ôn tập dãy số được trích tù những cái hay nhất(NEW)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.61 KB, 8 trang )
a) Tính các tổng sau:
1) S = 1 + 2 + 3 + + n + 2) S =
1 1 1 1
1
2 4 8 2
n
− + − + + − +
÷
3) S =
1 1 1 1
3 9 27 3
n
+ + + + +
÷
b) Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:
1) 0.111 2)0.1212 3)0.321321
4) 1.222 5) 2.2323 6)2.012012
26)
n
n n
4
lim
2.3 4+
27)
n
n
3 1
lim
2 1
+
−
28)
n n
n
3 2.5
lim
7 3.5
−
+
29)
n n
n n
4 5
lim
2 3.5
−
+
30)
n n
n 1 n 1
( 3) 5
lim
( 3) 5
+ +
− +
− +
31)
( )
lim 3n 1 2n 1− − −
32)
( )
lim n 1 n+ −
33)
( )
2
lim n n 1 n+ + −
37)
( )
2
lim n n 1− +
34)
( )
2
lim n n 2 n 1
+ + − +
35)
( )
lim n 3 n 5
+ − −
36)
( )
2
lim n n 3 n− + −
37)
1
lim
n 2 n 1
+ − +
II.GIỚI HẠN HÀM SỐ.
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
( )
32Lim
2
+
→
x
x
b.
( )
432Lim
3
2
++
−→
xx
x
d.
++−
++
−→
24
132
Lim
2
2
1
xx
xx
x
e.
−
−
→
9
3
Lim
2
3
x
x
x
f.
−
+
−→
9
3
Lim
2
3
x
x
x
g.
−+
→
x
x
x
2
121
Lim
0
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
−+
→
39
4
Lim
0
x
x
x
b.
−
−
→
2
22
Lim
2
x
x
x
Bài 3. Tính các giới hạn sau.
−
−+
→
3
152
Lim
2
3
x
xx
x
b.
−
++
−→
1
132
Lim
2
2
1
x
xx
x
Bài 4. Tính các giới hạn sau.
a.
+
−∞→
12x
1-3x
Lim
x
b.
−+
++
+∞→
xx2x
3x2x
Lim
2
2
x
c.
++
+
+∞→
1xx
3x2x
Lim
2
x
d.
( )( )
( )( )
323
121
Lim
++
++
−∞→
xx
xx
x
.
e.
+
−∞→
2x
3-7x
Lim
2
2
x
x
f.
+−
+
−∞→
12x
12x-6x
Lim
3
3
x
x
Bài 1. Tính các giới hạn sau.
1Lim
1
−
−
→
x
x
; b.
32
1
Lim
2
1
−+
−
−
→
xx
x
x
c.
<
>+
=
−
→
1nêu x 1,-2x
1nêu x 3,x
f(x) f(x),Lim
1x
d.
<
>+
=
+
→
1nêu x 1,-2x
1nêu x 3,x
f(x) f(x),Lim
1x
e.
<
>
++
+
=
−
→
3-nêu x 1,-2x
-3nêu x ,
2xx
3x
f(x) f(x),Lim
2
-3x
f.
<
>
++
+
=
+
→
3-nêu x 1,-2x
-3nêu x ,
2xx
3x
f(x) f(x),Lim
2
-3x
Bài 2. Cho các hàm số
≤+
>
−
=
1nêu x 3,5x
1nêu x ,
x
1x2
)x(f
b.
≤++
>
−+
=
1nêu x ,1xx
1nêu x ,
1-x
2xx
)x(f
2
2
Tính các giới hạn sau:
+
→1x
Limf(x)
;
−
→1x
Limf(x)
;
1x
Limf(x)
→
; f(1)?
III) hàm số liên tục
Bài 1 : xét tính liên tục của các hàm số sau
a. f(x) = 3x2 + 2x -3 taïi x0 = 2 b. f(x) =
2
2 3
2
x x
x
+ +
−
taïi x0 = 1
c.
3 2
, nêu x 1
( )
x
2x - 1, nêu x < 1
x
f x
−
≥
=
taïi x0 = 1 d.
2
3 2
nêu x 1
( )
x
4x - 3 nêu x < 1
x x
f x
+ −
≥
=
taïi x0 = 1
e.
3
2 8
nêu x 2
( )
x
4x - 6 nêu x < 2
x x
f x
+ −
≥
=
taïi x0 = 2
Bài 2. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1
=
≠
−
=
1nêu x 1,
1nêu x ,
x
1x2
)x(f
b.
=
≠
−+
=
1nêu x ,3
1nêu x ,
1-x
2xx
)x(f
2
Bài 3. Cho hàm số
=+
≠
−
=
0nêu x , 1a2
0nêu x ,
x
x2x
)x(f
2
.
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0 = 0
Bài 4. Cho hàm số
=+
≠
−
−
=
4nêu x , 1a2
4nêu x ,
4x
16x
)x(f
2
.
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0 = 4.
Bài 5. Cho hàm số
2
2
nêu x 1
( )
1
1 nêu x 1
x x
f x
x
− −
≠ −
=
+
=
.
Xét tính liên tục của hàm số trên TXD
Bài 6. Cho hàm số
2
2
nêu x 0
( )
1 nêu x 0
x x
f x
x
−
≠
=
=
.
Xét tính liên tục của hàm số trên TXD
Bài 7. Cho hàm số
2
2
nêu x 2
( )
2
3 nêu x 2
x x
f x
x
− −
≠
=
−
=
.
Xét tính liên tục của hàm số trên TXD
Bai 8. Chứng minh phương trình sau
x2cosx + xsinx + 1 = 0
Có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;
π
)
Baøi 9. Chứng minh phương trình sau
x4 – 3x2 + 5x - 6 = 0
Có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1;2)
Bài 1: Tính các giới hạn sau :
2 2 2 2
3 2 2
3
4
0 2
2
3
2 3 2 3
4 2 2
1
2 4
2
2
4 2 3 9 6 3 10 8
1) lim 2) lim 3) lim 4) lim
5 8 15 21 34 8
2 2
2 9 5 2 4 18 64
5) lim 6) lim 7) lim
1
8 16
4
x x
x
x
x x
x
x x x x x x x
x x x x x x
x
x x x x x x
x x x
x
→ →
→
→
→ →−
→
+ − − + − +
− − + − +
−
+ − − − + +
− + −
−
3 2
4 2
1
3 2 10
3 2 2
3 1
1
8) lim
12 48 5 4
2 18 9 1
9)lim 10)lim
21 1
x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
→
→ →
− − +
− − +
+ − − −
− + − −
Bài 1: Tính các giới hạn sau :
2 2
2
7 1 3
2
3 2 7 8 1 3 2 6
1)lim 2) lim 3) lim
49
2 3 3
3 2
x x x
x x x x x
x
x x
x x
→ → →
− + − + + − +
−
+ −
+ −
4 )
x
x
x
−
−
→
5
5
lim
5
5)
xx
x
x
336
1
lim
2
1
++
+
−→
6)
x
x
x
−−
+−
→
51
53
lim
4
7)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
8)
3
2
1
7 1 6 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − −
− +
Bài 1: Tính các giới hạn sau :
a)
3
2
2
1 1
lim
4
x
x
x
+ +
b)
2
24
lim
3
2
x
x
x
c)
x
x
x
3
11
lim
3
0
+
d)
2
3
7
4 21 49
lim
4 1 3
x
x x
x
+
+ +
Baứi 4: Tớnh caực giụựi haùn sau :
4 5 2 3 2
4 3 6 2 2
2 3 2 3 6 7 3 2 12 1
a) lim b) lim c) lim d) lim
5 1
2 5 1 2 19 23 9 2
x x x x
x x x x x x x
x
x x x x x x
+ +
+ + + + +
+
+ + +
f)
2
x
x x 1
lim
x x 1
+
+
+ +
g)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
+
h)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
+
+
+
k)
12 3
13 2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
+
l)
2
x
4x 1
lim
3x 1
+
l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
+
+
m)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
+
Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau : a)
3
lim (2 3 12)
x
x x
+
+
b)
4
lim ( 2 3 1)
x
x x
+
c)
2
lim 3 4
x
x x
+
+
d)
2
x
lim ( x x x)
+
e)
2
x
lim ( x x x)
+
+
i)
3
3 2
lim ( 2 2)
x
x x x
+
+
Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau :
2 3
4 3 5
3 1 2 1 3 1
) lim (1 2 ). ) lim . ) lim ( 3).
7 5 7 9 8 2
x x x
x x x
a x b x c x
x x x x
+ +
+ +
+
+ + + +
!!!!!!!!!1)
3
3
6n 2n 1
lim
n 2n
+
2)
2
2
1 n 2n
lim
5n n
+
+
3)
3 2
3
2n 4n 3n 3
lim
n 5n 7
+ +
+
4)
2
4
2n n 2
lim
3n 5
+ +
+
5)
2
3 2
n 4n 5
lim
3n n 7
+
+ +
6)
5 4
3 2
n n n 2
lim
4n 6n 9
+
+ +
7)
2
2
7n 3n 2
lim
n 5
+
+
8)
3
2
3n 2n 1
lim
2n n
+
9)
3 2
2
2n 1 5n
lim
5n 1
2n 3
+
ữ
ữ
+
+
10)
5 3
5 4
3n 7n 11
lim
n n 3n
+
+
11)
2
6 5
2n 3
lim
n 5n
+
12)
2
2
2n n
lim
1 3n
13)
3
3
n n
lim
n 2
+
+
14)
4
2
2n 3n 2
lim
2n n 3
+
+
15)
3
6 3
n 7n 5n 8
lim
n 12
+
+
16)
2
n 1 n 1
lim
3n 2
+ +
+
17)
( )
3
lim 3n 7n 11 +
18)
4 2
lim 2n n n 2 + +
19)
3
3
lim 1 2n n+
20)
2
1 2 n
lim
n
+ + +
21)
2
n 2 4 2n
lim
3n n 2
+ + +
+
22)
3 3 3
4 3
1 2 n
lim
n n 3n 2
+ + +
+ + +
23)
2
n. 1 3 (2n 1)
lim
2n n 1
+ + +
+ +
24)
3 3 3
2
1 2 n
lim
11n n 2
+ + +
+ +
,
( )
2
2
3 3 3
n n 1
1 2 n
4
+
+ + + =
25)
2 n
2 n
2 2 2
1
3 3 3
lim
1 1 1
1
5 5 5
+ + + +
ữ ữ
+ + + +
ữ ữ
26)
n
n n
4
lim
2.3 4+
27)
n
n
3 1
lim
2 1
+
28)
n n
n
3 2.5
lim
7 3.5
+
29)
n n
n n
4 5
lim
2 3.5
+
30)
n n
n 1 n 1
( 3) 5
lim
( 3) 5
+ +
+
+
31)
( )
lim 3n 1 2n 1
32)
( )
lim n 1 n n+
33)
( )
2
lim n n 1 n+ +
37)
( )
2 2
limn n n 1 +
34)
( )
2
lim n n 2 n 1
+ + +
35)
( )
lim n 3 n 5
+
36)
( )
2
lim n n 3 n +
37)
1
lim
n 2 n 1
+ +
1.
( )
2
2
lim 3x 7x 11
x
+ +
2.
( )
2
1
7x 11
lim
4 2
x
x
x
+
+
3.
( ) ( )
x 2
3x 1 2 3x
lim
x 1
+
+
4.
0
7x 11
lim 2 1
x
x
x
+
ữ
5.
2
3
lim 4
x
x
6.
2
x 9
x 3
lim
9x x
7.
2
3
x
3x x 5
lim
x 2
+
8.
4
4 2
x
2x 3x 5
lim
x 2x
+
9.
6 5
3
x
3x 2x 5
lim
3x 2
→+∞
− +
−
10.
6
3
x
x 5x 1
lim
5x 2
→−∞
− +
−
11.
2
3
2
x
x 5
lim
6x 3x 2
→−∞
+
− +
12.
x 3
3 x
lim
3 x
+
→
−
−
13.
x 3
3 x
lim
3 x
−
→
−
−
14.
x 3
3 x
lim
3 x
→
−
−
15.
x 0
x 2 x
lim
x x
+
→
+
−
16.
2
x 2
4 x
lim
2 x
−
→
−
−
17.
3
2
x 2
x 2 2
lim
x 2
→−
+
−
18.
4
2
x 3
x 27x
lim
2x 3x 9
→
−
− −
19.
4
2
x 2
x 16
lim
x 6x 8
→−
−
+ +
20.
( ) ( )
5 3
3
2 3
x
2x x 1
lim
2x 1 x x
→+∞
+ −
− +
21.
2
x
x x 2x
lim
2x 3
→−∞
+ +
+
22.
( )
4 2
x
x
lim x 1
2x x 1
→+∞
+
+ +
23.
( )
3 2
x
lim 2x 5x 3x 1
→+∞
− + −
24.
4 2
x
lim 2x 5x 1
→+∞
− +
25.
x 2
2x 1
lim
x 2
+
→
+
−
26.
x 2
2x 1
lim
x 2
−
→
+
−
27.
( )
3 2
x
lim 2x 5x 3x 1
→+∞
− + −
28.
3
2
x
x 5
lim
x 1
→+∞
−
+
29.
3
2
x 2
x 8
lim
x 4
→
−
−
31.
( )
( )
2
2
x 3
2x 5x 3
lim
x 3
−
→ −
+ −
+
32.
3
2
x 0
x 1 1
lim
x x
→
+ −
+
33.
2
3
x
2x x 10
lim
9 3x
→+∞
+ +
−
34.
3
2
x 3
x 3 3
lim
x 3
→−
+
−
35.
2
x 4
x 2
lim
x 4x
→
−
−
36.
2
x 1
x 1
lim
x x
+
→
−
−
37.
2
x 0
x x 1 1
lim
3x
→
+ + −
38.
3
x 3
3 x
lim
27 x
−
→
−
−
39.
3
2
x 2
x 8
lim
x 2x
+
→
−
−
40)
2
2
x 2
x 3x 10
lim
3x 5x 2
→
+ −
− −
41)
2
x 2
x 4
lim
x 2
→
−
−
42)
2
2
x 1
x 4x 3
lim
(x 1)
→
− +
−
43)
x 1
x 1
lim
1 x
→
−
−
44)
2
x 3
x 2x 15
lim
x 3
→
+ −
−
45)
2
x 5
x 2x 15
lim
x 5
→−
+ −
+
46)
3
x 1
x 1
lim
x(x 5) 6
→
−
+ −
47)
2
2
x 4
x 3x 4
lim
x 4x
→−
+ −
+
48)
2
2
x 4
x 5x 6
lim
x 12x 20
→−
− +
− +
49)
3 2
2
x 2
x 3x 2x
lim
x x 6
→−
+ +
− −
50)
4
2
x 1
x 1
lim
x 2x 3
→
−
+ −
51)
3 2
2
x 2
x 4x 4x
lim
x x 6
→−
+ +
− −
52)
2
x 2
x 5 3
lim .
x 2
→
+ −
−
53)
4
x 7
x 9 2
lim
x 7
→
+ −
−
54)
x 5
5 x
lim
5 x
→
−
−
55)
x 2
3x 5 1
lim
x 2
→
− −
−
56)
x 0
x
lim
1 x 1
→
+ −
57)
2
x 1
x 1
lim
6x 3 3x
→−
+
+ +
58)
2
x 0
1 x x 1
lim
x
→
+ + −
59)
2
x 5
x 4 3
lim
x 25
→
+ −
−
60)
( )
2
x 0
1 2x x 1 x
lim
x
→
− + − +
61)
x 3
x 3
lim
2x 10 4
→
−
+ −
62)
x 6
x 2 2
lim
x 6
→
− −
−
63)
2
x 1
2x 3x 1
lim
x 1
→
− +
−
64)
2
x 1
x 1
lim
x 2x 3
→
−
+ −
65)
x 0
5 x 5 x
lim
x
→
+ − −
66)
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
67)
x 1
2x 1 x
lim
x 1
→
− −
−
68)
2
x 0
1 x x x 1
lim
x
→
+ − + +
69)
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2
→
− − − −
− +
70)
2
x 0
1 3x x 1 x
lim
x
→
− + − +
71)
x 4
3 5 x
lim
1 5 x
→
− +
− −
72)
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
→
− +
+ −
73)
2
x 1
x x
lim
x 1
→
−
−
74)
3
2
x 1
x 1
lim
x 3 2
→−
+
+ −
75)
2
2
x 0
4 x 2
lim
9 x 3
→
− −
− −
76)
x 9
7 2x 5
lim
x 3
→
+ −
−
77)
2
2
x
x 3x 10
lim
3x 5x 2
→+∞
+ −
− −
78)
2
3
x
x 4
lim
x 2
→−∞
−
−
79)
2
2
x
x 4x 3
lim
(x 1)
→+∞
− +
−
80)
2
x
x 2x 15
lim
x 5
→−∞
+ −
+
81)
2
1
lim
( 5) 6
x
x
x x
→+∞
−
+ −
82)
2
4
x
x 3x 4
lim
x 4x
→−∞
+ −
+
83)
4 3
2
x
x 5x 6
lim
x 12x 20
→+∞
− +
− +
84)
3 2
5
x
x 3x 2x
lim
x x 6
→−∞
+ +
− −
85)
2
1
lim
2 3
x
x
x x
→−∞
−
+ −
86)
3
6 4
2
x
x 4x 4
lim
x x 6
→−∞
− +
− −
87)
x 2
8 2x 2
lim
x 2
+
→−
+ −
+
88)
x 0
2 x 3x
lim
3 x 2x
+
→
−
−
89)
( )
2
3x 1 ; x 1
f x
x 1 ; x 1
− ≤
=
+ >
tìm.
x 1
lim f (x)
→
90)
2
mx ; x 2
f (x)
3 ; x 2
≤
=
>
Tìm
x 2
lim f(x)
→
91)
2
x 5x 6 ; x 2
f (x)
mx 4 ; x 2
− + >
=
+ ≤
. Tìm m để hàm số có giới hạn khi
x 2
→
92)
( )
2 2
x
lim x x 1 x 2
→+∞
+ − −
93)
( )
2 2
x
lim x 7x 1 x 3x 2
→+∞
− + − − +
94)
( )
2 2
x
lim x 4x 1 x 9x
→+∞
− + − −
95)
( )
2 2
x
lim x 2x 1 x 6x 3
→+∞
− + − − +
96)
(
)
2
lim 4 7 2
x
x x x
→+∞
− − − +
1.Giới hạn tại một điểm :
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = =
3 2
5 4
x
x
−
+
và dãy số (Xn ) biết
2 1+
=
n
n
x
n
a) Tính f( Xn) .
b) Tính lim Xn và limf(Xn )
a) Giới hạn hữu hạn : Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng (a;b ) , cĩ thể trừ điểm (a;b) .Hàm số f(x) cĩ giới hạn
L khi x dần tới , nếu mọi dãy số (Xn ) (
0
( ; ), ,∈ ≠ ∀ ∈
n n
x a b x x n N
) sao cho lim Xn=Xo thì lim f(Xn ) = L .
Ta viết :
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
b) Giới hạn vơ cực :
Đ.n : :
0
0n n
lim ( ) ( hay - ) (x ), limx lim ( ) ( hay - )
n
x x
f x x f x
→
= +∞ ∞ ⇔ ∀ = ⇒ = +∞ ∞
2. Giới hạn tại vơ cực :
Đ.n:
n n
n n
lim ( ) (x ), limx lim ( )
lim ( ) (x ), limx lim ( )
n
x
n
x
f x L f x L
f x L f x L
→+∞
→−∞
= ⇔ ∀ = +∞ ⇒ =
= ⇔ ∀ = −∞ ⇒ =
3. Định lý về giới hạn :
Định lý 1 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) đều cĩ giới hạn khi x dần tới a thì :
0 0 0 0 0
0
0
0 0
0
lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ). lim[ ( ). ( )] lim ( ). lim ( ).
lim ( )
( )
lim (lim ( ) 0).
( ) lim ( )
→ → → → →
→
→
→ →
→
± = ± =
= ≠
x x x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
f x g x f x g x f x g x f x g x
f x
f x
g x
g x g x
0
0
0
0
3
3
lim ( ) lim ( ).
lim ( ) lim ( ) ( f(x) 0 )
→
→
→
→
=
= ≥
x x
x x
x x
x x
f x f x
f x f x
Bài tập
Vấn đề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại Điểm a
Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau :
CC
ax
=
→
lim
. Với C là hằng số .
Bài 1 : Tính các giới hạn sau :
a)
)3(lim
2
+
→
x
x
, b)
)523(lim
34
1
+−+
→
xxx
x
, c)
63
23
lim
3
2
0
+
++
→
x
xx
x
,
65
23
lim
3
1
+
+
−→
x
x
x
.
Bài 2: Tính các giới hạn sau :
3
2 2 2 2
2 2 2
3x - x x -
8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1) 2x -1 - x
a) lim b) lim c) lim
3x + x + 2 (3x + 2)
27x + x - 3
x
→ ∞ →+∞ → ∞
−
Bài 2: Giới Hạn Một Bên
1.Định nghĩa :
a) Giới hạn bên phải : cho hàm số f(x) xác định trên (Xo ; b) .
0
0 0n n
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L x b x f x L
+
→
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
b) Giới hạn bên trái : cho hàm số f(x) xác định trên (a; Xo) . Ta cĩ :
0
0 0n n
lim ( ) x ( ; ), limx lim ( )
n
x x
f x L a x x f x L
−
→
= ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =
2. Định lý : Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có giới hạn bằng L là giới hạn bên phải bằng giới hạn bên trái và bằng
L .
Ta có :
Lxf
ax
=
→
)(lim
⇔
=
+
→
)(lim xf
ax
Lxf
ax
=
−
→
)(lim
. .
3. Một số kết quả :
2 2 1
0 0 0
1 1 1
lim (k Z) , lim , lim
k k k
x x x
x x x
= − −
+
→ → →
= +∞ ∈ = +∞ = −∞
Ví dụ 1: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau
2 2
6 3
6 2 3 2 6
1
5 9
+ - + -
x 1 x x x 1
| |
1.lim x - 1 2. lim 3. lim 4. lim
x x x x x
x
x x x
→ → → →
− − + −
−
+ −
Ví dụ 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số sau : f(x)=
>
−
+
≤−
1,
7
5
1,13
2
x
x
x
xx
Bài tập
1. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2 2
2
2 2
5 1 2 1 5
4 3 1 6 8 6 5 5
1
1
6 5
5
5 6
- - -
x x x x x
. lim 2. lim 3. lim 4. lim 5. lim
| |
x x x x x x x x
x
x x
x
x x x x
− −
→ → → → →
+ − − − + − + −
−
− +
−
− + −
2. Tìm giới hạn của hàm số sau
2 2
2
4 5
5 5 5
4 3 3 1
1 1 3 2
3
- - -
2 2
x x x
1
.lim b. lim c. lim
| | x x
x x x x
a
x x
x x
→ → →
− + −
−
÷
− − − +
−
3. Cho hàm số : f(x) =
>
−
+
≤++
1,
7
1,52
2
x
x
mx
xxx
Tìm m để hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó .
Bài 3: Khử Các Dạng Vơ Định
3.Các dạng vơ định :
Khi tính giới hạn của hàm số ta gặp các giới hạn sau : :
∞×∞−∞
∞
∞
0,,,
0
0
gọi là dạng vơ định . Khi đó ta khơng sử
dụng được các định lý về giới hạn và cũng khơng biết giới hạn này là bao nhiêu .Để tính được các giới hạn ta phải khử
các dạng vơ định trên .
Vấn đề 1 : Khử Dạng Vơ Định
0
0
Phương pháp : Giả sử
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
có dạng
0
0
. . Ta khử dạng này như sau :
Phân tích f(x) = (x-a)f (x) và g(x) = (x-a)g (x) .
Khi đĩ :
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
=
)(
)(
lim
1
1
xg
xf
ax→
, sau đĩ tính bình thường .
Bài Tập
Bài 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
4
lim
2
2
−
−
→
x
x
x
b)
8
4
lim
3
2
2
−
−
→
x
x
x
c)
752
34
lim
2
2
1
−−
++
−→
xx
xx
x
d)
372
156
lim
2
2
2
1
+−
+−
→
xx
xx
x
Bài 2 : Tìm các giới hạn sau :
a)
xx
xx
x
2
42
lim
2
3
2
+
+−
−→
b)
6
293
lim
3
23
2
−−
−−+
→
xx
xxx
x
c)
98
935
lim
24
23
3
−−
++−
→
xx
xxx
x
Bài 3: Tìm các giới hạn sau
a)
1
23
lim
2
1
−
−+
→
x
x
x
b)
314
2
lim
2
−+
+−
→
x
xx
x
c)
1
26
lim
2
3
2
−
−+
→
x
x
x
d)
23
7118
lim
2
3
3
+−
+−+
→
xx
xx
x
e)
x
xx
x
341
lim
0
−+++
→
Vấn đề 2: Khử Dạng Vơ Định
∞
∞
Phương pháp : Giả sử
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
có dạng
∞
∞
. Ta khử dạng này như sau :
Chia cả tử và mẫu cho x là số hạng cósố mũ lớn nhất của tử và mẫu.
Bài tập
Bài 4 : Tính các giới hạn sau :
a)
24
32
lim
3
++
+
∞→
xx
x
x
b)
24
632
lim
3
4
++
++
∞→
xx
xx
x
c)
25
310
lim
+
+
∞→
x
x
x
d)
247
1032
lim
2
2
++
++
∞→
xx
xx
x
e)
24
)53)(32(
lim
3
2
++
++
∞→
xx
xx
x
Vấn đề 3: Khử Dạng Vơ Định
∞−∞
Giả sử lim f(x) =
+∞
và limg(x) =
+∞
thì lim[f(x) – g(x)] có dạng
∞−∞
Phương pháp : Đưa dạng
∞−∞
về dạng
∞
∞
Bài Tập
Bài 5 : Tính các giới hạn sau
a)
)1(lim
2
xx
x
−+
+∞→
, b)
)1(lim
2
xx
x
−+
−∞→
, c)
)4(lim
2
xxx
x
−−
∞→
d)
)
1
2
1
1
(lim
2
1
−
−
−
→
x
x
x
e)
)
1
3
1
1
(lim
3
1
x
x
x
−
−
−
→
, f)
)
1
3
2
1
(lim
32
1
−
−
−+
→
xxx
x
Vấn đề 4: Giới Hạn Hàm Số Lượng Giác
Phương pháp : Sử dụng định lý sau :
Định lý : .
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
Hệ quả: Nếu
0)(lim =
→
xu
ax
thì .
1
)(
)(sin
lim =
→
xu
xu
ax
Bài Tập
Bài 6 . Tính các giới hạn :
a)
x
x
x
2sin
lim
0→
b)
x
x
x
2
5sin
lim
0→
c)
x
x
x
5sin
2sin
lim
0→
d)
2
0
2cos1
lim
x
x
x
−
→
e)
22
2
1
)1(
)1(sin
)1(lim
−
−
+
→
x
x
x
x
, f)
x
xx
x
3sin
cos3sin
lim
3
−
→
π
g)
1
sin
lim
0
−
→
x
x
x
π
