảo).
c) Hai số phức bằng nhau :
Cho 2 số phức
1
z a bi= +
;
2
z c di= +
{
1 2
a c
b d
z z
=
=
⇒ = ⇔
d) Môđun(độ dài) của số phức : Cho số phức :
z a bi
= +

.
Ta có môđun của số phức
z
là
2 2
z a b= +
e) Số phức liên hợp : Cho số phức :
z a bi
= +
Ta có số phức liên hợp của số phức
z
là :
z a bi= −
f) Phép cộng, trừ, nhân và chia số phức : Cho 2 số phức :
1
z a bi= +
;
2
z c di= +
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
z z a bi c di a c b d i+ = + + + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
z z a bi c di a c b d i− = + − + = − + −

( ) ( ) ( ) ( )
1 2

. .z z a bi c di ac bd ad bc i= + + = − + +

( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1
c di a bi
z c di ac bd ad bc
i
z a bi a bi a bi a b a b
+ −
+ + −
= = = +
+ + − + +
g) Tổng và tích của hai số phức liên hợp , nghịch đảo của số phức :
Cho số phức :
z a bi= +
và
z a bi= −
. Ta có :

( ) ( )
2z z a bi a bi a+ = + + − =
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh

( ) ( )
2 2
zz a bi a bi a b= + − = +

( ) ( )
2
2 2
1 1 a bi a bi z
z a bi a bi a bi a b
z
− −
= = = =
+ + − +

h) Phương trình bậc hai với hệ số thực :
2
az 0bz c+ + =
;
2
4 0b ac∆ = − <
;
2
1i = −
Phương trình có 2 nghiệm phức :
1 2
;
2 2
b i b i
z z
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Ph ầ n A: Hình H ọc
I.Hình h ọc không gian cổ điển :

1)Hình lăng trụ :
Thể tích khối lăng trụ :
.V B h=
(
B
là diện tích mặt đáy,
h
là chiều cao)
b) Khối chóp :
Thể tích khối chóp :
1
.
3
V B h=
( B là diện tích mặt đáy , h là chiều cao )
c) Mặt cầu :
Diện tích mặt cầu
2
4S r
π
=

Thể tích khối cầu : ;
3
4V r
π
=
(
r
là bán kính đường tròn đáy)

d ) Hình nón :
Diện tích hình tròn đáy của hình nón:
2
S r
π
=
(
r
là bán kính đường tròn đáy)
Diện tích xung quanh của hình nón :
xq
S rl
π
=
(
l
là độ dài đường sinh )
Diện tích toàn phần của hình nón :
dtp xq ay
S S S= +

Thể tích của khối nón :
1
.
3
V B h=
(
B
là diện tích mặt đáy ,
h

là chiều cao )
e) Hình trụ :
Diện tích hình tròn đáy của hình trụ :
2
S r
π
=
(
r
là bán kính đường tròn đáy)
Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
xq
S rl
π
=
;(
r
là bán kính đường tròn đáy,
l
là độ dài
đường sinh )
Diện tích toàn phần của hình trụ :
d
2
tp xq ay
S S S= +

Thể tích của khối trụ :
.V B h

=
(
B
là diện tích mặt đáy ,
h
là chiều cao )
II.Hình h ọc không gian tọa độ :
1) Tọa độ của các véctơ đơn vị và véctơ
0
r
:
( )
1;0;0i =
r
;
( )
0;1;0j =
r
;
( )
0;0;1k =
r
;
( )
0 0;0;0=
r
2) Phương trình của các mặt phẳng tọa độ : mặt
Ox : 0y z =
; mặt
Oyz : 0x =

; mặt
Oxz : 0y =

3 ) Gọi
( )
; ;M x y z
. Nếu
( )
x M ;0;0M O x∈ ⇒
; Nếu
( )
M 0; ;0M Oy y∈ ⇒
;
Nếu
( )
M 0;0;M Oz z∈ ⇒
; Gốc tọa độ
( )
0;0;0O

4) Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ : Cho 2 véctơ
( )
1 2 3
; ;a a a a=
r
;
( )
1 2 3
; ;b b b b=
r

4.1 )
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r r
;
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b− = − − −
r r

4.2 )
( )
1 2 3
. ; ;k a ka ka ka=
r
;
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b
= ⇔ = = =
r r

4.3)
a
r
cùng phương
3
1 2
1 2 3

a
a a
b
b b b
⇔ = =
r
; (
1 2 3
; ; 0b b b ≠
)
4.4) Tích vô hướng của 2 véctơ :
1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +
r r
4.5) Tích có hướng của 2 véctơ :
( )
( )
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
2 2 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
. ; ; ; ;
a a
a a a a
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
= = − − −
 
r r

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
4.6) Độ dài của véctơ :
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
. Bình phương vô hướng của
a
r
:
2
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
4.7) Góc giữa 2 véctơ
a
r
và
b
r
:
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
os ,
.
a b a b a b

c a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
4.8)
1 1 2 2 3 3
. 0 0a b a b a b a b a b⊥ ⇔ = ⇔ + + =
r r r r
5) Trong không gian
Oxyz
cho các điểm :
( ) ( ) ( ) ( )
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
A A A B B B C C C D D D
A x y Z B x y Z C x y Z D x y Z

5.1) Nếu
( )
; ;
M M M
M x y z
là trung điểm của đoạn
AB
thì :
; ;
2 2 2
A B A B A B
M M M

x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
5.2) Nếu
( )
; ;
G G G
G x y z
là trọng tâm của tam giác
ABC
thì :

; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =
5.3) Độ dài của đọan thẳng
AB
( hay khoảng cách giữa 2 điểm
A
và
B
) :
( ) ( ) ( )
2 2 2

B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur

5.4) Nếu tứ giác
ABCD
là hình bình hành thì :
AB DC=
uuur uuur
5.5) Diện tích tam giác
ABC
được tính bởi công thức :
1
.
2
ABC
S AB AC
 
=
 
uuur uuur
5.6) Thể tích khối tứ diện
ABCD
( hay hình chóp
.A BCD
) được tính bởi công thức :

1
.
3

ABCD ABC
V S AH=

(
( )
( )
,AH d A BCD=
,
AH
là đường cao của tứ diện
ABCD
kẻ từ
A
)
5.7) Để chứng minh 4 điểm
, , ,A B C D
là 4 đỉnh của tứ diện thì ta đi chứng minh 4 điểm
, , ,A B C D

không đồng phẳng tức chứng minh điểm
( )
D mp ABC∉
hoặc
( )
A mp BCD∉

6) Mặt Cầu : Phương trình mặt cầu
( )
S
tâm

( )
; ;I a b c
bán kính
r
có phương trình dạng :

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
( dạng chính tắc)

2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =
( dạng tổng quát ),
2 2 2
r a b c d= + + −
6.1) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu :
a) Nếu mặt cầu cho dạng chính tắc :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
thì mặt cầu có tâm

( )
; ;I a b c
và bán kính
2
r r=

b) Nếu mặt cầu cho dạng tổng quát :
2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =
thì ta chia hệ số của

; ;x y z
trong phương trình đề bài cho – 2 để tìm
; ;a b c

⇒
Tâm
( )
; ;I a b c
và tính bán kính

2 2 2
r a b c d= + + −
6.2) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
r
và chứng minh mặt
cầu
( )
S
cắt mặt phẳng

( )
α
cho trước :
 Thế tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
r
đã cho vào phương trình mặt cầu
( )
S


( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
 Để chứng minh mặt cầu
( )
S
cắt mặt phẳng
( )
α
ta chứng minh :
( )
,d I r
α
<
6.3) Viết phương trình mặt cầu
( )

S
có tâm
( )
; ;I a b c
và đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
:
 Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
r IM x a y b z c= = − + − −
uuur
 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
6.4) Viết phương trình mặt cầu

( )
S
có đường kính
AB
cho trước :
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Mặt cầu
( )
S
có tâm
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
 ÷
 
là trung điểm của
AB
và bán kính

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1
2 2
B A B A B A
r AB x x y y z z= = − + − −
uuur

 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
6.5) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
α
:
 Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
( )
2 2 2
Aa+Bb+Cc+D
;r d I
A B C

α
= =
+ +
 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
6.6) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
đi qua 4 điểm
, , ,A B C D
( hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD
:
 Phương trình mặt cầu có dạng :
2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =

( )
S
 Lần lượt thế 4 điểm
, , ,A B C D
vào ptmc
( )

S
ta được 1 hệ gồm 4 phương trình 4
ẩn
, , ,a b c d
, giải phương trình này tìm được
, , ,a b c d
 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =
7)Mặt phẳng :
7.1)Kiến thức cơ bản :
a) Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng :
n
α
⊥
r
;
0n ≠
r r
b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
α
là :
0Ax By Cz D+ + + =
; vtpt :
( )
; ;n A B C=
r

c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtpt
( )
; ;n A B C=
r
:

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.2) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua 3 điểm
, ,A B C
( hay mp
( )
ABC
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
A
và có vtpt
;n AB AC
 
=
 

r uuur uuur
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.3) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và song song với mp
β
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và có vtpt
n n
α β
=
uur uur
( Do
/ /
α β
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0

0A x x B y y C z z− + − + − =
7.4) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và vuông góc với đường thẳng
d
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và có vtpt
d
n u
α
=
uur uur
( Do
d
α
⊥
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.5) Viết phương trình mặt phẳng

α
đi qua 2 điểm
,A B
(hay chứa đường thẳng
AB
) và song song
đường thẳng
CD
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
A
và có vtpt
;n AB CD
α
 
=
 
uur uuur uuur

 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.6) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua 2
,A B
điểm (hay chứa đường thẳng

AB
) và vuông góc
mặt phẳng
β
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
A
và có vtpt
;n AB n
α β
 
=
 
uur uuur uur

 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
7.7) Viết phương trình mặt phẳng
α
chứa đường thẳng
1
d
và song song với đường thẳng
2
d

:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
1 1
M d∈
và có vtpt
1 2
;n u u
α
 
=
 
uur ur uur

 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.8) Viết phương trình mặt phẳng
α
là mặt phẳng trung trục của đoạn
AB
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
; ;
2 2 2
A B A B A B

x x y y z z
M
+ + +
 
 ÷
 
là trung điểm của
AB
và có
vtpt
n AB
α
=
uur uuur
(Do
AB
α
⊥
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.9) Viết phương trình mặt phẳng
α
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
có tâm
( )

; ;I a b c
( hay
α
là tiếp diện
của mặt cầu
( )
S
) tại điểm
M
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và có vtpt
n IM
α
=
uur uuur
(Do
IM
α
⊥
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
8) Đường thẳng :
8.1) Kiến thức cơ bản :

a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng :
/ /u d
r
(
0u ≠
r r
có giá song song hoặc trùng với
d
)
b) Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
( )
; ;u a b c=
r
có :
 Phương trình tham số :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +



= +


= +

 Phương trình chính tắc :
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
(
; ; 0a b c ≠
)
c) Véctơ chỉ phương của các trục tọa độ : Trục
Ox
có vtcp
( )
1;0;0u i= =
r r
Trục
Oy
có vtcp
( )
0;1;0u j= =
r r
Trục
Oz
có vtcp
( )

0;0;1u k= =
r r
8.2) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua 2 điểm
;A B
(hay đường thẳng
AB
) :
 Đường thẳng
d
đi qua điểm
A
và có vtcp
u AB=
r uuur
 Thế vào phương trình tham số
d
8.3) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và song song với đường thẳng
/
d
:
 Đường thẳng
d

đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
/
d d
u u
=
r r
 Thế vào phương trình tham số
d
8.4) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và vuông góc với mặt phẳng
α
:
 Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
d
u n

α
=
r r
( Do
d
α
⊥
)
 Thế vào phương trình tham số
d
8.5) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
d
và mặt phẳng
α
:
 Giải hệ
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +





⇒
Tọa độ giao điểm của đường thẳng
d
và mặt phẳng
α
.
8.6) Tìm tọa độ điểm
/
M
đối xứng với điểm
M
qua mặt phẳng
α
:
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
α
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và vuông góc với mặt phẳng

α
:
 Giải hệ
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +




⇒
Tọa độ hình chiếu
H
b ) Do
/
M
đối xứng với điểm
M
qua mặt phẳng

α
nên
H
là trung điểm của
/
MM
:
Ta có :
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
M
M

H H M
M
x x
x x x x
y y
y y y y
z z
z z z z
+

= ⇒ = −


+

= ⇒ = −


+

= ⇒ = −



⇒
Tọa độ điểm
/
M
8.7) Tìm tọa độ điểm
/

M
đối xứng với điểm
M
qua đường thẳng
d
:
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên đường thẳng
d
:
 Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
:
 Giải hệ
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
= +



= +


= +




⇒
Tọa độ hình chiếu
H
b ) Do
/
M
đối xứng với điểm
M
qua đường thẳng
d
nên
H
là trung điểm của
/
MM
:
Ta có :
/
/
/
/

/
/
2
2
2
2
2
2
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
x x
x x x x
y y
y y y y
z z
z z z z
+

= ⇒ = −



+

= ⇒ = −


+

= ⇒ = −



⇒
Tọa độ điểm
/
M
9) Khoảng cách :
9.1) Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
α
0Ax By Cz D+ + + =
:

( )
0 0 0
2 2 2
Ax

;
By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
9.2) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
α
và
β
:

( ) ( )
; ;d d M
α β β
=
; (
M
α
∈
)
9.3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
∆
và
α
:

( ) ( )

; ;d d M
α α
∆ =
; (
M ∈∆
)
10) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
1 1 1 1 2 2 2 2
: 0; : 0A x B y C z D A x B y C z D
α β
+ + + = + + + =
:

1 1 1 1
2 2 2 2
/ /
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠


1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =

( )

2 2 2
; ; 0A B C ≠
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh

1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
α β
∩ ⇔ ≠ ≠

Đặc biệt :
1 2 1 2 1 2
. 0 0n n A A B B C C
α β
α β
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
r r
11) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct
= +


= +



= +

và
/ / /
0
/ / / /
0
/ / /
0
:
x x a t
d y y b t
z z c t

= +

= +


= +

Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp

( )
; ;u a b c=
r
Đường thẳng
/
d
đi qua điểm
( )
/ / / /
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
( )
/
/ / /
; ;u a b c=
r

(
)
/ /
/
/
/ / cp
/ /
u u u u
d d
M d



⇔


∉

r r r r

( )
/
/ / /
/ / /
/
, , , 0 hay ( = k. )
a b c
a b c u u
a b c
M d

= = ≠

⇔


∉

r r


/
/

/
/ /u u
d d
M d


≡ ⇔

∈


r r
( )
/
/ / /
/ / /
/
, , 0 hay ( = k. )
a b c
a b c u u
a b c
M d

= = ≠

⇔


∈


r r

/
d d∩ ⇔
Hệ sau có đúng 1 nghiệm :
/ / /
0 0
/ / /
0 0
/ / /
0 0
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t

+ = +

+ = +


+ = +


d
và
/
d
chéo nhau
⇔
:

( )
/
/ / /
/ / /
/ / /
0 0
/ / /
0 0
/ / /
0 0
, , , 0 hay ( k. )
VN
a b c
a b c u u
a b c
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t

≠ ≠ ≠ ≠



+ = +


+ = +


+ = +


r r
Đặc biệt :
/
/ / / /
. 0 0d d u u aa bb cc⊥ ⇔ = ⇔ + + =
r r

Hết