đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vương môn toán...

Sở giáo dục và đào tạo
phú thọ
kì thi tuyển sinh lớp 10
THPT chuyên hùng vơng
năm học 2009-2010
Môn: Toán (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.
(Đề thi có 01 trang)
Cõu 1 (2 im). Cho biu thc
2
2
1 1
3 2 1 2
x
P
x x x x
= +
+
a) Rỳt gn P.
b) Tỡm x sao cho
7P x+ =
.
Cõu 2(2 im). Cho phng trỡnh bc hai:
2 2
2( 1) 1 0x m x m m+ + + =
(m l tham
s)
a) Gii phng trỡnh khi
1m =
.
b) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh cú hai nghim

1 2
,x x
tho món
1 2
4x x+ =
Cõu 3(2 im).
a) V th hai hm s
2 3y x= +
v
2
y x=
trờn cựng mt h trc to .
b) Tỡm to giao im A v B ca th hai hm s trờn.
c) Gi D v C ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A v B trờn trc honh. Tớnh
din tớch t giỏc ABCD.
Cõu 4(3 im). Cho tam giỏc ABC nhn cú trc tõm l H v
ã
0
60BAC =
. Gi D, E ln
lt l chõn cỏc ng cao k t nh B, C ca tam giỏc ABC v I l trung im ca BC.

a) Chng minh rng BEDC l t giỏc ni tip.
b) Chng minh rng tam giỏc IDE u.
c) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Chng minh rng tam giỏc
AHO cõn.
Cõu 5(1 im). Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món
2xyz x y z= + + +
.
Chng minh rng

1 1 1 3
2
xy yz xz
+ +
.
Ht
Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H tờn thớ sinh SBD
Đề chính thức
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(kh«ng chuyªn)
CÂU Ý LỜI GIẢI SƠ LƯỢC ĐIỂM
Câu 1
(2 đ)
a
(1đ)
Điều kiện xác định:
1; 2x x≠ ≠
0,25
2
1 1
( 1)( 2) 1 2
x
P
x x x x
= + −
− − − −
0,25

2
2 1
( 1)( 2)
x x x
x x
+ − − +
=
− −
0,25
2
1
( 1)( 2)
x
x x
−
=
− −
1
2
x
x
+
=
−

0,25
b
(1đ)
P x
+ =

2 2
1 1 2 1
2 2 2
x x x x x x
x
x x x
+ + + − − +
+ = =
− − −
0,25
Suy ra
2
2
1
7 8 15 0
2
x x
x x
x
− +
= ⇔ − + =
−
0,5
3
5
x
x
=

⇔


=

đều thoả mãn điều kiện
0,25
Câu 2
(2 đ)
a
(1đ)
Khi
1m = −
, phương trình đã cho trở thành:
2
4 3 0x x− + =
0,5
Giải phương trình ta được hai nghiệm
1x
=
và
3x
=
0,5
b
(1đ)
Ta có
2 2
' ( 1) ( 1)m m m m∆ = − − − + = −
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi
' 0 0m∆ ≥ ⇔ ≤
(*)

0,25
Theo định lý viét ta có
2
2
1 2
1 3
1 0
2 4
x x m m m
 
= − + = − + >
 ÷
 
, nên
1 2
,x x

cùng dấu.
0,25
Do đó
1 2 1 2
2( 1)x x x x m+ = + = −
. Theo giả thiết
1 2
4 2( 1) 4x x m+ = ⇔ − =
0,25
Từ đó tìm ra
3m
=
;

1m
= −
.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1m = −
0,25
Câu 3
(2 đ)
a
(1đ)
Vẽ đúng đồ thị hàm số
2 3y x= +

0,5
Vẽ đúng đồ thị hàm số
2
y x=
0,5
b
(0,5đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol đã cho là:
2 2
2 3 2 3 0x x x x= + ⇔ − − =
0,25

1
3
x
x
= −


⇔

=

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng
2 3y x= +
và parabol
2
y x=
là
( 1;1)A −
;
(3;9)B
0,25
CÂU Ý LỜI GIẢI SƠ LƯỢC ĐIỂM
c
(0,5đ)
Tứ giác ABCD là hình thang vuông với hai cạnh đáy
1AD =
và
9BC =
,
chiều cao
4CD =
0,25
Do đó diện tích ABCD bằng:
( )
2
ABCD

AD BC CD
S
+
=

(1 9).4
20
2
+
= =
0,25
Câu 4
(3 đ)
a
(1đ)

H
D
E
O
I
C
B
A
K
Vì
·
·
0
90BEC BDC= =

nên tứ giác BEDC nội tiếp.
1,0
b
(1đ)
Vì
2
BC
ID IE= =
, nên tam giác IDE cân tại I. 0,5
Mặt khác B, E, D, C nằm trên đường tròn tâm I, đường kính BC nên
·
·
0
2. 60EID EBD= =
(vì
·
·
0 0
60 30BAC EBD= ⇒ =
)
Do đó tam giác IDE đều (đpcm).
0,5
c
(1đ)
Kéo dài BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K.
0,25
Khi đó tứ giác AHCK là hình bình hành, suy ra
AH CK
=
0,25

Ta có
·
· ·
0
60BAC BKC BKC= ⇒ =
.Trong tam giác vuông BCK có
·
0
60BKC =
nên
1
2
CK BK BO= =
, suy ra
CK AO=
0,25
Vậy
AH AO
=
. Do đó tam giác AHO cân tại A
0,25
Câu 5
(1 đ)
Viết giả thiết lại như sau:
1 1 1
1
1 1 1x y z
+ + =
+ + +
Đặt

1 1 1
; ;
1 1 1
a b c
x y z
= = =
+ + +

Khi đó
1 a b c
x
a a
− +
= =
. Tương tự
c a
y
b
+
=
và
a b
z
c
+
=
.
0,25
Ta có
1 1 1

. . .
a b b c c a
P
b c c a c a a b a b b c
xy yz xz
= + + = + +
+ + + + + +
0,25
Áp dụng BĐT côsi ta được:
1
.
2
a b a b
b c c a a c b c
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
;
1
.
2
b c b c
c a a b b a c a
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 

;
1
.
2
c a a c
a b b c a b b c
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
0,25
Cộng từng vế của ba BĐT ta được
3
2
P ≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c= =
, hay
2x y z= = =
0,25
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.
……………Hết…………….