CHƯƠNG 8: ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN ppt

Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1
1
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
(Lưu hành nội bộ)
2
ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN
 KHÁI NiỆM CHUNG
 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
CHƯƠNG 8:
 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH
CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
 BÀI TẬP
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2
3
KHÁI NiỆM CHUNG
Một trong những nhiệm vụ cơ bản của môn Sức bền vật
liệu là đề ra phương pháp tính toán độ ổn định của các bộ
phân công trình dưới tác dụng của ngoại lực.
Có thể hiểu, ổn định là khả năng duy trì hình thức biến
dạng ban đầu khi bị nhiễu. Trong thực tế, nhiễu có thể là
các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như độ cong ban
đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng
4
-Quả cầu đặt ở mặt lõm, nếu ta đẩy nó rời khỏi vị trí cân
bằng thì nó sẽ trở lại vị trí ban đầu ngay sau khi ta bỏ lực

đi. Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng ổn định.
Để có khái niệm vềổn định, ta hãy xét ví dụ sau:
-Quả cầu đặt ở mặt lồi, khi ta đẩy nó ra khỏi vị trí cân
bằng thì nó không trở về vị trí ban đầu nữa. Ta nói quả
cầu ở trạng thái cân bằng không ổn định.
-Quả cầu nằm trên mặt phẳng, quả cầu đến vị trí mới và
giữ nguyên ở vị trí đókhi rời khỏi vị trí cân bằng cũ, ta nói
quả cầu ở trạng thái cân bằng phiếm định
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3
5
KHÁI NiỆM CHUNG
-Nếu lực P < P
th
, thanh sẽ phục hồi lại trạng thái
biến dạng thẳng ban đầu. Sự cân bằng của trạng
thái biến dạng thẳng ban đầu được gọi là ổn định.
Điều tương tự cũng xảy ra đối với một hệ đàn hồi:
-Nếu P > P
th
, chuyển vị ngang δ sẽ tăng lên và
thanh sẽ cong thêm. Sự cân bằng của biến dạng
thẳng ban đầu được gọi là không ổn định.
-Nếu lực P = P
th
, thanh sẽ giữ nguyên chuyển vị δ
và biến dạng cong sau khi bị nhiễu. Sự cân bằng
của biến dạng ban đầu được gọi là phiếm định.
PP
Q

6
KHÁI NiỆM CHUNG
- Như vậy, nếu P > P
th
, thì thanh cân bằng không ổn định,
thanh sẽ chuyển sang hình thức biến dạng mới bị uốn
cong, khác trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực.
-Các kết cấu khác đều có thể bị mất ổn định như thanh
chịu nén, dầm chịu uốn, tấm vỏ chịu nén hoặc xoắn
-Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ một thanh cũng dẫn đến sự
sụp đổ của toàn bộ kết cấu. Tính chất phá hoại do mất ổn
định là đột ngột và nguy hiểm.
- Trong chương này chỉ giới thiệu bài toán ổn định thanh
chịu nén đúng tâm.
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4
7
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Xét thanh thẳng hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đúng
tâm P
th
. Khi bị nhiễu, thanh sẽ bị uốn cong trong mặt
phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Ta xác định lực tới hạn đó.
y(z)
L
1
1
P
z

b
h
th
1-1
y(z)
P
z
th
P
th
M
8
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
-Từ điều kiện cân bằng của đoạn thanh, ta xác định
được mômen uốn trên mặt cắt đó:
-Giả thiết rằng khi thanh mất ổn định, vật liệu thanh làm
việc trong giai đoạn đàn hồi và chuyển vị là bé. Gọi độ
cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn cong là EI
min
.
(
)
(
)
xth
Mz Pyz=
- Phương trình vi phân đường đàn hồi:
()
(

)
x
min
Mz
y'' z
EI
=−
(a)
(b)
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5
9
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
- Thay (a) vào (b) ta được:
Đặt:
()
(
)
() ()
th
th
min min
Pyz
P
y'' z y'' z y z 0
EI EI
=− ⇒ + =
2
th

min
P
EI
α=
(c)
Ta viết lại phương trình trên như sau:
(
)
(
)
2
y'' z y z 0
+
α=
Nghiệm tổng quát của phương trình (c) có dạng:
(
)
12
yz Csin z Ccos z
=
α+ α
(d)
10
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Trong đó, C
1
và C
2
là các hằng số tích phân:

-Với:
(
)
(
)
1
z0 yz y0 0 C 0=⇒ = =⇒ =
-Với:
(
)
(
)
2
z L yz yL 0 Csin L 0=⇒ = =⇒ α=
Nếu C
2
= 0 thì y(z) = 0 với mọi biến z, điều này sai.
Do đó:
sin L 0 L nα=⇒α=π
Với n = 1, 2, 3, …
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6
11
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh hai đầu khớp
Suy ra:
n
L
π
α=

mà:
2
th
min
P
EI
α=
22
2
min
th min
2
nEI
PEI
L
π
⇒=α =
Với n = 1, 2, 3, …
Trong thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất,
ứng với n=1 thì thanh đã bị cong. Do đó, các giá trịứng
với n>1 không còn ý nghĩa. Nên, công thức viết lại như
sau:
Với n = 1, 2, 3, …
2
min
th
2
EI
P
L

π
=
(8.2)
(8.1)
12
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh có liên kết khác
Khi xác định lực tới hạn cho các thanh có liên kết khác
nhau ở hai đầu bằng phương pháp bên trên, ta đều thu
được công thức có dạng chung giống công thức (8.1).
22
min
th
2
nEI
P
L
π
=
Với n là số nửa sóng hình sin của đường đàn hồi khi
thanh bị mất ổn định
1
n
μ=
(8.3)
Đặt:
()
2
min
th

2
EI
P
L
π
⇒=
μ
Trị số μL được gọi là chiều dài quy đổi của thanh.
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7
13
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Thanh có liên kết khác
Sau đây là một số dạng mất ổn định và hệ số quy đổi của
thanh có liên kết khác nhau thường gặp:
μ
0,7 0,5 1 212
14
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Ứng suất tới hạn
Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực
P
th
gọi là ứng suất tới hạn được xác định theo công thức:
() ()
222
th
min min
th
22

P
EI E.i
A
LA L
ππ
σ= = =
μμ
min
min
I
i
A
=
Trong đó:
(8.4)
Bán kính quán tính của tiết diện theo phương có độ cứng
chống uốn là nhỏ nhất.
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8
15
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Ứng suất tới hạn
Đặt:
min
L
i
μ
λ=
2
th

2
E
π
σ=
λ
Công thức (8.4) được viết lại như sau:
Gọi là độ mảnh của thanh
(8.5)
Độ mảnh của thanh không có thứ nguyên, phụ thuộc vào
chiều dài thanh, điều kiện liên kết biên và đặc trưng hình
học của tiết diện, thanh có độ mảnh càng lớn thì càng dễ
mất ổn định.
16
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Giới hạn sử dụng công thức Euler
Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình
vi phân đường đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được khi vật
liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất
trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:
2
th tl
2
Eπ
σ= ≤σ
λ
2
tl
E
π
λ≥

σ
hay
Đặt
2
0
tl
Eπ
λ=
σ
Thì điều kiện áp dụng là
0
λ
≥λ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9
17
LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN
Giới hạn sử dụng công thức Euler
Trong đó λ
0
được gọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng
số đối với mỗi loại vật liệu:
- Đối với thép xây dựng λ
0
= 100
- Đối với gỗ λ
0
= 75
- Đối với gang λ
0

= 80
Nếu thanh có λ > λ
0
thì được gọi là thanh có độ mảnh
lớn. Do đó, công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh
có độ mảnh lớn.
18
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Giới thiệu
Khi ứng suất tới hạn trong thanh lớn hơn giới hạn tỉ lệ thì
cần thiết phải có công thức khác để tính lực tới hạn.
Iasinski
σ
ch
σ
0
σ
t l
λ
λ
1
λ
0
Euler
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10
19
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức thực nghiệm Iasinski
Nếu thanh có độ mảnh vừa λ

1
< λ < λ
0
, thì áp dụng công
thức sau:
th
ab
σ
=−λ
Với a và b là hằng số phụ thuộc vào vật liệu, được xác
định bằng thực nghiệm
- Đối với thép a = 33,6(kN/cm
2
); b = 0,147 (kN/cm
2
)
- Đối với gỗ a = 2,93 (kN/cm
2
); b = 0,0194 (kN/cm
2
)
- Độ mảnh λ
1
được xác định từ công thức:
tl
1
a
b
−
σ

σ=
20
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức thực nghiệm Iasinski
Nếu thanh có độ mảnh bé λ < λ
1
, lúc này thanh không bị
mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu
Vì vậy:
-Với
th b
σ
=σ
Đối với vật liệu giòn
-Với
th ch
σ
=σ
Đối với vật liệu dẻo
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11
21
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến
Ta có đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
Môđun đàn hồi tiếp tuyến
được định nghĩa là độ dốc
của tiếp tuyến của đường
cong quan hệứng suất và
biến dạng.

t
d
E
d
σ
=
ε
E
ch
σ
0
σ
t l
ε
B
E
1
th
σ
A
22
ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI
Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến
Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi thì môđun tiếp
tuyến là một hàm theo ứng suất:
Bằng cách thiết lập công thức giống như cách của Euler
nhưng môđun đàn hồi E được thay bằng môđun đàn hồi
tiếp tuyến E
t
()

2
tmin
th
2
EI
P
L
π
=
μ
Ứng suất tới hạn được xác định qua công thức:
2
t
th
2
Eπ
σ=
λ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12
23
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Một thanh chịu nén cần thỏa mãn hai điều kiện:
- Điều kiện bền:
[]
n
g
P

A
σ= ≤ σ
Với
[]
0
n
n
σ
σ=
- Điều kiện ổn định:
[]
od
P
A
σ= ≤ σ
Với
[]
th
od
k
σ
σ=
n: hệ số an toàn về bền. A
g
: diện tích giảm yếu của t/diện.
k: hệ số an toàn vềổn định. A: diện tích nguyên của t/diện.
24
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:

Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào
khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất ϕ
được định nghĩa như sau:
[
]
[]
th
od
0
n
n
k
σ
σ
ϕ= =
σσ
Vì
th
0
1
σ
<
σ
Và
n
1
k
<
Từ đó ta được:
nên

1
ϕ
<
[]
[
]
n
od
=ϕ
σ
σ
hay
[]
n
P
A
σ
=≤σ
ϕ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13
25
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k)
0,310,160,430,510,60100
0,380,200,550,620,6990
0,480,260,650,700,7580
0,600,340,720,760,8170
0,710,440,790,820,8660

0,800,540,830,860,8950
0,870,690,870,890,9240
0,930,810,910,920,9430
0,970,910,950,950,9620
0,990,970,970,980,9910
1,001,001,001,001,000
GỗGang
Thép CΠK
Thép số 5
Thép số 2, 3,
4
Trị số ϕ đối với
Độ mảnh λ
26
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k)
0,080,130,160,19200
0,090,140,170,21190
0,100,150,190,23180
0,110,170,210,26170
0,120,190,240,29160
0,140,210,260,32150
0,160,230,290,36140
0,180,260,330,40130
0,220,300,360,45120
0,250,350,430,52110
GỗGang
Thép CΠK
Thép số 5

Thép số 2, 3,
4
Trị số ϕ đối với
Độ mảnh λ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14
27
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:
[]
n
P
A
σ
=≤
ϕ
σ
- Bài toán kiểm tra ổn định:
[
]
[
]
n
PA
≤ϕ
σ
- Bài toán xác định tải trọng cho phép:
Trong hai bai toán trên, vì tiết diện thanh đã biết bên có thể

tính được I
min
, rồi từ đótìm được λ, rồi tra bảng tìm được ϕ.
28
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Phương pháp tính:
Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:
[]
n
P
A ≥
ϕ
σ
- Bài toán xác định kích thước tiết diện:
[]
00
0
n
P
A ≥⇒λ
ϕσ
Việc tìm A phải tìm đúng dần, vì ta có hai biến A và ϕ chưa
biết. Ta có thể tiến hành như sau:
Giả thiết ϕ
0
= 0,5, tính được:
Từ λ
0
tra bảng được λ

0
’. Nếu λ
0
khác λ
0
’thìgiả thiết lại λ
1
:
[]
'
'
00
1111
1
n
P
A
2
λ+λ
λ= ⇒ = ⇒λ⇒
ϕ
ϕσ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 15
29
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý
Theo công thức tính lực tới hạn:
()

2
min
th
2
EI
P
L
π
=
μ
- Trong miền đàn hồi:
Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,
để tăng P
th
ta có các cách sau:
()
2
tmin
th
2
EI
P
L
π
=
μ
- Ngoài miền đàn hồi:
30
PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN
ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý
-Chọn vậy liệu có môđun đàn hồi lớn, việc này chỉ áp
dụng đối với thanh làm việc ngoài miền đàn hồi.
-Cấu tạo mặt cắt ngang rỗng để tăng mômen quán tính của
tiết diện nhưng phải đảm bảo không để mất ổn định cục bộ.
-Nếu tiết diện có liên kết hai phương giố
ng nhau thì cấu tạo
tiết diện có I
x
= I
y
. Đồng thời, nếu liên kết hai phương là
khác nhau thì nên cấu tạo sao cho λ
x
= λ
y
.
Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,
để tăng P
th
ta có các cách sau: