Đề ôn tập toán 11 số27

WWW.VNMATH.COM
Đề số 27
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
3 2
1
2 3 1
lim
1
→−
+ −
+
b)
( )
x
x x x
2
lim 1
→+∞
+ + −
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
2=

:
x
khi x
f x
x x
khi x
2( 2)
2
( )
² 3 2
2 2

−

≠
=

− +

=

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
2
2 1
2
−

=
−
b)
y x
2
cos 1 2= −
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO =
a 3
. Gọi I
là trung điểm của SO.
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình :
x x
5
3 1− =
có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
y xcot2=
. Chứng minh rằng:
y y
2
2 2 0
′
+ + =
.

b) Cho hàm số
x
y
x
3 1
1
+
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình:
x x
17 11
1= +
có nghiệm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
x
y
x
3
4
−
=
+
. Chứng minh rằng:
y y y
2
2 ( 1)

′ ′′
= −
.
b) Cho hàm số
x
y
x
3 1
1
+
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng d:
x y2 2 5 0+ − =
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 27
WWW.VNMATH.COM
Câu Ý Nội dung Điểm
1
a)
x x
x x x x x
x x
3 2 2
1 1

2 3 1 ( 1)(2 1)
lim lim
1 1
→− →−
+ − + + −
=
+ +
0,50

x
x x
2
1
lim (2 1) 0
→−
= + − =
0,50
b)
( )
x x
x
x x x
x x x
2
2
1
lim 1 lim
1
→+∞ →+∞
+

+ + − =
+ + +
0,50
2
1
1
1
lim
2
1 1
1 1
x
x
x
x
→+∞
+
= =
+ + +
0,50
2
x x x
x
f x
x x x
2 2 2
2( 2) 2
lim ( ) lim lim 2
( 1)( 2) 1
→ → →

−
= = =
− − −
(1) 0,50
f(2) = 2 (2) 0,25
Từ (1) và (2) ta suy ra f(x) liên tục tại x = 2 0,25
3 a)
x x x
y y
x
x
2 2
2
2 1 2 8 1
'
2
( 2)
− − +
= ⇒ =
−
−
0,50
b)
2
2
2
2 sin 1 2
cos 1 2 '
1 2
x x

y x y
x
−
= − ⇒ =
−
0,50
4
0,25
a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM)
Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*)
0,25
I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra IH =
2
OK
0,25
a a
OK d I SCD IH
OK OM SO a
2 2 2 2
1 1 1 4 3 3
( ,( ))
2 4
3
= + = ⇒ = ⇒ = =
0,25
b)
SMC SNC c c c MQ SC NQ SC( . . )∆ = ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
0,25

2
·
SCD SCB SC SCD SCB MQN( ) ( ) (( ),( ))∩ = ⇒ =
0,25
2 2 2 2 2 2
3 4SM OM SO a a a= + = + =

SMC
∆
:
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 4
5
4 4
a
MQ
MQ MS MC a a a
= + = + = ⇒ =
0,25
·
MQ NQ MN
MQN
MQ NQ
2 2 2
cos
.
+ −
⇒ =

=
·
0
1
120
2
MQN− ⇒ =
0,25
c)
AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD).
Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC
0,50
a
d AC BD OP
OP SO OD a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 30
( , )
5
3 2 6
= + = + = ⇒ = =
0,50
5a
Gọi
f x x x
5
( ) 3 1= − −
liên tục trên R 0,25
f f f f( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − <
0,50

⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)
0,25
6a a)
y xcot2=
⇒
y
x
2
2
sin 2
′
= −
0,25
y y x
x
2 2
2
2
2 2 2cot 2 2
sin 2
′
+ + = − + +
0,25
x x
2 2
2(1 cot 2 ) 2cot 2 2= − + + +
0,25
2 2
2 2cot 2 2cot 2 2 0x x= − − + + =
0,25

b)
x
y
x
3 1
1
+
=
−
⇒
y
x
2
4
( 1)
′
=
−
0,50
k y (2) 4
′
= =
0,25
⇒ PTTT:
y x4 15= −
0,25
5b
Gọi
f x x x
17 11

( ) 1= − −
⇒
f x( )
liên tục trên R 0,25
f(0) = –1,
f
17 11 11 6
(2) 2 2 1 2 (2 1) 1 0= − − = − − >
⇒
f f(0). (2) 0<
0,50
⇒ phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm
0,25
6b a)
x
y
x
3
4
−
=
+
⇒
y y
x x
2 3
7 14
' "
( 4) ( 4)
−

= ⇒ =
+ +
0,25
y
x x
2
4 4
49 98
2 2.
( 4) ( 4)
′
= =
+ +
(*) 0,25
x
y y
x x
x x x
3 3 4
3 14 7 14 98
( 1) 1 . .
4 4
( 4) ( 4) ( 4)
 
− − − −
′′
− = − = =
 ÷
+ +
+ + +

 
(**) 0,25
Tử (*) và (**) ta suy ra:
y y y
2
2 ( 1)
′ ′′
= −
0,25
b)
Vì tiếp tuyến vuông góc với d:
x y2 2 5 0+ − =
nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 0,25
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ tiếp điểm.

x
f x k x
x x
02
0 0
2
0 0
1
4
( ) 1 ( 1) 4
( 1) 3


= −
′
= ⇔ = ⇔ − = ⇔

− =


0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
1 1 := − ⇒ = − ⇒ =
0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
3 5 : 8= ⇒ = − ⇒ = −
0,25
3