SKKN : Binh phuong bieu thuc thi khong am- Cach nhin va ung dung

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.
A _ Đặt Vấn Đề.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS . Nhằm
phát huy trí lực , kĩ năng giải toán , khả năng t duy sáng tạo , độc lập , có óc
khái quát và tổng hợp . Đặc biệt là cung cấp cho học sinh phơng pháp suy
nghĩ , cách nhìn nhận một vấn đề , một bài toán với phẩm chất toán học của
nó.
Với khả năng có hạn , bằng vốn kinh nghiệm , qua đọc và nghiên cứu
sách , cộng với sự học hỏi ở các đồng nghiệp , tôi mạnh dạn viết vài dòng
trình bày một vấn đề có thể không còn mới mẻ. Nay tôi đem đến cho các bạn
cùng nhìn nhận và tham khảo .
B . Nội dung
Bình phơng của một biểu thức thì không âm cách nhìn và ứng dụng
Khởi đầu ( a- b)
2


0 với

a, b
Dấu = xảy ra khi a= b
1 . Từ a
2
2ab + b
2


0


a

2
+b
2


(a +b)
2
(1)
2 2
2
a b+

ab với

a, b
2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2
2. Với a, b

0 . Chia 2 vế của (1) cho ab ta có

2
a b
b a

+
(2)
3. Cộng 2 vế của (1) và 2ab ta có (a+b)
2


4ab (3)


2
2
a b
+

ữ


ab
Với a,b

0 . Khai phơng 2 vế ta có
2
a b+

ab
( Bđt cụ si vi 2 số không âm )
4. Chia 2 vế của (3) cho ab(a+b)>0 .Ta có

4a b
ab a b

+

+
(4) Hay
1 1 4
a b a b
+
+

1 1 1
4 4a b a b
+
+
5. Chia hai vế của (4) cho a>0 ta có
2
2
a
b a
b
+
b>0 (5)
a +
2
2
b
b
a

6. a, b>0 . Lấy nghịch đảo và đổi chiều 2 vế của (5) ta có:

2 2
1 1
2ab a b

+
(6)

2 2
1 1
2 2
a b
a b a b
+
+
+
( nhân 2 vế với a+b )
1
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.

2 2
1 1 1
2
a b
a b a b
+

+
ữ
+

7. Bớt mỗi vế của (6) cho ab ta có a
2
ab +b
2


ab(a+b) (7)
8. a
2
+b
2

2ab
2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2
(cộng mỗi vế với a
2
+b
2
)

2
2 2

2 2
a b a b+ +


ữ

(chia mỗi vế cho 4)
9. (a- b)
2


0
(a- c)
2


0
2 2 2
2( )a b c + +
2ab +2ac +2ca
(b- c)
2


0 (a,b,c>0)


3(a
2
+b

2
+ c
2
)

(a+b+c)
2
.
Bài tập áp dụng
Bài 1:
a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác ( p là nửa chu vi)
CMR :
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


Giải
Từ (4) ta có
1 1 4
a b a b
+
+
Tơng tự :
1 1 4 4
2p a p b p a b c
+ =

1 1 4 4
2p b p c p b c a
+ =


1 1 4 4
2p c p a p a c b
+ =

2VT
1 1 1
4
a b c

+ +
ữ

VT
1 1 1
2
a b c

+ +
ữ

Bài 2.
Cho a,b ,c >0 CMR

2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a
c a b
+ + +
+ +
a+b+c
Giải
Từ công thức (5) ta có :
2
2
2
2
2
2
a
c a
c
b
a b
a
c
b c
b
+
+
+
2
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.
Tơng tự :

2 2 2
a b c
a b c
c a b
+ + + +
(1)

2 2 2
a b c
b c
b c a
+ + + +
(2)
Cộng (1) với (2) ta có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a
a b c
c a b
+ + +
+ + + +
Bài 3.
Cho a, b ,c >0 CMR :
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +

Giải
Từ (5) ta có : +
( )
( )
( )
2
2
2
2
( ) 2 .2 4
2
( ) 2 .2 4
2
( ) 2 .2 4
a
b c a a
b c
b
a c b b
a c
c
a b c c
b c
+ + =
+
+ + =
+
+ + =
+

2 2 2
4 4 4
2( )
a b c
a b c
b c a c a b
+ + + +
+ + +
Chia 2 vế cho 4 ta có đpcm
Bài 4.
Cho x>0

Q
*
. CMR
( )
2
2
1 2
1 1 16x
x x

+ + +
ữ

Giải
Từ (3) ta có (1+x)
2

4x

2
1 2 1 1
1 1 4
x x x x

+ + = +
ữ




đpcm.
Bài 5.
Cho a, b, c >0 CMR :

2
1 1 1 1 1 1
3 4
ab ac bc a b a c b c

+ + + +
ữ ữ
+ + +

Giải
Từ (3) có (a+b)
2

4ab

Chia 2vế cho ab(a+b)
2
> 0 . Ta có .
Tơng tự : +
( )
( )
( )
2
2
2
1 4
1 4
1 4
ab
a b
ac
a c
bc
b c

+

+

+
3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.

( ) ( ) ( )
2 2 2

1 1 1 1 1 1
4
ab ac bc
a b b c a c

ữ
+ + +
ữ
+ + +


( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 4.3
ab ac bc
a b a c b c


+ + + +

ữ

+ + +



2
1 1 1
4

a b a c b c

+ +
ữ
+ + +

Theo (9)
Bài 6 .
CMR:
( )
( ) ( )
3 3 3
2 ( )a b c ab a b bc b c ac a c+ + + + + + +
Giải
Từ (7) ta có : +
( )
( )
3 3
3 3
3 3
( )
a b ab a b
b c bc b c
c a ac a c
+ +
+ +
+ +

( )
3 3 3

2 ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c a c+ + + + + + +

Bài 7.
Cho (x,y)là nghiệm của hpt : ax-by=0

x +y =1
Tìm Max :xy.
Giải.
Tính x, y . ax=by (có thể sd t/cdãy tỉ số băng nhau :
a b
y x
=
ax+ay = ay+by
a(x+y) = y(a+b)
a =y(a+b)

a
y
a b
=
+

Khi đó
( )
2
1
4
ab
xy
a b

=
+
Max
1
4
xy a b= =
Khi đó
1
2
x y= =
Bài 8 .
Cho a, b, c >0 .
CMR :
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4 4a b c b a c c a b a b c
+ + + +
+ + + + + +
Giải.
Từ(4) có
4 1 1 1 1 1
4 4 16 16a b a b a b a b
+ +
+ +

4
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.

( )
4 1 1
2 2

1 1 1 1 1 1 1 1
2 ( ) 8 4( ) 8 4 4 8 16 16
a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
+
+ + +
+ = + + +
+ + + +
Tơng tự :
1 1 1 1
2 ( ) 8 16 16
1 1 1 1
2 ( ) 8 16 16
b a c b a c
c a b c a b
+ +
+ +
+ +
+ +
Cộng vế với vế 3 bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Bài 9 .
a, b,c >0 Thoả mãn
2 1 1
b a c
= +
CMR :
4
2 2
a b c b
a b c b

+ +
+

Giải.
Từ (gt)
2 a c
b ac
+
=


b =
a c
ac
+


2
a b
a b
+
=

2
2
2
ac
a
a c
ac

a
a c
+
+

+
=
2
2
3 3
2 2
a ac a c
a a
+ +
=
Tơng tự :
3
2 2
c b c b
c b c
+ +
=

Vế trái =
2 2
3 3 3 3
2 2 2
a c c a ac c ca a
a c ac
+ + + + +

+ =
=
2 2
3( ) 2 3.2 2 8
4
2 2 2
a c ac ac ac ac
ac ac ac
+ + +
= =
Bài10.
a, b,c

0 , a+b+c =1
CMR : a+b+c

4(1-a)(1-b)(1-c)
Giải
Từ a+b+c=1

b+c=1-a
0
1c

2 2
1 1 1 0c c
Vế phải = 4(b+c)(1-b)(1-c)
[ ]
2
( ) (1 ) (1 )b c b c + +

=
2 2
(1 ) (1 ) (1 ) 1 2c c c c a b c+ = + = + +
Bài 11.
a,b,c là 3 cạnh của tam giác
CMR
3
a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + +
Giải
Đặt x= b+c-a
y= c+a-b

x+y+z=a+b+c
z= a+b-c
5
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.
a+b+ c = x+y+z
-
- a+b+b = x

2a =y+z
2
y z
a
+
=
Tơng tự

2
x z
b
+
=
,
2
x y
c
+
=

1
2 2 2 2
1
(2 2 2) 3
2
x z x z x y y z x y x x
VT
x y x x x y z z y

+ + +
= + + = + + + + +
ữ

+ + =
Dấu = xảy ra khi x=y=z

a=b=c
Tức ABC đều.

Bài 12
a,b,c la 3cạnh của tam giác . CM
abc

(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
Giải
Tơng tự bài 11 ta có

x y
+
2 xy

2
2
y z yz
z x zx
+
+

. .
2 2 2
x y y z z x
xyz abc
+ + +
=
Bài 13
Cho a,b,c >0
CM :
2 2 2 2 2 2
a b b c c a

a b c
a b b c c a
+ + +
+ + + +
+ + +
Giải.
Theo (8) ta có : 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2

2 2
2
a b a b
a b
+ +

+


đpcm.
Bài 14.
Cho a,b,c > 0 . CM :
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c c a
a b b c c a a b c

+ + +
+ + + +
+ + +
Giải.
Theo (6) ta có :
2 2
1 1 1
2
a b
a b a b
+

+
ữ
+



đpcm.
Bài 15.
Cho a,b >0 và a+b=1
CMR :
2 2
1 1 25
5
a b
a b

+ + +
ữ ữ

Giải .
Từ (8) có 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2

2
2 2
2
a b
a b
+

+
ữ

6
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.

2 2
2
2
1 1
2 1
3 5

a b a b
VT a b
a b a b
a b
b a
+ +

+ + + = + +
ữ ữ


= + +
ữ



đpcm.
Bài 16 .
Cho a,b,c >0 . CMR

1 1 1
1 1 1 1 1 1
2
a b c
a b b c c a
+ +
+ +
+ + +
Giải.
Từ(4)

1 1 4
a b a b
+
+

( )
1 1
1 1
4
a b
a b
+
+
Tơng tự cộng vế với vế ta có đpcm.
Bài 17
a,b,c >0 CMR:

15
2
a b c b c c a a b
b c a c a b a b c
+ + +
+ + + + +
+ + +
Giải .
Cách 1.
Theo (2)
2
a b
b a

+

( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 6
1 1 1 3
1 1 1
3
1 1 1 1
3
2
1 1 1 1
2
b c c a a b b c c a a b
M
a b c a a b b c c
a b c a b c
N
b c c a a b b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
b c c a a b
x y z
x y z
+ + +

= + + = + + + + + + + =
ữ

= + + = + + +
ữ ữ ữ ữ
+ + + + + +


= + + + +
ữ
+ + +



= + + + + + + +


+ + +


= + + + +
ữ

3

7
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.

1
3 3
2

1 3
.9 3
2 2
3 15
6
2 2
x y y z z x
y x z y x z
M N



= + + + + + +

ữ ữ
ữ



=
+ + =

Cách2.(Rất ngắn)
Xét 2 VT biến đổi.
Bài 18.
Cho 2số dơng a,b có a+b=1 . CMR

2 2
2 2
1 1

) 6
2 3
) 14
a
ab a b
b
ab a b
+
+
+
+
Giải.
a, Từ (3) có
2
4 ( )
4 1
ab a b
ab
+


1
4
ab

(vì a,b >0)
Từ (4) có
2 2 2 2
2
1 1 4

1 1 1 1 1
2 2
1 4
.4 6.
2 ( )
a b a b
ab a b ab ab a b
a b
+
+

+ = + +
ữ
+ +

+ =
+
Dấu =xảy ra khi a=b=
1
2
b, Tơng tự nh trên ta có

( )
2 2 2 2 2 2
2
2 3 4 3 1 1 1
3
2 2 2
1 4
.4 3. 2 12 14

2
ab a b ab a b ab ab a b
a b

+ = + = + +
ữ
+ + +

+ = + =
+
Bài19
Cho a,b ,c,d >0 . CMR:

4
a c b d c a d b
a b b c c d d a
+ + + +
+ + +
+ + + +
Giải.
Sử dụng công thức (4)
Bài 20.
Cho a +b=2 . CMR : a
4
+b
4


2
8

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.
Giải .
Từ (8) 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2
= 4
Lại có : 2(a
4
+b
4
)

(a
2
+b
2
)
2
=4


a
4
+b
4

2
Bài 21
Giải hpt
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
=
+
=
+

=
+
Bài 22
Cho 2số x,y khác 0 .CMR

2 2
2 2
3 4 0
x y x y
A
y x y x

= + + +
ữ

Bài 23.
Cho |a|

1 , |b|

1 và|a+b|=
3
Tìm giá trị lớn nhất của
2
1 a
+
2
1 b
(Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dơng)
Giải.

Ta có : A=
2
1 a
+
2
1 b

0
Xét A
2
=
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 2 (1 )(1 )
2 ( ) 1 1
4 2( 4 ( ) 1
| | 1
a b a b
a b a b
a b a b
A
+ +
+ + +
= + + =


1 1A

GTLN của A là 1 khi a=b

2
2
| | 3
4 3
3
4
3
| |
2
3
2
a
a
a
a
a
=
=
=
=
=


3
2
a b= =

3
2
a b= =
9
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Đức Khánh.
Bài25.
Cho x, y, z là số nguyên dơng thoả mãn.

1 1 1
x y z
+ +
(1) CMR

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
( thi i hc khi A nm 2005 )
Giải.
Cách 1: Ap dng bđt (a-b)
2

0
(a-b)
2


4ab

1
4
a b
a b ab
+

+

1 1 1 1
4a b a b

+
ữ
+

Đẳng thức xảy ra khi a=b
Ta có :

( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y x z

= + + + +
ữ ữ
+ + + + + + +

Đẳng thức xảy ra

x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z )

Tơng tự :

1 1 1 1 1 1
2 16
1 1 1 1 1 1
2 16
y x z y z y x
z x y z x z y

+ + +
ữ
+ +


+ + +
ữ
+ +


Cộng 3 vế với bđt ta đợc đpcm
Cách 2.
Ta có :

1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 ( ) 4 2 8 16
1 1 1
8 16 16
1 1 1 1
2 8 16 16
1 1 1 1

2 8 16 16
x y z x z y x y z x y z
x y z
y z x y z x
z x y z y x

= + + + +
ữ ữ
+ + + + +

= + +
+ +
+ +
+ +
+ +
Cộng vế với 3 bđt trên ta có đpcm.
Kết luận .
Trên đây tôi đã trình bày vài bài tập sử dụng công cụ rất đơn giản mà học
sinh đã đợc trang bị ở lớp dới . Từ đó phát triển và hình thành cho học sinh ph-
ơng pháp t duy và suy nghĩ cực kỳ sáng tạo. Tôi đã áp dụng trong việc bồi d-
ỡng học sinh khá giỏi đợc các em phấn khởi và đem lại hiệu quả rất rõ rệt .
Kính mong các bạn đọc và bổ sung ; phát triển thêm .
10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn §øc Kh¸nh.

11