các đề thi mon toán vào chuyên hùng vương

Sở giáo dục và đào tạo
phú thọ
kì thi tuyển sinh lớp 10
THPT chuyên hùng vơng
năm học 2009-2010
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
(Đề thi có 01 trang)
Cõu 1(2 im). Cho h phng trỡnh:
2 (1)
5 (2)
mx y
x my
=


+ =

(m l tham s)
a) Chng t h ó cho luụn cú nghim duy nht vi mi m.
b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh trờn cú nghim (x, y) tho món x + y = 5.
Cõu 2(1 im). Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng
, ,x y z
tha món
3 3 2
x y z
=
trong ú
y
l s nguyờn t,
( ) ( )

;3 ; 1z z y
= =
Cõu 3(3 im).
a) Gii phng trỡnh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2009 2008 2007 2 2008 2009
1 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x x x x x
+ + + + + + + + + + + + + =
L
b) Cho
,x y
l cỏc s thc dng tho món iu kin
5
4
x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht
ca biu thc
4 1
4
A
x y
= +
.
Cõu 4(3 im).
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ni tip trong ng trũn
( )O
v im
P
nm trong
tam giỏc

ABC
sao cho
ã
ã
ã
ã
;BAP PBC CAP PCB= =
. ng thng
AP
ct cnh
BC
ti
.M
a) Chng minh rng
M
l trung im ca cnh
BC
.
b) Chng minh rng t giỏc
BHPC
ni tip trong mt ng trũn
( )

, trong ú
H
l
trc tõm tam giỏc
ABC
.
c) ng trung trc ca on thng

PA
ct ng thng
BC
ti
Q
. Chng minh rng
QA
tip xỳc vi
( )O
v
QP
tip xỳc vi
( )

.
Cõu 5(1 im).
Cho cỏc s thc khụng õm
, ,a b c
tha món
3ab bc ca
+ + =
. Chng minh rng:

2 2 2
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ +
+ + +
Ht

Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H tờn thớ sinh SBD
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Chuyªn To¸n)
Câu Ý Nội dung Điểm
1
a)
(1đ)
Từ (1)
⇒
y = mx -2 (3)
0.25
Thế vào (2) được x =
2
2 5
;
1
m
m
m
+
∀
+
0.25
Từ đó tính được y =
2
5 2

1
m
m
−
+
0.25
Kết luận 0.25
b)
(1đ)
x + y = 7
⇔

2
7 3
1
m
m
+
+
= 7 0.5
Tìm được
1
2
5
m
m
=




=

; kết luận
0.5
2 (1đ)
Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
3x y x xy y z x y x y xy z
− + + = ⇔ − − + =
(1)
Do
y
là số nguyên tố,
( ) ( )
;3 ; 1z z y
= =
nên từ (1),
⇒
( ) ( )
; 1, ;3 1x y x y
= − =
(2)
0.25
Từ (1),(2) suy ra
2 2 2 2

, ,x y m x xy y n z mn− = + + = =
với
,m n
+
∈
¢
.
Từ đó
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 3 3 2 2 2 2n x xy y x y y y n x y n x y
= + + = + + ⇒ = − − + +
0.25
Từ đó, do
y
là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra
•
2
2 2 3 ,2 2 1n x y y n x y+ + = − − =
: Suy ra
( )
( )
2 2
3 1 2 2 2 2 3y x y m y
− = + = +

suy ra
2 2 2
1 3 6 3 3m y y m+ = − − M

, nhưng
2
1 3m m
/
+ ∀M
, vô lý
•
2 2 3 , 2 2n x y y n x y y
+ + = − − =
. Suy ra
2 4 2 0y x y x
= + ⇒ =
, loại
0.25
•
2
2 2 ,2 2 3n x y y n x y+ + = − − =
. Suy ra
( )
( )
2 2
3 2 2 2 2 3y x y m y
− = + = +
do
đó
( )
2
2
3 4 12y m
− − =

. Tìm được
7, 1, 8, 13y m x z
= = = =
Vậy
( ) ( )
; ; 8;7;13x y z
=
là nghiệm duy nhất của phương trình.
0.25
3
a)
(1,5đ)
Do
( )
( )
1 2 3 2 2 1n n n n n n n
a b a b a a b a b ab b
− − − − −
− = − + + + + +
L
,
0.25
với
1, 2a x b x
= + = +
suy ra phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
2010 2010
1 2x x
+ = +

0.5
( ) ( )
2 2
1 2
3
1 2
1 2
2
x x
x x x
x x
+ = +

⇔ + = + ⇔ ⇔ = −

+ = − −

0.5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3
2
x
= −
0.25
b)
(1,5đ)
Với x > 0 ta có:
4 4
4 2 .4 8x x
x x

+ ≥ =
0.5
Với y > 0 ta có:
1 1
4 2 .4 2
4 4
y y
y y
+ ≥ =
0.5
4 1 4 1
4( ) 10 5
4 4
x y A
x y x y
+ + + ≥ ⇒ = + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra
4
4
1
1
4
1
4
4
5
4
x
x
x

y
y
y
x y

=


=

 
⇔ = ⇔
 
=
 


+ =


Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y =
1
4
0.5
4
a)
(1đ)
A
Q
P

M
H
F
E
O
B
C
0.25
Từ giả thiết, suy ra
( . )ABM BPM g g
∆ ∆
:
suy ra
2
BM AM PM= ×
(1) 0.25
Tương tự,
( . )ACM CPM g g
∆ ∆
:
suy ra
2
CM AM PM
= ×
(2) 0.25
Từ (1),(2) suy ra
BM CM
=
suy ra điều phải chứng minh.
0.25

b)
(1đ)
Gọi
,E F
là giao điểm của
,BH CH
với các cạnh
,AC AB
. Khi đó do
· ·
0
90AEH AFH
= =
nên tứ giác
AEHF
nội tiếp,

0.25
suy ra
·
·
·
0
180BHC EHF BAC
= = −
(1) 0.25
Từ cách xác định điểm
P
suy ra
· ·

·
·
· ·
0 0 0
180 180 180BPC PBC PCB PAB PAC BAC
= − − = − − = −
(2)
0.25
Từ (1) và (2), do tam giác
ABC
nhọn, nên bốn điểm
, , ,B C H P
cùng nằm trên một
đường tròn.
0.25
c)
(1đ)
M
N
P
X
+ Phát biểu và chứng minh bổ đề. Điểm
X
nằm trên cạnh
NP
của tam giác
MNP
sao cho
·
·

.NMX MPN
=
Khi đó
2
NX MX
NP MP
 
=
 ÷
 
0.25
+ Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
( )O
cắt
BC
tại
1
.Q
Do
·
·
1 1
Q AB ACQ=
, nên
2
1
1
Q B AB

Q C AC
 
=
 ÷
 
(3)
+ Tiếp tuyến tại
P
của đường tròn
( )
ω
cắt
BC
tại
2
.Q
Do
·
·
2
Q PB PCB=
, nên
2
2
2
Q B
PB
Q C PC
 
=

 ÷
 
(4)
0.25
+ Theo kết quả phần 1,
M
là trung điểm
BC
suy ra
· ·
·
·
sin
sin sin
sin
ABM ACM
AB CAP
S S AB BAP AC CAP
AC
BAP
= ⇒ = ⇒ =
(5)
cũng vậy
·
·
·
·
·
sin sin
sin sin

sin sin
PBM PCM
PB PCM PAC
S S PB PBM PC PCM
PC
PBM PAB
= ⇒ ∠ = ⇒ = =
(6)
0.25
Từ (3),(4),(5),(6) suy ra
1 2
1 2
1 2
Q B Q B
Q Q
Q C Q C
= ⇔ ≡
Do
1 1
Q AB Q CA∆ ∆:
và
1 1
Q PB Q CP∆ ∆:
, nên
2 2
1 1 1 1
Q A Q B Q C Q P
= × =
suy ra
1 1

Q A Q P=
. Suy ra
1
Q Q≡
. Điều phải chứng minh.
0.25
5 (1đ)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4a b b c c a a b c
+ + + ≥
0.25
Đặt
, ,bc x ca y ab z
= = =
. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
4x y z xyz+ + + ≥
với
, , 0: 3x y z x y z
≥ + + =
0.25
Không giảm tổng quát, coi
( )
min , ,x x y z
=
, thế thì
1x
≤
và

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
4 2 4
1
2 4
4
2 2
4 3 4
4 4
1
1 2 0
4
x y z xyz x y z yz x
x y z y z x
x x
x y z x x
x x
+ + + − = + + + − −
≥ + + + + − −
+ +
= + + − = + − −

= − + ≥
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1x y z a b c
= = = ⇔ = = =
0.5
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.