ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (236.18 KB, 43 trang )
Chơng 5
ánh xạ tuyến tính
5.1 ánh xạ tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên
cùng một trờng K. ánh xạ f: E F đợc gọi là ánh xạ tuyến
tính, một đồng cấu hay một toán tử tuyến tính nếu:
(i) x,yE: f(x+y)=f(x)+f(y)
(ii) xE và tK : f(tx)=tf(x)
hoặc (iii) x,yE, t,sK: f(tx+sy)=tf(x)+sf(y)
f: EE gọi là tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính trên E.
f: EK gọi là dạng tuyến tính, hoặc phiếm hàm tuyến tính.
2. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính
f: E F và g: E F
Phép cộng: (f+g)x=f(x)+g(x)
Phép nhân với một số: (f)x=f(x)
Tích của các ánh xạ tuyến tính
Cho f: EE1, g: E1F khi đó (gof)(x)=g(f(x))
Tổng các ánh xạ tuyến tính, tích một số với một ánh xạ tuyến
tính, và tích các ánh xạ tuyến tính đều là các ánh xạ tuyến tính.
3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Cho I={e
1
,e
2
, ,e
n
} là một cơ sở trong E, W={
1
,
2
, ,
m
} là
một cơ sở trong F và f: E F là một ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa: Ma trận
A=
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
của hệ { f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
) } trên cơ sở W gọi là ma trận của ánh
xạ tuyến tính f trên {I,W}.
Ma trận của tự đồng cấu f:E E trên cơ sở {I,I} là ma trận
vuông.
Chú ý: Khi thay đổi cơ sở {I,W} ma trận của f sẽ thay đổi.
177
4. Biểu thức dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định lý: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng tr-
ờng K và dim(E)=n, dim(F)=m, khi đó trên mỗi cặp cơ sở {I,W]
mọi ánh xạ f(x) đều có dạng: f(x)=A.x
trong đó A là ma trận của f trong cơ sở {I,W}.
Ngợc lại mỗi ma trận A=(a
ij
)
m
ì
n
trên cơ sở {I,W} xác định duy
nhất một ánh xạ f(x)=Ax mà A là ma trận của f.
Hệ quả : Nếu A và B tơng ứng là ma trận của các ánh xạ f và
g khi đó:
1. Ma trận của f+g là A+B.
2. Ma trận của t.f là t.A.
3. Ma trận của gof là B.A.
B. Bài tập
1. Trên R,R
2
,R
3
. Các ánh xạ sau có phải là ánh xạ tuyến tính
không
a. f(x,y)= x b. f(x,y)= xy c. f(x,y)= x+y
d. f(x,y)= x-y e. f(x,y)= a a là một hằng số.
f. f(x,y)= ax g. f(x,y)= ax+by h. f(x,y)= (2x,2y)
i. f(x,y)= (2x,3y) j. f(x,y)= (y,x) k. f(x,y)=(x+1,y+1)
l. f(x,y)= (x,y,x+y) m. f(x,y)= (x,y,a)
2. Cho ánh xạ tuyến tính f: R
3
R
2
có biểu thức:
f(x,y,.z)=(2x+y+z,x-z)
a. Tìm ma trận của f trên cơ sở chính tắc của R
3
và R
2
.
b. Tìm ma trận của f trên cặp cơ sở:
e
1
=
1
0
0
e
2
=
0
1
0
e
3
=
0
0
1
R
3
và
1
=
1
0
2
=
1
1
R
2
3. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận
của f trong cơ sở chính tắc, biểu diễn f dới dạng ma trận.
a. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z)
b. f(x,y,z)=2x-3y+5z
c. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y)
d. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y)
e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y)
4.a. E=L[0,1]={x=x(t):x(t) hàm liên tục trên [0,1]}. Chứng tỏ:
f: ER: f(x)=
x t dt( )
0
1
là một phiếm hàm tuyến tính.
178
b. Trên P
3
(t)}={x(t)= a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a
3
t
3
} tìm ma trận của phiếm
hàm tuyến tính: f(x)=
x t dt( )
0
1
trên cơ sở I={1,t,t
2
,t
3
}.
5. Chứng tỏ các ánh xạ
a. f(a+bt+ct
2
)=(a+b)+(a-c)t+(b+2c)t
2
b. f(a+bt+ct
2
)=a+c+(b-a)(1+t)+(a+b-c)(1+t)
2
là tự đồng cấu trên P
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2
}
Tìm ma trận của chúng trên cơ sở {1,t,t
2
} và trên cặp cơ sở
I={1,t,t
2
} và W= {1,1+t,(1+t)
2
}.
6. Chứng tỏ các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của
chúng trên các cặp cơ sở tơng ứng.
a. f(a+bt)=a+b+(a-b)(1+t)+(a+2b)(1+t)
2
b. f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=a-d+(b-c)(1+t)+(a+b+c+d)(1+t)
2
c. f(a+bt+ct
2
)=c+(a+b)t+(a+c)t
2
+(b+c)t
3
d. f(a+bt)=a-b+(a+b)t+(2a-3b)t
3
e. f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=a+b+c+(b+c+d)t
7. Cho
f: P
3
(t)={x(t)=a+bt+ct
2
+dt
3
} M
2x3
=
=
wvu
zyx
A
xác định bởi: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=
+
dcdc
baba
2
2
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f.
8. Cho
f: P
2
(t)={x(t)=a+bt+ct
2
} M
2x3
=
=
wvu
zyx
A
xác định bởi: f(a+bt+ct
2
)=
+
acac
baba
2
2
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f, biểu diễn f
dới dạng ma trận.
9. Cho
f: M
2x3
=
=
wvu
zyx
A
P
3
(t)={x(t)=a+bt+ct
2
}
xác định bởi:
wvu
zyx
f
=x+y+z+(z+u)t+(u+v+w)t
2
179
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f.
10.Trên không gian
22ì
M
các ma trận cấp 2x2, với X=
uz
yx
, cho f(X)=
03
21
X . Tìm ma trận của f trên
cơ sở chính tắc.
11. Cho
f: M
2x3
=
=
wvu
zyx
A
M
2x2
=
dc
ba
xác định bởi:
a.
wvu
zyx
f
=
++
++
wvuz
uzyx
b.
wvu
zyx
f
=
++
++
wvyz
yxvu
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f.
12. Trong R
2
chứng tỏ phép quay một góc là một tự đồng
cấu, tìm ma trận của nó.
13. Cho các ánh xạ:
f:R
4
R
3
với f(x,y,z,u)=(x+y+u,x+y+z,y-z+u)
g:R
3
R
2
với g(x,y,z)=(2x+z,x-y+z)
tìm ma trận của gof.
14. Cho các ánh xạ:
f: R
2
R
3
với f(x,y)=(x+2y,x-y,2x+y)
g: R
3
R
2
với g(x,y,z)=(x+y+z,x-y-2z)
tìm ma trận của gof.
C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số
1. a. Có b. Không c. Có
d. Có e. Có nếu a=0, không nếu a0
1 f. Có g. Có h. Có
2 i. Có j. Có k. Không
3 l. Có m. Có nếu a=0, không nếu a0
2. a. Dễ dàng kiểm tra f là ánh xạ tuyến tính. Trên cơ sở chính
tắc của R
3
và R
2
ta có:
f(e
1
)=(2,1) f(e
2
)=(1,0) f(e
3
)=(1,-1)
Vậy ma trận của f là:
180
2 1 1
1 0 1
Chú ý: Ta thấy ma trận của f có các hàng tơng ứng là các hệ
số của x,y,z trong biểu thức của các toạ độ kết quả
b. Ta có f(e
1
)=(2,1) =
1
+
2
=
1
1
f(e
2
)=(1,0) =
1
+0.
2
=
1
0
f(e
3
)=(1,-1)=2
1
-
2
=
2
1
Vậy ma trận của f trên cặp cơ sở (I,W) là
A=
1 1 2
1 0 1
3.a. Viết vế phải thành véc tơ cột ta đợc
f(x,y,z)=
+
zy
zyx
yx
53
2
=
2 1 0
1 3 5
0 1 1
x
y
z
Vậy f là một ánh xạ tuyến tính và ma trận của f là:
2 1 0
1 3 5
0 1 1
b. f(x,y,z)=(2 -3 5)
z
y
x
c. f(x,y)=
y
x
11
12
21
d. f(x,y,z)=
z
y
x
011
412
121
e. f(x,y,z)=
z
y
x
011
112
121
4. a. Ta có:
f(x+y)=
{
0
1
x(t)+y(t)}dt=
x t dt( )
0
1
+
y t dt( )
0
1
=f(x)+f(y)
181
nên f là một phiếm hàm tuyến tính trên E.
b. Trên cơ sở I={1,t,t
2
,t
3
} ta có:
f(1)=
dt
0
1
=1, f(t)=
tdt
0
1
=
2
1
, f(t
2
)=
t dt
2
0
1
=
3
1
, f(t
3
)=
t dt
3
0
1
=
4
1
Vậy phiếm hàm có ma trận: A=(1
2
1
3
1
4
1
)
5. a. Dễ dàng kiểm tra f là tự đồng cấu.
Trên cơ sở {1,t,t
2
} ta có:
f(1)=1+t=(1,1,0), f(t)=1+t
2
=(1,0,1), f(t
2
)=-t+2t
2
=(0,-1,2)
Vậy ma trận của f là:
A=
210
101
011
Trên cặp cơ sở I={1,t,t
2
} và W={1,1+t,(1+t)
2
} ta có
f(1)=1+t=(0,1,0)
f(t)=1+t
2
=2-2(1+t)+(1+t)
2
=(2,-2,1)
f(t
2
)=-t+2t
2
=3-5(1+t)+2(1+t)
2
= (3,-5,2)
Vậy f có ma trận là:
A=
210
521
320
6. a. Trên cặp cơ sở {1,t} và {1,1+t, (1+t)
2
} A=
21
11
11
b. Trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và {1,1+t, (1+t)
2
} A=
1111
0110
1001
182
c. Trên cơ sở {1,t,t
2
}và {1,t,t
2
,t
3
} A=
110
101
011
100
d. Trên cơ sở {1,t}và {1,t,t
3
} A=
32
11
11
e. Trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và {1,t} A=
1110
0111
7. Với x= a+bt+ct
2
+dt
3
, y= a+bt+ct
2
+dt
3
, khi đó:
f(x+y)=f((a+a)+(b+b)t+(c+c)t
2
+(d+d)t
3
)
=
++++
+++++
)'(2'''
)'(2'''
ddccddcc
bbaabbaa
=
+
dcdc
baba
2
2
+
+
'2'''
'2'''
dcdc
baba
=f(x)+f(y)
f(x)=
+
dcdc
baba
2
2
=
+
dcdc
baba
2
2
=f(x)
hay f là ánh xạ tuyến tính. Ta có
f(1)=
000
101
f(t)=
000
210
f(t
2
)=
101
000
f(t
3
)=
200
000
Vậy trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và cơ sở chính tắc của các ma trận
cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận
A=
2100
0000
0100
0021
0010
0001
8. A=
102
001
100
021
010
001
183
9. A=
111000
001100
000111
10. Ta cã:
f(e
1
)=
03
21
00
01
=
03
01
=e
1
+3e
3
=(1,0,3,0)
f(e
2
)=
03
21
00
10
=
30
10
=e
2
+3e
4
=(0,1,0,3)
f(e
3
)=
03
21
01
00
=
00
02
=2e
1
=(2,0,0,0)
f(e
4
)=
03
21
10
00
=
00
20
=2e
2
=(0,2,0,0)
VËy ma trËn cña f lµ:
A=
0030
0003
2010
0201
11. a.
110000
001100
001100
000011
b.
110000
000110
000011
011000
12. Víi a=(x,y) ∈R
2
cã to¹ ®é cùc lµ:
x=rcosθ
y=rsinθ
sau phÐp quay mét gãc ϕ ta ®îc: ϕ(a)=a’=(x’,y’) víi
x’=rcos(θ+ϕ)=rcosθ cosϕ -rsinθ sinϕ =xcosϕ-y sinϕ
y’=r sin(θ+ϕ )=rsinθcosϕ+rcosθ sinϕ =xsinϕ +ycosϕ
Díi d¹ng ma trËn ta cã:
184
x
y
'
'
=
cos sin
sin cos
x
y
Vậy ma trận của ánh xạ là:
A=
cos sin
sin cos
13. Ma trận tơng ứng của f và g là:
F=
1110
0111
1011
G=
111
102
Vậy ma trận của gof là
A=G.F=
2210
3132
14. A=
14
24
5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
1. ảnh của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa: ảnh của ánh xạ tuyến tính f: EF :
Im(f)={ yF | x E: y=f(x) }
Từ định nghĩa ta có:
a. Im(f)=f(E)
b. Nếu f có ma trận A thì yIm(f) phơng trình A.x=y có
nghiệm. Vì phơng trình Ax=y có thể có nhiều hơn một
nghiệm, nên có thể có nhiều phần tử của E cùng chung
một ảnh.
Hệ quả :
1. Im(f) là một không gian con của F.
2. Nếu I={e
1
,e
2
, ,e
n
} là cơ sở của E và f có ma trận A thì:
Im(f)=L{ f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}
và dim(Im(f))=dim(L{f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}=r(A)
3. Cơ sở của Im(f) là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại
của {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)} hay hệ ứng với các cột cơ sở của A.
4. Hạng r(f)=dim(Im(f))=r(A).
185
2. Nhân của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 5.5: Nhân của ánh xạ tuyến tính f: EF:
Ker f={ xE| f(x)= F}
Hệ quả :
1. Nếu f có ma trận A thì: Ker f={ xE | Ax= F}
đó là tập các nghiệm của hệ phơng trình thuần nhất
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
n n
n n
m m mn n
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
+ + + =
+ + + =
+ + + =
2. Ker f là một không gian con của E.
3. Nếu r(A)=r và r hàng và r cột đầu là các cột và hàng cơ sở
của A khi đó dim(Kerf)=n-r và một cơ sở của Kerf là hệ n-r
nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất.
x
x
x
x
r
r
r
rr
+
+
+
+
=
1
1 1
2 1
1
1
0
0
=
+
+
+
+
0
1
0
2
22
21
2
rr
r
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
rn
=
1
2
0
0
1
với x
k
=(x
1k
,x
2k
, ,x
rk
) k=r+1,r+2, ,n , là nghiệm của hệ:
=+++
=+++
=+++
rkrrrrr
krr
krr
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
2211
22222121
11212111
Hệ quả : dim(Imf)+dim (Ker f)=n
5.3 Đẳng cấu của hai không gian tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng trờng K.
1. Toàn cấu
186
Định nghĩa: Một đồng cấu f: EF đợc gọi là một toàn cấu
nếu f là một toàn ánh hay Im(f)=F.
Định lý: f là toàn cấu r(f)=dim(F).
Hệ quả : Nếu f có ma trận A, f là toàn cấu r(A)=dim(F).
2. Đơn cấu
Định nghĩa: f: EF đợc gọi là đơn cấu nếu nó là một đơn
ánh hay từ f(x)=f(y)x=y.
Định lý: f: EF là một đồng cấu giữa hai không gian tuyến
tính hữu hạn chiều . Khi đó các mệnh đề sau tơng đơng:
1. f là đơn cấu
2. Ker(f)= { }
3. ảnh của mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính là một hệ
độc lập tuyến tính.
4. ảnh của một cơ sở là một hệ độc lập tuyến tính.
5. r(f)= dim(E).
Hệ quả : f có ma trận A, f là đơn cấu r(A)=dim(E).
3. Đẳng cấu
Định nghĩa: f: EF đợc gọi là một đẳng cấu nếu nó là toàn
cấu và đơn cấu.
Nếu F=E thì f đợc gọi là một tự đẳng cấu trên E.
Định nghĩa: Hai không gian tuyến tính E và F đợc gọi là đẳng
cấu nếu tồn tại một đẳng cấu f từ không gian này lên không gian
kia.
Định lý: E và F đẳng dim(E)=dim(F).
Hệ quả
1. f: E F đẳng cấu f biến cơ sở của E thành cơ sở của F.
2. Nếu đẳng cấu f: EF có ma trận A thì det(A)0 và nghịch
đảo f
-1
cũng là một đẳng cấu và có ma trận A
-1
.
4. Không gian véc tơ đối ngẫu
a. Không gian các ánh xạ tuyến tính L(E,F)
Với E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng
K, gọi tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là:L(E,F).
Hệ quả
1. Với các phép toán (f+g) và (f), L(E,F) là một không gian
tuyến tính trên trờng K với phần tử không là ánh xạ đồng nhất
không: (x)=,xE, phần tử đối của f(x) là -f(x).
2. Nếu dim(E)=n, dim(F)=m thì dim(L(E,F))=n.m hay L(E,F)
và không gian các ma trận cấp mxn đẳng cấu.
187
3. Một cơ sở của L(E,F) là {f
ij
f
ij
(x
1
,x
2
, ,x
n
)=(0, ,y
j
, 0) với
y
j
=x
i
và ma trận tơng ứng của f
ij
là A
ij
=(a
ij
)
mxn
trong đó phần tử
a
ij
=1, các phần tử còn lại bằng không.
b. Không gian véc tơ đối ngẫu
Nếu F=K thì L(E,K) đợc gọi là không gian véc tơ đối ngẫu
của của E và ký hiệu: E*=L(E,K)
Giả sử dim(E)=n và U={u
1
,u
2
, ,u
n
} là một cơ sở của E, ký
hiệu: W={
i
(x
1
,x
2
, ,x
n
)=x
i
} (i=1,2, ,n)
Định lý: Tập W gồm n ánh xạ tuyến tính
i
: EK là cơ sở
của không gian đối ngẫu E*, hay dim(E*)=n. Khi đó ta gọi W là
cơ sở đối ngẫu của U.
Trờng hợp E= R
n
đối ngẫu của R
n
là L(R
n
,R) gồm mọi phiếm
hàm tuyến tính từ R
n
vào R.
Xét cơ sở chính tắc I={ e
1
,e
2
, ,e
n
} của R
n
và gọi P là tập các
ánh xạ:
P={p
i
(x
1
,x
2
, ,x
n
)=x
i
,i=1,2,,n}
là phép chiếu thứ i trong R
n
.
Theo định nghĩa cơ sở đối ngẫu ta có: p
i
=
i
(i=1,2, ,n).
Nh vậy n phép chiếu trong R*
n
tạo thành cơ sở đối ngẫu của cơ
sở chính tắc trong R
n
do đó mọi phiếm hàm tuyến tính trên E
đều biểu diễn duy nhất qua hệ P các phép chiếu.
B. Bài tập
1. Tìm cơ sở của dim(f) và Ker(f) của các ánh xạ tuyến tính
sau:
a. f(x,y,z)=(2x+3y-z,y+z,2x+4y)
b. f(x,y,z)=(2x-y,x+3y-5z,y-z)
c. f(x,y,z)=2x-3y+5z
d. f(x,y)=(x+2y,2x-y,x+y)
e. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+4z,x+y)
f. f(x,y,z)=(x+2y-z,2x-y+z,x+y)
Phân loại toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu của các ánh xạ đó.
2. Cho : f(x
1
,x
2
, ,x
m
)=(y
1
,y
2
, ,y
k
)
Tìm ma trận của f, cơ sở và chiều của Im(f), Ker(f) trong các
ánh xạ xác định bởi các công thức biến đổi sau
a.
+=
++=
++=
43213
3212
43211
32
22
22
xxxxy
xxxy
xxxxy
b.
+=
+=
+++=
4213
3212
43211
33
2
xxxy
xxxy
xxxxy
4 c.
++=
+++=
43212
543211
22
352
xxxxy
xxxxxy
188
5 d.
++=
=
++=
+=
3214
3213
3212
3211
2
2
22
2
xxxy
xxxy
xxxy
xxxy
e.
+=
+=
+=
=
+=
3215
3214
3213
212
3211
63
22
52
3
xxxy
xxxy
xxxy
xxy
xxxy
6 Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
3. Ký hiệu M
nxm
là không gian các ma trận cấp nxm trên R.
Xét các ánh xạ xác định nh sau:
a. f:M
3x2
M
2x2
: f(X)=
110
202
X
7 b. f:M
2x2
M
3x2
:f(X)=
12
20
12
X
8 c. f:M
2x2
M
2x2
: f(X)=
24
12
X
Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và Ker(f).
Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
4. Cho ánh xạ f: P
3
(t)P
1
(t) xác định bởi:
f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a
3
t
3
)={(a
0
-a
1
+a
2
)+(a
0
+a
1
-a
2
+a
3
)t}
a. Tìm Im(f), dim(Imf), cơ sở của Im(f)
b. Tìm Ker(f), dim(Ker(f)), cơ sở của Ker(f).
5. Cho các ánh xạ:
a. f :R
3
P
3
(t): f(a,b,c)=a+bt+ct
2
+(a+b+c)t
3
b. f :R
3
P
3
(t): f(a,b,c)=a-b+(b-c)t+(c-a)t
2
+(a+b+c)t
3
c. f : P
2
(t) R
4
: f(a+bt+ct
2
)=(a+b,b+c,a+c,a+b+c)
d. f : P
3
(t) R
3
: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=(a-d,b-c+d,a+b-d)
e. f : P
2
(t) R
2
: f(a+bt+ct
2
)=(a-b,b-c)
Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và Ker(f).
Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
6. Cho
f: P
3
(t)={x(t)=a+bt+ct
2
+dt
3
} M
2x3
=
=
wvu
zyx
A
189
xác định bởi: f(a+bt+ct
2
+dt
3
)=
+
dcdc
baba
2
2
Tìm cơ sở của Im(f) và cơ sở của Ker(f).
7. Cho các ánh xạ
a. f: P
2
(t) M
2x2
: f(a+bt+ct
2
)=
++ cbaa
bc
b. f: P
2
(t) D
2x2
: f(a+bt+ct
2
)=
+
+
aba
bac
c. f: P
2
(t) P
2x2
: f(a+bt+ct
2
)=
0
0
ab
ba
d. f: P
2
(t) U
2x2
: f(a+bt+ct
2
)=
++
+
cba
bac
0
e. f: M
2x2
P
2
(t): f
dc
ba
=c+(a+b)t+(d-c)t
2
f. f: M
2x2
P
2
(t): f
dc
ba
=c+d+(a+b+c)t+(d+c)t
2
Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và của Ker(f).
Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó.
8. Cho các ánh xạ:
a. f: M
2x2
D
2x2
: f
dc
ba
=
+
+
cda
dab
b. f: M
2x2
U
2x2
: f
dc
ba
=
+
c
dab
0
c. f: D
2x2
M
2x2
: f
cb
ba
=
+
+
cca
bab
d. f: U
2x2
L
2x2
: f
c
ba
0
=
++ cbca
b 0
ánh xạ nào là toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu?
9. Cho f: E E
190
a. Chứng tỏ rằng nếu {
1
, ,
p
} là cơ sở của Ker(f) và
{
1
, ,
p
,
p+1
, ,
n
} là cơ sở của E thì {f(
p+1
), , f(
n
)} là cơ sở
của Im(f).
b. Cho f: R
4
R
4
xác định bởi:
f(x,y,u,v)=(x+y+u+2v,x-y+2u-v,2x+3u+v,2y-u+3v)
Tìm cơ sở của R
4
thoả mãn a.
10. Cho f:EW, g: WV, với E,W,V là các không gian hữu
hạn chiều.Chứng minh rằng
a. dim(Ker(gof))= dim( Ker(f)) + dim(Im(f)Ker(g))
b. dim(Ker(gof))dim(Ker(f)+dim(Ker(g))
c. r(gof)=r(f) - dim(Ker(g)Im(f))
11. Với P
n
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+ +a
n
t
n
} cho f: P
n
(t)P
n-1
(t)
là phép lấy đạo hàm:
x(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+ +a
n
t
n
x(t)=a
1
+2a
2
t+ +na
n
t
n-1
Tìm ma trận của f, f là toàn cấu hay đơn cấu?
12. Gọi P
(t-1)
n
(t)={y(t)=(t-1) (b
0
+b
1
t+b
2
t
2
+ +b
n-1
t
n-1
)} Cho
f: P
n
(t) P
(t-1)
n
(t) xác định bởi: f(x(t))=(t-1) x(t)
Chứng tỏ rằng f là một toàn cấu nhng không phải là một đơn
cấu. Tìm ma trận của f, Im(f) và Ker(f).
13. Trên P
n
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
} với x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n
cho: f: P
n
(t) P
n+1
(t) là phép lấy tích phân:
f(x())=
t
dx
0
)(
= a
0
t +
a
1
2
t
2
+
a
2
3
t
3
+ +
a
n
n
+ 1
t
n+1
Chứng tỏ rằng f là một đơn cấu từ P
n
(t) P
n+1
(t) nhng không
phải là toàn cấu. Tìm ma trận của f, Im(f) và Ker(f).
14. Gọi D
3x3
là tập các ma trận đối xứng cấp ba, U
3x3
là tập các
ma trận các tam giác trên cấp ba.
D
3x3
=
=
fec
edb
cba
X
U
3x3
=
=
s
vt
rqp
Y
00
0
Cho f:D
3x3
U
3x3
xác định bởi:
191
f(X)=
+
+++
f
edd
cbabaa
00
0
Chứng tỏ f là một đẳng cấu từ D
3x3
vào U
3x3
, tìm ma trận của f
-1
.
15. Cho f,g : EF là những đồng cấu trên các không gian hữu
hạn chiều. Chứng minh
a a. r(f+g) r(f)+ r(g)
b. r(f+g) r(f)- r(g)
9 c. f:E Im(f) là một toàn cấu
10 d. Nếu f là một đơn cấu thì f:E Im(f) là một đẳng cấu
16. Cho f: EF là một ánh xạ tuyến tính và {e
1
,e
2
, ,e
n
}là một
cơ sở của E Chứng minh rằng:
a. Nếu hệ {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)} là một hệ sinh trong F thì f là
toàn cấu.
b. Nếu hệ {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)} là một hệ độc lập tuyến tính
trong F thì f là một đơn cấu.
c. Nếu hệ {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}là một cơ sở của F thì f là một
đẳng cấu.
d. Hạng {e
1
,e
2
, ,e
n
} hạng {f(e
1
),f(e
2
), ,f(e
n
)}.
17. Chứng minh rằng phép lấy chuyển vị của ma trận:
A=(a
ij
)
m
ì
n
A=(a
ji
)
n
ì
m
là một đẳng cấu giữa không gian các ma trận cấp mìn và không
gian các ma trận cấp nxm.
18. Chứng minh các không gian sau là đẳng cấu với nhau
a. Không gian các ma trận vuông đối xứng cấp nxn.
b. Không gian các ma trận tam giác trên cấp nxn.
c. Không gian các ma trận tam giác dới cấp nxn.
Xây dựng đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian đó.
19. Cho các ánh xạ:
f: R
3
R
3
với f(x,y,z)=(x+y+z,x-2y-z,2x+y-2z)
g: R
3
R
2
với g(x,y,z)=(x+2y-z,2x+y+z)
Tìm một cơ sở của Im(gof) và một cơ sở của Ker(gof), gof có là
toàn cấu không?
20. Cho các ánh xạ:
f: R
2
R
3
với f(x,y)=(x+y,x-2y,2x+y)
g: R
3
R
4
với g(x,y,z)=(x-z,y+z,x+y,x+y+z)
192
Tìm một cơ sở của Im(gof) và một cơ sở của Ker(gof), gof có là
đơn cấu không?
21. Cho các ánh xạ:
f: M
2x2
M
2x2
với f(X)=
X
42
21
g:M
2x2
D
2x2
với
+
++
=
dacb
cbda
dc
ba
g
Tìm một cơ sở của Im(gof) và một cơ sở của Ker(gof), gof có là
toàn cấu không?
22. Cho các ánh xạ tuyến tính:
f: R
4
R
3
với f(x,y,z,u)=(x+y+z,x+y+u,y+z+u)
g: R
3
R
2
với g(x,y,z)=(x-y,y+z)
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
23. Cho các ánh xạ tuyến tính:
f: R
2
R
3
với f(x,y)=(x+2y,x-y,2x+y)
g: R
3
R
4
với g(x,y,z)=(x+y,2x+y-z,x-z,y+z)
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
24. Cho các ánh xạ tuyến tính:
f: M
2x2
D
2x2
với
+
=
dacb
cbba
dc
ba
f
g:D
2x2
P
2
(t) với
2
)2()()( tcbatcbba
cb
ba
g ++++++=
Tìm một cơ sở của Im(f)Ker(g).
C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số
1. a. Trên cơ sở chính tắc f có ma trận:
A=
2 3 1
0 1 1
2 4 0
Vì r(A)=2, và hai cột bất kỳ đều là các cột cơ sở nên hai véc
tơ tơng ứng bất kỳ đều là cơ sở của Im(f).
Hệ phơng trình
193
2 3 1
0 1 1
2 4 0
−
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
cã mét nghiÖm c¬ së lµ u=(-2,1-1), vËy Ker(f)= L{u} vµ
dim(Kerf)=1.
b. dim(Im f)=3, c.s cña Im f lµ mét c¬ së bÊt kú cña R
3
.
Kerf={θ}, f lµ tù ®¼ng cÊu.
c. A=(2 -3 5) c.s Im(f):(2) c.s Ker(f):
0
2
3
−
2
0
5
d. A=
−
11
12
21
c.s Im(f):
1
2
1
,
−
1
1
2
Ker(f)={θ}
e. A=
−
−
011
412
121
c.s Im(f):
1
2
1
−
1
1
2
−
0
4
1
Ker(f)={θ}
f.A=
−
−
011
112
121
c.s Im(f):
1
2
1
−
1
1
2
−
0
1
1
Ker(f)={θ}
2. a. A=
−−
−
−
3121
0221
2121
c.s Im(f):
−
1
1
1
− 2
2
2
−
−
1
2
1
c.s Ker(f): (-22 1 -12 4)
b. A=
−
−
3013
0111
1112
c.s Im(f):
3
1
2
−
−
1
1
1
0
1
1
mét c¬ së cña Ker(f) lµ (-1 0 1 1)
194
c. A=
−
−
01221
13521
c.s Im(f):
1
1
0
1
c.s Ker(f):
0
0
2
5,3
3
−
0
1
0
5,0
2
− 2
0
0
5,0
1
d. A=
−−
−
−
112
121
221
121
c.s Im(f):
−
2
1
1
1
−
1
2
2
2
−
−
1
1
2
1
Ker(f)={θ}
e. A=
−
−
−
−
−
163
221
521
013
111
c.s Im(f):
3
1
1
3
1
−
−
−
−
6
2
2
1
1
−
1
2
5
0
1
Ker(f)={θ}
3. a. Trªn c¬ së chÝnh t¾c cña M
3x2
ta cã:
=
00
00
01
f
00
02
00
00
10
f
=
00
20
00
01
00
f
=
01
00
00
10
00
f
=
10
00
01
00
00
f
=
− 01
02
10
00
00
f
=
−10
20
195
f có ma trận A=
101000
010100
200020
020002
, r(A)=4 nên f là toàn
ánh. Một cơ sở của Im(f) là cơ sở bất kỳ của D
2x2
. Dim(Kerf)=2,
một cơ sở của Kerf là:
01
01
01
,
10
10
10
.
b.A=
0210
1002
0020
2000
0210
1002
, r(A)=4, f là đơn ánh, Kerf={}.
c. A=
2040
0204
1020
0102
, r(A)=4, f là tự đẳng cấu.
4. Xét ảnh của các véc tơ trong hệ cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và {1,t}
f(1)=1+t =(1,1) f(t) =-1+t=(-1,1)
f(t
2
)=1-t =(1,-1) f(t
3
)= t =(0,1)
Khi đó f có ma trận là:
A=
1111
0111
r(A)=2 vậy dim(Imf)=2, dim(Kerf)=2.
Im(f)=L{1+t ,-1+t}={(a-b)+(a+b)ta,bR}.
Vì hai cột đầu là hai cột cơ sở nên để tìm các véc tơ cơ sở của
Ker(f) ta đi giải các hệ:
Với k=3 chọn x
3
=-1, x
4
=0 đợc hệ:
196
=+
=
1
1
21
21
xx
xx
có nghiệm x
1
=0,x
2
=-1, vậy véc tơ cơ sở u
1
=(0,-1,-1,0)=-t-t
2
Với k=4 chọn x
3
=0, x
4
=-2 đợc hệ:
=+
=
2
0
21
21
xx
xx
có nghiệm x
1
=x
2
=1, vậy véc tơ cơ sở u
2
=(1,1, 0, -2)=1+ t-2t
3
hay Ker(f)=L{-t-t
2
,1+ t-2t
3
}={b+(b-a)t-at
2
-2bt
3
a,bR}
5. a. A=
111
100
010
001
, r(A)=3 nên f là đơn ánh. dim(Im f)=3,
một cơ sở của Im f là {1+t
3
, t+t
3
, t
2
+t
3
}. Kerf={}.
b. A=
111
101
110
011
, r(A)=3 nên f là đơn ánh. dim(Im f)=3,
một c.s của Imf là {1-t
2
+t
3
,-1+t+t
3
,-t+t
2
+t
3
}, hoặc {1,-1+t, -t+t
3
},
Kerf ={}.
c. A=
111
101
110
011
r(A)=3 nên f là đơn ánh.dim(Im f)=3, một
cơ sở của Im f là 3 véc tơ cột tơng ứng của A. Kerf ={}.
d. A=
1011
1110
1001
, r(A)=3, f là toàn ánh. dim(Imf)=3,
một cơ sở của Im f là 3 cột đầu của ma trận A. dim(Kerf)=1, một
cơ sở của Ke rf là: x(t)=1+t
2
+t
3
.
197
e. A=
110
011
, r(A)=2, f là toàn ánh. dim(Im f)=2.
dim(Kerf)=1, một cơ sở của Im f là {1+t+t
2
}.
6. Ta có
f(1)=
000
101
f(t)=
000
210
f(t
2
)=
101
000
f(t
3
)=
200
000
Vậy trên các cơ sở {1,t,t
2
,t
3
} và cơ sở chính tắc của các ma
trận cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận:
A=
2100
1000
0100
0021
0010
0001
r(A)=4.
f là đơn cấu, Ker(f)=.Vậy dim(f)=4, một cơ sở của Im(f) là:
000
101
,
000
210
,
101
000
,
200
000
7. a. A=
111
001
010
100
, r(A)=3, f là đơn cấu, dim(Im f)=3 một
cơ sở của Imf là:
11
00
,
10
10
,
10
01
. Kerf={}.
b. A=
001
011
100
, r(A)=3, f là song ánh.
198
c. f(1)=
− 01
10
, f(t)=
−
01
10
, f(t
2
)=
00
00
vËy ma trËn
cña f lµ A =
( )
011 −
, r(A)=1, f lµ toµn cÊu. C¬ së cña Im
f lµ
− 01
10
, dim(Kerf)=2, mét c¬ së cña Kerf lµ {1+t, t
2
}.
d. f(1)=
10
10
, f(t)=
10
10
, f(t
2
)=
10
01
, vËy ma trËn cña
f lµ A=
111
011
100
, r(A)=2, f kh«ng ®¬n cÊu , kh«ng toµn
cÊu. dim(Im f)=2, mét c¬ së cña Im f lµ
10
10
,
10
01
,
dim(Kerf)=1, mét c¬ së cña Kerf lµ {1-t}.
e. f
00
01
=t, f
00
10
=t, f
01
00
=1-t
2
, f
10
00
=t
2
. VËy f
cã ma trËn A=
− 1100
0011
0100
, r(A)=3, f lµ toµn cÊu.
dim(Kerf)=1, mét c¬ së cña Kerf lµ
00
11
.
f. A=
1100
0111
1100
, r(A)=2, dim(Im f), mét c¬ së cña Im f lµ
{t,1+t+t
2
}. dim(Kerf)=2, mét c.s cña Kerf lµ
−
00
11
,
− 11
01
.
199
8. a. f
=
01
10
00
01
, f
=
00
01
00
10
,
f
=
10
00
01
00
, f
=
01
10
10
00
f có ma trận A=
0100
1001
0010
, r(A)=3, vậy f là toàn ánh.
b. A=
0100
1001
0010
, r(A)=3, f là toàn ánh.
c. A=
100
101
011
010
, r(A)=3, f là đơn ánh.
d. A=
110
101
010
, r(A)=3, f là song ánh.
9. a. Vì
1
, ,
p
Kerf nên
r(f)=r{f(
1
), ,f(
p
),f(
p+1
), ,f(
n
)}=r{, ,,f(
p+1
), ,f(
n
)}
do dim(Im f)=r(f) nên {f(
p+1
), , f(
n
)} là cơ sở của Im(f).
b. Ma trận của f trên cơ sở chính tắc là
A=
3120
1302
1211
2111
r(A)=2, dim(imf)=2, và một cơ sở của im(f) là
Hệ phơng trình
200
3120
1302
1211
2111
v
u
y
x
=
0
0
0
0
có hệ nghiệm cơ sở là :
1
=
0
1
1
3
,
2
=
2
0
3
1
có ma trận B=
20
01
31
13
vì hai hàng bất kỳ của B đều là hàng cơ sở nên có thể bổ xung
hai véc tơ bất kỳ trong hệ chính tắc của R
4
vào {
1
,
2
} để đợc cơ
sở của R
4
, và mọi ảnh của cặp véc tơ bổ xung đều là cơ sở của
Im(f), đó là hai véc tơ cột bất kỳ của A.
10. a. Giả sử dim(Imf kerg)=k và Imf kerg có một cơ sở
là u
1
, ,u
k
thuộc W.
Do u
i
Imf nên x
i
E: u
i
=f(x
i
) suy ra hệ {x
1
, ,x
k
} độc lập
tuyến tính.
Giả sử dim Kerf=s và có cơ sở là {
s
vv , ,
1
}E.
+ Hệ {
s
vv , ,
1
,x
1
, ,x
k
} là một hệ độc lập tuyến tính trên E.
Bằng cách xét biểu thức:
f(
=+++++ )
1
1
1
1
k
k
s
s
xxvv
Ta có:
=++
k
k
uu
1
1
do đó
0
1
===
k
và do {
s
vv , ,
1
} độc lập tuyến tính ta có:
0
1
===
s
.
+ {
s
vv , ,
1
,x
1
, ,x
k
}Ker(g.f) vì
g.f(v
i
)=g.()= và g.f(x
j
)=g(u
j
)=
+ {
s
vv , ,
1
,x
1
, ,x
k
} là hệ sinh của Kerf
yker(g.f) g.(f(y))= f(y)Ker(g)
Do f(y) cũng thuộc Im(f) f(y)Im(f)Ker(g).
Vậy dim(Ker(g.f))=s+k =dimKerf+dim(ImfKerg)
b. Vì Im(f)Ker(g)Ker(g)
c. r(gof)=dim(E)-dim(Ker(gof))=
201
