Đề ôn thi ĐH số 2 có đáp án

ĐỀ 2
( Thời gian làm bài 150 phút )
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
12
2
C
x
x
y
+
+−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(C
, trục
Ox
và trục
Oy
.
c) Xác định
m
để đường thẳng
mxyd 2:)( +=
cắt đồ thị
)(C

tại hai điểm phân biệt.
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
a) I=
2
2
0
cos 2 .sinx xdx
π
∫
b) J=
∫
+
1
0
2
3
)
1
( dx
x
x
Câu 3. (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA.
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC).
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đóI)
I)Theo chương trình chuẩn.

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

43
23
+−−= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 )
và có tâm I thuộc đường thẳng (d):
1 2 3
2 1 2
x y z− + −
= =
− −
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1)
và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
HẾT
HƯỚNG DẨN ĐỀ 2
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số :
)(
12
2

C
x
x
y
+
+−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số.
Tập xác định :
}
2
1
{\R −
Sự biến thiên.
. chiều biến thiên :
2
1
,0
)12(
5
'
2
−
≠∀<
+
−
= x
x

y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
);
2
1
()
2
1
;( +∞
−−
−∞ và
Hàm số không có cực trị
1
Tiệm cận :
2
1
12
2 −
=
+
+−
=
±∞→±∞→
x
x
LimyLim
xx
+∞=−∞=
+−

−
→
−
→
yLimvàyLim
xx
2
1
2
1
Đường thẳng
2
1−
=y
là tiệm cận ngang
Đường thẳng
2
1−
=x
là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên
Đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục
Ox
tại điểm ( 2 ; 0 )
Vẽ đồ thị .
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
)(C

, trục
Ox
và trục
Oy
Giao điểm với trục
Ox
: ( 2 ; 0 )
Giao điểm với trục
Oy
: ( 0 ; 2 ).
Vì
0
12
2
≥
+
+−
=
x
x
y
với
]2;0[∈x
nên diện tích hình phẳng cần tìm :
∫∫
++
−
=
+
+

−
=
+
+−
=
2
0
2
0
2
0
)12
4
5
2
1
()
12
2/5
2
1
(
12
2
xLnxdx
x
dx
x
x
S

S =
5
4
5
1 Ln+−
( đvdt)
C)Xác định
m
để đường thẳng
mxyd 2:)( +=
cắt đồ thị
)(C
tại hai điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của
)(d
và đồ thị (
C
) thỏa phương trình :
2 2
2
2 2
2 1
2 ( )
2 1 2
2 4 2 2 2 0 (2 1) 1 0
1 1
2( ) 2 1 2 2 0 1 2 0
2 2
(2 1) 1 0 4 5 0,
x

x m x
x
x mx x m x m x m
m m
x m x m có m m
− + −
= + ≠
+
 
+ + + − = + + + − =
 
⇔ ⇔
 
−
− − + − ≠ − − ≠
 
 
+ + + − = ∆ = + > ∀
Vậy với mọi
m
đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt
Câu 2 Tính các tích phân : a) I=
2
2
0
cos 2 .sinx xdx
π
∫
Vậy I =
2

2
1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 16
0
0
( cos 2x- cos 4 ) ( sin 2 sin 4 )
8
x dx x x x
π
π
π
− = − − = −
∫
b) J=
∫∫
+
=
+
1
0
23
2
1
0
2
3
)1(
)
1
( dx

x
x
dx
x
x
Đặt
dxxduthìxu
23
31 =+=
y’
y
−
−
x -1/2- +
+
-1/2
−∞
-1/2
2
Ta có :
x
= 0 thì
1=u
;
x
= 1 thì
2=u
Vậy J=
6
1

3
1
6
1
3
1
3
2
1
2
1
2
=+
−
=−=
∫
u
u
du
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA.
Ta có
)3;2;0( −=BC
;
)0;0;1(=OA
Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là :
)2;3;0(=n
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến
)2;3;0(=n
nên có phương trình : (y – 2)3 + 2z = 0

⇔
3y + 2z – 6 = 0
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC).
Phương trình mp(ABC) :
062361
321
=−++⇔=++ zyx
zyx

Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH:





=
=
=
2tz
3ty
6tx

H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :








=++
=
=
=
06-2z3y6x
2tz
3ty
6tx
Giải hệ trên ta được H (
)
49
12
;
49
18
;
49
36
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
43
23
+−−= xxy

43
23
+−−= xxy
xác định và liên tục trên R

2
' 3 6 ' 0 0; 2y x x y x x= − − ⇒ = ⇔ = = −
thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ])
Xét trên trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2.
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I
thuộc đường thẳng (d):





+=
=
=
6t1z
3ty
t-2x
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB −=
→
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
02zy2x2 =++−⇔
Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :








=++−
+=
=
−=
02z2y2x
6t1z
3ty
t2x
Giải hệ trên ta được I (
)22;
2
21
;
2
3
−
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
2
967
19)
2
21
()2
2

3
(
222
=++−−
Phương trình mặt cầu ( S )
2
967
)22()
2
21
()
2
3
(
222
=−+−++ zyx
3
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

52
2
++= xxy
trên đoạn [-3;2].
Ta có tập xác định của hàm sô là R
Hàm số liên tục trên R.

2
1
' ' 0 1 [ 3;2]

2 5
x
y y x
x x
+
= ⇒ = ⇔ = − ∈ −
+ +
Ta có y(-3) =
8
; y(-1) =2 ; y(2) =
13
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
13
, đạt tại x = 2
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1
2) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có
tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto
)2;4;4(AB −=
→
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
02zy2x2 =++−⇔
( 1 )
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC.
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )
Vecto
)4;2;2(BC −−=
→

Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0
022yx =+−+−⇔ z
(2)
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được I( -1 ; 1 ; 2).
Bán kính mặt cầu ( S ) : IA =
11
Vậy phương trình mặt cầu ( S ):
11)2()1()1(
222
=−+−++ zyx
……………………………… Hết…………………………………….
4