HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 1

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
(Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn)

Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
1.1 Tìm miền xác định của các hàm số:
a.
2 2 2
1
z
a x y


Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2 2 2 2 2 2
0a x y x y a      

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
 
2 2 2
( , ):D M x y x y a  

b.

2
arcsin
x
z
y




Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
2
2
22
2
2
22
2
2
10
11
1
0
x x y
yx
yy
x
yx
x
y

x y y x
y
y



  




  
        
  










Với

0 ( ; ] ;x x x

     


còn Với
2
0x y x  
(luôn đúng)
KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
 
 
( , ): 0: ; ;D M x y x x x

     


c.
ln
x
z
y




Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
00
x
x y x y
y
        

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:

 
( , ): 0D M x y x y  

d.
u x y z  
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định
0x y z   

KL: Vậy miền xác định của hàm số là:
 
( , , ): 0D M x y z x y z   

1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
1.
( , ) .
x
f x y xy
y

Tính
''
(2,1) (2,1)
xy
ff

Hướng dẫn:
Ta có:
'
2

''
1
11
( , ) (2,1)
2
222
xx
x
xy
y
y
y
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y






    
  

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 2

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

'
2
2
''
2
( , ) (2,1) 0
222
yy
x
x
xy
x
y
xy x
y
f x y f
x x x
xy xy y xy
y y y






    

  

2.
22
.
xy
ze


Tính:
''
,
xy
zy

Hướng dẫn:
Ta có:
 
 
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
x
z e x y e xe
  
   
Chú ý CT: (e

u
)’ = u’.e
u


 
 
2 2 2 2 2 2
'
'
' 2 2
. 2 .
x y x y x y
y
z e x y e ye
  
   

3.
( , ) ( 1)arcsin .
x
f x y x x
y
  
Tính:
'
(1,1)
x
f

Hướng dẫn:
Ta có:
 
''
'
1
( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin
x
x x x x x
f x x x
y y y y
yx
   

         
   
   

   

( Như chúng ta đã biết
22
dx
ax

là
arcsin
x
C
a


. Khi đó ta coi x ở CT trên chính là
x
,a
ở CT trên chính là
y
. Do đó
'
1
arcsin
x
y
yx






)
Vậy
'
2
(1,1) 1
22
x
f


  

4.
33
3
( , ) .f x y x y
Tính:
''
(0,0), (0,0)
xy
ff

Hướng dẫn:
Ta có:


       
 
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
xx
f x y x y x y x y x y x x y f



          






       
 
'
1 2 2
'
'
' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 '
3
3 3 3
1
( , ) . . . 0,0 0
3
yy
f x y x y x y x y x y y x y f


          



5. Cho
lnz y x

.Tìm
'' '' ''
,,
xx xy yy
z z z
.
Hướng dẫn:
Ta có:
''
''
( ln ) '.ln (ln )'.
( ln ) '.ln (ln )'. ln
x
y
y
z y x y x x y
x
z y x y x x y x
   
   
Vậy:
 
 
 
'
'' '
2
'
'' '
'

'' '
1
0
xx x
x
xy x
y
yy y
y
y
zz
x
zz
x
zz
  



6. Cho
lntan .
y
z
x




Tìm:
''

xy
z

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 3

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
Ta có:
''
'
2
'
22
2
tan
2
ln tan
22
tan cos .tan sin .sin
x
yy
y
yy
xx
x
z

y y y y y
x
x
x x x x x
   

   
  

   
    





Vậy:
 
 
''
'
'
2 2 2 2
'
'' '
2 4 2 4 2
2
2 2 2 2
2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2
2

2 2 2
.sin .sin .sin
2 4 2
2.sin .cos .
2
.sin
xy x
y
y y y y
y x x y x x y
y
x x x x
zz
y y y
x x x
x x x
yy
y
x x x
y
x
x
   

   
   


   
   







7. Cho
1
ln
2
u
z
v

với
22
tan , cot .u x v x
.Tìm
'
x
z
.
Hướng dẫn:
Với
22
tan , cot .u x v x
thì
2
24
2

4
2
24
2
sin
1 tan 1 1 sin 1
cos
ln ln ln lntan
cos
2 cot 2 2 cos 2
sin
x
xx
x
zx
x
xx
x
   
.
Khi đó:
 
 
3
'
' 4 3 3
25
1 4sin
tan 4. tan '.tan 4. .tan .
cos cos

x
x
z x x x x
xx
   

8.
a)


22
lnz x x y  
Hướng dẫn:
Ta có:







22
'
22
2 2 2 2
22
'
22
22
2 2 2 2

1
1
ln ,
ln
x
y
x
xy
z z x x y
x x y x y
x
xy
x
z z x x y
x x y
x x y x y




     


  



     




  

Vậy


22
2 2 2 2
dx xdy
dz
xy
x x y x y


  
.
b)
 
cos sin
x
z e y x y
Hướng dẫn:
Ta có:
   
'
'
cos sin cos sin sin
xx
x
z e y x y e y x y y


    


Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 4

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

   
'
'
cos sin cos sin
xx
y
z e y x y e x y y

   


Vậy:
   
cos sin sin cos sin
x
dz e y x y y dx x y y dy      

.

c)
2
.
yz
ux
Hướng dẫn:
Ta có:






2 2 2 2
22
''
' 2 1 '
'
'2
, .2 .ln
. .ln
y z y z y z y z
xy
y z y z
z
u x y zx u x x yz x
u x x y x

   


Vậy
2 2 2
' ' ' 2 1 2
. 2 .ln . .ln
y z y z y z
x y z
du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz

     
.
9.
10. Cho
2
2
xy
z
xy



với y = 3x + 1. Tìm
dz
dx
.
Hướng dẫn:
Từ đề bài ta có:
2
2
31

31
xx
z
xx




Ta có:
''
( ; ) ( ; )
xy
dz z x y dx z x y dy

Khi đó:
'
( ; )
x
dz
z x y
dx

. Vậy:
 
'
'
22
'
2
22

2
3 1 6 2 6 20 9
( ; ) 1
3 1 3 1
31
x
x x x x x dz
z x y
x x x x dx
xx

    

     


   





11. Cho


22
ln .z y x y  
Tính:
2
(0,1)dz

.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy  




 


'
22
22
'
' 2 2
22
2 2 2 2
2
ln
x
xy
xy
x
z y x y
y x y
x y y x y




    



  




 
'
22
2 2 2 2
'
' 2 2
2 2 2 2 2 2
11
2
1
ln
y
xy
y
x y x y
z y x y
y x y y x y x y





     


    

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 5

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 












 



 




 


'
'
2 2 2 2 2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xx x
x

x y y x y x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
x y x y
x y y x y x
x y y x y x y x y x x y
xy
x y y x y x y x y y x y


      



  


  

  




    
       



      


 








 




 
 


'
'
2 2 2 2
'
'' '
2
2 2 2 2
2 2 2 2
22

22
22
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
.
.
. . .
xy x
y
x x y y x y
x
zz
x y y x y
x y y x y
y y x y
x y x y
xy
xy y x y xy x y x x y
x y y x y x y x y y x y


   



  



  

  






   


      



      


 
 
'
22
'
'' '
2 2 2 2
22
'
12
yy y

y
xy
y
zz
x y x y
xy



     






''
''
''
(0,1) 1
(0,1) 0
(0,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z



  

Vậy:
2 2 2
(0,1)dz dx dy


12. Cho
(2 ).ln
x
z x y
y




. Tính
2
(1,1)dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy  


''
'

2
(2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln
x
x x x x x y
z x y x y
y y y y x
   

      


   


''
'
2
(2 )ln ln ln (2 ) ln
y
x x x x x y
z x y x y
y y y y y
   

      


   



 
'
'
'' '
2
22
2.ln
xx x
x
x x y y
zz
y x x x


    




 
'
'
'' '
2 2 1
2.ln
xy x
y
x x y
zz
y x y x



     



Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 6

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
'
'
'' '
2
2 1 2
ln
yy y
y
x x y x
zz
y y y y


     





''
''
''
(1,1) 1
(1,1) 1
(1,1) 1
xx
xy
yy
z
z
z

  


Vậy:
2 2 2
(1,1)dz dx dxdy dy  

13.
14. Cho
 
22
lnz y x y
.Tính
   

2
2
2,1 ; 2,1 .
x
dz
x



Hướng dẫn:
Ta có:

   
       
''
' 2 2 2 2
22
2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
xy
z y x y x y y
xy

y
z y x y x y x y y x y
xy
   
    
   

   
        
   



 
'
23
''
2 2 2
22
2
2
xx
xy x y y
z
xy
xy





  








Vậy:
     
''
2,1 2,1 2,1 2 2 2
xy
dz z dx z dy dx dy   
.
Tính:
 
2
2
2,1 .
x
x




 
 
 

 
 
2
' 2 2
2
22
2 ''
2 3 2 3
2
22
2
2.
x
xx
xy
z x y
x
xy
xz
x y y xy x y y
xy



   




Vậy:

 
2
2
2,1 6
x
x



.
15. Chứng tỏ rằng hàm số
 
22
lnz y x y
thỏa mãn phương trình:
2
11z z z
x x y y y




Hướng dẫn:

Ta có:
   
       
''
' 2 2 2 2
22

2
''
' 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
ln ln .
2
ln ln ln . ln
x
y
z xy
z y x y x y y
x x y
zy
z y x y x y x y y x y
y x y

   
     
   


   
         
   


Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2

Page 7

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Như vậy ta có:
 
     
2
22
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
. ln
ln ln ln .
22
z z xy y
VT x y
x x y y x x y y x y
x y x y x y y
y y z
VP
x y y x y y y y


     

   

  

      



đpcm.
16.
17.
18.
19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
20.
21.
22.
23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11)
24. Cho
( , ) cos sin .f x y x y
Tìm
   
2
0,0 ; 0,0 .df df

Hướng dẫn:
Ta có:
 
 
'
'
'
'
cos sin sin .sin
cos sin cos cos .

x
y
f x y x y
f x y x y
  

Nên:
 
 
'
'
0,0 0
0,0 1
x
y
f
f



Vậy
 
0,0df dy
.
Lại có:
     
2 '' 2 '' '' 2
0,0 0,0 2 0,0 (0,0)
xx xy yy
df f dx f dxdy f dy  

 
 
 
 
 
 
''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos
cos cos cos sin .
xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x y f f x y x y
f f x y x y
         
   

Suy ra :
     
'' '' ''
0,0 0; 0,0 0; 0,0 0
xx xy yy

f f f  
.
Vậy:
 
2
0,0 0df 

25. Cho
3 2 3
( , ) .f x y x xy y  
Tính
2
( , ); ( , ).df x y df x y

Hướng dẫn:
Ta có:
''
( , ) .
xy
df x y f dx f dy

Tính:

   
   
''
' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2
' ' 2 2 2
3 ; 2 3
( , ) 3 2 3

xy
xy
f x xy y x y f x xy y xy y
df x y f dx f dy x y dx xy y dy
          
       


     
2 '' 2 '' '' 2
, , 2 , ( , )
xx xy yy
df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy  

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 8

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

       
   
' ' ' '
'' ' 2 2 '' ' 2 2
''
'' ' 2
3 6 ; 3 2
2 3 2 6

xx x xy x
xy
yy y
y
f f x y x f f x y y
f f xy y x y
        
      

Vậy:
   
2 2 2
, 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy   
.

1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp.
1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi
2 2 3 3
,,x u v y u v z u v     
. Tính:
''
,
xy
zz

Hướng dẫn:
Ta có:

   
3

33
3.z u v u v uv u v     

Vậy:
 
 
2
2
3 2 3 3 3
2
2
3 3 3 1 3
2 2 2 2 2
x u v
x u v
y x uv
y u v uv
z x x y x x x xy x xy








  




         

Nên ta có:

'
'3
'
'3
1 3 3 3
2 2 2 2
1 3 3
2 2 2
x
y
z x xy x y
z x xy x

     



   



2. Cho hàm hợp
 
1z xy y
(1) với
22

,.x u v y u v   
Tính
2
dz
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 '' 2 '' '' 2
xx xy yy
dz z dx z dxdy z dy  
.
2
(1) y xy
Nên:

   
''
' 2 2 ' 2
; 1 2
xy
z y xy y z y xy xy      


       
 
 
 
 
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2

'
'
'' ' 2 2
0; 2 2 ;
1 2 2 2 .
xx x xy x
xy
yy y
y
z z y z z y y u v
z z xy x u v
       
     

Vậy
 
 
2 2 2 2
22dz u v dxdy u v dy   
.
3.
4.
1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học)
1.5 Tìm cực trị của các hàm số:
1.
33
3z x y xy  
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:

2
D 

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 9

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
 Ta có:
'
23
x
z x y
,
'2
33
y
z y x


 
 
 
 
   
'
'' '
'

'' '
''
'' ' 2
2 3 ' 2
2 3 ' 3
3 3 6
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z x y
z z x y
z z y x y
   
    
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
2
22
'
2
0
2 3 0 2 3 0
2 3 0
3 3 0
0

x
y
z
x y x y
yy
y x y x
z
yx


   




  
   
  









2
0
0

9
3
4
2
3
2
xy
y
x
y
y
yx

































Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
 
12
93
0;0 , ; .
42
MM




 Xét điểm
 
1
0;0M
.

     
'' '' ''
1 1 1
2, 3, 0.
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy: AC – B
2
= – 9 < 0.
Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại
 
1
0;0M
.
 Xét điểm
2
93
;.
42
M




     
'' '' ''
2 2 2
2, 3, 9.
xx xy yy

A z M B z M C z M       

Ta thấy: AC – B
2
= 9 > 0 và A = 2 > 0.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
2
93
;.
42
M




2.
22
( , ) 1f x y x y  
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
 
22
, : 0D M x y x y  

 Ta có:





''
' 2 2 2 2
22
1
x
x
z x y x y
xy
       







''
' 2 2 2 2
22
1
y
y
z x y x y
xy
       



 

 
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xx x
x
xy
zz
x y x y x y


    

  


Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 10

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
 
 
 

 
'
22
'
'' '
2 2 2 2 2 2
'
2
'
'' '
2 2 2 2 2 2
xy x
y
yy y
y
xy x y
x
zz
x y x y x y
yx
zz
x y x y x y



   

  




    

  


 Ta xét hệ phương trình:

'
2 2 2 2
2 2 2
'
22
22
0
0
0
0
0
0
x
y
x
z
x y x x y
xy
x
yy
y x y
z

y x y
xy






  




  
   
    















.
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng
 
1
0;0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M      

Ta thấy AC – B
2
= =.
Vậy không có KL gì cho hàm số.
3.
10 20
( , ) , 0, 0f x y xy x y
xy
    

Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
 
, : 0, 0D M x y x y  

 Ta có:
''

22
50 20
,
xy
z y z x
xy
   
.

   
 
''
''
'' ' '' '
2 3 2
'
'
'' '
23
50 100 50
;1
20 40
xx x xy x
xy
yy x
y
z z y z z y
x x x
z z x
yy

   
       
   
   

   



 Ta xét hệ phương trình:

4
3
'
22
'
2
22
2
50 50
50
0
8
0
5
400
20
20 20
20
2

0
0
x
y
y
yy
y
y
z
x
xx
x
y
z
xx
x
y
yy
y



  









    
    
     





   

  


  


.
Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2).

'' '' ''
4 25
( ) ; ( ) 1; ( )
52
xx xy yy
A z M B z M C z M      
.
Ta thấy AC – B
2
= 9 > 0 và

4
0
5
A 
.
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2).
4.
( , ) .
y
f x y x y x e  
.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 11

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
' . ' 1 ; ' . ' 1 . .
y y y y
xy
f x y xe e f x y xe xe         

 
 
 
 
 
 
''
''
'' ''
'
'
''
' 1 0; ' 1 .
' 1 . . .
y y y
xx x xy x
xy
xy
yy
yy y
y
y
f f e f f e e
f f xe x e
        
    

 Ta xét hệ phương trình:
'

'
0
1
1 0 1 1
0
1
0
1 . 0 . 1
yy
x
y
yy
y
f
x
e e x
y
e
f
xe xe




   


  
   
    




  






.
Vậy hàm số đã cho có điểm dừng tại
(1,0)M
.
'' '' ''
( ) 0; ( ) 1; ( ) 1
xx xy yy
A f M B f M C f M        

Ta thấy: AC – B
2
= – 1 < 0.
Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại
(1,0)M
.
5.
 
   
2 2 2 2
, 1 0, 0, 1f x y xy x y x y x y      

Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
 
22
, : 0, 0, 1D M x y x y x y    

 Ta có:
' 2 3 ' 3 2
3 ; 3
xy
z y x y y z x x xy     


   
''
'' ' 2 3
36
xx x
x
z z y x y y xy     


   
   
''
'' ' 2 3 2 2
''
'' ' 3 2

3 1 3 3
36
xy x
y
yy x
y
z z y x y y x y
z z x x xy xy
      
     

 Ta xét hệ phương trình:
 
 
 
 
 
 
 
 
22
22
22
'
23
'
32
22
22
22

22
22
0
1 3 0
0
0
1 3 0
1 3 0
0
30
0
0
0
30
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
1 3 0
x
y
xy
xy
y
y
xy
y x y
z
y x y y
x

z
x
x x xy
x x y
xy
xy
xy
xy




  













  
  






  

   



   
   




  

  






  







  






  




  




Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 12

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

   
2 2 2 2
0
00

0
1
11
1
0
00
2
0
1
00
1
0
11
0
1
1
1 3 0 1 3 0
2
xy
x y x y
xy
x
xx
xy
y
yy
x
x
xx
y

y
yy
xy
x
x y x y
y
x y x y
x


   








  


























   









  












  









     















Vậy hàm số đã cho có bốn điểm dừng:
   
1 2 3 4
11
(0,0); , ; 1,0 ; 0,1
22
M M M M




 Xét tại điểm
1
(0 ,0)M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 1; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M      

Ta thấy:
2
. 1 0AC B   
nên hàm số đạt cực trị tại
1
(0,0)M
.

 Xét tại điểm
2
11
,
22
M



.
'' '' ''
2 2 2
3 1 3
( ) ; ( ) ; ( )
2 2 2
xx xy yy
A z M B z M C z M         

Ta thấy
2
3
. 2 0& 0
2
AC B A     
nên hàm số đạt cực đại tại
2
11
,
22
M




.
 Xét tại điểm
 
3
1,0M
.
'' '' ''
3 3 3
( ) 0; ( ) 2; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy
2
. 4 0AC B   
nên hàm số đạt cực đại tại
 
3
1,0M
.
 Xét tại điểm
 
4
0,1M
.
'' '' ''
4 4 4

( ) 0; ( ) 2; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy
2
. 4 0AC B   
nên hàm số đạt cực đại tại
 
4
0,1M
.
6.
 
4 4 2 2
, 2 2f x y x y y x   
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
''
4 4 2 2 3 4 4 2 2 3
' 2 2 4 4 ; ' 2 2 8 2
xy
f x y y x x x f x y y x y y           

       
   
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''
'' ' 3 2
4 4 12 4; 4 4 0
8 2 24 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x x x f f x x
f f y y y
        
    

 Ta xét hệ phương trình:
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 13

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
 
2

'
3
'
3
2
0
1
0
1
1
0
1
2
1
2
1
10
0
4 4 0 1
2
0
0
0
1
8 2 0
4 1 0
1
1
1
2

2
2
1
0
x
y
xy
x
x
x
y
x
y
x
y
xx
f
x x x
x
y
y
f
x
yy
yy
y
y
y
x
y








































   

    

     


   


















































0
1
1
2
x
y
























Vậy hàm số đã cho có 9 điểm dừng:

     
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1
0,0 ; 0, ; 0, ; 1,0 ; 1, ; 1, ; 1, ; 1,0 ; 1,
2 2 2 2 2 2
M M M M M M M M M
           
     
           
           

 Xét tại điểm
 
1
0,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 4; ( ) 0; ( ) 2
xx xy yy
A f M B f M C f M        

Ta thấy:
2
. 8 0& 4 0AC B A     

nên hàm số đã cho đạt cực đại tại
 
1
0,0M
.
 Xét tại điểm
2
1
0,
2
M



.
'' '' ''
2 2 2
( ) 4; ( ) 0; ( ) 4
xx xy yy
A f M B f M C f M       

Ta thấy
2
. 16 0AC B   
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
2
1
0,
2
M




.
 7 điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận.
7.
 
2
, 2 4 8f x y x xy x y   

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
''
' 2 ' 2
2 4 8 2 2 4; 2 4 8 2 8
xy
f x xy x y x y f x xy x y x            


 
 
 
 
 
 

''
''
'' ' '' '
'
'
'' '
2 2 4 2; 2 2 4 2
2 8 2
xx x xy x
xy
yy x
y
f f x y f f x y
f f x
         
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
'
0
2 2 4 6
2 8 0 4
0
x
y
f
x y x
yy
f



  



  
   





Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng
 
6, 4M 
.
'' '' ''
( ) 2; ( ) 2; ( ) 2
xx xy yy
A f M B f M C f M      

Ta thấy:
2
.0AC B
nên chưa thể kết luận gì cho bài toán.
8.
 
3 2 2 2
, 2 5f x y y x y y x   

.
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 14

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
''
' 3 2 2 2 ' 3 2 2 2 2 2
2 5 2 2 ; 2 5 6 10
xy
f y x y y x xy x f y x y y x y x y            


 
 
 
 
   
''
''
'' ' '' '

''
'' ' 2 2
2 2 2 2; 2 2 2
6 10 12 10
xx x xy x
xy
yy x
y
f f xy x y f f xy x x
f f y x y y
        
     

 Xét hệ phương trình:

 
'
22
'
22
22
0
0
0
0
10
2 2 0
5
1
3

6 10 0
0
6 10 0
6 10 0
2
1
2
0
1
0
2
5
3
1
x
y
x
y
x
f
xy
xy x
y
y
y x y
f
y x y
y x y
x
y

x
xy
y
x
x
y
y
















  












   



  


  







  











































Vậy hàm số đã cho có 4 điểm dừng
     
1 2 3 4
5
0,0 ; 0, ; 2, 1 ; 2, 1 .
3
M M M M

   



 Xét tại điểm
 
1
0,0M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 2; ( ) 0; ( ) 10
xx xy yy
A f M B f M C f M      

Ta thấy
2
. 20 0& 2 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 

1
0,0M
.
 Còn 3 điểm còn lại, ta làm tương tự và đi đến kết luận.
9.
32
12 8z x y x y  

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
   
''
' 3 2 2 ' 3 2 3
12 8 3 24 ; 12 8 8
xy
z x y x y x y x z x y x y x         


       
   
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2 2
''
'' ' 3
3 24 6 24; 3 24 3
80

xx x xy x
xy
yy x
y
z z x y x xy z z x y x x
z z x
        
   

 Ta xét hệ phương trình:
'
2
'
3
3
0
0
3 24 0 2
80
4
0
80
80
x
y
x
z
x y x x
xy
y

z
x
x






  





  
   













Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng:
 
2, 4M 

'' '' ''
( ) 24; ( ) 12; ( ) 0
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 15

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Ta thấy:
2
. 12 0AC B   
nên hàm số không đạt cực trị tại
 
2, 4M 
.
10.
3 3 2
3 3 3 3 1z x y x xy x y      

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2

D 

 Ta có:
 
 
'
' 3 3 2 2
'
' 3 3 2 2
3 3 3 3 1 3 6 3 3
3 3 3 3 1 3 3 3
x
y
z x y x xy x y x x y
z x y x xy x y y x
          
         


       
   
' ' ' '
'' ' 2 '' ' 2
''
'' ' 2
3 6 3 3 6 6; 3 6 3 3 3
3 3 3 6
xx x xy x
xy
yy x

y
z z x x y x z z x x y
z z y x y
             
    

 Ta xét hệ phương trình:

2
'
22
'
24
1
1
0
0
3 6 3 3 0 1
0
0
0
3 3 3 0 0
1
1
x
y
x
xy
z
y

x x y x y
y
z
x
y x y y
y
y
  









     

   

   


   



    


















Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
   
12
1,0 ; 0,1MM
.
 Xét tại
 
1
1,0M 
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 0; ( ) 3; ( ) 0
xx xy yy

A f M B f M C f M       

Ta thấy
2
. 9 0AC B   
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
 
1
1,0M 
.
 Xét tại
 
2
0,1M
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 6; ( ) 3; ( ) 6
xx xy yy
A f M B f M C f M       

Ta thấy
2
. 27 0& 6 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 
2
0,1M
.
11.

4 4 2 2
2 , 0.z x y x y xy x     

Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:
 
 
'
' 4 4 2 2 3
'
' 4 4 2 2 3
2 4 2 2
2 4 2 2
x
y
z x y x y xy x x y
z x y x y xy y y x
       
       


       
   
' ' ' '
'' ' 3 '' ' 3
''

'' ' 3
4 2 2 12 2; 4 2 2 2
4 2 2 12 2
xx x xy x
xy
yy x
y
z z x x y x z z x x y
z z y y x y
           
     

 Xét hệ phương trình:

'
3 3 3 3
3
'
3 3 3
0
4 2 2 0 2
0
4 2 2 0 2 2
x
y
z
xy
x x y x x y x y
yy
z

y y x y x y y x y



  
     

   
   
    


      
  


  



Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 16

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com


1

0
1
1
xy
xy
y
xy
y










  







Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng:
   
12
1,1 ; 1, 1 .MM

 Xét tại
 
1
1,1M
.
'' '' ''
1 1 1
( ) 10; ( ) 2; ( ) 10
xx xy yy
A z M B z M C z M       

Ta thấy
2
. 98 0& 10 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 
1
1,1M
.
 Xét tại
 
2
1, 1M 
.
'' '' ''
2 2 2
( ) 14; ( ) 2; ( ) 14
xx xy yy
A z M B z M C z M         

Ta thấy
2
. 194 0& 14 0AC B A     
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại
 
2
1, 1M 
.
12.
 
 
22
22

xy
z x y e



Hướng dẫn:
 MXĐ:
2
D 

 Ta có:

 
 
 

   
 
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
''
'
' 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . .
2 . 2 . . 2 . 1
x y x y x y
x
x y x y x y
z x y e x y e e x y
xe x x y e x e x y
     
     
   
     
   
   

     


 
 
 
   
 
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
''
'
' 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
. . .
2 . 2 . . 2 . 1
x y x y x y
y
x y x y x y
z x y e x y e e x y
y e y x y e y e x y
     
     
   
     
   
   

     




 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
22
2 2 2 2
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 2 .2 .
2. 4 . . 1 4
x y x y x y

xx x
x
x y x y x y
x y x y
z z xe x y xe x y x y xe
x e x e x y x xe
e x e x y x
     
     
   
   
     
         

     

   



    







    




 
22
.
xy
e



 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2

'
'
22
22
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 4 .
4 . . 1 4
x y x y x y
xy x
y
x y x y x y
x y x y
z z x e x y xe x y x y x e
x e x e x y xye
xy e x y xye
     
     
   
   
     
         

     

   



    








    





Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 17

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

 
 
 
 
   
 
 
   
 
 

   
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
''
'
'
'' ' 2 2 2 2 2 2
'
'
2 2 2
2 2 2 2
2 . 1 2 . . 1 1 .2 .
2 . 2 . . 1 4 .
2. 4 . . 1 4
x y x y x y
yy y
y
x y x y x y
x y x y
z z y e x y y e x y x y y e
y e y e x y y e
e y e x y y e
     
     
    
   
     
         


     

   



    







    



 
22
.
xy

 Xét hệ phương trình:


 
 
 

 
22
22
22
'
22
22
'
22
22
22
0
0
0
2 . 1 0
0
1
0
1
0
0
2 . 1 0
1
0
1
00
00
00
1
1

0
xy
x
xy
y
x
y
x
xe x y
z
xy
x
xy
z
y
y e x y
xy
y
xy
xx
yy
xx
y
x
y



















  





    

  
   











  
















  

























1
0
1
1
0
0
1
x
y
y
x
y
x
y







































Vậy hàm số đã cho có 5 điểm dừng
         
1 2 3 4 4
0,0 ; 0,1 .; 0, 1 ; 1,0 ; 1,0M M M M M
.
 Xét tại điểm
 
1
0,0 .M

'' '' ''
1 1 1
( ) 2; ( ) 0; ( ) 2
xx xy yy
A z M B z M C z M      

Ta thấy
2
. 4 0& 2 0AC B A    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
 
1
0,0 .M

 Các điểm còn lại làm tương tự và đi đến kết luận.
13.
 
3 2 3 2 4 2 3 3
6 6 ; 0, 0z x y x y x y x y x y x y       

Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
( , ): 0, 0D M x y x y  

 Ta có:

 
 
'
' 3 2 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3
'
' 3 2 4 2 3 3 3 4 3 2
6 18 4 3 .
6 12 2 3 .
x
y
z x y x y x y x y x y x y
z x y x y x y x y x y x y
     
     


   

   
''
'' ' 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3
''
'' ' 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2
18 4 3 36 12 6
18 4 3 36 8 9
xx x
x
xy x
y
z z x y x y x y xy x y xy
z z x y x y x y x y x y x y
      
      

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 18

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com

   
''
'' ' 3 4 3 2 3 4 3
12 2 3 12 2 6
yy y
y

z z x y x y x y x x x y      
.
 Xét hệ phương trình:

 
 
22
22
'
2 2 3 2 2 3
'
3 4 3 2 3
3
0
18 4 3 0
0
18 4 3 0
18 4 3 0
0
12 2 3 0 9 2 0
0
9 2 0
0 ( )
8
9
2
9
8
2
0 ( )

x
y
xy
x y x y
z
xy
x y x y x y
z
x y x y x y x y x
xy
x
xl
y
x
x
y
yl







  

  


   

  
   

    








































Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng
9
,8
2
M



.
'' '' ''
32805
( ) 199008; ( ) 11664; ( )
8
xx xy yy
A z M B z M C z M         

Ta thấy

2
. 58104216 0AC B  
nên hàm số đã cho không đạt cực trị tại
9
,8
2
M



.
14.
2
63z x y x y x    
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
( , ): 0D M x y y

 Ta có:

 
 
'
'2
'
'2
6 3 2 6
6 3 1

2
x
y
z x y x y x y x
x
z x y x y x
y
       
      


 
 
 
 
 
'
'
'' '
'
'
'' '
'
'
'' '
2 6 2;
1
2 6 ;
2
1

24
xx x
x
xy x
y
yy y
y
z z y x
z z y x
y
xx
zz
y y y
     
    

    




 Xét hệ phương trình:
'
'
2 6 0
4
2 6 0
0
2
4

10
0
2
2
2
x
y
x
yx
x
x
z
xy
x
x
x
y
z
y
y


  

  






  
     
   




  







Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 19

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Vậy hàm số đã cho có một điểm dừng M(4,4).
'' '' ''
11
( ) 2; ( ) ; ( )
48
xx xy yy
A z M B z M C z M        
.

Ta thấy
2
3
. 0& 2 0
16
AC B A     
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại M(4,4).
15.
 
2 y
z x y e
.
Hướng dẫn:
 MXĐ:
 
 
, : 0
y
D M x y e

 Ta có:

   


 
   


 

 
'
'
'
' 2 2 2
2
'
'
'
' 2 2 2
. . 2 .
.

2
y y y y
x
y
y y y y
y
y
z x y e x y e e x y x e
e x y
z x y e x y e e x y e
e

      



       




 


 


 
 
   
'
'
'' '
'
'
'' '
22
'
2
'
'' '
2 . 2;
2
2 . ;
2
. .2 . .
.
4

22
y
xx x
x
y
y
xy x
y
y
y
y y y y
y
y
y
y
yy y
y
y
yy
z z x e
xe
z z x e
e
e
e x y e e e x y
e x y
e
e
z z e
e

ee
  
  

   




    



 Xét hệ phương trình :

 
'
2
'
0
2 . 0
0
0
0
.
.
0
2
20
0

0
2
2
y
x
y
y
y
yy
y
y
y
y
x
xe
z
x
x
ey
e x y
e
y
e e y
z
e
e
e












  
   
    
















Vậy hàm số đã cho có điểm dừng M(0, –2).
'' '' ''
1

( ) 0; ( ) 2; ( )
2
xx xy yy
A z M B z M C z M
e
      
.
Ta thấy
2
1
. 0& 2 0AC B A
e
    
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, –2).
16.
17.
18. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí.
19.
20.

Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2


Page 20

Email:
Website: www.caotu28.blogspot.com
Gợi ý:
16. Hệ phương trình có các nghiệm là:

'
22
'
1
0
2
0
6 10 0
1
5
2 2 0
0
2
3
0
x
y
x
xy
y
z
x y x
x
xy y
z
x
y
y
  












  



  

























.
18. Hệ phương trình có các nghiệm là:

'
2
'
2
0
1
3
0
20
1
0
20
0
0
1
x
y
xy

xy
z
y xy y
x
z
x x xy
y
x
y









  









  

















.
19. Hệ phương trình có các nghiệm là:

 
 
'
'
2
2
2
. . 0
0
2
0
. . 0

2
2
2
2
xy xy
x
xy xy
y
x
y
e x y ye
z
z
e x y xe
x
y















  

  





   



















.
20.Hệ phương trình có các nghiệm là:

'
2
'
2
3
3
3
0
0
3
9
0
3
0
3
3
x
y
x
y
z
y
x
z
x
x
y
y
















  























.