CHUỖI ppt

Chơng 7
Chuỗi
7.1 Chuỗi số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Cho dãy vô hạn các số thực: u
1
, u
2
, , u
n
,Khi đó tổng vô hạn:
u
1
+u
2
++u
n
+
đợc gọi là một chuỗi số và ký hiệu:


=1n
n
u
. Nh vậy ta có thể viết:


=1n
n
u
= u

1
+u
2
++u
n
+
Các số u
1
, u
2
,gọi là các số hạng của chuỗi. Biểu thức của u
n
gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.
Từ chuỗi đã cho ta lập dãy S
n
sau:
S
1
=u
1
, S
2
=u
1
+u
2
,, S
n
=u
1

+u
2
++u
n
=

=
n
i
i
u
1
Tổng S
n
=

=
n
i
i
u
1
gồm n số hạng đầu tiên của chuỗi, gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi, và dãy {S
n
} gọi
là dãy tổng riêng của chuỗi, còn:
R
n
=

+= 1ni
i
u
gọi là phần d thứ n.
Xét sự hội tụ của dãy tổng riêng S
n
ta đa đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 2: Nếu dãy tổng riêng S
n
dần đến giới hạn hữu hạn S khi n dần ra vô cùng thì ta nói dãy
đã cho hội tụ và có tổng S. Khi đó ta viết:
S=


=1n
n
u
Nếu S
n
không có giới hạn, hay có giới hạn vô cùng khi n dần ra vô cùng thì ta nói chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 7.1:
a. Chuỗi


=

0
)1,0(
n

n
qaaq
là tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn công bội q. Ta có:
S
n
=

=
+


=
n
k
n
n
q
q
aqa
0
1
1
1





>
<

=


=
+

1
1
1
1
1
limlim
1
q
q
q
a
q
q
aS
n
n
n
n
Vậy khi q<1 chuỗi hội tụ và có tổng:


=

=
0
1
n
n
q
a
aq
và phân kỳ khi q>1.
b. Chuỗi


=
+
1
)1(
1
n
nn
có u
n
=
1
11
)1(
1
+
=
+ nnnn
, do đó:

S
n
=
1
1
1
1
11

3
1
2
1
2
1
1
1
+
=






+
++

+







nnn
1
1
1
1limlim =






+
=

n
S
n
n
n

Vậy chuỗi hội tụ và có tổng:


=
+
1
)1(
1
n
nn
=1.
2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Định lý 1: Nếu chuỗi


=1n
n
u
hội tụ thì số hạng tổng quát u
n
dần đến 0, khi n

.
Trang 1
Chứng minh: Ta có: u
n
=S
n
- S
n-1

. Nếu chuỗi hội tụ và có tổng S, khi n

thì S
n
và S
n-1
cùng dần
đến S, do đó:
( )
0limlim
1
===


SSSSu
nn
n
n
n
Hệ quả: Nếu u
n
không dần đến 0 khi n

thì chuỗi phân kỳ.
Chú ý: Định lý chỉ là điều kiện cần, nh vậy dãy có u
n
dần đến 0, khi n

cha chắc đã hội tụ.
Tuy nhiên hệ quả của định lý cho phép ta dễ dàng nhận biết đợc một dãy phân kỳ.

Ví dụ 7.2:
a. Chuỗi


=1
1
cos
n
n
có
1
1
coslim =

n
n
nên chuỗi phân kỳ.
b. Chuỗi


=1
1
n
n
có
0
1
lim =

n

n
nhng:

==+++>+++= n
n
n
nnnn
S
n
1

111

2
1
1
1
Nên chuỗi phân kỳ.
3. Tiêu chuẩn Côsi
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để chuỗi số


=1n
n
u
hội tụ là >0, nguyên n
0
>0 ,n>n
0
và mọi số

nguyên p>1 ta luôn có:

<

+
+=
pn
ni
i
u
1
Chứng minh: Vì chuỗi


=1n
n
u
hội tụ dãy {S
n
} hội tụ. Theo tiêu chuẩn Côsi cho dãy hội tụ ta có
dãy {S
n
} hội tụ khi và chỉ khi:
>0, n
0
>0 ,n>n
0
và mọi số nguyên p>1 ta luôn có:

<=

+
+=
+
pn
ni
inpn
uSS
1
Ví dụ 7.3:
a. Xét chuỗi


=
+
2
)1(
1
n
nn
có:
1
11
)1(
1
+
=
+ nnnn
nên:
))(1(

1

)1(
1
pnpnnn
SS
npn
++
++
+
=
+

pnpnnnnn +

+
++
+

+
+
+
=
1
1
1

2
1
1

1
1
11

<<
n
1

Khi n>

1
. Chọn n
0
=
1
1
+







ta thấy chuỗi thoả mãn tiêu chuẩn Côsi nên hội tụ.
b. Chuỗi


=1
1

n
n
có:
.,
2
1
2
11

1
1
n
n
n
nnn
SS
nnn
=>
+
++
+
=
+
Nếu chọn
3
1
=

tiêu chuẩn Côsi không thoả mãn nên chuỗi không hội tụ.
4. Một số tính chất của chuỗi hội tụ

Tính chất 1: Nếu chuỗi


=1n
n
u
hội tụ và có tổng S thì chuỗi


=1n
n
au
, trong đó a là một hằng số,
cũng hội tụ và có tổng aS.
Chứng minh: Khi n dần đến vô cùng, ta có:
aSSauuaauau
nnn
=++=++ .) (
11
Hay nếu


=1n
n
u
hội tụ và có tổng S thì


=1n
n

au
hội tụ và có tổng aS.
Trang 2
Hệ quả: Nếu


=1n
n
u
phân kỳ và a0 thì


=1n
n
au
cũng phân kỳ.
Tính chất 2: Nếu chuỗi


=1n
n
u
hội tụ và có tổng U, chuỗi


=1n
n
v
hội tụ và có tổng V, thì chuỗi tổng
hoặc hiệu

=

1
)(
n
nn
vu
hội tụ và có tổng UV.
Chú ý:
1. Tổng hoặc hiệu của một chuỗi hội tụ với một chuỗi phân kỳ là một chuỗi phân kỳ.
Thật vậy, vì nếu chuỗi tổng hội tụ, ta lấy chuỗi tổng trừ đi chuỗi hội tụ đã cho sẽ đợc chuỗi phân kỳ
đã cho, nhng theo tính chất 2, chuỗi hội tụ, vô lý.
2. Tổng hoặc hiệu của hai chuỗi phân kỳ có thể là chuỗi hội tụ.
Ví dụ 7.4:


=1
1
n
n
và


=
+
1
1
1

n
n
là các chuỗi phân kỳ. Tuy nhiên chuỗi:


=

=
+
=






+

1 1
)1(
1
1
11
n n
nnnn

lại là chuỗi hội tụ.
Tính chất 3: Nếu ta thêm vào hay bớt đi một số hữu hạn các số hạng đầu của chuỗi thì tính hội tụ
hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi.
7.2 Chuỗi số dơng

1. Định nghĩa
Chuỗi


=1n
n
u
đuợc gọi là chuỗi số dơng nếu u
n
>0, với mọi n.
Nếu


=1n
n
u
có u
n
<0 với mọi n ta gọi


=1n
n
u
là chuỗi số âm.
Khi


=1n
n

u
là chuỗi số âm thì ta có: -u
n
=u
n
= v
n
, do đó chuỗi


=1n
n
v
là chuỗi số dơng.
Vì


=1n
n
v
=


=

1
)(
n
n
u

nên theo tính chất 1, hai chuỗi


=

1
)(
n
n
u
và


=1n
n
v
cùng hội tụ hoặc phân kỳ, vì
vậy ta chỉ cần xét sự hội tụ của chuỗi số dơng.
Xét dãy tổng riêng của một chuỗi số dơng ta có:
S
n+1
=S
n
+u
n+1
Do u
n+1
>0 nên:
S
1

<S
2
<<S
n
<S
n+1
<
Vậy dãy tổng riêng của một chuỗi số dơng là dãy đơn điệu tăng, do đó nếu hoặc {S
n
} không bị chặn
trên thì:
+=

n
n
Slim
, hay chuỗi phân kỳ; hoặc {S
n
} bị chặn trên thì
SSS
n
n
=

lim:
và do đó:
S=


=1n

n
u
2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dơng
a. Tiêu chuẩn so sánh
Định lý 3: Cho hai chuỗi số dơng:


=1n
n
u
và


=1n
n
v
, giả sử: u
n
v
n
, n n
0
. Khi đó:
(i) Nếu chuỗi


=1n
n
v
hội tụ thì chuỗi

=1n
n
u
cũng hội tụ.
(ii) Nếu chuỗi


=1n
n
u
phân kỳ thì chuỗi


=1n
n
v
cũng phân kỳ.
Chứng minh: Gọi

=
=
n
nk
kn
uS
0
và

=
=
n
nk
kn
vS
0
'
là các tổng riêng tơng ứng. Do u
n
v
n
, n n
0
nên:
S
n
S
n
, n n
0
.
Trang 3
Nếu


=1n
n
v
hội tụ và có tổng S thì {S

n
} là dãy đơn diệu tăng và bị chặn trên bởi S nên nó hội tụ,
do đó chuỗi


=1n
n
u
hội tụ và có tổng không vợt quá S.
Nếu chuỗi


=1n
n
u
phân kỳ thì dãy {S
n
} là dãy đơn điệu tăng không bị chặn trên do đó {S
n
} cũng là
dãy đơn điệu tăng không bị chặn trên nên chuỗi


=1n
n
v
phân kỳ,
Ví dụ 7.5:
a. Chuỗi

=

2
)1(
1
n
nn
hội tụ và có u
n
=
)1(
1
nn
.
Chuỗi


=2
2
1
n
n
có: v
n
=
2
1
n
. Vì :

)1(
)1(
11
2
>

< n
nn
n
nên chuỗi


=2
2
1
n
n
hội tụ.
Định lý 4: Cho hai chuỗi số dơng:


=1n
n
u
và


=1n
n
v

. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:
)0(lim +<<=

kk
v
u
n
n
n
thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chứng minh: Theo tính chất của dãy hội tụ thì bắt đầu từ một số hạng nào đó trở đi ta có:
2
3
2
k
v
u
k
n
n
<<
Hay:
nnn
v
k
uv
k
2
3
2

. Theo định lý 3 nếu


=1n
n
u
hội tụ thì chuỗi


=1
2
n
n
v
k
hội tụ do đó chuỗi


=1n
n
v
hội tụ; nếu chuỗi


=1n
n
v
hội tụ thì chuỗi

=1
2
3
n
n
v
k
hội tụ và theo định lý 3 chuỗi


=1n
n
u
hội tụ.
Lập luận tơng tự cho hai chuỗi cùng phân kỳ.
Ví dụ 7.6:
a. Xét chuỗi


=







2
1

cos1
n
n
có u
n
=
n
1
cos1
. Do
2
1
1
cos1
lim
2
=


n
n
n
Và chuỗi


=2
2
1
n
n

hội tụ nên chuỗi


=







2
1
cos1
n
n
cũng hội tụ.
b. Xét chuỗi


=






+
2
1

1ln
n
n
có u
n
=






+
n
1
1ln
. Do
1
1
1
1ln
lim =






+

n
n
n
Và chuỗi


=2
1
n
n
phân kỳ nên chuỗi


=






+
2
1
1ln
n
n
cũng phân kỳ.
Trang 4
b. Tiêu chuẩn Dalambe
Định lý 5: Cho chuỗi số dơng

=1n
n
u
. Nếu tồn tại giới hạn:
D
u
u
n
n
n
=
+

1
lim
thì chuỗi hội tụ khi D<1, phân kỳ khi D>1. Khi D=1 ta cha có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi.
Chứng minh: Giả sử D<1, khi đó tồn tại q: D<q<1. Vì
D
u
u
n
n
n
=
+

1
lim

<q
Nên n
0
: nn
0
:
q
u
u
n
n

+1
hay u
n+1
q.u
n
0000

2
2
1 n
k
knknkn
uquququ
+++
Do q<1 nên chuỗi


=1

0
k
n
k
uq
hội tụ, theo định lý 3 chuỗi


=
+
1
0
k
kn
u
hội tụ và theo tính chất 3 của
chuỗi hội tụ, chuỗi


=1n
n
u
hội tụ.
Nếu
D
u
u
n
n
n

=
+

1
lim
>1, sẽ n
0
: nn
0
:
1
1
>
+
n
n
u
u
hay u
n+1
>u
n
do đó số hạng tổng quát của chuỗi
không dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 7.7:
a. Chuỗi


=2
!

n
n
n
n
hội tụ vì:
!
.
)1(
)!1(
limlim
1
1
n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n
+

+

+
+

=

=
e
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
lim
1
lim =






+
=

+

<1
b. Chuỗi


=
+
2
!)!13(
n
n
n
n
phân kỳ vì:
!)!13(
.
)1(
!)!33(
limlim
1
1
+
+
+
=
+

+

n
n
n
n
u
u
n
n
n
n
n
n

=
1
3
)1(
)33(
1
lim >=
+
+

+

en
n
n
n
n
n
c. Tiêu chuẩn Côsi
Định lý 6: Cho chuỗi số dơng


=1n
n
u
. Nếu tồn tại giới hạn:
Cu
n
n
n
=

lim
thì chuỗi hội tụ khi C<1, phân kỳ khi C>1. Khi C=1 ta cha có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi.
Chứng minh: Giả sử C<1, khi đó tồn tại q: C<q<1. Vì
qCu
n
n
n
<=

lim
Nên n
0
: nn
0
:
qu
n
n

hay u
n
q
n
Trang 5
Do q<1 nên chuỗi


=1k
k
q
hội tụ, theo định lý 3 chuỗi


=
+
1
0
k

kn
u
hội tụ và theo tính chất 3 của chuỗi
hội tụ, chuỗi


=1n
n
u
hội tụ.
Nếu
Cu
n
n
n
=

lim
>1, sẽ n
0
: nn
0
:
1>
n
n
u
hay u
n
>1 do đó số hạng tổng quát của chuỗi không

dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 7.8:
a. Chuỗi


=






+
2
2
1
sin1
3
1
n
n
n
n
hội tụ vì:
1
3
1
sin1
3
1

limlim
1
1
sin
1
sin
1
<=
















+=

e
n
u
n

n
n
n
n
n
n
c.


=






+
2
2
1
1
2
1
n
n
n
n
phân kỳ vì:
1
2

1
1
2
1
limlim >=






+=

e
n
u
n
n
n
n
n
d. Tiêu chuẩn tích phân
Định lý 7: Cho chuỗi số dơng


=1n
n
u
. Nếu tồn tại hàm f(x) không âm, liên tục và đơn điệu giảm
trên

),[
0
+n
khi
+x
và có: f(n)=u
n
, nn
0
. Khi đó chuỗi


=1n
n
u
và tích phân suy rộng

+
0
)(
n
dxxf
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chứng minh: Ta có thể xét n
0
=1. Do f(x) đơn điệu giảm nên với mọi k 1 ta có:
u
k+1
=f(k+1)
)()(

1
kfdxxf
k
k


+
=u
k
Gọi S
n
là tổng riêng thứ n của chuỗi, với mọi n ta có:
n
n
k
k
n
n
k
kn
SudxxfuuS ==



=
+
=
++
1
1

1
1
111
)(
Cho n dần ra vô cùng ta đợc điều phải chứng minh.
Ví dụ 7.9:
a. Xét sự hội tụ của chuỗi:


=1
1
n
n

(i). Nếu


n
1
,0
không dần đến 0 nên chuỗi phân kỳ.
(ii). Nếu > 0, xét các tiêu chuẩn Dalambe và Côsi
1
1
limlim
1
=

+
=

+


n
n
u
u
n
n
n
n
1
1
limlim =








=

n
n
n
n
n
n
u
Vậy các tiêu chuẩn Dalambe và Côsi không khảo sát đợc sự hội tụ của chuỗi.
Trang 6
Với > 0, xét hàm f(x)=
)),1[(,
1
+x
x

, hàm f(x) đơn điệu giảm dần tới 0 khi x dần ra vô
cùng, khi đó tích phân suy rộng:

+
1

x
dx
hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 0< 1 nên chuỗi đã cho hội
tụ khi > 1 và phân kỳ khi 0< 1. Chuỗi trên còn đợc gọi là chuỗi Riemam.
b. Cho chuỗi


=2

2
ln
1
n
nn
. Xét hàm f(x)=
xx
2
ln
1
(
),2[ +x
) có:

+
+
+
+<===
2
2
2
2
2
2ln
1
ln
1
ln
ln
ln

x
x
xd
xx
dx
Vậy chuỗi hội tụ.
7.3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ
Cho chuỗi


=1n
n
u
trong đó các số hạng u
n
có dấu bất kỳ.
1. Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Định nghĩa 3: Cho chuỗi


=1n
n
u
nếu chuỗi


=1n
n
u
hội tụ thì ta nói chuỗi

=1n
n
u
hội tụ tuyệt đối, nếu
chuỗi


=1n
n
u
hội tụ nhng chuỗi


=1n
n
u
phân kỳ thì ta nói chuỗi


=1n
n
u
hội tụ tơng đối hay bán hội tụ.
Định lý 8: Nếu chuỗi


=1n
n

u
hội tụ thì chuỗi


=1n
n
u
cũng hội tụ.
Chứng minh: Giả sử chuỗi


=1n
n
u
hội tụ, theo tiêu chuẩn Côsi ta có: >0, n
0
:n>n
0
và p1 ta
có:

<

+
+=
+
=
pn
nk
k

pn
nk
k
uu
1
Tuy nhiên từ biểu thức trên thì chuỗi


=1n
n
u
cũng thoả mãn tiêu chuẩn Côsi cho chuỗi hội tụ.
Nh vậy khi xét sự hội tụ của chuỗi bất kỳ, ta xét sự hội tụ của chuỗi


=1n
n
u
, nếu nó không hội tụ ta
mới xét sự hội tụ của chuỗi


=1n
n
u
. Chuỗi


=1n
n

u
là chuỗi số dơng nên ta có thể dùng các tiêu chuẩn
hội tụ của chuỗi số dơng để xét.
Ví dụ 7.10:
Xét chuỗi


=1
2
cos
n
n
n
. Do
22
1
cos
nn
n
<
mà chuỗi


=1
2
1
n
n
hội tụ nên chuỗi

=1
2
cos
n
n
n
hội tụ tuyệt đối.
Chú ý: Nếu chuỗi


=1n
n
u
phân kỳ thì cha chắc


=1n
n
u
phân kỳ, nhng nếu


=1n
n
u
phân kỳ theo tiêu
chuẩn Dalambe hoặc Côsi thì chuỗi

=1n
n
u
phân kỳ vì lúc đó u
n
không dần đến 0.
2. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn hội tụ Lepnit
Định nghĩa 4: Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng:
)(
4321
++ uuuu
Trong đó u
n
>0, với mọi n. Do tính chất của chuỗi hội tụ ta chỉ cần xét chuỗi đan dấu dạng:
)1(
21
1
+=


=
uuu
n
n
n

Định lý 9: (Tiêu chuẩn Lepnit)
Trang 7
Nếu {u
n

} là dãy số dơng giảm dần tới 0 khi n dần ra vô cùng thì chuỗi đan dấu:


=

1
)1(
n
n
n
u
hội tụ
và có tổng nhỏ hơn u
1
.
Chứng minh: Xét tổng riêng chẵn S
n
=S
2m
ta có:
S
2m
=(u
1
-u
2
)+(u
3
-u
4

)++(u
2m-1
-u
2m
)
Vì {u
n
} đơn diệu giảm nên các số hạng của S
2m
đều dơng nên nó là dãy đơn điệu tăng. Mặt khác ta lại
có:
S
2m
=u
1
-(u
2
-u
3
)-(u
4
-u
5
)--(u
2m-2
-u
2m-1
)-u
2m
Do đó S

2m
bị chặn trên bởi u
1
. Nh vậy {S
2m
} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn bởi u
1
nên nó hội tụ và có
giới hạn
SS
m
n
=

2
lim
u
1
.
Xét tổng riêng lẻ S
n
=S
2m+1
ta có: S
2m+1
=S
2m
+u
2m+1
, do u

n
0 khi n nên:
SuSS
m
m
m
m
m
m
=+=
+

+

12212
limlimlim
Do đó chuỗi đan dấu hội tụ và có tổng không vợt quá u
1
.
Ví dụ 7.11: Chuỗi


=

+++=
1
11

1
)1(

3
1
2
1
1
1
)1(
n
nn
nn
là chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Lepnit nên nó hội tụ và có tổng không vợt quá 1. Tuy nhiên
chuỗi


=

=

=
1 1
1
11
)1(
n n
n
nn
là chuỗi phân kỳ, vậy chuỗi đan dấu đã cho bán hội tụ.
Chú ý: Phần d thứ n của chuỗi đan dấu: R
n
=

+=

1
)1(
nk
k
k
u
cũng là một chuỗi đan dấu, nếu chuỗi đan
dấu thoả mãn tiêu chuẩn hội tụ Lepnit thì ta có:
1
1
)1(
+

+=
<=

n
nk
k
k
n
uuR
Do đó nếu: u
n+1
< thì ta có thể tính gần đúng tổng của chuỗi đan dấu:

=

n
k
k
k
uS
1
)1(
với sai số
.
Ví dụ 7.12: Chuỗi


=


1
1
1
)1(
n
n
n
có:

Vậy ta có sấp xỉ tổng:
S=

=


1
1
1
)1(
n
n
n
99
1

2
1
1 ++
Với sai số 0,001.
3. Vài tính chất của chuỗi đan dấu
Xét các chuỗi bán hội tụ:
a. Giả sử chuỗi


=


1
1
1
)1(
n

n
n
có tổng S:

6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 +++=S
(1)
Khi đó chuỗi


=


1
1
2
1
)1(
n
n
n

có tổng
2
S
:

12
1
10
1
8
1
6
1
4
1
2
1
2
+++=
S
(2)
Công hai vế ta đợc:

4
1
7
1
5
1
2

1
3
1
1
2
3
++++=
S
(3)
Tuy nhiên tổng (3) lại suy đợc bằng cách đổi thứ tự các số hạng của (1).
Trang 8
b. Xét chuỗi


=


1
1
)1(
n
n
n
, nó là chuỗi đan dấu hội tụ. Viết nó dới dạng:

4
1
7
1
5

1
2
1
3
1
1 +








++








+

2
1
14
1
34

1
+










+

+
ppp
Đặt
=
p
u
ppp 2
1
14
1
34
1


+

Khi
p
ta có u
p
~v
p
và chuỗi


=1p
p
v
phân kỳ, nên chuỗi


=1p
p
u
phân kỳ.
Nh vậy một chuỗi bán hội tụ ta có thể thay đổi thứ tự các số hạng của chuỗi để đợc chuỗi có tổng
tuỳ ý.
Tuy nhiên với chuỗi hội tụ tuyệt đối ngời ta chứng minh đợc khi thay đổi thứ tự các số hạng của
chuỗi thì tổng của chuỗi không đổi.
7.4 Chuỗi hàm
1. Định nghĩa
Định nghĩa 5: Cho dãy vô hạn các hàm số: u
1
(x), u
2

(x),, u
n
(x), cùng xác định trên tập X, khi đó
tổng vô hạn:


=1
)(
n
n
xu
=u
1
(x)+u
2
(x)++u
n
(x)+
đợc gọi là một chuỗi hàm.
Biểu thức của u
n
(x) đợc gọi là số hạng tổng quát của chuỗi hàm, tổng:
S
n
(x)=u
1
(x)+u
2
(x)++u
n

(x)
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.
Với mỗi điểm x
0
X ta có


=1
0
)(
n
n
xu
là một chuỗi số.
Định nghĩa 6: Điểm x
0
X đợc gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số


=1
0
)(
n
n
xu
hội tụ và
gọi là điểm phân kỳ của chuỗi hàm nếu chuỗi số


=1

0
)(
n
n
xu
phân kỳ.
Tập D (DX) các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi. Khi đó ứng với mỗi
xD ta có chuỗi số hội tụ


=1
)(
n
n
xu
. Ký hiệu S(x)=


=1
)(
n
n
xu
(xD) thì S(x) là hàm số xác định trên
D.
Định nghĩa 7: Nếu
)()(lim xSxS
n
n
=

(xD) thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm trên D, hay ta nói
chuỗi hàm hội tụ về S(x) trên D.
Ta cũng gọi R
n
(x)=S(x)-S
n
(x) là phần d thứ n của chuỗi hàm.
Ví dụ 7.13:
a. Chuỗi hàm:
1+x+x
2
++x
n
+
là tổng các số hạng của cấp số nhân vô hạn với công bội q=x, do đó nó hội tụ khi
1<x
và phân kỳ
khi
1x
. Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D=(-1,1), và có tổng:
S(x)=1+x++x
n
+=
x1
1
(-1<x<1)
b. Chuỗi hàm (Chuỗi Rieman)

=1
1
n
x
n
có miền hội tụ D=(1,+).
Trang 9
c. Xét chuỗi hàm


=1
!
n
n
n
x
.
Với x=0 chuỗi hội tụ.
Với x0 áp dụng tiêu chuẩn Dalambe cho chuỗi


=1
!
n
n
n
x
ta có:
0
1

1
lim
)!.1(
!.
lim
)(
)(
lim
1
1
=
+
=
+
=

+

+

n
x
xn
nx
xu
xu
n
n
n
n

n
n
n
Vậy chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối với mọi x, hay miền hội tụ của chuỗi hàm là
),( +
d. Xét chuỗi hàm


=
+
1
1
1
n
n
x
.
Với
0,1 <
n
xx
khi n

nên
1
1
1
)(
+
=

n
n
x
xu
, chuỗi phân kỳ.
Với x=1,
2
1
)( =xu
n
, với x=-1,
2
1
)(
2
=xu
n
, chuỗi phân kỳ, u
2n+1
(x) không xác định.
Với
1>x
, ta có chuỗi hội tụ vì:
1
1
1
1
1
1
1

lim
)(
)(
lim
1
1
<=
+
+
=
+

+

x
x
x
xxu
xu
n
n
n
n
n
n
Vậy miền hội tụ
1>x
.
2. Chuỗi hàm hội tụ đều
a. Định nghĩa

Giả sử chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
có miền hội tụ D và có tổng S(x), khi đó với xD ta có:
)()(lim xSxS
n
n
=

hay: >0, n
0
: khi n>n
0
ta có:

<==


+= 1
)()()()(
nk
knn
xuxSxSxR
Trong đó với mỗi cho trớc số n
0

sẽ phụ thuộc x. Nếu với mỗi ta tìm đợc số n
0
chung cho mọi x
thuộc D để có bất đẳng thức trên thì ta có khái niệm chuỗi hàm hội tụ đều.
Định nghĩa 8: Chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
đợc gọi là hội tụ đều đến S(x) trên D nếu >0, n
0
, n>n
0
ta
có:

<==


+= 1
)()()()(
nk
knn
xuxSxSxR
(xD)
Ký hiệu:

=


1
)()(
n
n
xSxu
.
Ví dụ 7.14:
a. Cho chuỗi hàm


=

+

1
2
1
)1(
n
n
nx
.
Với mọi xR chuỗi là chuỗi đan dấu, thoả mãn mọi điều kiện của định lý Lepnit nên nó có miền
hội tụ R. Xét phần d thứ n:

<<

++
=<
+
n
nx
xuxR
nn
1
1
1
)()(
2
1
Chọn
1
1
0
+






=

n
, ta có: n > n
0
:

RxxR
n
< ,)(

. Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên R.
Trang 10
b. Xét chuỗi hàm


=
+
0
2
2
)1(
n
n
x
x
Đặt q=
2
1
1
x+
, ta thấy:



<
==

01
01
xkhiq
xkhiq

Do đó


=
+
0
2
2
)1(
n
n
x
x
=


=0
2
n
n
qx
với


=0n

n
q
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, nên:
S
n
(x)=

















+
+=
+

+

=

+
+
12
2
2
12
2
)1(
1
1)1(
1
1
1
)1(
1
1
00
n
n
x
x
x
x
x
xkhi
Nên chuỗi hàm hội tụ về:
S(x)=

+
=
01
00
2
xkhix
xkhi
Xét
n
nn
x
xSxSxR
)1(
1
)()()(
2
+
==
Chọn =0,01, khi đó n
0
lấy n>n
0
và lấy x:
11000 <<
n
x
ta có: 1+x
2
<
n

100
, hay
100)1(
2
<+
n
x
do đó:


=>
+
= 01,0
)1(
1
)(
2 n
n
x
xR
Nh vậy chuỗi hàm không hội tụ đều trên R.
b. Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm
Định lý 10: (Tiêu chuần Côsi) Chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu

hội tụ đều trên D nếu >0, n
0
sao
cho:nn
0
, m1 ta có:

<=

+
+=
+
mn
nk
knmn
xuxSxS
1
)()()(
(xD)
Điều kiện cần: Giả sử chuỗi hàm hội tụ đều trên D, khi đó >0, n
0
: khi n>n
0
ta có:
2
)()(

< xSxS
n
, (xD), vậy với nn

0
, m1 ta có:

<+
++
)()()()()()( xSxSxSxSxSxS
nmnnmn
Điều kiện đủ: Nếu điều kiện của định lý thoả mãn, khi đó (xD) dãy S
n
(x) là dãy Côsi nên nó hội
tụ. Với >0 cho trớc, cố định n và cho m ta đợc: nn
0
, xD:

< )()( xSxS
n
(1)
Vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên D.
Chú ý: Từ (1) nếu
n
lim

+
+=

=
mn
nk
k
m

n
xuxR
1
)(lim)(
=0 (xD)
thì


=1
)(
n
n
xu
hội tụ đều trên D.
Ví dụ 7.15:
a. Với a>0 và D=[a,
+
), khi đó trên D chuỗi:


=
+
0
2
2
)1(
n
n
x
x

có:
Dx
x
xR
n
n
n
n
=
+
=

,0
)1(
1
lim)(lim
2

Trang 11
vậy chuỗi hàm hội tụ đều trên D.
Định lý 11: ( Tiêu chuẩn Veyerstrass) Cho chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
. Nếu có
nn

axu )(
, n, xD và
chuỗi số


=1n
n
a
hội tụ thì chuỗi hàm hội tụ đều trên D.
Chứng minh: Do


=1n
n
a
hội tụ nên theo tiêu chuẩn Côsi cho chuỗi hội tụ ta có >0, n
0
sao
cho:nn
0
, m1:

<

+
+=
+
+=
+
+=

mn
nk
k
mn
nk
k
mn
nk
k
axuxu
111
)()(
(xD)
Biểu thức chứng tỏ chuỗi hàm hội tụ đều trên D.
Ví dụ 7.16:
a. Chuỗi


=
+
1
2
cos
n
xnn
nx
có
)(,
1
cos

2
Rx
nnxnn
nx
<
+
và chuỗi số dơng


=1
1
n
nn
hội tụ nên
chuỗi


=
+
1
2
cos
n
xnn
nx
hội tụ đều trên R.
c. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều
Ta thấy tổng hữu hạn của các hàm số liên tục cũng là hàm liên tục, đạo hàm của tổng các hàm khả
vi bằng tổng các đạo hàm, tích phân của tổng các hàm khả tích bằng tổng các tích phân. Đối với
chuỗi hàm nói chung các tính chất ấy không còn đúng, tuy nhiên chúng vẫn đúng cho chuỗi hàm hội

tụ đều.
Định lý 12: Cho chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
. Nếu các số hạng u
n
(x) liên tục trên miền D, chuỗi hàm hội tụ
đều trên D tới S(x) thì S(x) liên tục trên D.
Chứng minh: Xét biểu thức:
+ )()( xSxxS

)()()()()()( xSxSxSxxSxxSxxS
nnnn
+++++
Vì chuỗi hội tụ đều nên với >0 n
0
sao cho khi n>n
0
có:
3
)()(

<++ xxSxxS
n
3

)()(

< xSxS
n
Vì u
n
(x) liên tục nên S
n
(x) liên tục do đó >0 sao cho khi

<x
thì :
3
)()(

<+ xSxxS
nn
Nh vậy >0>0 sao cho với xD và x+xD ta có:

<+ )()( xSxxS
Hay S(x) liên tục trên D.
Hệ quả: Chuỗi có các số hạng liên tục hội tụ đến S(x) gián đoạn trên D thì không hội tụ đều trên D.
Ví dụ 7.17:
Chuỗi


=
+
0
2

2
)1(
n
n
x
x
trên R có tổng:
S(x)=



+
=
01
00
2
xkhix
xkhi
là hàm không liên tục trên R nên chuỗi không hội tụ đều trên R.
Định lý 13: Cho chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
. Nếu các số hạng u
n
(x) liên tục trên miền [a,b], chuỗi hàm hội

tụ đều trên [a,b] tới S(x) thì S(x) khả tích và:
Trang 12




=
=
b
a
n
b
a
n
dxxudxxS
1
)()(
Chứng minh: Theo định lý 12, S(x) liên tục trên [a,b] nên khả tích trên [a,b]. Xét hiệu:
[ ]

=
b
a
b
a
n
b
a
n
dxxSxSdxxSdxxS )()()()(

Do chuỗi hàm hội tụ đều trên [a,b] nên >0, n
0
sao cho khi n>n
0
ta có:
]),[(,)()( bax
ab
xSxS
n


<

Do đó:

=

<
b
a
b
a
b
a
n
dx
ab
dxxSdxxS

)()(
Chứng tỏ:


=
b
a
n
n
b
a
dxxSdxxS )(lim)(



=

=

=






=
n
k n
b

a
n
b
a
k
n
dxxudxxu
1 1
)()(lim
Định lý 14: Cho chuỗi hàm


=1
)(
n
n
xu
hội tụ đều tới S(x) trên (a,b). Nếu các số hạng u
n
(x) liên tục
cùng các đạo hàm của chúng trên (a,b), khi đó nếu chuỗi hàm


=1
)('
n
n
xu
hội tụ đều trên (a,b) tới V(x)
thì S(x) khả vi trên (a,b) và:

=

=
=






=
1
'
1
)(')()('
n
n
n
n
xuxuxS
=V(x)
Chứng minh: Lấy [x
0
,x](a,b), vì u
n
(x) khả vi nên liên tục trên [x
0
,x] và chuỗi V(x)=

=1
)('
n
n
xu
hội
tụ đều trên [x
0
,x] nên theo định lý 13 ta có:
[ ]



=

=
==
1 1
0
)()()(')(
00
n n
nn
x
x
n
x
x

xuxudxxudxxV


=

=
==
1 1
)00
()()()(
n n
nn
xSxSxuxu
Theo định lý đạo hàm theo cận trên ta có

x
x
dxxV
0
)(
khả vi và:
===







)()(')(

'
0
xVxSdxxV
x
x


=1
)('
n
n
xu
Ví dụ 7.18:
Xét chuỗi hàm


=
+
0
2
)1(
n
n
x
x
, x [1,3] ta có:
nnn
x
x
2

3
)11(
3
)1(
2
=
+
<
+
Do chuỗi số dơng


=1
2
3
n
n
hội tụ nên chuỗi hàm hội tụ đều x [1,3]. Đặt q=
2
1
1
x+
, x[1,3] ta có:
S(x)=


=
+
0
2

)1(
n
n
x
x
=
x
x
x
x
q
x
2
2
1
1
1
1
1
1
.
+
=
+

=

Khi đó với x(1,3]
a.
=+=+=

+

x
xx
x
x
x
xdx
x
x
1
2
1
2
1
2
2
ln
2
ln
1
Trang 13



=

=

+

=
+
0 0
12
1
2
)1)(1(
1
2
1
)1(
n n
n
x
n
xnx
xdx
b.


=

=
+
+

=

+
=

=








+
0 0
12
2
'
22
2
'
2
)1(
)21(
)1(
11

n n
nn
x
xn
x
x
x
x
x
x
7.5 Chuỗi luỹ thừa
1. Định nghĩa
Ta gọi chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm dạng:
)( )()(
0010
0
0
++++=


=
n
n
n
n
n
xxaxxaaxxa
Nếu đặt X=x-x
0
thì chuỗi luỹ thừa đa đợc về dạng:

=0n
n
n
Xa
, do đó chúng ta chỉ xét chuỗi luỹ thừa
dạng


=0n
n
n
xa
.
2. Miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
Định lý 15 ( định lý Abel): Nếu chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
hội tụ tại x=x
0
0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại
mọi x với
0
xx <
.

Chứng minh: Do chuỗi


=0
0
n
n
n
xa
hội tụ, nên số hạng tổng quát
0
0

n
n
xa
khi n

và do đó nó
bị chặn, hay:
M>0:
nMxa
n
n
< ,
0
Ta có:
.,.
00
0

n
x
x
M
x
x
xaxa
nn
n
n
n
n
<








=
Với x mà
0
xx <
thì
1
0
<
x

x
nên chuỗi


=0
0
n
n
x
x
M
hội tụ do đó theo tiêu chuẩn so sánh của
chuỗi số dơng, chuỗi:


=0n
n
n
xa
hội tụ, hay chuỗi


=0n
n
n
xa
hội tụ tuyệt đối tại mọi x mà
0
xx <
.

Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
phân kỳ tại x=x
0
0 thì nó phân kỳ tại mọi x thoả mãn
0
xx >
.
Thật vậy nếu chuỗi hội tụ tại x
1
mà
01
xx >
thì theo Abel nó hội tụ với mọi x mà
1
xx <
do đó
nó hội tụ tại x
0
, vô lý.
Hiển nhiên chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x=0.
Từ định lý Abel suy ra rằng luôn tồn tại số R (
+<
R0
) sao cho chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối

trong khoảng (-R,R) và phân kỳ trong các khoảng (-, -R) và (R,+); còn tại x=-R và x=R chuỗi luỹ
thừa có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Số R đó đợc gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa, (-R,R) gọi là
khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
a. Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
Định lý 16: Cho chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
, nếu:


=
+

n
n
n
a
a
1
lim
(hoặc

=

n
n

n
alim
)
Thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ thừa đợc xác định bởi:
Trang 14









=+
+=
+<<
=
0
0
0
1




khi
khi
khi
R

Chứng minh: Xét chuỗi số dơng


=0n
n
n
xa
. áp dụng tiêu chuẩn hội tụ Dalambe ta có:
xx
a
a
xa
xa
n
n
n
n
n
n
n
n
.limlim
1
1
1

==
+

+

+

Trờng hợp:
+<<

0
:
Nếu
1<x

hay

1
<x
chuỗi


=0n
n
n
xa
hay chuỗi


=0n
n
n
xa
hội tụ tuyệt đối.
Nếu

1>x

, hay

1
>x
chuỗi


=0n
n
n
xa
phân kỳ, khi đó
n
n
xa
không dần đến 0 khi n

nên chuỗi


=0n
n
n
xa
phân kỳ.
Vậy bán kính hội tụ R=

1

.
Trờng hợp =
+
:
+=
+
+

n
n
n
n
n
xa
xa
x
1
1
lim,0
. Chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại mọi x0, do đó R=0.
Trờng hợp =0,
0lim
1
1
=
+
+

n
n

n
n
n
xa
xa
. Chuỗi luỹ thừa hội tụ tại mọi x, do đó R=
+
.
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp

=

n
n
n
alim
.
b. Quy tắc tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
Từ quy tắc tìm khoảng hội tụ, ta có quy tắc tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa nh sau:
(i) Tìm
n
n
n
a
a
1
lim
+

=

hoặc
n
n
n
a

= lim

từ đó tìm đợc bán kính hội tụ R và khoảng hội tụ
(-R,R).
(ii) Xét sự hội tụ của các chuỗi số:


=0n
n
n
Ra
và


=

0
)1(
n
n
n
n
Ra

(iii) Kết hợp khoảng hội tụ và các điểm hội tụ vừa xét để có miền hội tụ.
Ví dụ 7.19:
Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa


=

1
23
n
nn
n
x
Ta có:















=

=
n
n
nn
n
a
3
2
13
1
23
1
, do
0
3
2
lim =







n
n
nên:

==
+

+

+

1
1
1
3
2
13
3
2
13
limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a

=
3
1
Trang 15
Do đó bán kính hội tụ R=3.

Tại x=3 chuỗi:


=

1
23
3
n
nn
n
có
1
3
2
1
1








=
n
n
u
, (n

) nên chuỗi phân kỳ. Tại x=-3 chuỗi


=


1
23
3
)1(
n
nn
n
n
có
1
3
2
1
1








=

n
n
u
, (n

) nên chuôi phân kỳ.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là (-3,3).
3. Tính chất của chuỗi luỹ thừa
Tính chất 1: Chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
hội tụ đều trên mọi khoảng [a,b] nằm trong khoảng hội tụ (-
R,R).
Thật vậy lấy c sao cho 0<c<R và [a,b][-c,c], khi đó x[a,b]:
)(, ncaxa
n
n
n
n
<
Vì c(-R,R) nên chuỗi


=0n
n
n

ca
hội tụ, vậy theo Veyerstrass chuỗi


=0n
n
n
xa
hội tụ đều trên [a,b].
Vì mỗi số hạng của chuỗi luỹ thừa là hàm liên tục cùng các đạo hàm của chúng trên miền hội tụ (-
R,R) nên từ các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều ta có các tính chất sau:
Tính chất 2: Tổng của chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
là một hàm liên tục trên miền hội tụ của nó.
Tính chất 3: Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
trên mọi đoạn [a,b] nằm
trong khoảng hội tụ (-R,R).

=

=
=






b
a
n
b
a
n
n
n
n
n
dxxadxxa
00
Nếu chọn đoạn [0,x] ta có:

=
x
n
n
n
dxxa
0
0
=


=
+
+
0
1
1
n
n
n
n
x
a

Tính chất 4: Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi luỹ thừa


=0n
n
n
xa
tại mọi điểm nằm trong
khoảng hội tụ (-R,R).
=








=
'
0n
n
n
xa


=

1
1

n
n
n
xna
Chú ý: Tính chất 3 và tính chất 4 rất có ích trong việc tính tổng của một chuỗi luỹ thừa.
Ví dụ 7.20:
a. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
n
n
x
x
n









=
23
1
Đặt:
x
x
u
23
=

chuỗi trở thành:
n
n
un


=1
, đó là chuỗi luỹ thừa có miền hội tụ
1<u
hay
1
2
1
<< x
. Xét tổng riêng thứ n:
S
n
=

=
+++=
n
k
nk
nuuuku
1
2
2
Đặt V
n

(u)=1+2u++nu
n-1
Ta có: V
n
(u)=(u+u
2
++u
n
)
=
[ ]
2
1
'
1
)1(
)()1(1)1(
1

+
=

+
+
u
uuuun
u
uu
nn
n

Trang 16
S
n
=u.V
n
(u)=
[ ]
2
1
)1(
)()1(1)1(

+
+
u
uuuun
u
nn
Với
1<u

thì
0,0)1(
1
+
+nn
uun
khi n

nên:


=



=

=







=
1
22
)1(4
)23(

)1(
23
lim
n
n
n
n
x
xx
u
u
x
x
nS
b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi


=
+
+
+

1
1
1
)1(
)1(
n
n
n

nn
x
Ta có:
1
)2)(1(
)1(
limlim
1
<=
++
+
=

+

xx
nn
nn
u
u
n
n
n
n
, vậy chuỗi hội tụ khi
1<x
. Tại x=

1, hiển
nhiên chuỗi cũng hội tụ, vậy chuỗi có miền hội tụ là:

11 x
.
Đặt S(x)=


=
+
+
+

1
1
1
)1(
)1(
n
n
n
nn
x
, (
11 < x
). áp dụng tính khả vi của chuỗi luỹ thừa,
x
(-1,1] ta
có:
S(x)=


=

+
=
0
1
1
)1(
n
nn
x
x
Do đó: S(x)=

+=
+
x
x
t
dt
0
)1ln(
1
S(x)=

++=+
x
xxxdtt
0
)1ln()1()1ln(
Tại x=1 ta có:
S(1)=

=
=
+
1
1
)1(
1
n
nn
Vậy S(x)=



=
<++
10
11)1ln()1(
xkhi
xkhixxx
7.6 Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa
1. Khai triển Taylo và khai triển Macloranh
Định nghĩa 9: Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần tại x
0
và lân cận U(x
0
) của x
0
, khi đó chuỗi luỹ thừa:

=
=
0
0
0
)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
++
!1
)('
)(
0
0
xf
xf

)
0
(
!

)
0
(
)(

2
)
0
(
!2
)
0
("
++++
n
xx
n
x
n
f
xx
xf
đợc gọi là chuỗi Taylo của f(x) tại x
0
.
Nếu x
0
=0 ta có chuỗi:

=
++++=
0
)()(

!
)0(

!1
)0('
)0(
!
)0(
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
fx
n
f
đợc gọi là chuỗi Macloranh của f(x).
Định nghĩa 10: Nếu chuỗi Taylo của hàm f(x) hội tụ về chính hàm f(x) trên D thì ta nói f(x) đợc
khai triển thành chuỗi Taylo trên D. Khi đó ta viết:

=
=
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
n
n
n
xx
n
xf
xf
Hiển nhiên D nằm trong miền hội tụ của chuỗi Taylo.
2. Điều kiện để hàm có khai triển Taylo
Xét phần d thứ n của chuỗi Taylo
R
n
(x)=f(x)-

=

n
k

k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
Trang 17
Hay f(x)=

=

n
k
k
k
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!

)(
+R
n
(x)
Trong đó R
n
(x) goi là phần d Lagrange.
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)(
+
+

+
=
n
n
n
xx
n
cf
xR
, c(x
0
,x)
Định lý 17: Giả sử trong một lân cận nào đó của x

0
hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp và nếu:
0)(
)!1(
)(
lim)(lim
1
0
)1(
=
+
=
+
+

n
n
n
n
n
xx
n
cf
xR
thì trong lân cận đó f(x) khai triển đợc thành chuỗi Taylo.
Thật vậy vì
0)(lim =

xR
n

n
nên:
f(x)=

=


n
k
k
k
n
xx
k
xf
0
0
0
)(
)(
!
)(
lim


=
=
0
0
0

)(
)(
!
)(
n
n
n
xx
n
xf
Định lý 18: Nếu trong một lân cận nào đó của x
0
hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm đó
bị chặn trong lân cận đó thì f(x) khai triển đuợc thành chuỗi Taylo trong lân cận đó.
Giả sử với mọi x trong lân cận ta có:
nMxf
n
,)(
)(
. Khi đó khi n

ta có:
0
)!1()!1(
)(
)(
1
0
1
0

)1(

+

+
=
++
+
nn
n
n
xx
n
M
xx
n
cf
xR
Vậy theo định lý 1, f(x) khai triển đợc thành chuỗi Taylo.
3. Khai triển Macloranh của một số hàm sơ cấp
1. Hàm f(x)=e
x
Ta có f
(n)
(x)=e
x
, và f
(n)
(0)=1, ngoài ra x(-r,r) ta có:
Meexf

rxn
=<=)(
)(
nên e
x
có khai triển Macloranh với mọi x và:


=
=+++++=
0
2
!

!

!2
1
n
nn
x
n
x
n
xx
xe
2. Hàm f(x)= sin x
Ta có f
(n)
(x)=

+
2
sin

nx
, do đó
Rxxf
n
,1)(
)(
. Ngoài ra:



=
=
==

12)1(
20
2
sin)0(
1
)(

knkhi
knkhi
n
f
k
n

Nên trên R, f(x)=sin x có khai triển Macloranh:


)!12(
)1(
!5!3
sin
12
1
53
+

++=


n
xxx
xx
n
n

=



=
1
12
1
)!12(
)1(
n
n
n
n
x
3. f(x)=cos x, do cosx=sin






+
2

x
nên dễ dàng thấy cosx có khai triển trên R và:


)!2(

)1(
!4!2
1cos
242
+++=
n
xxx
x
n
n


=
=
0
2
)!2(
)1(
n
n
n
n
x
4. f(x)=

)1( x+
, là số thực bất kỳ.
Ta có: f
(n)
(x)=(-1)(-n+1)(1-x)

n
do đó:
f
(n)
(0)= (-1)(-n+1)
Khi đó chuỗi Macloranh của f(x) là:

!
)1 (

!2
)1(
!1
1
2
+
+
++

++
n
x
n
n
xx

Trang 18
Từ:
1

)1 (
!
.
)!1(
) (
limlim
1
=
++

=

+

n
n
n
n
a
a
n
n
n
n


Chuỗi có miền hội tụ (-1,1). Ngời ta chứng minh đợc trên (-1,1) chuỗi Macloranh của hàm f(x) hội tụ
về chính nó. Vậy trên (-1,1):

=+

)1( x

!
)1 (

!2
)1(
!1
1
2
+
+
++

++
n
x
n
n
xx

(2)
5. áp dụng khai triển của

)1( x+
:
(i) Cho =-1 đợc:

!

)1(
!2
1
1
1
2
++++=
+ n
xx
x
x
n
n
(3)
(ii) Từ (3) thay x bởi -x đợc:

!

!2
1
1
1
2
+++++=
n
xx
x
x
n
(4)

(iii) Lấy tích phân hai vế của (3) từ 0 đến x đợc:
)1(
32
)1ln(
32
+++=+
n
xxx
xx
n
n
(5)
(iv) Từ (3) thay x bởi x
2
đợc:
)1( 1
1
1
242
2
+++=
+
nn
xxx
x
(6)
(v) Từ (6) lấy tích phân hai vế từ 0 đến x đợc:

12
)1(

53
1253
+
+
++=
+
n
xxx
xarctgx
n
n
Ví dụ 7.21: Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa.
x
x
y
21+
=
(
)
2
1
>x
Giải: Ta viết y=
2
1
)21(

+ xx
, từ:

=+

)1( x

!
)1 (

!2
)1(
!1
1
2
+
+
++

++
n
x
n
n
xx

Thay x bởi 2x, bởi
2
1

ta có:

n

n
x
n
n
xu
!
)1 (
)(
+
=

nn
x
n
n
!
!)!12(
)1(

=
Do đó:
2
1
)21(

+ x
=

!
!)!12(

)1(
!2
3
!1
1
1
2
+

++
nn
x
n
n
xx
Khoảng hội tụ
2
1
2
1
<< x
. Do đó:
y=
2
1
)21(

+ xx
=

!
!)!12(
)1(
!2
3
!1
1
132
+

++
+nn
x
n
n
xxx
Khoảng hội tụ
2
1
2
1
<< x
.
4. ứng dụng chuỗi luỹ thừa để tính gần đúng
a. Tính gần đúng giá trị hàm số tại một điểm
Giả sử hàm f(x) có khai triển Taylo tại một lân cận nào đó của x
0
, khi đó với mọi x thuộc lân cận
đó ta có công thức tính xấp xỉ:
n

n
xx
n
xfxf
xfxf )(
!
)(

!1
)('
)()(
0
0
)(
0
0
+++
Trang 19
Trong đó n đợc xác định từ ớc lợng:

<
+
=
+
n
n
n
xx
n
cf

xR
0
)1(
)!1(
)(
)(
(c(x
0
,x))
Với >0 là sai số cho trớc.
Ví dụ 7.22: Tính số e với độ chính xác =0,00001.
Chọn x
0
=0, x=1 ta có:
00001,01
)!1(
)1(
1
<
+
=
+n
c
n
n
e
R
, (0<c<1)
Do 0<c<1 nên:

00001,0
)!1(
3
)1( <
+
<
n
R
n
Thử trực tiếp ta thấy giá trị nhỏ nhất n=8 thoả mãn. Vậy với độ chúnh xác =0,00001 ta có:
718278,2
!8
1

!2
1
!1
1
1 =++++e
b. Tính xấp xỉ tích phân
Ví dụ 7.23:
Tính gần đúng tích phân:


5,0
0
2
dxe
x
với độ chính xác =0,001.

Từ khai triển Macloranh của hàm e
x
thay x bởi x
2
ta có:

!
)1(
!2!1
1
242
2
+++=

n
xxx
e
n
nx

+
+
++=
+

x
n
nx
nn
xx

xdxe
0
123

)12(!
)1(
3!.1
2
Cho x=0,5 ta đợc:

+
+
++=
+

5,0
0
123

)12(!
5,0
)1(
3!.1
5,0
5,0
2
nn
dxe
n
nx

Vì chuỗi thu đợc là chuỗi đan dấu nên ta chỉ cần chọn n sao cho:
001,0
)12(!
5,0
1
<
+
+
nn
n
Thử trực tiếp ta có n= 2, hay ta chỉ cần lấy 3 số hạng đầu.
7.7 Chuỗi Fourier
1. Mở đầu
Trong nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật ta thờng gặp những hiện tợng tuần hoàn, và chúng th-
ờng đợc mô tả bằng những hàm số tuần hoàn.
Những hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là các hàm:
)sin()(
nnn
tnAt

+=
(n=1,2,) (1)
Chúng biểu diễn các dao động điều hoà với biên độ A
n
, chu kỳ T=


n
2
.

Đặt x=t, a
0
=2A
0
, a
n
=A
n
sin
n
, b
n
=A
n
cos
n
(n=1,2,), khi đó tổng vô hạn của dãy hàm (1) là
chuỗi hàm:
( )


=
++
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa

a
(2)
Nếu chuỗi (2) hội tụ về hàm f(x) thì ta thấy f(x) cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2. Vấn đề
đặt ra là, nếu cho trớc một hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ T=2, có tồn tại một chuỗi hàm dạng (2)
hội tụ về hàm f(x) không?
2. Chuỗi Fourier
a. Chuỗi lợng giác
Định nghĩa 11: Ta gọi chuỗi lợng giác là chuỗi hàm có dạng:
Trang 20


=
=
1
)(
n
n
t

( )


=
++
1
0
sincos
2
n
nn

nxbnxa
a
Trong đó a
0
, a
1
, b
1
,là các số thực.
Số hạng tổng quát u
n
(x)=a
n
cosnx+b
n
sinnx là hàm tuần hoàn chu kỳ
n

2
, liên tục và khả vi mọi
cấp.
Ta có:
nnn
baxu +)(
(n, xR)
Do đó nếu các chuỗi


=1n
n

a
và


=1n
n
b
hội tụ thì theo tiêu chuẩn Veyerstrass chuỗi lợng giác hội tụ
tuyệt đối và đều trên R.
b. Chuỗi Fourier
Bổ đề: Với mọi số nguyên p, k ta có các hệ thức:


=


0sin kxdx
(3)


=


0cos kxdx
nếu k0 (4)


=

0sincos pxdxkx
(5)





=

=



0
0
cos.cos
pkkhi
pkkhi
pxdxkx
(6)





=

=

0
0
sin.sin
pkkhi
pkkhi
pxdxkx
(7)
Cho hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 và có thể khai triển đợc thành chuỗi lợng giác:
f(x)=
( )


=
++
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
Để xác định các hệ số a
0
, a
1
, b
1
, của chuỗi ta thực hiện nh sau:

Lấy tích phân trên [-, ] hai vế áp dụng công thức (3) và (4) ta đợc:


=


dxxf )(


=



0
0
2
adx
a

Vậy a
0
=





dxxf )(
1
(8)

Với mỗi k=1,2,
(i) Thực hiện nhân hai vế với cos kx rồi lấy tích phân trên [-, ], áp dụng công thức (5) và (6) ta
đợc:


=


kxdxxf cos)(


=



kk
akxa
2
cos
Vậy


=



kxdxxfa
k
cos).(
1

(9)
(ii) Thực hiện nhân hai vế với sin kx rồi lấy tích phân trên [-, ], áp dụng công thức (5) và (7) ta đ-
ợc:


=


kxdxxf sin)(


=



kk
bkxb
2
cos
Vậy


=



kxdxxfb
k
sin)(
1

(10)
Trang 21
Các hệ số đợc xác định theo các công thức (8), (9), (10) đợc gọi là các hệ số Fourier của f(x).
Chuỗi
( )


=
++
1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
mà các hệ số là các hệ số Fourier của f(x) gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x).
Nếu chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ về f(x) thì khi đó ta nói f(x) khai triển đợc thành chuỗi
Fourier và khi đó có thể viết:
f(x)=
( )


=
++
1
0
sincos
2

n
nn
nxbnxa
a
Chú ý:
1. Nếu f(x) là hàm số chẵn thì f(x)cos kx là hàm số chẵn, còn f(x)sin kx là hàm lẻ nên có các hệ
số Fourier:

=


0
cos).(
2
kxdxxfa
k
, b
k
=0
khi đó chuỗi Fourier của f(x) có dạng:
f(x)=


=
+
1
0
cos
2
n

n
nxa
a
f(x) khi đó đợc gọi là có khai triển chẵn.
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ thì f(x)cos kx là hàm lẻ, còn f(x)sin kx là hàm chẵn nên có các hệ số
Fourier:
a
k
=0,

=


0
sin).(
2
kxdxxfb
k
khi đó chuỗi Fourier của f(x) có dạng:
f(x)=


=1
sin
n
n
nxb
f(x) khi đó đợc gọi là có khai triển lẻ.
3. Điều kiện đủ để hàm có khai triển Fourier
Định nghĩa 12: Hàm f(x) đợc gọi là đơn điệu từng khúc trên đoạn [a,b] nếu có thể chia [a,b] thành

hữu hạn khoảng (a,x
1
), (x
1
,x
2
), , (x
n
,b) sao cho trên mỗi khoảng đó f(x) đơn điệu.
Ta dễ thấy rằng, nếu hàm đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a,b] thì nó chỉ có các điểm gián đoạn
loại I trên [a,b].
Định lý 19 (Định lý Dirichlet): Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2, đơn điệu từng khúc và bị chặn
trên [-, ] thì chuỗi Fourier của f(x) hội tụ tại mọi điểm trên đoạn đó. Tổng S(x) của chuỗi ấy bằng
f(x) tại những điểm liên tục của hàm số, còn tại các điểm gián đoạn c của f(x) ta có:
2
)0()0(
)(
++
=
=
cfcf
xS
cx
Chú ý:
1. Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 bằng phép đổi biến x=y+2 ta có:

+

=

2
)()(
a
a
dxxfdxxf
2. Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2l, ta chỉ cần cho biểu thức hàm trên miền [-l,l], sau đó tịnh
tiến nó đi từng đoạn 2l ta sẽ có hàm số trên toàn miền xác định.
Hình 37
Ví dụ 7.23:
a. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn với chu kỳ 2:



<<
<
=


xx
x
xf
0)(
00
)(
Trang 22
Hàm f(x) có đoạn đồ thị sau:
Hình 38
Tính các hệ số Fourier ta có:
22

)(
)(
1
0
2
0
0







=

==

x
dxxa

==



0
cos)(
1
nxdxxa
n

0
2
0
cos
1
sin)(
1
nx
n
nxx
n
=
=
[ ]
n
n
)1(1
1
2



==

0
sin)(
1
nxdxxb
n




0
2
0
sin
1
cos)(
1
nx
n
nxx
n
+=
=
n
1
Vậy f(x) có khai triển Fourier
f(x)=
+
4

4. Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2l
Nếu f(x) là hàm đơn điệu từng khúc, bị chặn trên [-l,l] và tuần hoàn với chu kỳ 2l , dùng phép đổi
biến:
x
l
x

='
hay
'x
l
x

=
Ta có: f(x)=






'x
l
f

Đặt F(x)=

'x
l
f

Thì F(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-,], nên khai triển đợc
thành chuỗi Fourier:
f(x)=






'x
l
f

=
( )


=
++
1
0
'sin'cos
2

n
nn
nxbnxa
a
=


=






++
1
0
sincos
2
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a

Trong đó:

=






=



l
l
dxxf
l
dx
lx
fa )(
1
'
'1
0


=

=




l
l
n
xdx
l
n
xf
l
dxnx
lx
fa cos)(
1
''cos
'1


=

=




l
l
n
xdx
l
n
xf
l
dxnx
lx
fb sin)(
1
''sin
'1
Ví dụ 7.24: Khai triển hàm tuần hoàn chu kỳ 2l=2:
f(x)=x
2
(-1x1)
Trang 23
Vì x
2
là hàm chẵn nên b
n

=0 (n=1,2,).

==
1
0
2
0
3
2
2 dxxa

==
1
0
22
2
4
)1(cos2
n
xdxnxa
n
n


Do đó:


=
+=
1

22
cos
1
)1(
4
3
1
)(
n
n
xn
n
xf


5. Khai triển Fourier của hàm không tuần hoàn
Cho hàm f(x) đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [a,b]. Để khai triển f(x) thành chuỗi Fourier ta
thực hiện nh sau:
Đặt
( )
bal ,max=
Xây dựng hàm F(x) tuần hoàn với chu kỳ 2l thoả mãn:
F(x)=f(x) (x[a,b])
Khi đó F(x) tuần hoàn chu kỳ 2l, đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [-l,l] nên có khai triển Fourier,
hiển nhiên trên [a,b] chuỗi Fourier của F(x) hội tụ về f(x).
Ta có thể xây dựng F(x) trên [-l.l] nh sau:

=
],[0
],[)(
)(
bax
baxxf
xF
Hình 39
Khi đó các hệ số Fourier là:

=
b
a
dxxf
l
a )(
1
0
,

=
b
a
n
xdx
l
n
xf

l
a

cos)(
1

=
b
a
n
xdx
l
n
xf
l
b

sin)(
1
Nếu 0<a<b ([a,b] nằm cùng một phía của trục Oy) ta có thể khai triển chẵn, hoặc lẻ của f(x) trên
[-l,l] nh sau:
1. Khai triển chẵn theo các hàm cosin trên [-l,l]

=
],[0
],[)(
],[)(
)(
bax
abxxf
baxxf
xF
Hình 40
Khi đó các hệ số Fourier là


=
b
a
dxxf
l
a )(
2
0
,

=
b
a
n
xdx
l
nxf

l
a

cos)(
2
, b
n
=0
2. Khai triển lẻ theo các hàm sin trên [-l,l]
Trang 24








=
],[0
],[)(
],[)(
)(
bax
abxxf
baxxf
xF
Hình 41
Khi đó các hệ số Fourier là:
a

n
=0,

=
b
a
n
xdx
l
nxf
l
b

sin)(
2
Chú ý: Các hệ số Fourier của khai triển không chẵn (lẻ) chính là các hệ số của khai triển chẵn (lẻ)
tơng ứng chia đôi.
Ví dụ 7.25: Cho
)21(,
2
)( <<= x
x
xf
. Hiển nhiên ta có l=2.
a. Khai triển chẵn tho các hàm cosin ta có:

===
2
1
2

1
2
0
4
3
4
1
2
xdx
x
a

==
2
1
2
cos
2
dx
xnx
a
n


2
1
22
2
1
2

cos
2
2
sin
xn
n
xn
n
x




+=
=











+=
+=

+=

+=

440
34
2
24
4
14
2
22
22
22
kn
kn
n
n
kn
n
kn
n
n





Vậy ta có:

=




++
+
+
+=
0
22
2
)14cos(
)14(
)14(21
8
3
2
k
xk
k
kx







+

+
+
++
+
xk
k
k
xk
k
2
)34cos(
)34(
2)34(
2
)24cos(
)24(
4
22

b. Khai triển lẻ theo các hàm sin ta có:
==

dx
xn
x
b
n
2
sin
2

2
1


2
1
22
2
1
2
sin
2
2
cos
xn
n
xn
n
x




+=
Trang 25