GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP QĐNS CỦA EVANS VÀ DICKSON

GIÔÙI THIEÄU CHUNG
I. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG
PHÁP QĐNS CỦA EVANS VÀ DICKSON


Kỹ thuật vẽ QĐNS truyền thống được Evans
đề ra. Phương pháp này d a vào phương ự
trình đặc tr ng 1 + G(s)H(s) = 0 (1). Phương ư
pháp QĐNS của Evans s d ng phương trình ử ụ
(1) để xác đònh vò trí cực khi đ l i c a hệ ộ ợ ủ
thống thay đổi.
GIỚI THIỆU CHUNG


Trong phần này ta giới thiệu phương pháp
mới để vẽ QĐNS của hệ thống điều khiển.
bằng cách vẽ đường biểu diễn QĐNS bao
gồm phần thực và ảo là nghiệm của
phương trình đặc tính.

Việc tìm nghiệm này xuất phát từ nguyên
tắc cân bằng của Dickson.
GIÔÙI THIEÄU CHUNG
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng


Ứng dụng của phương pháp kỹ thuật này
cho phép điều chỉnh độ lợi và thiết kế được
hệ thống theo yêu cầu
GIÔÙI THIEÄU CHUNG

Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng


A) Phương pháp của Evans

V n đ quan tr ng c a h th ng đi u ấ ề ọ ủ ệ ố ề
khi n tuy n tính là nghi m s t ph ng ể ế ệ ố ừ ươ
trình đ c tính G(s)H(s) + 1 = 0. Ví d : ặ ụ
Cho m t ph ng trình v i hệ số k thay ộ ươ ớ
đổi , mu n bi t đ c qu đ o của nghiệm ố ế ượ ỹ ạ
thì ta tìm nghiệm ứng với từng giá trò của
k ,khi đó ta được đ ng bi u di n c a ườ ể ễ ủ
nghi m s .ệ ố
GIỚI THIỆU CHUNG
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hồng


Quy t c c a Evans cho phép b qua m t ắ ủ ỏ ộ
s quy trình ph c t p đ xây dựng nên ố ứ ạ ể
phác h a c a Q NS một cách nhanh ọ ủ Đ
chóng . Vì th có th nói quy t c c a ế ể ắ ủ
Evans vẫn rất h u d ng khi vẽ QĐNS. ữ ụ

Với ph ng trình đ c trưng:1+G(s)H(s) = ươ ặ
0 c a m t h th ng h i ti p được biểu ủ ộ ệ ố ồ ế
diễn như hình vẽ sau:
GIỚI THIỆU CHUNG

GIÔÙI THIEÄU CHUNG
G(S)

H(S)
R
s
C
s
Fig.1 Controlled system
K
+
-
G(S)
H(S)


Quy t c đ v Q NS đ c tóm t t ắ ể ẽ Đ ượ ắ ở
b ng I.Ng i thi t k d dàng v đ c ả ườ ế ế ễ ẽ ượ
Q NS b ng cách s d ng nh ng nguyên Đ ằ ử ụ ữ
t c do Evans đ a ra.Tuy nhiên ph ng ắ ư ươ
pháp này không cung c p cho ta cách ấ
th c phân tích trong việc xác đ nh đ ứ ị ộ
l iyêu cầuợ
GIỚI THIỆU CHUNG


B) Phương pháp của Dickson

Ph ng pháp đ c gi i thích b ng m t ươ ượ ả ằ ộ
cách hi u khác về h th ng.Ph ng pháp ể ệ ố ươ
này có th đ c s d ng đ thi t l p đ ể ượ ử ụ ể ế ậ ộ
l i theo mong mu n cho h th ng và cho ợ ố ệ ố
ta ph ng trình đ i s c a qu đ o. C ươ ạ ố ủ ỹ ạ ả

hai ph ng pháp Evans và Dickson có th ươ ể
đ c dùng nh m t thanh công c h tr ượ ư ộ ụ ổ ợ
cho vi c v Q NS theo mong mu nệ ẽ Đ ố
GIỚI THIỆU CHUNG
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hồng

II. Phương pháp Evans – Phương
pháp truyền thống.
Evans đưa ra 9 định lí để vẽ QĐNS:

Định Lí 1: Những điểm ứng với k= 0 trên
QĐNS là những cực của G(s)H(s)

Định Lí 2: Những điểm ứng với k->+/-∞
trên QĐNS là zeros của G(s)H(s).
TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng


Định Lí 3: Số nhánh của QĐNS bằng với
bậc của đa thức G(s)H(s).

Định Lí 4: QĐNS đốI xứng qua trục thực .
TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS

Định Lí 5: Góc của tiệm cận của RL( k >0)
được xác định bởi công thức:


Ө
k
=

Trong đó k = 0,1,2,…,|n-m|-1.

n, m là số cặp cực-zeros của G(s)H(s)

(2K+1)п
| n-m |
n = m
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng


Góc của đường tiệm cận của CRL(k<0) được
xác định bởi công thức:

Ө
k

=

Trong đó k = 0,1,2,…,|n-m|-1.

n, m là số cặp cực-zeros của G(s)H(s)
TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS
2Kп
| n-m |
n = m


Định Lí 6: Giao điểm của tiệm cận với trục
thực được xác định như sau:



n là tổng số cực và m là tổng số zeros
của G(s)H(s)
TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS
Σcực - Σzeros
n-m
Ơ
1
=
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng


Định Lí 7: QĐNS được vẽ trên toàn bộ trục
thực ứng với RL hay CRL.

RL: thuộc về quỹ đạo nghiệm nếu tổng số cực và
zeros nằm bên phải RL là lẻ.
CRL: thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực
và zeros nằm bên phải CRL là số chẵn.

Lưu ý: Số zeros và cực phức của G(s)H(s) không ảnh
hưởng đến sự phân bố của quỹ đạo nghiệm số trên trục
thực.
TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng

TOÙM LÖÔÏC PHÖÔNG PHAÙP QÑNS CUÛA EVANS

Định Lí 8: Điểm tách nhập trên QĐNS thoả
phương trình vi phân sau:

Định Lí 9: Điểm giao nhau của QĐNS với trục
ảo ω được xác định theo tiêu chuẩn Routh-
Hurwitz
Đề Tài Thảo Luận. GVHD: Huỳnh Thái Hoàng
( ) ( )
0
dG s H s
ds
=

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
III.PHƯƠNG PHÁP DICKSON

Phương pháp của Dickson là dựa vào
phương trình đặc trưng để tìm ra mối
quan hệ giữa phần thực và phần ảo của
nghiệm số.

Từ 1+G(s)H(s)= 0 suy ra:
|G(s)H(s) | =1 và G(s)H(s)=180

∠

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON


Xét hệ thống trên Fig.1 , hàm truyền là:
C(s)/R(s)=G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))
hay viết dưới dạng:C(s)/R(s)=b(s)/a(s)
Phương trình đặc trưng vòng kín cho dưới dạng:
a(s)=F(s)+1=0

QĐNS được thiết lập dựa vào điều kiện:
Re(F(s))=-1 và Im(F(s))=0
Với s = ta có:
Re(F( ))= -1 và Im(F( ))=0
j
σ ω
+
j
σ ω
+
j
σ ω
+

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON

Xét ví dụ:
Cho hệ thống có hàm truyền G(s)=
và H(s)=1.

Ta có C(s)/R(s)= =

=

( 1)
K
s s
+
1
1 ( )G s+
2
K
s s K+ +
( ) 1
K
F s +

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
Hay F(s)=
hay F( )= + +K-1
=
Áp dụng điều kiện cân bằng phần ảo:
Im(F(s))= =0
Suy ra =0 hoặc =-1/2
Từ kết quả thu được,vẽ các đường =0 và
=-1/2 ta thu được QĐNS hoàn chỉnh
2
1s s K+ + −
j
σ ω
+
j
σ ω
+

2
( )j
σ ω
+
2 2
1 (1 2 )K j
σ ω σ ω σ
− + + − + +
(1 2 )
ω σ
+
ω
σ
ω
σ

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
QÑNS hoaøn chænh:
0-1
σ
ω
-0.5
x x

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
Lưu ý rằng : =0 biểu diễn cho một
phần RL và phần CRL nằm trên trục

(điều này đúng cho tất cả các hệ thống),
còn =-1/2 biểu diễn cho phần RL

còn lại- đó là đường thẳng đứng nằm
bên trái trục
ω
σ
σ
ω

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
p dụng điều kiện cân bằng phần thực:
Re(F(s))= =-1
hay K= (*)
Từ (*) ta có thể thiết kế giá trò của K tuỳ theo
giá trò của va
Như vậy,K hoàn toàn được xác đònh khi ta chọn
một nghiệm theo mong muốn (sao cho hệ
thống tối ưu) nằm trên QĐNS
2 2
1K
σ ω σ
− + + −
2 2
ω σ σ
− −
ω
σ

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON
Ví d :Cực của hệ thống đươc xác đònh tại vò ụ
trí:
(-0.5,0.4158) ,thay giá trò này vào (*) ta được

K=0.4229

PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ DICKSON

Phương trình cân bằng phần thực và phần ảo
bắt nguồn từ nguyên tắc cân bằng của
Dickson gồm một điều kiện cho phần thực và
một điều kiện cho phần ảo.

Cả hai phương pháp (Evans và Dickson) đều
xác đ nh được QĐNS chính xác.ị

Phương pháp của Dickson khai thác việc tính
toán độ lợi K dựa trên cực của hệ thống tại
điểm hoạt động theo mong muốn .