cẩm nang ôn thi đại học

(Cẩm nang ôn thi đại học)
Chuyện cổ tích kể rằng: Nàng công chúa từ
khi về cung trở nên im bặt, không nói không
cười… Thế rồi, trong một đêm thanh vắng,
bỗng nghe thấy tiếng đàn:"Tích tịch tình
tang…!" nàng bỗng nói nói, cười cười…
Phương trình lượng giác cũng giống như
nàng công chúa kiều diễm- nhưng đang ủ
dột, đang u sầu. Để hóa giải được nàng và
nàng mỉm cừơi với mình, ta hãy cùng chàng
Thạch Sanh học những giai điệu sơ khai
nhất của điệu đàn Tích tịch tình tang- tức là
các kỹ thuật đưa về phương trình tích. Nào
chúng ta cùng bắt đầu.
Giai điệu thứ nhất: nhóm một số đại lượng
và dùng "tổng thành tích"
Bài 1: (ĐH Dược)
sin
2
4x-cos
2
6x=sin(10,5
π
+10x)
⇔
1 cos8 1 cos12
sin(10 0,5 10 )
2 2
x x
x
π π

− +
− = + +
⇔
xxx 10cos212cos8cos =−−
⇔
010cos22cos.10cos2 =−− xxx
⇔
0)12(cos10cos =+xx
cos10 0
10
20 10
2
cos 2 1 0
2 2
2
k
x
x
x k
x
x k
x k
π π
π
π
π
π π
π

= +



=
= +


⇔ ⇔ ⇔



+ =


= +
= +



( )
k ∈¢
Đs: Vậy CT nghiệm của PT là :

; ,
20 10 2
k
x x k k
π π π
π
= + = + ∈
¢

Nhận xét 1: Khi thấy có ba đại lượng …ta
nhóm hai đại lượng lại. Khi đó nhân tử
chung sẽ " lộ thiên". Tất nhiên cung lớn nhất
sẽ tìm kiếm cung nhỏ nhất.
Bài 2 (ĐHY)
03sin2sinsin
222
=+−− xxx
⇔
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6
0
2 2 2
x x x− + − + −
+ + =
⇔
016cos4cos2cos =−−+ xxx
⇔
2
2sin x−
0)4cos6(cos =−− xx
⇔
2
2sin x−
0sin5sin2
=+
xx
⇔
0)5sinsin(sin =+− xxx
sin 0
5 2

sin 5 sin
2
5 2
6 3
x k
x k
x
k
x x k x
x x
x x k
k
x
π
π
π
π
π π
π π


=
=


=



⇔ ⇔ = + ⇔ =




=


= − +



= +

( )
k ∈¢
Đs: Vậy CT nghiệm của PT là
; ,
2 6 3
k k
x x k
π π π
= = + ∈
¢
Nhận xét 2: Khi em thấy có bốn đại lượng…
đừng ngại nhóm cung to nhất với cung bé
nhất, tất nhiên hai cung vừa vừa ghép với
nhau. Rồi dùng công thức tổng thành tích
Có cách làm trên vì chúng ta mong ước cung
trung bình cộng hoặc chung bình hiệu bằng
nhau, khi đó mới có cơ hội đặt nhân tử chung
Bài tương tự

1/ (ĐHB07)
2
2sin 2 sin 7 1 sin+ − =x x x

2/ (ĐH D 06)
01cos2cos3cos
=−−+
xxx
3/ (HVQHQT) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
4/ (ĐHKT) sin
2
x+ sin
2
3x= cos
2
2x+ cos
2
4x
5/ (ĐHB02)
xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
−=−
Giai điệu thứ hai: định hướng nhân tử
chung là:” một -xin cô; Xin - cô, cô - xin”
(Hi hi….ý nói đùa là được điểm kém thì phải
một mực xin cô giáo cho được kiểm tra lại,
nhưng xin nhiều quá thì cô giáo xin đừng
làm phiền nữa, các bạn đọc lại xem có dễ
nhớ không nào! Thực chất là các nhân tử
sau:

1 sin , 1 cos , sin cos , cos ,sinx x x x x x
± ± ±
)
Bài 3: (ĐHSP)
4cos
3
x+3
2
sin2x=8cosx
⇔
3
4cos 6 2 sin cos 8cos 0x x x x+ − =
⇔
2
cos (4cos 6 2 sin 8) 0
+ − =
x x x
⇔
2
cos 0
4 cos 6 3 sin 8 0
x
x x
=


+ − =


⇔

2
,
2
4cos 6 3 sin 8 0( )
x k k
x x
π
π

= + ∈


+ − = ∗


¢
®Ò thi ®¹i häc ph¬ng
tr×nh lîng gi¸c ®a vÒ
PH¬NG TR×NH tÝch
)(

2
4 4sin 6 2 sin 8 0x x + =


sin 2( )
2
sin
2

=


=


x l
x

2
4
3
2
4
x k
x k





= +




= +


, k Â

s: Vy CT nghim ca PT l :
3
; 2 ; ,
4 4 2
x k x k x k k


= + = + = +
Â
Bi 4: (HN)
( ) ( )
=
=
3 3
cos sin cos sin
cos sin 1 cos sin cos sin
x x x x
x x x x x x
cos sin 0 tan 1
4
,
1 cos sin 1 sin 2 0
2
x k
x x x
k
x x x k
x

= +

= =




= =


=


Â
s: Vy CT nghim ca PT l :
; ,
4 2
k
x k x k


= + =
Â
Bi 5: (HVNH)
3 2
cos cos 2sin 2 0+ + =x x x

( )

2 2
1 sin cos sin 2sin 1 0 + =x x x x
( ) ( ) ( )
2
1 sin 1 sin cos 1 sin 0 + =x x x x
sin 1 2 ,
2
sin cos sin cos 1 0 (*)



= = +




+ + =

Âx x k k
x x x x
Giải (*)
sin cos , 2 2Đặt + = x x t t
2
1
sin cos
2

=
t
x x

2
2
1
1 0 2 3 0 1; 3( )
2
Thay vào PT (*) ta đ ợc :

+ = + = = =
t
t t t t t l
2
2
sin cos 1 sin ,
4 2
2
2
Với t = 1 thì :




=



+ = + =
ữ

= +

Â
x k
x x x k
x k
s: Vy CT nghim ca PT l :
2 ; 2 ,
2
x k x k k


= = +
Â
Bi 6: (H B 10)
(sin 2 cos 2 )cos 2 cos 2 sin 0+ + =x x x x x
sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 sin 0
+ + =
x x x x x x
2
2sin cos sin cos 2 cos 2 cos 2 0 + + =x x x x x x
2
sin (2 cos 1) cos 2 (cos 2) 0 + + =x x x x
2
cos 2 0
2
,
sin cos 2 0
4 2
sin 2 ( )
4

= +

=


= +

+ + =



+ =
ữ



Â
x k
x
k
x k
x x
x VN
s: Vy CT nghim ca PT l :
,

4 2
k
x k

= +
Â
(H D 12)
sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2+ + =x x x x x
(H A 12)
3 sin 2 cos 2 2cos 1+ = x x x
Giai iu: lch hai- tam thc bc hai
Bi 7 (HGT)
( ) ( )
+ = + +
+
=
8 8 10 10
8 2 8 2
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
sin 1 2sin cos 1 2cos
5
cos 2
4
x x x x x
x x x x
x
8 8
5

sin cos2 cos cos2 cos 2
4
x x x x x =
( )
8 8 8 8 8
cos2 0 ,
4 2
5
sin cos VN v ì sin cos sin 1
4
k
x x k
x x x x x


= = +




=


Â
s: Vy CT nghim ca PT l :
,
4 2
k
x k

= +
Â
(Cũn na)
Thay cho li kt: Cú hai thy trũ v o s
kia ngi luyn khớ cụng t tinh sng trờn mt bói
bin. Khi mt tri hộ rng h cựng tr v nh. V
o s núi vi t ca mỡnh:cú ngi ó n õy
trc chỳng ta. Ngi t hi: Tha thy
chỳng ta i t rt sm, v no con cú thy ai
õu?. V o s khụng tr li m ch nhng vt
chõn cũn li m trờn cỏt. Phng trỡnh lng giỏc
dự tỏc gi cú thay hỡnh i dng nh th no chng
na thỡ nhng vt chõn cng khụng th xúa m
hon ton. Hc phng trỡnh lng giỏc chỳng ta
hóy hc cỏch bin i, ri cao hn na l hc t
tng bin i, ri hc nhng trit lý, v cao hn
c l hc s chia tỡnh ngi, ng sau nhng
phng trỡnh !
Thy giỏo:Ngụ Vit Vn