Bài tập toán cao cấp - Phần 2 pptx

ĐỀ TÀI 5
15- Câu 1: Cho hàm z = x
2
– 2xy + 1. Tìm cực trị
Giải:
Ta có: z = x
2
– 2xy + 1 = f(x,y)
2 2 0
2 0
x
y
f x y
f x
′
= − =



′
= − =


⇒
0
0
x y
x
− =



=

⇒
0
0
x
y
=


=

Vậy điểm dừng là (0,0).
Ta có:
2
2
x
A f
′′
= =
mà
2
AC B∆ = −
2
xy
B f
′′
= = −

2

0 ( 2)= − −
2
0
y
C f
′′
= =

4 0= − <
⇒
Tại (0,0) không có cực trị
24 - Câu 2: Cho hàm z = x
6
– y
5
– cos
2
x – 32y. Tìm cực trị.
Giải:
Ta có: z = x
6
– y
5
– cos
2
x – 32y = f(x,y)
5
4
6 2sin cos 0
5 32 0

x
y
f x x x
f y
′
= + =


′
= − − =


⇒
5
4
3 sin cos
5 32
x x x
y

= −


− =


x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau)
4
32
5

y = −
(vô nghiệm)
Vậy hàm z không có điểm dừng
33- Câu 3: Cho hàm z = x
2
+ 4xy + 10y
2
+2x + 16y. Tìm cực trị
Giải:
Ta có: z = x
2
+ 4xy + 10y
2
+2x + 16y = f(x,y)
2 4 2 0
4 20 16 0
x
y
f x y
f x y
′
= + + =



′
= + + =


⇒

2 1 0
5 4 0
x y
x y
+ + =


+ + =

⇒
1
1
x
y
=


= −

Vậy điểm dừng là (1,-1).
Ta có:
2
2
x
A f
′′
= =
mà
2
AC B∆ = −

4
xy
B f
′′
= =

40 16= −
2
20
y
C f
′′
= =

24 0= >
mà
2 0A
= >
⇒
(1,-1) là điểm cực tiểu.
59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I =
∫∫
D
yxf ,(
dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi
các đường: D: x + y
≤
1, x – y
≤
1, x

≥
0.
Giải:
Ta có
( , )
D
I f x y dxdy=
∫∫
(*)
Ta có: x + y
≤
1
1y x⇒ = −
x – y
≤
1
1y x⇒ = −
mà x
≥
0
Từ (*)
( )
1 1
0 1
,
x
x
I dx f x y dy
−
−

⇒ =
∫ ∫
68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I =
1
0
dx
∫
3
0
( , )
x
f x y dy
∫
.
Giải:
Ta có:
3
3
0 1
0 1
0
1
y
x
y x
y x
≤ ≤

≤ ≤



⇒
 
≤ ≤
≤ ≤



(
)
3
1 1 1
1
3
0 0
1
y
I dy dx y dy⇒ = = −
∫ ∫ ∫
1
4
3
0
3 3 1
1
4 4 4
y y
 
= − = − =
 ÷

 
78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I =
2 2
1
( , )
x
x
dx f x y dy
∫ ∫
.
Giải:
[ ] [ ]
[ ]
1 1, 1,2
2 ,2 2,4
2
D y x
y
D x
=
 
=
 
 
2 4 2
1 1 2
2
( , ) ( , )
y
y

J
K
I dy f x y dx dy f x y dx= +
∫ ∫ ∫ ∫
1 442 4 43
1 4 42 4 43
y = x
x = 2
x = 1
y = 2x
1
2
O x
y

D2
D1
x = 1
O x
y
D
1
-1
-1
O
1
x
y
y = x-1
y = 1-x

2
1
-1
( )
( )
2
2 2
2
1
1 1
1
4 1 1
| 1 2 1
2 2 2 2
y
y
J x dy y dy y
 
   
= = − = − = − − − =
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫ ∫


4
4 4
2

2
2
2 2
2
16 4
| 2 2 8 4 1
2 4 4 4
y
y y
K x dy dy y
 
     
 
= = − = − = − − − =
 ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
∫ ∫
1 3
1
2 2
I J K= + = + =
87 - Câu 7: Tính tích phân
2
1
3
0 0

3
y
xy
I dy y e dx=
∫ ∫
Giải:
2
1
3
0 0
3
y
xy
I dy y e dx=
∫ ∫
2
1
2
0
0
3 |
xy y
y e dy
 
=
 
∫
=
3
1 1

2 2
0 0
3 3
y
J K
y e dy y dy−
∫ ∫
1 42 43 142 43
J =
3
1
2
0
3
y
y e dy
∫
đặt
3
t y=
2
3
dt
y dy⇒ =
1
1
0
0
| 1
t t

J e dt e e= = = −
∫
(1)
1
2 3 1
0
0
3 | 1K y dy y= = =
∫
(2)
(1)(2)
→
1 1 2I e e= − − = −
105 - Câu 8: Tính
cos
D
y
I dxdy
x
=
∫∫
D là miền giới hạn bởi
1, 2, 0,
2
x x y y
π
= = = =

Giải:
2

2
1 0
cos cos
D
y y
I dxdy dy dx
x x
π
 
 ÷
= =
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫

2 2
2
0
1 1
sin x dx
dx
x x
π
 
= =
 ÷
 
∫ ∫

2

1
ln | ln 2x= =
115 - Câu 9: Tính tích phân:
( )
2
D
I x y dxdy= +
∫∫
D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0);
B(0,1).
Giải:
( )
( )
1 1
0 0
2
2
2
D
x y
I x y dxdy dxdy
+
= + =
∫∫ ∫∫
O
D
x
y
A(1,0)
B(0,1)

O x
y
x = 1
x = 2
2
y
π
=
D

1
1 1
2
0 0
0
1
2 2
x
xy dy y dy
 
 
= + == +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫

2
1 1

0 0
1 1 1
| | 1
2 2 2 2
y
y= + == + =
125 - Câu 10: Tính tích phân:
2 2
D
dxdy
I
x y
=
+
∫∫
trong đó D là hình tròn
2 2
9x y+ ≤
Giải:
Ta có
0 2
φ π
≤ ≤
vì
2 2
9x y+ ≤
0 3r
⇒ ≤ ≤
Ta đặt
cos

sin
x r
y r
φ
φ
=


=

2 3 2
3 2
0 0
2
0 0 0
| 3 | 6
rdr
I d r d
r
π π
π
φ φ φ π
⇒ = = = =
∫ ∫ ∫
Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường
y x=
và
y x=
. Tính S.
Giải:

Ta có
0 1x
x y x
≤ ≤



≤ ≤


Vậy
1
0
x
D x
I dxdy dy dx
 
= =
 ÷
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫
( )
1 1 1 1
0 0 0 0
|
x
x
y dx x x dx xdx xdx= = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

2
3 2 1 1
0 0
2 2 1 1
| |
3 2 3 2 6
x
x= − = − =
149 - Câu 12: Xét tích phân bội ba
( , , )f x y z dxdydz
Ω
∫∫∫
trong đó
Ω
là miền trong không gian
được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận
Ω
.
Giải:
Từ hình vẽ ta có cận
Ω
= [0;2]x[0;2-x]x[0;2]
( )
2 2 2 2 2 2
2
0
0 0 0 0 0 0
( , , ) 2 2
x x
x

I dx dy f x y z d z dydx y dx
− −
−
= = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
O
2
D
x
yy = 2-x
O
x
y
y x=
y x
=
1
1
O
3
x
y
=
( )
2
0
4 2 4x dx− =
∫
159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba

z
xye dxdydz
Ω
∫∫∫
, trong đó
Ω
là miền:
0 1;0 2;0 ln3x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
.
Giải:
( )
1 2 ln 3 1 2 1 2
ln 3 ln 3
0
0 0 0 0 0 0 0
|
z z
I xye dzdydx xye dydx xye xy dydx= = = −
∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫
=
( )
2
1 1 1
2 ln 3 2 ln 3
ln 3
0 0 0
0
4 4
2 2
2 2 2 2

xy e xy xe x
dx dx xe x dx
   
− = − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
2 ln3 2 1 ln3
0
( ) | 1x e x e= − = −
= 2
170 - Câu 14: Tính
cosI xy zdxdydz
Ω
=
∫∫∫
,
Ω
là hình hộp
0 1;0 2;0
2
x y z
π
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Giải:
1 2 1 2 1 2
2
2
0
0 0 0 0 0 0 0

cos sin |I xy zdzdydx xy z dydx xydydx
π
π
= = =
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
=
2
1 1
2
2 1
0
0 0
0
2 | 1
2
xy
dx xdx x
 
= = =
 ÷
 
∫ ∫
180 - Câu 15: Cho
Ω
là phần hình trụ:
2 2
1;1 4x y z+ ≤ ≤ ≤
.Đặt
( , , )I f x y z dxdydz
Ω

=
∫∫∫

Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân.
Giải:
Ta có
2 2
1 0 1x y r+ ≤ ⇒ < ≤
Đặt
cos 0 1
sin 0 2
1 4
x r r
y r
z z z
ϕ
φ φ π
= < ≤
 
 
= ⇔ ≤ ≤
 
 
= ≤ ≤
 
Vậy I =
( )
4 2 1
1 0 0
.cos , .sin ,f r r z dz d rdr

π
φ φ φ
∫ ∫ ∫
202 - Câu 16: Tính tích phân đường
( )
C
I x y dl= −
∫
, trong đó C có phương trình
1;0 1x y x+ = ≤ ≤
.
Giải:
Ta có:
'
1 1
1
0 1 0 1
0 1
x
x y y x
y
x x
x

+ = = −
= −
 
⇒ ⇒
  
≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤
 

2
1 ( ) 1 1 2
x
dl y dx dx dx
′
= + = + =
( )
1
1 1
2
0 0
0
1 2 2 (2 1) 2 0I x x dx x dx x x
 
= − + = − = − =
 
∫ ∫
211 - Câu 17: Tính tích phân đường
C
I ydl=
∫
, trong đó C có phương trình
1;0 1x y x+ = ≤ ≤
.
Giải:
Ta có:
'

1 1
1
0 1 0 1
0 1
x
x y y x
y
x x
x

+ = = −
= −
 
⇒ ⇒
  
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤
 

2
1 ( ) 1 1 2
x
dl y dx dx dx
′
= + = + =
( ) ( )
1
1 1
2
0 0

0
2
1 2 2 1 2
2 2
x
I x dx x dx x
 
= − = − = − =
 
 
∫ ∫
Câu 18: Tính tích phân đường
( )
C
I x y dl= +
∫
, trong đó C là đường biên của tam giác với các
đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1).
Giải:
Ta có:
C OA AB BO
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
1
0
1
0
2
OA

x dx= + =
∫ ∫
(1)
Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1-x
1
x
y
′
⇒ = −
1 1 2ds dx dx⇒ = + =
( )
1
0
1 2 2
AB
x x dx= + − =
∫ ∫
(2)
( )
1
1
2
0
0
1
0
2 2
BO
y
y dy= + = =

∫ ∫
(3)
(1)(2)(3)
1 1
2 2 1
2 2
C
⇒ = + + = +
∫
231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn
cos , sinx a t y a t= =
với
6 3
t
π π
≤ ≤
Giải:
Ta có:
cos
a sin
x a t
y t
=


=


sin
cos

t
t
x a t
y a t
′
= −

⇒

′
=

và
6 3
t
π π
≤ ≤
Ta có:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) sin cos
t t
ds x y dt a t a tdt adt
′ ′
= + = + =
O
A(1,0)
x
y
B(0,1)
3

3
6
6
6
L ds adt at a
π
π
π
π
π
= = = =
∫ ∫
Câu 20: Tính
2 2
( 2 ) (2 )
OA
I y xy dx xy x dy= − + −
∫
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2).
Giải:
Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx
( ) ( )
1 1
1
2 2 2 2 2 3
0
0 0
4 4 4 2 6 2 2I x x dx x x dx x dx x= − + − = = =
∫ ∫
257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2]. Tính

sin cos
C
I y xdx xdy= −
∫Ñ
Giải:
Áp dụng công thức Green:
Ta có
sin
sin
cos
sin
y
x
P x
P y x
Q x
Q x
′
=

=


⇒
 
= − ′
=




( )
sin sin 0
C D
I Pdx Qdy x x dxdy= + = − + =
∫ ∫∫Ñ
267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật
1 3;0 3x y≤ ≤ ≤ ≤
. Tính tích phân đường loại
2.
( ) ( )
2 2I x y dx x y dy= + + −
∫
Giải:
Áp dụng công thức Green:
Ta có
2
2
2
1
y
x
P
P x y
Q x y
Q
′
=

= +



⇒
 
= − ′
=



( ) ( )
3 3 3
1 0 1
2 1 3 3.2 6
C D
I Pdx Qdy dxdy dx dy dx= + = − + = − = − = − = −
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫Ñ
(Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ)
385 - Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2 0xydx dy+ =
Giải:
Ta có
2 0xydx dy+ =
(*)
Khi
0y ≠
chia 2 vế cho y. Từ
( )
*
2 0
dy
xdx

y
⇒ + =
2 0
dy
xdx
y
⇔ + =
∫ ∫
2
ln | | 0x y⇔ + =
(nghiệm tổng quát)
397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2
y y
y
x x
′
= −
Giải:
Ta có
2
y y
y
x x
′
= −
(*)
Đặt
.
y

u y u x y u x u
x
′ ′
= ⇒ = ⇒ = +
Từ (*)
2
u x u u u
′
⇒ + = −
2
du
x u
dx
⇔ = −
2
du dx
u x
⇔ = −
2 1
ln | |
dx
u du u x
x
− −
⇔ = − ⇔ − = −
∫ ∫
1
ln | | ln | |
x
x x C

u y
⇔ = ⇔ = +
(nghiệm tổng quát)
413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
( )
( )
2
1 1 0y tgx tg x y
′
+ − + =
Giải:
Ta có:
( )
( )
2
1 1 0y tgx tg x y
′
+ − + =
(*)
Khi
1
4
tgx x
π
≠ − ⇔ ≠ −
, chia 2 vế cho
1 tgx+
(*)
( )
2

2 2
1
1 1
1 1 1
tg x dx
tg x dy tg x dy
y y y
tgx dx tgx y tgx
+
   
+ +
′
⇒ − ⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷
+ + +
   
( )
{
( )
( )
2
1
2
1
1
tg x
dy
dx
y tgx
+

⇔ =
+
∫ ∫
1 442 4 43
(**)
(1) = ln|y|
(2) Đặt u = 1 + tgx
( )
2
1du tg x dx⇒ = +
ln | | ln |1 |
du
u tgx
u
⇒ = = +
∫
Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát:
( )
ln | | ln |1 | 1 .y tgx C y tgx C⇒ = + + ⇒ = +
425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2 3xy y x
′
+ =
Giải:
Ta có:
2 3xy y x
′
+ =
(*)
Đặt

.
y
u y u x y u x u
x
′ ′
= ⇒ = ⇒ = +
Từ (*) khi
0x ≠
chia 2 vế cho x ta được
2
3 3 2
y
y u x u u
x
′ ′
= − ⇒ + = −
( )
3 1
du
x u
dx
⇔ = −
3
1
du dx
u x
⇔ =
−
3 ln |1 | 3.ln | |
1

du dx
u x
u x
⇔ = ⇔ − − =
−
∫ ∫
ln |1 | 3.ln | |
y
x C
x
⇔ − = − +
(nghiệm tổng quát)
443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
4 16 0y y
′′
− =
Giải:
Ta có:
4 16 0y y
′′
− =
(*)
Phương trình đặc trưng:
2
4 16 0k − =
1
2
2
2
k

k
=

⇒

= −

Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt
2 2
1 2
;
x x
y e y e
−
= =
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
2 2
1 2
. .
x x
y C e C e
−
= +
Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
( )
2 2
8 12 1
x
y y y e x
′′ ′

− + = −
Giải:
Ta có:
( )
2 2
8 12 1
x
y y y e x
′′ ′
− + = −
(*)
Xét phương trình thuần nhất:
8 12 0y y y
′′ ′
− + =
(**)
Ta có phương trình đặc trưng:
2
8 12 0k k− + =
1
2
6
2
k
k
=

⇒

=


Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng:
6 2
1 1
;
x x
y e y e= =
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là
( ) ( )
1 1 2 2
. .y C x y C x y= +
(***)
Trong đó
( )
1
C x
và
( )
2
C x
là nghiệm của hệ phương trình
( )
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
. . 0
. . 1
x
C y C y
C y C y e x

′ ′
+ =



′ ′ ′ ′
+ = −


( )
6 2
1 2
6 2 2 2
1 2
. . 0
6 . 2 . 1
x x
x x x
C e C e
C e C e e x
′ ′
+ =


′ ′
+ = −


Đơn giản e
2x

, ta được :
4
1 2
4 2
1 2
. 0
6 . 2 1
x
x
C e C
C e C x
′ ′
+ =


′ ′
+ = −


Áp dụng định thức Wronsky, ta được
( )
( ) ( )
2 2
1 1
2
0
1
1 1
1
2

C x C x dx
x
′
= = − − ⇒ = − −
−
∫
( ) ( )
4
4 2 4 2
2 2
2
4
0
1 1
1
6
x
x x
x
e
C e x C e x dx
x
e
′
= = − ⇒ = −
−
∫
Thế
1
C

,
2
C
vào phương trình (***), ta được: y =
( ) ( )
6 2 2 4 2
. 1 . 1
x x x
e x dx e e x dx− − + −
∫ ∫
=0
Câu 35: Giải phương trình
( ) ( )
2 2 2 2
3 0x y y y x xy
′
+ + − =
Giải:
Ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
3 0x y y y x xy
′
+ + − =
(*)
Khi
0x ≠
, ta chia 2 vế cho x, từ (*)
( ) ( )
2 2 2 2

3
y
y x y x y
x
′
⇒ − = − +
(**)
Đặt
.
y
u y u x y u x u
x
′ ′
= ⇒ = ⇒ = +
Từ (**)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
3u x x u x u x u x u
′
⇔ − + = − +
; đơn giản x
2
, và nhân phân phối :

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 3u u x u u u u
′

⇔ − + − = − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 3 1u u x u u u
′
⇔ − = − + − −
( ) ( )
2 2
1 2 1u u x u u
′
⇔ − = − +
( )
2
2
1 2
1
u dx
du
x
u u
−
⇔ = −
+
( ) ( )
2 2
2
1 1
u du dx
du
x

u u u
⇔ − = −
+ +
( ) ( )
2 2
2
1 1
M N
u du dx
du
x
u u u
⇔ − = −
+ +
∫ ∫ ∫
1 442 4 43 1 42 43
(***)
Tính M:
Đặt
2
2t u dt udu= ⇒ =
2
1 1 1
ln | 1| ln | 1|
2 1 2 2
dt
M t u
t
⇒ = = + = +
+

∫
(1)
Tính N:
N =
( ) ( )
2 2 2
1 1
du udu
u u u u
=
+ +
∫ ∫
Đặt
2
2t u dt udu= ⇒ =
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 1 2 1
t
dt
dt
t t t t
+ −
⇔ =
+ +
∫ ∫
2 2

1 1 1 1 1
ln | | ln | 1| ln | | ln | 1|
2 1 2 2 2 2
dt dt
t t u u
t t
 
⇔ − = − + = − +
 ÷
+
 
∫ ∫
(2)
Thay (1) và (2) vào (***), có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1
ln | 1| ln | | ln | 1| ln | 1| ln | |
2 2 2 2
u u u u u+ − + + = + −
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là :
2 2
2 2
1
ln | 1| ln | |
2
y y
C
x x
+ = +
Câu 36: Giải phương trình

( )
2 2
1 1 0x y y
′′ ′
+ + + =
Giải:
Ta có:
( )
2 2
1 1 0x y y
′′ ′
+ + + =
(*), đây là dạng phương trình khuyết y:
( )
,y f x y
′′ ′
=
Nên ta đặt
y p y p
′ ′′ ′
= ⇒ =
Từ (*) =>
( )
2 2
1 1 0x p p
′
+ + + =
( ) ( )
2 2
2 2

1 1
1 1
p p
dp
p
x dx x
+ +
′
⇒ = − ⇒ = −
+ +
( )
2 2
1 1
dp dx
arctgp arctgx C p tg arctgx C
p x
⇒ = − ⇒ = − + ⇒ = − +
+ +
Mà
( )
( )y p y p x dx y tg acrtgx C dx
′
= ⇒ = ⇒ = − +
∫ ∫
Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là:
( )
y tg arctgx C dx= − +
∫
HẾT