Đề thi vào lớp 10 Chuyên (đ 14)

SỞ GD&ĐT TP HỒ CHI MINH
Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2004 –
2005

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gia giao đề)
Đề thi vào lớp chuyên toán
Bài 1:
Cho phương trình: :
2
x + px + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt a
1
, a
2
và
phương trình
2
x + qx + 1 = 0
có hai nghiệm b
1
, b
2
. Chứng minh rằng
2 2
1 a 2 2 1 1 2 2
(a - b )( a - b )( a + b )( a + b ) = q - p
Bài 2:

Cho các số a, b, c, x, y, z thoả
x = by+ cz
,
y= ax+ cz, z= ax+ by , và
x,
y,
z≠
0 . Chứng minh rằng:
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + =
+ + +
Bài 3:
a) Tìm x, y thoả
2 2
5x + 5 y + 8 xy + 2 x - 2 y + 2 = 0
b) Cho các số dương x, y, z thoả:
3 3 3
x + y + z = 1
Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≥
− − −
Bài 4:

Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x, y thoả phương trình
3 3
x - y = 1993

Bài 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) ( AB < AC).
Đường tròn tâm O
1
tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M, tiếp xúc với
hai cạnh AB, AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK
với đường tròn (O).
a) Chứng minh ME là tia phân giác của góc AMC
b) Tia phân giác MX của góc BMC cắt LK tại I.
Chứng minh rằng 4
điểm M, I, K, C cùng thuộc một
đường tròn.
c) Chứng minh CI là tia phân giác của góc BCA.
Bài 6:
Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC
sao cho BD = a và CD = b.( a> b). Tiếp tuyến tại A của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b.
———————————Hết———————————