Chương 9: Ổn định thanh chịu nén đúng tâm doc

Chương 9
ỔN ĐỊNH
THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
9.1 Khái niệm
9.2 Điều kiện ổn định và tính toán ổn định
9.3 Hình dáng hợp lý khi chịu nén
9.1 Khái niệm

Trạng thái cân bằng ổn định

Trạng thái tới hạn

Trạng thái cân bằng không ổn định
(trạng thái mất ổn định)
9.1 Khái niệm

Khi mất ổn định, công trình hay chi tiết máy làm việc không bình thường.

Khi vượt quá tr.thái tới hạn, công trình hay chi tiết có thể bị phá hoại một cách
bất ngờ vì biến dạng tăng rất nhanh. Khi thiết kế cần đảm bảo: độ bền, độ cứng
và độ ổn định, nên

Giải b.toán ổn định là phải xác định P
th
ôđ
th
k
P
P ≤
9.2 Điều kiện ổn định
- Tính toán ổn định


Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)- Tính ổn
định trong miền đàn hồi.

Tính ổn định ngoài miền đàn hồi
Xác định lực tới hạn của thanh
chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle)
( ) ( )
zyPzM
th
=
( )
( )
( )
minmin
"
EJ
zyP
EJ
zM
zy
th
−=−=
( ) ( )
0"
min
=+⇒ zy
EJ
P
zy

th
( ) ( )
0"
2
=+⇒ zyzy
α
( )
zCzCzy
21
α+α= cossin
min
2
EJ
P
th
=
α
Nghiệm tổng quát của phương trình
vi phân đường đàn hồi
( )
a01C0Cythì0zKhi
21
=+==
( )
b0LCLCythìLzKhi
21
=α+α== cossin
( )
zCzCzy
21

α+α= cossin
( ) ( )
czCy0Ca
12
α==→ sin,
( )
0LCb
1
=α→ sin
Nghiệm tổng quát của phương trình
vi phân đường đàn hồi
( )
3,2,1,0sin
0
1
==→=→=⇒
≠
n
L
n
nLL
C
π
απαα
( ) ( )
dz
L
n
Czy
1

π
= sin
( )
e
L
EJn
P
2
22
th
min
π
=
zCy
α
sin
1
=
Thanh đang bị cong








=
min
2

EJ
P
th
α
n=1/2 bước sóng hình sin
của đường đàn hồi
2
22
th
L
EJn
P
min
π
=
2
2
th
L
EJ
P
min
π
=
2
22
th
L
EJ2
P

min
π
=
2
22
th
L
EJ3
P
min
π
=
Là các hệ số
phụ thuộc
vào loại liên
kết ở hai đầu
thanh
( )
2
2
2
2
2
th
L
EJ
L
EJ
mP
µ

π
=
π
=
minmin
µ
=µ
1
mvà
Ứng suất trong thanh
( ) ( )
2
22
2
2
th
th
L
Ei
FL
EJ
F
P
µ
π
=
µ
π
==σ
minmin

F
J
i
2
min
min
=
2
2
th
E
λ
π
=σ
min
i
Lµ
=λ
Ứng suất trong thanh

σ
th
càng lớn thì tính ổn định của thanh càng cao

σ
th
càng bé thì thanh càng dễ mất ổn định

σ
th

phụ thuộc vào E, λ
(λ độ mảnh của thanh là hệ số phụ thuộc vào đặc trưng hình học mặt cắt ngang
và liên kết của thanh)
2
2
2
2
λ
π
λ
π
σ
EF
P
F
P
E
th
th
th
=⇒==
Giới hạn của công thức Ơle
0
tl
2
tl
2
2
th
EE

λ=
σ
π
≥λ⇒σ≤
λ
π
=σ
0
λ≥λ
Điều kiện để áp dụng công thức Ơle
λ>λ
0
: thanh có độ mảnh lớn
λ<λ
0
: thanh có độ mảnh vừa và bé
λ
0
hoàn toàn phụ thuộc vào vật liệu
Ví dụ 9.1
Kiểm tra độ ổn định của cột làm
bằng thép CT3 có: σ
tl
=210MN/m2,
E=2.1011N/m2, k
ôđ
=3,
P=150kN
Ví dụ 9.1


Đặc trưng thép I24a: F=37,5cm2,
J
y
=J
min
=260cm4, i
y
=i
min
=2,63cm

µ=0,5 (thanh ngàm 2 đầu)

Độ mảnh thanh

Độ mảnh giới hạn của thép CT3
142
632
750x50
i
L
==
µ
=λ
,
,
min
10010.
210
102

6
1122
0
≈==
−
xxE
th
π
σ
π
λ
Ví dụ 9.1

λ> λ
0
nên thanh có độ mảnh lớn, dùng công thức Ơle để tính P
th

Tải trọng cho phép theo điều kiện ổn định

P > [P] nên thanh không đảm bảo độ ổn định
kN
EF
P
th
367
142
5,37.10.2.
2
42

2
2
===
π
λ
π
[ ]
kN122
3
367
k
P
P
ôđ
th
===
Tính ổn định
ngoài miền đàn hồi
Thanh có độ mảnh vừa và bé (λ<λ
0
): khi bị mất ổn định vật liệu làm việc ngoài
giới hạn đàn hồi,
λ
1
là trị số giới hạn của thanh có độ mảnh vừa

Thanh có độ mảnh vừa λ
1
≤λ<λ
0

σ
th
=a - bλ (công thức Iaxinski)
a, b: hằng số phụ thuộc vào vật liệu

Thanh có độ mảnh bé λ≤λ
1
σ
th
= σ
0
= σ
ch
vật liệu dẻo
σ
th
= σ
0
= σ
b
vật liệu dòn
Ví dụ 9.2
Tính lực tới hạn của cột làm bằng thép CT
3
, mặt cắt ngang chữ I22a. Cột có liên kết
khớp 2 đầu, E=2,1x104kN/cm2. Xét hai trường hợp:

Cột cao 3m

Cột cao 2,25m

Thép CT
3
có λ
0
=100; a=33,6kN/cm2; b=0,147kN/cm2
Ví dụ 9.2
Đặc trưng thép I22a: F=32,4cm2, i
y
=i
min
=2,5cm
Thanh khớp 2 đầu nên µ=1
1. Cột cao 3m

Độ mảnh thanh

Ứng suất tới hạn

Lực tới hạn
0
120
52
300x1
i
L
λ>==
µ
=λ
,
min

22
42
2
2
th
cm
kN
314
120
10x12xE
,
,
=
π
=
λ
π
=σ
kN463432x314FP
thth
==σ= ,,.
Ví dụ 9.2
2. Cột cao 2,25m

Độ mảnh thanh

Ứng suất tới hạn

Lực tới hạn
0

90
52
225x1
i
L
λ<==
µ
=λ
,
min
2
th
cmkN42090x1470633ba /,,, =−=λ−=σ
22
cmkN1470bcmkN633a /,,/, ==
kN660432x420FP
thth
==σ= ,,
Tính thanh chịu nén
bằng phương pháp thực hành

Điều kiện bền của thanh chịu nén

Đ.kiện ổn định của thanh chịu nén
[ ]
( )
a
nF
P
0

n
σ
=σ≤
[ ]
( )
'a
kF
P
ôđ
th
ôđ
σ
=σ≤
[ ]
[ ]
1
k
n
ôđ0
th
n
ôđ
<ϕ
σ
σ
=
σ
σ
=ϕ ,
[ ] [ ] [ ]

( )
b
F
P
hay
nnôđ
σϕ≤σϕ=σ⇒
Nhận xét

ϕ gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép, phụ thuộc vào: vật liệu, độ mảnh, hệ số
an toàn về bền và ổn định

Từ (a), (b) ta thấy do ϕ<1 nên nếu điều kiện ổn định thỏa thì điều kiện bền
đương nhiên thỏa ⇒ chỉ cần tính thanh chịu nén theo điều kiện ổn định theo (b)

Từ (b) có 3 bài toán cơ bản
[ ] [ ] [ ]
( )
b
F
P
hay
nnôđ
σϕσϕσ
≤=
Ba bài toán cơ bản

Định tải trọng cho phép [P]=ϕF[σ]

Kiểm tra điều kiện ổn định P≤ϕF[σ]


Định kích thước mặt cắt ngang
Xác định
kích thước mặt cắt ngang

Giả thuyết ϕ
0
⇒ F

theo

Từ F

⇒ λ theo công thức

Từ λ tra bảng được trị số ϕ
0’
+ Nếu ϕ
0’
≠ ϕ
0
giả thuyết ban đầu thì tính lại từ đầu với :

+ Nếu ϕ
0’
≈ ϕ
0
tiến hành kiểm tra theo điều kiện ổn định.
F
J

i
i
L
==
min
min
,
µ
λ
2
'00
1
ϕϕ
ϕ
+
=
[ ] [ ]
nôđ
F
P
σϕσ
=≤
Ví dụ 9.3
Kiểm tra điều kiện ổn định của
cột AB. Cột bằng thép CT3 có
[σ]=16kN/cm2, mc ngang chữ I
N
0
30
Ví dụ 9.3

Thép I30 : F=46,5cm2, J
y
=J
min
=337cm4, i
y
=i
min
=2,29cm
Thanh khớp 2 đầu nên µ=1

Độ mảnh cột

Tra bảng và nội suy đường thẳng được ϕ=0,326

Lực nén cho phép cột

Lực nén trong cột do tải trọng gây ra
Đảm bảo điều kiện ổn định
5148
692
400x1
i
L
,
,
min
==
µ
=λ

[ ] [ ]
kN242165463260FN
n
==σϕ= .,.,
kN215
8
510201040480
N =
++
=

[ ]
NN <