CHƯƠNG 3: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ pot

CHƯƠNG 3 : CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
1. Bài toán mở đầu.
2. Các đại lượng đặc trưng.
3. Mở rộng cho hàm phân bố liên tục.
II. HÀM SÓNG
1. Biểu thức.
2. Ý nghĩa.
3. Tính thống kê của hàm sóng.
4. Ðiều kiện chuẩn hóa.
5. Ðiều kiện của hàm sóng.
6. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động
7. Vận tốc pha, vận tốc nhóm.
III. TOÁN TỬ
1. Khái niệm về toán tử.
2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử.
3. Các toán tử trong cơ học lượng tử.
IV. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
V. HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN
VI. DAO ÐỘNG TỬ ÐIỀU HOÀ
VII. HIỆU ỨNG ÐƯỜNG NGẦM
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM
I. KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
TOP
Cơ học lượng tử là môn học gắn liền với chuyển động của các hạt vi mô có
vận tốc chuyển động gần với vận tốc ánh sáng. Ðặc điểm của cơ học lượng tử, như tên
của nó, nghiên cứu về tính chất lượng tử hóa của các đại lượng vật lý liên quan đến
chuyển động vi mô. Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử
bởi vì theo nguyên lý Heisenberg ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận

tốc của hạt vi mô, không xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế nên trong
phần đầu của chương, ta sẽ giới thiệu sơ bộ về lý thuyết xác suất.
1.Bài toán mở đầu
TOP
Giả sử trong một phòng họp có sự phân bố số người dự họp theo số tuổi như sau:
Có 1 người 14 tuổi. Biểu diễn ( N(14)=1
Có 1 người 15 tuổi. ( N(15)=1
Có 3 người 16 tuổi. ( N(16)=3
Có 2 người 22 tuổi. ( N(22)=2
Có 2 người 24 tuổi. ( N(24)=2
Có 5 người 25 tuổi. ( N(25)=5
Tổng quát N(J) là hàm theo các biến nguyên biểu thị số người có cùng số tuổi là J.
Sự phân bố được biểu diễn như đồ thị (Hình 3.1) sau đây

2. Các đại lượng đặc trưng
TOP
Khi nói đến bài toán phân bố ta xét đến khả năng chọn lựa một biến cố bất kỳ, ví
dụ như bài toán trên là khả năng chọn ra một người có số tuổi là J nào đó. Muốn tính khả
năng nầy ta phải biết:
3. Mở rộng cho hàm phân bố liên tục
TOP
Giả sử bây giờ ta tính chính xác tuổi từng người theo ngày tháng năm và giờ
sinh: Trong bài toán trên (J) sẽ là các biến số dương và liên tục, có thể viết là (x). Hàm
phân bố số tuổi có thể viết lại là P(x) và đây là xác suất tìm chính xác một người có tuổi x
nào đó trong phòng họp. P(x) thường được gọi là mật độ xác suất. Trong trường hợp
tổng quát thì biến x là biến thực.
Xác suất tìm ra một số người có tuổi trong khoảng x+dx sẽ là:

ở đây ta cần lấy cận tích phân tiến về vô cùng bởi vì biến x nhận các giá trị thực.
Giá trị trung bình của biến x trong trường hợp nầy được gọi là kỳ vọng tóan học của x:

II. HÀM SÓNG (WAVE FUCTION)
1. Biểu thức
TOP
Theo giả thuyết Broglie thì đối với các hạt vi mô ngoài tính hạt còn có tính sóng,
vậy ta hãy thử mô tả hạt vi mô như là một sóng và đó cũng là ý định của những người
sáng lập môn học cơ học lượng tử.
2. Ý nghiã
TOP
Ở đây ta dùng hàm phức có dạng:
thay cho hàm thực để mô tả trạng thái chuyển động của hạt, bởi vì các nhà vật lý cho rằng
sóng Broglie là một dao động phức tạp. Hàm sóng phức giúp ta biết được trạng thái vi
mô của các hạt chuyển động với vận tốc khá lớn và rất khó xác định gía trị chính xác của
vận tốc.
3. Tính thông kê của hàm sóng
TOP
Xét một chùm hạt phôton chuyển động trong không gian qua một phần tử có thể
tích là (V bất kỳ bao quanh một điểm M. Theo thuyết sóng ánh sáng thì cường độ sáng
tại M tỷ lệ với bình phương biên độ của biểu thức dao động sóng:
4. Điều kiện chuẩn hóa
TOP
Khi tìm hạt trong toàn bộ không gian mà hạt cư trú, ta chắc chắn sẽ tìm thấy hạt, nghiã
là xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian hạt cư trú là bằng 1
Phương trình 3.22 được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng.
Như vậy hàm sóng cho hạt chuyển động ( ta mượn biểu thức từ sự truyền sóng cơ trong
không gian nhưng hàm sóng nầy không mô tả một dao động thực nào mà nó chỉ cho ta
xác suất tìm hạt tại một trạng thái nào đó. Nói cách khác hàm sóng ( viết cho hạt thì mang
tính thống kê.
5. Điều kiện của hàm sóng
TOP
Hàm sóng phải thoả mản các điều kiện sau đây:

1- Giới nội. Nếu hàm sóng không giới nội thì tích phân (3.21) là phân kỳ nên
mâu thuẩn với ý nghĩa xác suất.
2- Ðơn trị. Nếu hàm sóng không đơn trị thì ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác
suất tìm thấy hạt khác nhau. Ðiều đó thì mâu thuẩn với lý thuyết xác suất.
3- Liên tục. Ðiều nầy là do xác suất không thể thay đổi một cách nhảy vọt.
4- Ðạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục (sẽ đề cập ở phần sau).
6. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động
TOP

7. Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm
TOP
Biểu thức 3.25 chứng tỏ vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng điều nầy có nghiã là
vận tốc pha không phải là vận tốc truyền hạt hay truyền năng lượng.
Cơ học lượng tử cho rằng chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng
đơn sắc riêng biệt mà ứng với một tập hợp sóng có bước sóng gần bằng nhau (Ðiều nầy
nhiễu xạ của electron đã chứng tỏ khi các vân nhiễu xạ có độ rộng nhất định chứ không
phải một vạch mảnh). Vậy nhiễu xạ tạo ra không phải bởi một sóng mà là do nhiều sóng
có bước sóng gần nhau.
Bó sóng là gì: Một tập hợp gồm nhiều sóng có bước sóng gần bằng nhau. Biên độ
của bó sóng là tổng hợp của biên độ các sóng thành phần; còn hàm sóng mô tả cho bó
sóng là:
III. TOÁN TỬ (OPERATOR)
1. Khái niệm về toán tử
TOP
Toán tử là gì:
Toán tử là một ánh xạ khi tác dụng lên một hàm bất kỳ thì nó biến hàm đó thành
một hàm khác:
Vậy ta có toán tử được thành lập từ hai toán tử bằng phép cộng và trừ. Phép cộng có tính
chất giao hoán và kết hợp
2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử:

TOP
trong đó a là một gía trị nào đó mà ta gọi là trị riêng ứng với hàm riêng đó. Như
vậy khi ta tác dụng toán tử lên hàm riêng của nó thì ta được chính hàm riêng đó nhân với
trị riêng tương ứng với hàm riêng đó. Trị riêng của một toán tử có thể lấy các giá trị gián
đoạn hoặc các gía trị liên tục. Số lượng trị riêng của một toán tử có thể là hữu hạn hoặc là
vô hạn.
3. Các toán tử trong cơ học lượng tử
TOP
a-Biến số động lực học: Các nhà sáng lập cơ học lượng tử cho rằng nếu như trong
cơ học cổ điển trạng thái của hệ được xác định bằng một tập hợp các biến số như toạ độ,
vận tốc, xung lượng, năng lượng thì trong cơ học lượng tử một trạng thái của hệ được đặc
trưng bằng các biến số động lực học tương tự như các biến số trong cơ học cổ điển .
b- Trong qúa trình sử dụng các biến số động lực học người ta phải chấp nhận một
số tiên đề sau đây :
Tiên đề 1: Mỗi biến số động lực học được biểu diễn bằng một toán tử HERMITE
có phổ trị riêng là các số thực mà nó được đo đạc thực nghiệm từ biến số của đại lượng
vật lý cổ điển tương ứng. Ví dụ toán tử năng lượng có phổ trị riêng là các gía trị năng
lượng được đo từ thực nghiệm.
Tiên đề 2: Hệ thức giữa các toán tử trong cơ học lượng tử có dạng giống hệt như
dạng các biến số của đại lượng trong cơ học cổ điển tương ứng.
Sau đây ta giới thiệu một số toán tử thông dụng trong cơ học lượng tử :
IV. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER (SCHRODINGER
EQUATION)
TOP
Nhắc lại hàm sóng Broglie cho một hạt chuyển động tự do có năng lượng E và
xung lượng P là:
Tóm lại phương trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt có vai trò giống

như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển.
Giải phương trình Schrodinger trong không gian rất phức tạp nên đơn giản ta chỉ
giải những bài toán một chiều.
V. HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN
TOP


Kết qủa quan trọng của bài toán là năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế chỉ có
thể nhận những gía trị gián đoạn (gía trị đó tỷ lệ với bình phương các số nguyên). Ta có
thể xác định hằng số A trong nghiệm (3.51) bằng điều kiện chuẩn hóa:
VI. DAO ÐỘNG TỬ ÐIỀU HÒA
TOP
Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực F
tỷ lệ với x và trái dấu với x. Theo cơ học cổ điển hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng
x=0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điều hòa. Phương trình của dao động tử điều hoà theo
cơ học cổ điển là: