Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính potx

MUC LUC
.
.
-.
1 Ma trˆn - Dinh th´.c
a
u
.
1.1 Ma trˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
.
-.
˜ ` ´
1.1.1 Dinh nghı a va ca c kha i niˆm . . . .
´ e
.
1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn . . . .
´
´
´
e
a
.
.ng va ma trˆn phan
´
’
1.1.3 Ma trˆn d o i x´
a ¯ˆ u
`
a
.

.
1.1.4 Da th´.c ma trˆn. . . . . . . . . . .
u
a
.
.c . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- inh th´
1.2 D.
u
´
´
1.2.1 Phe p thˆ - Nghich thˆ . . . . . . . .
´
e
e
.
.c. . . . . . . . . . . . . . .
-.
1.2.2 Dinh th´
u
’
1.3 Ma trˆn kha nghich. . . . . . . . . . . . .
a
.
.
˙
’
1.4 Hang cua ma trˆn . . . . . . . . . . . . . .
a
.

.

. . . .
. . . .
. . . .
x´.ng.
u
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
5
8
9
10
10
11
20
28

´
`nh tuyˆ n tı
e ´nh
2 Hˆ phu.o.ng trı
e
.
.o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng qua t. . . . . . . . . . . . .
´
2.1 Hˆ phu
e
`nh
e ´nh o
´
.
-.
˜
2.1.1 Dinh nghı a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´
’ e
2.1.2 Giai hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı
`nh
e ´nh. . . . . . . . . . . . .
.
´
`
´
2.2 Hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn nhˆ t. . . . . . . . . . . . .
e
`nh
e ´nh
a
a
.
-.
˜ ` ´nh chˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2.1 Dinh nghı a va tı
a
´
`
’ ’ e
2.2.2 Hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn
e
e
`nh
e ´nh
a

.
.
.
´
nhˆ t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
´
´
’ e
2.2.3 Cˆ u tru c nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng
a
´
e
`nh
e ´nh o
.
.
qua t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´

31
31
31
33
40
40

3 Khˆng gian vector
o
3.1 Kha i niˆm vˆ khˆng gian vector . . . . . . . . . .

´ e `
e o
.
-.
˜
3.1.1 Dinh nghı a khˆng gian vector . . . . . . .
o
3.1.2 V`i v´ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ı .
´
’
’
3.1.3 Mˆt sˆ tı
o o ´nh chˆ t d .n gian cua khˆng gian
a ¯o
o
. ´
3.2 Khˆng gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . .
o
. phu thuˆc tuyˆn t´ v` d oc lˆp tuyˆn t´
´
´
3.3 Su
o
e ınh a ¯ˆ a
e ınh.
.
.
.
. .

47
47
47
48
49
50
51

1

. . . . .
. . . . .
. . . . .
vector. .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

41
42


MUC LUC
.
.

2

´
´
Tˆ’ ho.p tuyˆ n tı va biˆ u thi tuyˆ n tı
o .
e ´nh ` e’
e ´nh. . . . . . . .
.
-ˆ a
´
´
Doc lˆp tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´
e ınh a
o
e ınh. . . . . . .
. .
.
.
´ e .

´
V`i t´ chˆ t vˆ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ v` hˆ d oc lˆp
a ınh a ` e
o
e ınh a e ¯ˆ a
.
.
. . .
´n t´
tuyˆ ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
˙
’
Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e
.
. .
´
´
3.4.1 Hˆ con d oc lˆp tuyˆn t´ tˆi d . i. . . . . . . . . . . . .
e
¯ˆ a
e ınh o ¯a
.
. .
˙
’
3.4.2 Hang cua mˆt hˆ vector. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o e
.

. .
3.4.3 C´c hˆ vector trong Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e
.
. so. - Sˆ chiˆu - Toa d o cua khˆng gian vector. . . . . . . .
´ e
’
Co ˙
o `
o
. ¯ˆ ˙
. ’
. so. cua khˆng gian vector. . . . . . . . . . . . . . .
’ ’
3.5.1 Co ˙ ˙
o
˙
’
3.5.2 Hˆ sinh cua mˆt khˆng gian vector. . . . . . . . . . . .
e
o
o
.
.
´ e
`
3.5.3 Sˆ chiˆu. Khˆng gian h˜.u han v` vˆ han chiˆu. . . . .
o `
o
u

e
. a o .
`
3.5.4 Toa d o cua mˆt vector trong khˆng gian n chiˆu. . . .
o
o
e
. ¯ˆ ˙
. ’
.
3.3.1
3.3.2
3.3.3

3.4

3.5

4 Dang to`n phu.o.ng
a
.
´
´
´
4.1 Anh xa song tuyˆn t´
e ınh, dang song tuyˆn t´
e ınh. .
.
.
-.

4.1.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa.
´
’
4.1.2 Ma trˆn cua dang song tuyˆn t´
a ˙
e ınh. . . . .
.
.
4.2 Dang to`n phu.o.ng. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
.
-.
4.2.1 Dinh ngh˜ . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa.
´
` .
4.2.2 Du.a dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ tˇ c.
a
e
ınh a
.
´ ’
4.2.3 Dang chuˆ˙n tˇ c cua dang to`n phu.o.ng. .
a’ a ˙
a
.
.
4.2.4 Dang to`n phu.o.ng x´c d .nh am, x´c d .nh
a

a ¯i ˆ
a ¯i
.
qu´n t´
a ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
du.o.ng, luˆt
a
.
. . . . . . .

51
52
53
55
55

56
56
57
57
58
59
60
66
66
66
67
68
68
69
76
76


Chu.o.ng 1

-.
Ma trˆn - Dinh th´.c
a
u
.
1.1

Ma trˆn
a
.

-.
˜ ` ´
Dinh nghı a va ca c kha i niˆm
´
e
.
Cho K la mˆt tru.o.ng.
` o
`
.

1.1.1

-.
˜
´
Dinh nghı a 1.1. Cho m, n la hai sˆ nguyˆn du.o.ng. Ta goi mˆt ma trˆn A
`
o
e
o
a
.
.
.
. a ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d .o.c
´p m × n la mˆt bang gˆm m.n phˆn tu ij
`
`

’
’
¯u .
cˆ
a
` o
o
a
.
. sau:
´ ´
s˘ p xˆ p thanh m dong va n cˆt nhu
a e
`
`
`
o
.


a11
a
A =  21
· · ·
am1

a12
a22
···
am2


. . . a1n
. . . a2n 

··· ···
. . . amn

Kı hiˆu: A = (aij )m×n .
´ e
.
`
`
Ca c phˆn tu. o. dong th´. i va cˆt th´. j d .o.c goi la phˆn tu. aij . Ca c phˆn
´
a ’ ’ `
u
` o
u ¯u . . ` `
a ’
´
a
.
. a , a , . . . , a d .o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc dong th´. i. Ca c phˆn tu.
`
`
’
tu i1 i2
a ’
o `

u
´
a ’
in ¯u .
. ` ´
.
.o.c goi la ca c phˆn tu. thuˆc cˆt th´. j.
`
a1j , a2j , . . . , amj d . . ` ´
¯u
a ’
o o
u
. .
Vı du:
´ .


−1 3 6 0
 6 −2 1 8 la ma trˆn cˆ p 3 × 4 (3 hang, 4 cˆt)
´
`
a a
`
o
.
.
2 2 5 1

Ca c kha i niˆm kha c:

´
´
e
´
.
´
1. Ma trˆn khˆng. Mˆt ma trˆn cˆ p m × n d .o.c goi la ma trˆn khˆng nˆ u
a
o
o
a a
¯u . . `
a
o
e
.
. ´
.
.
. d` u b˘ ng 0.
`
moi phˆn tu ¯ˆ a
a ’ e `
.
2. Ma trˆn vuˆng. Mˆt ma trˆn A = (aij )m×n d .o.c goi la ma trˆn vuˆng
a
o
o
a
¯u . . `

a
o
.
.
.
.
´
´
nˆ u m = n. Lu c d´ ta goi A la ma trˆn vuˆng cˆ p n, kı hiˆu A = (aij )n .
e
´ ¯o
`
a
o
a
´ e
.
.
.
3


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

4

3. Cho ma trˆn vuˆng
a
o
.


a11
a
A = (aij )n =  21
· · ·
an1

a12
a22
···
an2

...
...
···
...


a1n
a2n 

· · ·
ann

`

`
Ca c phˆn tu. a11 , a22, . . . , ann goi la ca c phˆn tu. thuˆc d .o.ng che o chı
´
a ’
o ¯u `
´
´nh.
a ’
.
. ` ´
. a ,a
. n˘ m trˆn d .o.ng che o
`
`
Ca c phˆn tu 1n 2n−1 , . . . , an1 goi la ca c phˆn tu a
´
a ’
e ¯u `
´
a ’ `
. ` ´
phu.
.
4. Ma trˆn d o.n vi. Cho ma trˆn vuˆng A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn
a ¯
¯u . . `
a
a
o
.

.
.
.
.n vi nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 1 con ca c phˆn
`
´
` ’ a
`
d
¯o . e
a
e ¯u `
´
´nh ¯ˆ a
e `
` ´
a
.
. kha c d` u b˘ ng 0. Lu c d´ A d .o.c kı hiˆu la I : ma trˆn d .n vi cˆ p n.
´
’
tu ´ ¯ˆ a
a ¯o . a
e `
´ ¯o
¯u . ´ e ` n
.
.
Vı du.
´ .



1 0 0
1 0
I 3 = 0 1 0 
I2 =
0 1
0 0 1
´
5. Ma trˆn che o. Cho A = (aij )n . A d .o.c goi la ma trˆn che o nˆ u moi
a
´
¯u .
a
´
e
. `
.
.
.
. khˆng thuˆc d .o.ng che o chı
` ng 0.
`
phˆn tu o
a ’
o ¯u `
´
´nh d` u b˘
¯ˆ a
e

.
Vı du.
´ .


1 0 0
A = 0 −2 0 la ma trˆn che o.
`
a
´
.
0 0 5

´
6. Ma trˆn tam gia c. Cho A = (aij )n . A la ma trˆn tam gia c trˆn nˆ u
a
´
`
a
´
e e
.
.
. n˘ m du.o.i d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la ma trˆn tam gia c
` ’ `
moi phˆn tu a
a
´ ¯u `
´
´nh ¯ˆ a

e `
`
a
´
.
.
.o.i nˆ u moi phˆn tu. n˘ m trˆn d .o.ng che o chı d` u b˘ ng 0. A la mˆt ma
`
´
`
du ´ e
a ’ a
e ¯u `
´
´nh ¯ˆ a
e `
` o
.
.
.o.i.
´u no la ma trˆn tam gia c trˆn ho˘c du ´
trˆn tam gia c nˆ ´ `
a
´ e
a
´
e
a
.
.

.


a11 a12 . . . a1n−1
a1n
 0 a22 . . . a2n−1
a2n 


A = · · · · · · · · ·
···
· · ·  la ma trˆn tam gia c trˆn.
a
´
e
.

 `
 0
0 . . . an−1n−1 an−1n 
0
0 ...
0
ann


a11
0
...
0

0
 a21
a22 . . .
0
0 


B =  ···
··· ···
···
· · ·  la ma trˆn tam gia c du.o.i.
a
´
´
.

 `
an−11 an−11 . . . an−1n−1 0 
an1
an2 . . . an−1n ann
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


1.1. Ma trˆn
a

.

5

7. Ma trˆn A = (aij )1×n = [a11 , a12 , . . . , a1n] d .o.c goi la ma trˆn dong.
a
¯u . . `
a `
.
.


a11
a 
Ma trˆn B = (bij )m×1 =  21  d .o.c goi la ma trˆn cˆt.
a
a o
.
.
.
 · · ·  ¯u . . `
am1
´
8. Ma trˆn bˆc thang. Ma trˆn cˆ p m × n co aij = 0 ; ∀i, j , i > j goi la
a
a
a a
´
. `
.

.
.
ma trˆn bˆc thang.
a a
.
.
Vı du:
´ .


3 4 5 6 7 8
0 0 7 6 9 4 
 `
A=
a a
.
.
0 0 0 0 1 2 la ma trˆn bˆc thang.
0 0 0 0 0 0
`
´
9. Hai ma trˆn A = (aij )m×n va B = (bij )m×n d .o.c goi la b˘ ng nhau nˆ u
a
`
¯u .
e
.
. ` a
aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
1.1.2

Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn
´
´
´
e
a
.

a. Cˆng ma trˆn.
o
a
.
.
-.
˜
´
`
Dinh nghı a 1.2. Cho hai ma trˆn cung cˆ p A = (aij )m×n va B = (bij )m×n .
a `
a
.
’
Tˆ’ng cua hai ma trˆn A, B la mˆt ma trˆn C = (cij )m×n v´.i cij = aij +
o
a
` o
a
o
.

.
.
bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı hiˆu: A + B = C.
´ e
.
Vı du.
´ .


 
 

1 2 2
6 3 −8
1+6
2+3
2 + (−8)
4 −2 5 + 2 −2 1  = 4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1 
7 −3 4
0 0 5
7 + 0 −3 + 0
4+5


7 5 −6
= 6 0 6 
7 −3 9

´
´

Tı
´nh chˆ t 1.1. Cho A, B, C, 0 la ca c ma trˆn cung cˆ p, khi d´ ta co :
a
` ´
a `
a
¯o
´
.
´
(i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı kˆ t ho.p)
´nh e .
(ii) A + B = B + A(tı giao hoa n)
´nh
´
(iii) A + 0 = 0 + A = A
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

6

(iv) A + (−A) = (−A) + A = 0
`
’ ’
`
o
a
b. Nhˆn mˆt phˆn tu. cua tru.o.ng K v´.i ma trˆn.
a
o
a
.
.
-.
˜
`
Dinh nghı a 1.3. Cho A = (aij )m×n , k ∈ K. Phe p nhˆn mˆt phˆn tu. cua
´
a
o
a ’ ’
.
.o.ng K v´.i ma trˆn A cho ta mˆt ma trˆn B = (b )
.i b = k.a , ∀i =
tru `
o
a
o
a

o
ij m×n v´ ij
ij
.
.
.
1, m, ∀j = 1, n.
Kı hiˆu: kA.
´ e
.



ka11 . . . ka1n
kA = B = (bij )m×n =  . . . . . . . . . 
kam1 . . . kamn
-˘
˜ e
´
Dat biˆt, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se viˆ t −A va goi no la ma
e
` . ´ `
.
.
. vˆy: (−a )
´
trˆn d o i cu a A. Nhu a
a ¯ˆ ’
ij m×n = −(aij )m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
.

.
Vı du.
´ .

 

1 2 2
2 4 4
2. 4 −2 5 =  8 −4 10
7 −3 4
14 −6 8

´
´
Tı
´nh chˆ t 1.2. Cho A, B la ca c ma trˆn cung cˆ p, α, β ∈ K. Khi d´ ta co :
a
` ´
a `
a
¯o
´
.
(i) α(A + B) = αA + αB
(ii) (α + β)A = αA + βA
(iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA)
(iv) 1.A = A

c. Phe p nhˆn hai ma trˆn.
´

a
a
.
-.
˜
´
Dinh nghı a 1.4. Cho A = (aij )m×n la ma trˆn cˆ p m × n trˆn K va B =
`
a a
e
`
.
.i B, kı hiˆu AB,
(bjk )n×p la ma trˆn cˆ p n × p trˆn K. Ta goi la tı cu a A v´
`
a a
e
o
´ e
. ´
. ` ´ch ’
.
. cua no d .o.c xa c
´
` ’
mˆt ma trˆn C = (cik )m×p cˆ p m × p trˆn K ma ca c phˆn tu ’ ´ ¯u . ´
o
a
a
e

` ´
a
.
.
. sau:
d
¯inh nhu
n
cik =
j=1

aij bjk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p.

Minh hoa:
.
Vı du. Cho ca c ma trˆn:
´ .
´
a
.



1 3
1 2 −1
2 −1
A=
, B = 2 1  , C =
3 1 2
1 0

3 −1

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


7

1.1. Ma trˆn
a
.

Khi d´ :
¯o



1 3
1 2 −1 
2 1 
AB =
3 1 2
3 −1
1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1)
2 6
=

=
3.1 + 1.2 + 2.3
3.3 + 1.1 + 2.(−1)
11 8




1 3
10 5 5
1 2 −1
BA = 2 1 
=5 5 0 
3 1 2
3 −1
0 0 −5
AC va CB khˆng xa c d .nh.
`
o
´ ¯i

Nhˆn xe t:
a ´
.
- `
´ .
e ¯u . ` o o ’
1 Diˆu kiˆn de’ phe p nhˆn hai ma trˆn thu.c hiˆn d .o.c la sˆ cˆt cua ma
e
e ¯ˆ ´

a
a
.
.
.
.
`
´
’
trˆn 1 b˘ ng sˆ dong cua ma trˆn 2.
a
a
o `
a
.
.
2 AB = BA. Phe p nhˆn hai ma trˆn khˆng co tı giao hoa n.
´
a
a
o
´ ´nh
´
.
´
` a a ’
u
Ta kı hiˆu Mm,n(K) la tˆp tˆ t ca nh˜.ng ma trˆn cˆ p m × n trˆn tru.o.ng K,
´ e
a a

e
`
. ´
.
.
.ng ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K.
´
` a a ’
u
Mn (K) la tˆp tˆ t ca nh˜
a
o
a
e
`
. ´
.
´
´
Tı
´nh chˆ t 1.3. V´.i phe p nhˆn hai ma trˆn ta co ca c tı chˆ t sau:
a
o
´
a
a
´ ´ ´nh a
.
(i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q (K).
(ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n (K), B, C ∈ Mn,p(K).

(A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K).
(iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K.

´ a
(iv) AIn = A = Im A; A ∈ Mm,n (K), Im , In la ca c ma trˆn d o.n vi cˆ p lˆn
` ´
a ¯
.
. a `
lu.o.t la m, n.
. `
’
d. Chuyˆ n vi ma trˆn.
e
a
.
.

-.
˜
Dinh nghı a 1.5. Cho A = (aij )m×n . Chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B
e’ . ’
a
`
a
.
. d .o.c xa c d nh nhu. sau:
´
`
co cˆ p n × m va ca c phˆn tu ¯u . ´ ¯i

´ a
` ´
a ’
.
bij = aji , i = 1, m, j = 1, n.
Ta kı hiˆu ma trˆn chuyˆ n vi cua ma trˆn A la At . No i mˆt ca ch kha c chuyˆ n
´ e
a
e’ . ’
a
`
´ o ´
´
e’
.
.
.
`
vi cua ma trˆn A la ma trˆn B d .o.c suy ra b˘ ng ca ch d o’i dong thanh cˆt va
a
`
a
¯u .
a
´ ¯ˆ `
`
o `
. ’
.
.

.
cˆt thanh dong.
o
`
`
.
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

8

Vı du.
´ .





1 −1 0 2

2 3 −5 0
A=
1 0 3 4 3×4




1 2 1
−1 3 0

At = 
 0 −5 3
2 0 4 4×3

’
´
´
Tı
´nh chˆ t 1.4. Phe p chuyˆ n vi ma trˆn co nh˜.ng tı chˆ t sau:
a
´
e .
a ´ u
´nh a
.
1. (A ± B)t = At ± B t , A, B ∈ Mm,n(K).
2. (αA)t = αAt , A ∈ Mm,n (K), α ∈ K.
3. (AB)t = B t At , A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K).
´
4. (In )t = In , In la ma trˆn d o.n vi cˆ p n.

`
a ¯
.
. a
5. A la ma trˆn che o thı At = A.
`
a
´
`
.
1.1.3

´
’
Ma trˆn d o i x´.ng va ma trˆn phan x´.ng.
a ¯ˆ u
`
a
u
.
.

-.
˜
´
Dinh nghı a 1.6. Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n .
`
a
o
a

.
´
´
+) A goi la ma trˆn d o i x´.ng nˆ u At = A.
a ¯ˆ u
e
. `
.
´
’ u
+) A goi la ma trˆn pha n x´.ng nˆ u At = −A.
a
e
. `
.
Vı du.
´ .






1 −2 1
1 −2 1
Cho A = −2 3 1 . Ta co At = −2 3 1  = A. Vˆy A la ma
´
a
`
.

0 1 −1
0 1 −1
.ng.
´
trˆn d o i x´
a ¯ˆ u
.




0 −2 1
0 2 −1
Cho B =  2 0 3. Ta co B t = −2 0 −3 = −B. Vˆy B la ma
´
a
`
.
−1 −3 0
1 3 0
.ng.
’ u
trˆn phan x´
a
.
`
´
’
Nhˆn xe t. Nˆ u A la mˆt ma trˆn phan x´.ng thı ca c phˆn tu. trˆn d .o.ng
a

´
e
` o
a
u
` ´
a ’ e ¯u `
.
.
.
`
’ ´ a
che o chı
´
´nh cua no b˘ ng 0.
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


9

1.1. Ma trˆn
a
.

1.1.4

a
Da th´.c ma trˆn.
u
.

-.
˜
Dinh nghı a 1.7. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng trˆn K va p(x) = a0 + a1 x +
` o
a
o
e
`
.
.
´
e
o e o e
¯o
· · · + an xn ∈ K[x] la mˆt d th´.c cua biˆ n x v´.i hˆ sˆ trˆn K. Khi d´ ma
` o ¯a u ’
. ´
.
trˆn
a
.
a 0 I + a 1 A + · · · + a n An ,

´

trong d´ , I la ma trˆn d .n vi cung cˆ p v´.i A, d .o.c goi la gia tri cua d th´.c
¯o
`
a ¯o . `
a o
¯u . . ` ´ . ’ ¯a u
.
.o.c goi la d th´.c ma trˆn.
a
p(x) tai x = A, kı hiˆu p(A). No cu ng d . . ` ¯a u
´ e
´ ˜
¯u
.
.
.c p(x) nˆ u d th´.c ma trˆn
´
’ ¯a u
A goi la mˆt nghiˆm ma trˆn cua d th´
e
a
e ¯a u
a
. ` o
.
.
.
.
.i A).
´ o

p(A) = 0 (ma trˆn khˆng cung cˆ p v´
a
o
`
a
.
Bai tˆp.
` a
.
1.1.1 Cho ca c ma trˆn:
´
a
.








1 2
1 3
2 5
1 4
A = −1 0 ; B =  2 1  ; C = 0 3 ; D = 2 5 .
2 1
−3 −2
4 2
3 6

Tı
´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D.

1.1.2 Cho ma trˆn:
a
.




1 −2 6
A = 4 3 −8 .
2 −2 5

Tı ma trˆn X sao cho: a) 3A + 2X = I3 ; b) 5A − 3X = I3 .
`m
a
.
´
1.1.3 Kı hiˆu (r × s) la mˆt ma trˆn cˆ p r × s trˆn K. Tı m, n ∈ N\{0}
´ e
` o
a a
e
`m
.
.
.
.o.ng ho.p sau:
trong ca c tru `

´
.
a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c)
(2 × m) × (4 × 3) = (2 × n).
1.1.4 Tı
´nh:


 1
1 1 0 2 
1 2 −3 
2
a)
0 1 1 0 
3
3 0 4
1 0 2 1
4


n


4
5
n
1
3 2
1 1
; b)

; c)
;
2
0 1
−4 −2
3

n

λ 1
cos ϕ − sin ϕ
d)
; e)
; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π).
0 λ
sin ϕ cos ϕ

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

10

1.1.5 Cho ma trˆn:
a
.


0
0
A=
0
0

1
0
0
0

0
1
0
0


0
0
.
1
0

Tı
´nh ca c ma trˆn: AAt va At A.
´
a
`
.
´
´ ´nh a
1.1.6 Ch´.ng minh ca c tı chˆ t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.
u

1.1.7 Cho d th´.c p(x) = x2 − 3x + 1. Tı
¯a u
´nh ca c d th´.c ma trˆn p(A), p(B)
´ ¯a u
a
.
´t
biˆ
e


1 2 −3
1 2
A=
; B = 3 0 4  .
0 4
0 −1 0

`
1.1.8 Ch´.ng minh r˘ ng:
u 
a 
2 0 0
’
a) A = 0 2 0  la mˆt nghiˆm cua p(x) = x3 − 3x2 + 4;
` o
e
.
.
0 0 −1

a b
’
∈ M2 (K) la nghiˆm cua q(x) = x2 − (a + d)x +
`
e
.
c d
+(ad − bc) ∈ K[x].

b) B =

˜
`
´
a ’
1.1.9* V´.i mˆ i ma trˆn vuˆng A = (aij )n ∈ Mn(K), ta goi tˆ’ng ca c phˆn tu.
o

o
a
o
. o
.
.o.ng che o chı
.c la:
´
’
trˆn d `
e ¯u
´
´nh cua A la vˆ t cua no , kı hiˆu tr(A). T´ `
` e ’ ´ ´ e
u
.
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann .
`
Ch´.ng minh r˘ ng
u
a
tr(AB) = tr(BA).

v´.i
o

moi
.

A, B

∈

Mn (K)

ta

d` u
¯ˆ
e

co :
´

`
` . ´
a
o
o
a
o
1.1.10* Ch´.ng minh r˘ ng khˆng tˆn tai ca c ma trˆn vuˆng A, B ∈ Mn(K) sao
u
.
cho AB − BA = In .

1.2
1.2.1

-.

Dinh th´.c
u
´
´
Phe p thˆ - Nghich thˆ .
´
e
e
.

-.
˜
Dinh nghı a 1.8. Cho n la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng va X la mˆt tˆp ho.p co n
` o o
e
`
` o a
. ´
. .
. ´
.. Mˆt phe p thˆ bˆc n la mˆt song ´ nh σ t`. X lˆn chı
`
´ .
phˆn tu
a ’
o
´
e a
` o
a

u
e
´nh no . Khˆng
´
o
.
.
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1.2. D.nh th´.c
u

11

˜
´
´
´
`
a
¯o o
´
e

mˆ t tı
a ´nh tˆ’ng qua t, ta thu.o.ng lˆ y X = {1, 2, ..., n}. Khi d´ mˆ i phe p thˆ
o
´
bˆc n thu.o.ng d .o.c kı hiˆu:
a
`
¯u . ´ e
.
.
σ=

1
2 ···
n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)

´
´ .
`
la tˆp ho.p tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc n thı Sn la tˆp ho.p gˆm
` a
` a
a ’ ´
´
e a
`
o
.
.

.
.
..
`
phˆn tu
a ’
´
c˘p sˆ (khˆng th´. tu.) phˆn biˆt {i, j} ⊂ {1, 2, ..., n} goi la mˆt
a o
o
u .
a
e
.
.
. ` o
.
i−j
´ ´
< 0.
nghich thˆ nˆ u
e e
.
σ(i) − σ(j)
´
´
´
Kı hiˆu N (σ) la sˆ ca c nghich thˆ cua phe p thˆ σ.
´ e
` o ´

e ’
´
e
.
.

Kı hiˆu Sn
´ e
.
n! = 1.2...n
Khi n > 1,

´
´ .
’
Vı du. Tı tˆ t ca ca c phe p thˆ bˆc 3 cua I = {1, 2, 3}.
´ . `m a ’ ´
´
e a
. vˆy S se co 6 phˆn tu. :
´ .
`
`
Ta thˆ y tˆp I co 3 phˆn tu a 3 ˜ ´
a a
´
a ’ .
a ’
σ0 =

1 2 3
, σ1 =
1 2 3

1 2 3
, σ2 =
1 3 2

1 2 3
, σ3 =
2 1 3

1 2 3
,
2 3 1

1 2 3
1 2 3
, σ5 =
.
3 1 2
3 2 1
˜
´
´
´
Tı sˆ ca c nghich thˆ cua mˆ i phe p thˆ trˆn.
`m o ´
e ’
o

´
e e
.
N (σ0 ) = 0,
´
N (σ1 ) = 1 (nghich thˆ (2,3)),
e
.
´
N (σ2 ) = 1 (nghich thˆ (1,2)),
e
.
´
N (σ3 ) = 2 ( nghich thˆ (1,3) va (2,3)),
e
`
.
´
N (σ4 ) = 3 (nghich thˆ (1,2), (2,3) va (1,3)),
e
`
.
´
N (σ5 ) = 2 (nghich thˆ (1,2) va (1,3)).
e
`
.
σ4 =

1.2.2

-.
Dinh th´.c.
u

-.
˜
a. Dinh nghı a.
-.
˜
´
Dinh nghı a 1.9. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng
` o
a
o
a
e
`
.
.
- inh th´.c cua ma trˆn A la mˆt sˆ thuˆc K, kı hiˆu detA,
K (n ∈ N, n > 0). D.
u ’
a
` o o
o
´ e
.
. ´
.

.
.o.c cho bo.i biˆ u th´.c:
’
’
d .
¯u
e
u
(−1)N (σ) a1σ(1)a2σ(2) ...anσ(n)

detA =
σ∈Sn
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

12

-.
Dinh th´.c cua ma trˆn A con d .o.c kı hiˆu la:

u ’
a
` ¯u . ´ e `
.
.
a11
a
|A| ho˘c A = 21
a
.
···
am1
Vı du 1.
´ .

A=

a12
a22
···
am2

. . . a1n
. . . a2n
··· ···
. . . amn

a11 a12
, n = 2, I = {1, 2},
a21 a22

σ0 =

1 2
, σ1 =
1 2

1 2
, N (σ0 ) = 0, N (σ1 ) = 1,
2 1

detA = (−1)0 a11a22 + (−1)1 a12 a21 = a11a22 − a12 a21.


a11 a12 a13
´
’ .
’ ’ ´ . ’
Vı du 2.
´ .
B = a21 a22 a23, su. dung nh˜.ng kˆ t qua cua vı du o. muc
u
e
.
a31 a32 a33
.o.c:
1.2.1 ta tı
´nh d .
¯u
detB = a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21a32 − a11a23 a32 − a12a21 a33 − a13a22 a31.

’
´
´
Quy t˘ c Sarrus d ˆ tı
a
¯e ´nh d inh th´.c cˆ p 3.
¯.
u a
. tu. cˆt mˆt va cˆt va cˆt hai sau cˆt th´. ba.
´
+ Viˆ t theo th´ . o
e
u
o ` o ` o
o
u
.
.
.
.
.
.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m
`
´
´ .
`
+ Ba sˆ hang mang dˆ u cˆng trong d .nh th´ ` ´ch ’ ´
o .
a o

¯i
u
a ’ a
.o.ng song song v´.i d .o.ng che o chı
trˆn 3 d `
e
¯u
o ¯u `
´
´nh.
. trong d nh th´.c la tı cua ca c phˆn tu. n˘ m
`
´
´
`
+ Ba sˆ hang mang dˆ u tr`
o .
a
u
¯i
u ` ´ch ’ ´
a ’ a
.
.o.ng song song v´.i d .o.ng che o phu.
trˆn 3 d `
e
¯u
o ¯u `
´
.

. d´ ta tı d .o.c d nh th´.c cˆ p 3 nhu. vı du 2. Minh hoa:
´
T` ¯o
u
´nh ¯u . ¯i
u a
´ .
.
.
1 2 1
Vı du. Tı
´ . ´nh: 2 3 4 = 1.3.2 + 2.3.4 + 1.2.5 − 1.3.3 − 2.2.2 − 1.4.5 = 3
3 5 2
´ ’ ¯.
b. Tı
´nh chˆ t cua d inh th´.c.
a
u
-.
’
Dinh ly 1.1. Cho A = (aij )n ∈ Mn (K) va At la ma trˆn chuyˆ n vi cu a A.
´
`
`
a
e . ’
.
’
Khi d´ det(At ) = det(A). No i ca ch kha c d. nh th´.c cu a ma trˆn khˆng thay
¯o

´ ´
´ ¯i
u
a
o
.
’
’
d o i qua phe p chuyˆ n vi.
¯ˆ
´
e .
’ ’
Ch´.ng minh. Gia su. At = (aij )n . Khi d´ aij = aji (i = 1, n, j = 1, n).
u
¯o
Ta co : detA =
´
(−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n)
σ∈Sn

(−1)N (σ

t

detA =
σ−1 ∈Sn
´
´
’ng - . o

Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

−1

)

a1σ−1(1) a2σ−1(2) ...anσ−1 (n)


-i
1.2. D.nh th´.c
u

13

(−1)N (σ) aσ−1(1)1 aσ−1(2)2 ...aσ−1 (n)n

=
σ−1∈Sn

vı N (σ −1 ) = N (σ) va aij = aji , i, j = 1, n.
`
`
1
2 ···
n
- e’ y a
`

Dˆ ´ r˘ ng: σ =
=
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
Do do v´.i moi σ ∈ Sn ta d` u co :
´ o
¯ˆ ´
e
.

σ −1 (1) σ −1 (2) · · · σ −1 (n)
1
2
···
n

(−1)N (σ) a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n) = (−1)N (σ) aσ−1 (1)1aσ−1 (2)2 ...aσ−1 (n)n .
Vˆy detAt=detA.
a
.
`
´ e
T`. tı chˆ t trˆn ta suy ra r˘ ng vai tro cu a ca c dong va ca c cˆt trong ma
u ´nh a
a
` ’ ´ `
` ´ o
.
.c nˆ u d˜ d´ ng cho dong thı cu ng
’
˜ .

´
trˆn la bı d a ng. Mˆ i mˆnh d` vˆ d. nh th´ e ¯a ¯u
a ` `nh ¯˘
o e ¯ˆ ` ¯i
e e
u
`
` ˜
.
.i cˆt va ngu.o.c lai.
d´ ng v´ o `
¯u
o .
. .
-.
’
˜
´
´
Dinh ly 1.2. Nˆ u d o i chˆ hai dong bˆ t kı cu a mˆt ma trˆn thı d. nh th´.c
´
e ¯ˆ
o
`
a ` ’
o
a
` ¯i
u
.

.
’ ´
’ ´ ¯ˆ a
cu a no d o i dˆ u.
’ ’
Ch´.ng minh. Gia su. A = (aij )n (n ≥ 2) va B = (bij )n la ma trˆn nhˆn d .o.c
u
`
`
a
a ¯u .
.
.
. A b˘ ng ca ch d o’i chˆ hai dong th´. k va th´. l nao d´ (1 ≤ k < l ≤ n) cho
`
˜
a
´ ¯ˆ
o
`
u
` u
` ¯o
t`
u
˜ `
nhau, nghı a la:

aij , khi i ∈ {1, 2, ..., n}\{k, l},


bij = alj , khi i = k,
(j = 1, n)


akj , khi i = l,
`
’
Ta cˆn ch´.ng to detB=-detA.
a
u
(−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bnf(n) .
Ta co : detB =
´
f∈Sn

´ .
Xe t phe p thˆ bˆc n:
´
´
e a
f:
-˘
Dat
.

g:

1
2 ... k ... l ... n
f (1) f (2) ... f (k) ... f (l) ... f (n)

1
2 ... k ...
l
... n
f (1) f (2) ... f (l) ... f (k) ... f (n)

Ta co g(i) = f (i), i = 1, n, i = k, i = l, g(k) = f (l), g(l) = f (k). Theo
´
˜
´
d .nh nghı a nghich thˆ , ta suy ra N (g) va N (f ) sai ke m nhau mˆt d .n vi.
¯i
e
`
´
o ¯o
.
.
.
N
N
´p Sn thı g cu ng chay kh˘ p Sn .
˜
´
Do d´ (−1) (f ) = −(−1) (g), khi f chay kh˘
¯o
a
`
a

.
.
Vˆy:
a
.
detB =
(−1)N (f) b1f(1) b2f(2) ...bkf(k) ...blf(l) ...bnf(n)
f∈Sn
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

14

(−1)N (f) a1f(1) a2f(2) ...akf(l) ...alf(k) ...anf(n)

=
f∈Sn

=

g∈Sn

−(−1)N (g) a1g(1) a2g(2) ...akg(k) ...alg(l) ...ang(n) = −det(A)

-.
´
u
Dinh ly 1.3. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K va gia su. dong th´. i
´
` o
a
o
a
e
` ’ ’ `
.
.
´
’
nao d´ (1 ≤ i ≤ n) cu a A co tı
` ¯o
´ ´nh chˆ t aij = λaij + µaij ;
a
j = 1, n. Khi d´ ta co :
¯o
´
···
···
···
···

detA = λai1 + µai1 λai2 + µai2 · · · λain + µain
···
···
···
···
··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ···
= λ ai1 ai2 · · · ain + µ ai1 ai2 · · · ain
··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ···
´
Trong d´ , ca c dong con lai cu a ba d. nh th´.c o. hai vˆ la hoan toan nhu. nhau
¯o ´ `
` . ’
¯i
u ’
e ` `
`
va chı la n − 1 dong con lai cu a A.
` ´nh `
`
` . ’
’ `
´ e
¯i
u e u ´
a
Ch´.ng minh. Kı hiˆu ba d .nh th´.c trˆn t`. tra i sang phai lˆn lu.o.t la D, D , D .
u
.

. `
.ng minh D = λD + µD . Ta co
`
Ta cˆn ch´
a
u
´
N
D=
(−1) (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n)
σ∈Sn

=
σ∈Sn

(−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...(λaiσ(i) + µaiσ(i) )...anσ(n)

=λ
σ∈Sn

+µ
σ∈Sn

(−1)N (σ)a1σ(1) a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n) +

(−1)N (σ)a1σ(1)a2σ(2) ...aiσ(i) ...anσ(n)

= λD + µD
˜ `
’

T`. ca c d .nh ly 1.2 va 1.3 ta dˆ dang suy ra hˆ qua sau
u ´ ¯i
´
`
e
e
.
´
’
Hˆ qua 1.1. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K.
e
` o
a
o
a
e
.
.
.
´
’
(1) Nˆ u nhˆn mˆt dong nao d´ cu a A v´.i mˆt sˆ λ ∈ K thı d. nh th´.c cu a
e
a
o `
` ¯o ’
o
o o
` ¯i
u

.
. ´
.o.c nhˆn v´.i λ.
a o
no cu ng d u .
´ ˜
¯
(2) det(λA) = λn detA, λ ∈ K.
`
´
’ ´ a
(3) Nˆ u A co mˆt dong khˆng thı d. nh th´.c cu a no b˘ ng khˆng.
e
´ o `
o
` ¯i
u
o
.
`
´
’ e o
’ ´
(4) Nˆ u A co hai dong b˘ ng nhau hay tı lˆ v´.i nhau thı d. nh th´.c cu a no
e
´
`
a
` ¯i
u

.
`
b˘ ng khˆng.
a
o
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1.2. D.nh th´.c
u

15

´
(5) Nˆ u ta cˆng vao mˆt dong nao d´ cu a ma trˆn A mˆt dong kha c d˜ nhˆn
e
o
`
o `
` ¯o ’
a
o `
´ ¯a a
.

.
.
.
v´.i mˆt sˆ bˆ t ky thuˆc tru.o.ng K thı ta d u.o.c mˆt ma trˆn B co cung
o
o o a `
o
`
`
¯ .
o
a
´ `
. ´ ´
.
.
.
.c v´.i ma trˆn A.
d. nh th´ o
¯i
u
a
.
-.
-i
`
`
` ’ a
Dinh ly 1.4. D. nh th´.c cu a ma trˆn che o A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m trˆn
´

u ’
a
´
a
´ch ´
a
e
.
d u.o.ng che o chı
¯ `
´
´nh.
´ e
¯i
´ `
¯ˆ ˜
` ¯o . u
Viˆc ch´.ng minh d .nh ly nay tu.o.ng d o i dˆ, ngu.o.i d . c tu. ch´.ng minh.
e
u
.
-i
`
`
` ’ a
’
’
Hˆ qua 1.2. D. nh th´.c cu a ma trˆn tam gia c A b˘ ng tı ca c phˆn tu. n˘ m
e
u

a
´
a
´ch ´
a
.
.
trˆn d u.o.ng che o chı
e ¯ `
´
´nh.
´
u
Vı du. Dung ca c tı chˆ t cua d .nh th´.c tı ca c d .nh th´.c sau:
´ .
`
´ ´nh a ’ ¯i
u ´nh ´ ¯i
5 1 2 7
2 −3 4 1
a+x
x
x
3 0 0 2
4 −2 3 2
1)
2) x
b+x
x
3)

1 3 4 5
a b c d
x
x
c+x
2 0 0 3
3 −1 4 3
-.
c. Dinh ly Laplace.
´
.c con va phˆn bu d i sˆ .
-.
Dinh th´
u
` `
a ` ¯a o
. ´
-.
˜
´
Dinh nghı a 1.10. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K
` o
a
o
a
e
.
.
’
(n ≤ 2), D = detA va k la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng nho ho.n n. Xe t k dong th´.

` ` o o
e
´
`
u
. ´
. j , j , ..., j (1 ≤ j < j <
i1 , i2 , ..., ik (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n) va k cˆt th´ 1 2
`
o
u
k
1
2
.
. cua A n˘ m o. giao cua ca c dong va
`
`
’ ´ `
... < jk ≤ n) nao d´ cua A. Ca c phˆn tu ’
` ¯o ’
´
a ’
a ’
`
´
ca c cˆt trˆn tao nˆn mˆt ma trˆn vuˆng Si1 i2 ...ik j1j2 ...jk cˆ p k sau d ay:
´ o e . e
o
a

o
a
¯ˆ
.
.
.


ai1 j1 ai1 j2 ... ai1 jk
a
a
... ai2 jk 

Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk =  i2 j1 i2 j2
 ...
... ... ... 
aik j1 aik j2 ... aik jk
-i
´
’
a
o
a
a
u
Si1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt ma trˆn vuˆng con cˆ p k cua ma trˆn A. D.nh th´.c
. ` o
.
.
.

.c con cˆ p k cua D, kı hiˆu D
´
’
detSi1i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la mˆt d. nh th´
u
a
´ e
i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk .
. ` o ¯i
.
.
.o.c b˘ ng ca ch xo a d k dong, k cˆt
`
´
’
Ma trˆn con cˆ p n − k cua A co d .
a
a
´ ¯u
a
´
´ ¯i
`
o
.
.
.a S
ch´
u
a

` ’
` ¯i
i1 i2 ...ikj1 j2 ...jk goi la ma trˆn con bu cua Si1 i2...ik j1j2 ...jk (trong A) va d .nh
. `
.
.c con cˆ p n − k cua no d .o.c goi la d inh th´.c con bu cua d nh th´.c con
´
’ ´ ¯u .
th´
u
a
u
` ’ ¯i
u
. ` ¯.
.
´ e
Di1 i2...ik j1j2 ...jk (trong D), kı hiˆu Mi1 i2 ...ikj1 j2...jk
.
-.
˜
`
´
Dinh nghı a 1.11. Phˆn phu d . i sˆ cua d .nh th´.c con Di1i2 ...ik j1j2 ...jk kı hiˆu
a
u
´ e
. ¯a o ’ ¯i
.
.o.c d nh nghı a bo.i

˜
’
Ai1 i2 ...ikj1 j2...jk , d . ¯i
¯u
.
Ai1 i2 ...ikj1 j2 ...jk = (−1)s Mi1 i2 ...ikj1 j2 ...jk
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

16

´
’ o `
trong d´ s = i1 + i2 + · · · + ik + j1 + j2 + · · · + jk la tˆ’ng ca c chı sˆ dong va
¯o
` o
´
`
´ .

’ o o . e
chı sˆ cˆt tao nˆn Di1 i2 ...ikj1 j2...jk .
-˘
Dac biˆt, khi k = 1, i = i1 , j = j1 (1 ≤ i, j ≤ n) thı Sij = [aij ] ≡ aij =
e
`
.
.
´
det[aij ] = Dij , d .nh th´.c con bu cua Dij la d .nh th´.c con Mij cˆ p n − 1 nhˆn
¯i
u
` ’
` ¯i
u
a
a
.
.o.c t`. D b˘ ng ca ch xo a d dong i va cˆt j; con phˆn bu d i sˆ cua D
`
`
´
d . u
¯u
a
´
´ ¯i `
` o
`
a

` ¯a o ’
ij
.
.
i+j
chı la Aij = (−1) Mij .
´nh `
´
u a
Vı du. Xe t d .nh th´.c cˆ p n = 4 sau:
´ . ´ ¯i
5
3
D=
1
2
Lu c d´ :
´ ¯o
D1314 =

1 2 7
0 −3 2
3 4 5
1 0 3

5 7
´
`
´
’

la d .nh th´.c con cˆ p 2 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la:
` ¯i
u
a
o
a ` ¯a o `
1 5
A1314 = (−1)1+3+1+4

0 −3
0 −3
=−
.
1 0
1 0

3 0 −3
´
`
´
’
D234123 = 1 3 4 la d .nh th´.c con cˆ p 3 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la:
` ¯i
u
a
o
a ` ¯a o `
2 1 0
A234123 = (−1)2+3+4+1+2+3 a14 = −7.
´

`
´
’
D13 = a13 = 2 la d .nh th´.c con cˆ p 1 cua D v´.i phˆn bu d . i sˆ la:
` ¯i
u
a
o
a ` ¯a o `
A13 = (−1)

1+3

3 0 2
1 3 5 .
2 1 3

-.
´
Dinh ly 1.5. Cho A = (aij )n la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K (n ≥ 2),
´
` o
a
o
a
e
.
.
´
Aij la phˆn bu d ai sˆ cu a aij , i, j = 1, n. Khi d´ ta co :

` ` ` ¯. o ’
a
¯o
´
n

(1) detA =
j=1

aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , i = 1, n;

n

(2) detA =
i=1

aij Aij = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj , j = 1, n;

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1.2. D.nh th´.c
u

17

´
¯u . . ` ´
e’
`
Cˆng th´.c (1) (tu.o.ng u.ng (2)) d .o.c goi la phe p khai triˆ n detA theo dong
o
u
´
` e
th´. i (tu.o.ng u.ng theo cˆt th´. j); no quy viˆc tı
u
´
o
u
´
e ´nh d .nh th´.c cˆ p n vˆ viˆc
¯i
u a
e .
.
.
.c cˆ p n − 1.
tı d .nh th´ a
´nh ¯i
u ´
´
Vı du. Tı
´ . ´nh d .nh th´.c cˆ p 3 sau d ay:

¯i
u a
¯ˆ
1 1 −1
D = −1 1 1 .
1 −1 1
˜
Ca ch 1. Dung d .nh nghı a.
´
` ¯i
D = 1.1.1 + 1.1.1 + (−1).(−1).(−1) − 1.1.(−1) − (−1).1.1 − 1.(−1).1 = 4.
Ca ch 2. Khai triˆ n D theo dong 1.
´
e’
`
1 1
−1 1
−1 1
+ 1.(−1)1+2
+ (−1).(−1)1+3
D = 1.(−1)1+1
−1 1
1 1
1 −1
=2+2+0 =4
Ca ch 2. Khai triˆ n D theo cˆt 3.
´
e’
o
.

−1 1
1 1
1 1
D = (−1).(−1)1+3
+ 1.(−1)2+3
+ 1.(−1)3+3
1 −1
1 −1
−1 1
=0+2+2 =4
-.
´
Dinh ly 1.6 (Laplace). Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K. T`.
´
`
a
o
a
e
`
u
.
.c cu a ma
’
A ta chon k hang (ho˘c k cˆt) tuy ´ (1 ≤ k ≤ n). Khi d´ d. nh th´
`
a
o ` y
¯o ¯i
u

.
.
.
.c con cˆ p k lˆp d u.o.c
’
`
´
´
’ ´ ´ch ’ a ’ ´ ¯i
trˆn A b˘ ng tˆ ng cu a ca c tı cu a tˆ t ca ca c d. nh th´
a
a
o
u
a
a ¯ .
.
.
.i phˆn bu d ai sˆ cu a chu ng.
` ` ¯. o ’
´
trˆn k hang (cˆt) d´ v´
e
`
o ¯o o
a
´
.
-.
Dinh ly trˆn con d .o.c goi la d .nh ly khai triˆ n d .nh th´.c cua ma trˆn A

´ e ` ¯u .
´
e’ ¯i
u ’
a
. ` ¯i
.
.o.ng u.ng theo k cˆt).
´
o
theo k dong (tu
`
.
.c sau d ay:
Vı du. Tı
´ . ´nh d .nh th´
¯i
u
¯ˆ
1
3
D=
0
2

2 0 −1
0 −3 2
0 2 1
1 0 3

˜
Ta se khai triˆ n D theo 2 dong 2 va 3. Ta co 6 d .nh th´.c con d .o.c lˆp t`. 2
e’
`
`
´ ¯i
u
¯u . a u
.
dong nay:
`
`
3 0
3 −3
3 2
D2312 =
= 0, D2313 =
= 6, D2314 =
= 3,
0 0
0 2
0 1
0 −3
0 2
−3 2
= 0, D2324 =
= 0, D2334 =
= −7,
0 2
0 1

2 1
’ ` ´nh:
Ta chı cˆn tı
a
D2323 =

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

18

A2313 = (−1)2+3+1+3

2 −1
2 0
= −7, A2314 = (−1)2+3+1+4
= 0,
1 3
1 0

1 2
= −3,
2 1
Vˆy D = 6.(−7) + 3.0 + (−7).(−3) = −21.
a
.
´
’
Chu ´ . Sˆ ca c d .nh th´.c con lˆp d .o.c trˆn k dong (tu.o.ng u.ng k cˆt) cua
´ y o ´ ¯i
u
a ¯u .
e
`
´
o
.
.
´
mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n la Cn .
o
a
o
a
` k
.
.
´
Nhˆn xe t. Do i v´.i bai toa n tı d .nh th´.c:

a ´ - ˆ o ` ´ ´nh ¯i
u
.
A2334 = (−1)2+3+3+4

´
` o
’ ¯i
e ´ o
` e
(1) Khi thˆ y mˆt dong (hay cˆt) cua d .nh th´.c co nhiˆu sˆ khˆng thı nˆn
a
o `
o
u ´
.
.
.c theo dong (hay cˆt) d´ .
khai triˆ n d .nh th´
e’ ¯i
u
`
o ¯o
.
’
´
´
’ e ¯o
(2) Dung ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p ta co thˆ lam cho d .nh th´.c tro. nˆn d .n
`

´
´
e ¯ˆ
a
´ e’ `
¯i
u
.n. Dac biˆt, moi d nh th´.c d` u d .a d .o.c vˆ dang tam
˜ ´nh ho - ˘
’
e
u ¯ˆ ¯u ¯u . ` .
e
e
gian, dˆ tı
e
.
.
. ¯i
.
.u han phe p biˆ n d o i so. cˆ p.
’
´
´
gia c sau mˆt sˆ h˜
´
o o u
´
e ¯ˆ
a

. ´
.
´
T`. d .nh ly Laplace va ca c tı
u ¯i
´
` ´ ´nh chˆ t cua d .nh th´.c ta co d .nh ly sau:
a ’ ¯i
u
´ ¯i
´
-.
-.
’ ’
Dinh ly 1.7 (Dinh ly nhˆn d inh th´.c). Gia su. A = (aij )n va B = (bij )n
´
´
a ¯.
u
`
´
la hai ma trˆn vuˆng cung cˆ p n, khi d´ ta co : det(AB) =detA.detB.
`
a
o
`
a
¯o
´
.

`
Nhˆn xe t. Dung d .nh ly 1.7 ta co thˆ tı
a
´
`
¯i
´
´ e’ ´nh d .o.c mˆt sˆ d .nh th´.c b˘ ng
¯u .
o o ¯i
u a
. ´
.
’
ca ch ta ch thanh tı cua hai d .nh th´.c d .n gian ho.n.
´
´
`
´ch ’
¯i
u ¯o
.c D = detA cua ma trˆn vuˆng A cˆ p n sau:
´
’
Vı du. Tı
´ . ´nh d .nh th´
¯i
u
a
o

a
.


1 + x 1 y1 1 + x 1 y2 · · · 1 + x 1 yn
 1 + x 2 y1 1 + x 2 y2 · · · 1 + x 2 yn 

A=
 ···
···
···
··· 
1 + x n y1 1 + x n y2 · · · 1 + x n yn
´ `
Nhˆn thˆ y r˘ ng:
a
a a
.


1 x1 0
 1 x2 0
A=
· · · · · · · · ·
1 xn 0
Do d´
¯o
´
´
’ng - . o

Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

···
···
···
···



1
1
0 
y
y2
0  1
 0
0
· · · 
· · · · · ·
0
0
0



··· 1
· · · yn 


··· 0 

· · · · · ·
··· 0


-i
1.2. D.nh th´.c
u

19

1 x1 0
1 x2 0
D = detA =
··· ··· ···
1 xn 0

1
1
··· 0
y1 y2
··· 0
0
0
··· ···
··· ···
··· 0
0
0

0

··· 1
· · · yn
··· 0
··· ···
··· 0

, khi n > 2,

=
Bai tˆp.
` a
.

(x2 − x1 )(y2 − y1 ) , khi n = 2.

´
´
´
1.2.1 Tı sˆ nghich thˆ cua ca c phe p thˆ sau:
`m o
e ’ ´
´
e
.
1 2 3 4
1 2 3 4 5
a)

b)
2 4 1 3
3 5 4 1 2
c)

1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 3 7 1 2

a−x
b
1.2.2 Ch´.ng minh v´.i a, b, c ∈ R phu.o.ng trı
u
o
`nh
= 0 luˆn co
o ´
b
c−x
nghiˆm thu.c.
e
.
.
`
1.2.3 Khˆng khai triˆ n d .nh th´.c ch´.ng minh r˘ ng:
o
e’ ¯i
u
u
a
1 a bc

1 a a2
a) 1 b ca = 1 b b2
1 c c2
1 c ab
1 a a3
1 a a2
b) 1 b b3 = (a + b + c) 1 b b2
1 c c3
1 c c2
1 a a2
c) 1 b b2 = (b − a)(c − a)(c − b)
1 c c2
1.2.5 Tı
´nh ca c d .nh th´.c sau:
´ ¯i
u
2 −3 4 1
4 −2 3 2
a)
a b c d
3 −1 4 3
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

a
0

b)
1
0

3
b
2
0

0
0
c
0

5
2
3
d

x
1
c)
1
1

1
x
1
1

1
1
x
1

1
1
1
x


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

20

1
2
3
1 x+1
3
d) 1
2
x+1
··· ···
···
1

2
3

1
2
3
···
n
1
3
3
···
n
1
2
5
···
n e)
··· ··· ···
··· ···
1
2
3
··· x +1
1
2
3

1
1

1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
g)
··· ··· ··· ···
1
1
1
1
1
1
1
1

...
...
...
···
...
...

··· n− 1
n

··· n− 1
n
··· n− 1
n
···
···
···
· · · 2n − 3
n
· · · n − 1 2n − 1

1 1
0
1
1
1
1 1
1
0
1
1
1 1
1
1
0
1
h)
· ···
··· ··· ··· ···
0 1

1
1
1
1
1 0
1
1
1
1

a0 −1 0
0 ...
a1
x −1 0 . . .
a2
0
x −1 . . .
i)
··· ··· ··· ··· ···
an−1 0
0
0 ...
an
0
0
0 ...

...
...
...

···
...
...

1 1
1 1
1 1
· ···
0 1
1 0

... 0
0
... 0
0
... 0
0
··· ··· ···
. . . x −1
... 0 x

’ ´
1.2.4 Giai ca c phu.o.ng trı sau d ay theo a’n x trˆn R:
`nh
¯ˆ
ˆ
e
x2
x3
x4

a) 0 x2 − 1
0
= 0;
3
3
0 x +1 x −1
1
1
1
1 1−x
1
c) 1
1
2−x
··· ···
···
1
1
1

1.3

1
1
1
1

x
2
3

4

x2
4
9
16

x3
8
= 0;
27
64

···
1
···
1
···
1
=0
···
···
· · · (n − 1) − x

’
Ma trˆn kha nghich.
a
.
.

-.
˜
´
’
Dinh nghı a 1.12. Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K. Ta bao A la ma
`
a
o
a
e
`
.
´ o
´
’
trˆn kha nghich nˆ u tˆn tai mˆt ma trˆn B vuˆng cˆ p n trˆn K sao cho:
a
e ` .
o
a
o
a
e
.
.
.
.
AB = BA = In.
´
´

’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


’
1.3. Ma trˆn kha nghich.
a
.
.

21

˜
´
´
´
´ o
Ma trˆn B nhu. thˆ la duy nhˆ t, vı nˆ u tˆn tai B1 cu ng co tı
a
e `
a ` e ` .
´ ´nh chˆ t nhu.
a
.
B, t´.c la AB1 = B1 A = In , thı
u `
`
B = BIn = B(AB1 ) = (BA)B1 = In B1 = B1 .

’
Do d´ B d .o.c goi la ma trˆn nghich d a o cua ma trˆn A, kı hiˆu la A−1 .
¯o
¯u . . `
a
¯’
a
´ e `
.
.
.
. vˆy:
Nhu a
.
AA−1 = A−1 A = In .
Du.o.ng nhiˆn A = (A−1 )−1 , no i ca ch kha c A lai la nghich d ’ o cua A−1 .
e
´ ´
´
. `
. ¯a ’
Nhˆn xe t.
a ´
.
’
(1) Ma trˆn d .n vi In kha nghich va In = In , v´.i moi n ∈ N∗ .
a ¯o .
` −1
o
.

.
.
’
(2) Ma trˆn 0n khˆng kha nghich vı
a
o
`
.
.
0n A = A0n = 0n , ∀A ∈ Mn (K), ∀n ∈ N∗ .
´
` ´ ı
a
o `
o o
o
(3) Moi ma trˆn A ∈ Mn (K) ma co ´t nhˆ t mˆt dong (hay mˆt cˆt) khˆng
a
.
. .
.
.
’
d` u khˆng kha nghich.
¯ˆ
e
o
.
`
˜ ¯ˆ o

´
´
’ ´
(4) Ta nhˆ n manh r˘ ng tı kha nghich chı co nghı a d o i v´.i ma trˆn vuˆng.
a
a
´nh ’
a
o
.
.
.
.p ca c
’
’
Tuy nhiˆn khˆng phai ma trˆn vuˆng nao cu gn kha nghich. Tˆp ho ´
e
o
a
o
` ˜
a
.
.
.
.
.o.c kı hiˆu la GL (K)
´p n trˆn K kha nghich d . ´ e `
’
ma trˆn vuˆng cˆ

a
o
a
e
n
.
. ¯u
.
´
’
’
Tı
´nh chˆ t 1.5. Tı cu a ca c ma trˆn kha nghich la ma trˆn kha nghich.
a
´ch ’ ´
a
`
a
.
.
.
.
.c la nˆ u A, B ∈ GL (K) thı AB ∈ GL (K), ho.n n˜.a
´
T´ ` e
u
`
u
n
n

(AB)−1 = B −1 .A−1 .
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy,
u
a a
. .
−1 −1
(AB)(B A ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In ;
(B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 InB = B −1 B = In .
-.
˜
Dinh nghı a 1.13 (Ma trˆn phu ho.p). Cho A = (aij )n la ma trˆn vuˆng
a
`
a
o
.
.
. .
.o.ng K. Ma trˆn phu ho.p cua A, kı hiˆu P d .o.c d nh nghı a
˜
´
’
a
´ e
¯i
cˆ p n trˆn tru `
a
e
A ¯u .
.

. .
.
.
nhu. sau:


A11 A21 · · · An1
 A A22 · · · An2 

PA =  12
· · · · · · · · · · · ·  ,
A1n A2n · · · Ann
´
`
’
trong d´ Aij la phˆn bu d . i sˆ cua phˆn tu. aij , (i, j = 1, n) cua ma trˆn A.
¯o
` `
a ` ¯a o ’
a ’
a
.
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a
u
.

22

’ e
˜
o
a
o
Bˆ d` 1.1. V´.i mˆ i ma trˆn vuˆng A = (aij )n trˆn K (n ≥ 2) ta d` u co :
o ¯ˆ
o
e
¯ˆ ´
e
.
n
detA , khi i = k
(1)
aij Akj =
(i, k = 1, n);
0
, khi i = k,
j=1
detA
0

n

(2)

aij Aik =
i=1

, khi j = k
, khi j = k,

(j, k = 1, n);

´
´
´
´
Ch´.ng minh. Tru.o.c hˆ t ta ch´.ng minh (1). Lˆ y hai sˆ i, k bˆ t ky trong tˆp
u
´ e
u
a
o
a `
a
.
.p {1, 2, 3, ..., n}. Co hai kha n˘ng sau:
’ a
ho
´

.
+) i = k. Khi d´ (1) chı la cˆng th´.c khai triˆ n theo hang.
¯o
´nh ` o
u
e’
`
.o.c b˘ ng ca ch thay dong th´. k
`
+) i = k. Xe t ma trˆn B = (blj )n nhˆn d . a
´
a
a ¯u
´
`
u
.
.
.i hoan toan giˆ ng dong i, t´.c la
`
´
b˘ ng mˆt dong m´
a
o `
o
`
`
o
`
u `

.
blj =

alj ,

khi l = k,

aij ,

khi l = k,

(l, j = 1, n)

`
Nhu. vˆy, B co hai dong th´. i va th´. k b˘ ng nhau, do d´ detB = 0. Khai
a
´
`
u
` u
a
¯o
.
triˆ n detB theo dong th´. k, ta d .o.c:
e’
`
u
¯u .
n

0 = detB =

n

bkj Bkj =
j=1

aij Akj (vı Akj = Bkj , j = 1, 2, ..., n).
`
j=1

-˘
’
Vˆy (1) d .o.c ch´.ng minh. Da ng th´.c (2) Ch´.ng minh hoan toan tu.o.ng
a
¯u .
u
u
u
`
`
.
..
tu
.
-.
´
´
Dinh ly 1.8. Nˆ u A la ma trˆn vuˆng cˆ p n thı :
´

e
`
a
o
a
`
.
A.PA = PA .A = detA.In
´
’
trong d´ PA la ma trˆn phu ho.p cu a A va In la ma trˆn d o.n vi cˆ p n.
¯o
`
a
`
`
a ¯
.
. .
.
. a
´
’ e
’
Ch´.ng minh. Ap dung bˆ d` trˆn ta co d ` u phai ch´.ng minh.
u
o ¯ˆ e
´ ¯iˆ
e
u

.
-.
Dinh ly 1.9. Mˆt ma trˆn vuˆng trˆn K la kha nghich khi va chı khi d. nh
´
o
a
o
e
` ’
` ’
¯i
.
.
.
’ ´ ´
th´.c cu a no kha c khˆng.
u
o
´
Ch´.ng minh. Xe t ma trˆn A = (aij )n vuˆng cˆ p n trˆn K.
u
´
a
o
a
e
.
’ ’
’
(⇒) Gia su. A kha nghich va A−1 la nghich d ’ o cua A. Khi d´

`
`
¯o
.
. ¯a ’
AA−1 = In ⇒ detA.detA−1 = det(AA−1) = detIn = 1 ⇒ detA = 0.
-.
´
(⇐) Nˆ u detA = 0 thı theo Dinh ly 1.8 ta co
e
`
´
´
1
1
A
PA =
PA A = I n .
detA
detA
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


’
1.3. Ma trˆn kha nghich.

a
.
.

23

’
Do d´ A kha nghich va
¯o
`
.
A−1 =

1
PA .
detA

Thuˆt toa n tı ma trˆn nghich d ao nh`. d inh th´.c.
a
´ `m
a
¯’
o ¯.
u
.
.
.
Bu.o.c 1. Tı
´
´nh d .nh th´.c D = detA.

¯i
u
´
´
’
* Nˆ u D = 0 thı A khˆng kha nghich. Thuˆt toa n kˆ t thu c.
e
`
o
a
´ e
´
.
.
´
´
’
* Nˆ u D = 0 thı A kha nghich. Lam tiˆ p bu.o.c 2.
e
`
`
e
´
.
.o.c 2. Lˆp ma trˆn phu ho.p P . Tı
a
a
Bu ´
´nh
A

.
.
. .
A−1 =

1
PA .
D

’
Vı du. Xe t tı
´ . ´ ´nh kha nghich va tı ma trˆn nghich
` `m
a
.
.
.
trˆn sau:
a
.



1 2 1
1 0
A = 1 1 2 ; B = 3 −1
3 5 4
1 2

´

d ’ o (nˆ u co ) cua ca c ma
¯a
e ´ ’ ´

0
0 .
3

1 2 1
1 2 1
d3→d3−3d1
’
Gia i.
detA ==== 0 −1 1 ===== 0 −1 1 = 0
3 5 4
0 −1 1
´ ´
(vı co 2 dong cuˆ i giˆ ng nhau).
` ´
`
o o
’
Do d´ A khˆng kha nghich.
¯o
o
.
’
detB = −3 = 0. Suy ra B kha nghich.
.
.p cua B:

’
+)Tı ma trˆn phu ho
`m
a
.
. .
d2→d2−d1

B11 = (−1)1+1

−1 0
3 0
= −3, B12 = (−1)1+2
= −9,
2 3
1 3

B13 = (−1)1+3

3 −1
0 0
= 7, B21 = (−1)2+1
= 0,
1 2
2 3

B22 = (−1)2+2

1 0
1 0

= 3, B23 = (−1)2+3
= −2,
1 3
1 2

B31 = (−1)3+1

0 0
1 0
= 0, B32 = (−1)3+2
= 0,
−1 0
3 0

B33 = (−1)3+3
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh

1 0
= −1,
3 −1


-i
1. Ma trˆn - D.nh th´.c
a

u
.

24

 

−3 0 0
B11 B21 B31
PB = B12 B22 B32  = −9 3 0  .
7 −2 −1
B13 B23 B33
+) Tı ma trˆn nghich d ’ o cua B:
`m
a
.
. ¯a ’


1
0 0
1


B −1 = − PB =  3 −1 0  .
−7 2 1
3
3
3 3
-.

˜
´
´
a
a
o
a
e
Dinh nghı a 1.14 (Ma trˆn so. cˆ p.). Ma trˆn E vuˆng cˆ p n trˆn K
a
.
.
.o.c goi la ma trˆn so. cˆ p dong (tu.o.ng u.ng, cˆt) nˆ u E thu d .o.c
´
´
(n ≥ 2) d .
¯u
a
a `
´
o
e
¯u .
. `
.
.
’
´
´ `
’ ¯u

t`. ma trˆn d .n vi In bo.i d ´ ng mˆt phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong (tu.o.ng u.ng,
u
a ¯o .
o
´
e ¯ˆ
a
´
.
.
cˆt).
o
.


Vı du. 
´ .
1
0
I3 =
0

1
I3 = 0
0




0 0

1 0 0
d2 →d +3d1
1 0 − − 2− → 3 1 0 = E1 .
−−−
0 1
0 0 1



0 0
1 0 0
c2 ↔c
1 0  − − 3 0 0 1  = E 2 .
−→
0 1
0 1 0

´ `
´
´ . ´
E1 la ma trˆn so. cˆ p dong cˆ p 3 con E2 la ma trˆn so. cˆ p cˆt cˆ p 3.
`
a
a
a
`
`
a
a o a
.

.

´
´
´
Tı
´nh chˆ t 1.6. Cho E la mˆt ma trˆn so. cˆ p dong cˆ p m (tu.o.ng u.ng, cˆt
a
` o
a
a `
a
´
o
.
.
.
’
´p n) nhˆn d u.o.c t`. Im (tu.o.ng u.ng, In ) bo.i phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong
´ ¯ˆ
´ `
’
cˆ
a
a ¯ . u
´
´
e
a
.

.o.ng u.ng, cˆt) e va A la mˆt ma trˆn m × n trˆn K tuy ´ . Khi d´ ma trˆn
(tu
´
o
`
` o
a
e
`y
¯o
a
.
.
.
.
.o.c t`. A bo.i phe p biˆ n d o i so. cˆ p e chı la EA (tu.o.ng u.ng, AE).
’
´ ¯ˆ
´
’
nhˆn d u . u
a ¯
´
e
a
´nh `
´
.
.c la :
T´ `

u
E = e(Im ) (tu.o.ng u.ng, E = e(In )) ⇒ e(A) = EA (tu.o.ng u.ng, e(A) = AE)
´
´
-.
´
’
Dinh ly 1.10. Moi ma trˆn so. cˆ p dong (hay cˆt) d` u kha nghich va nghich
´
a
a `
o ¯ˆ
e
`
.
.
.
.
.
. cˆ p dong (hay cˆt).
´
’ ´ . ` o
d a o cu a no lai la mˆt ma trˆn so a `
¯’
a
o
.
.
.
´ `

’ ’
Ch´.ng minh. Gia su. E = e(In) la mˆt ma trˆn so. cˆ p dong (hay cˆt) nhˆn
u
` o
a
a
o
a
.
.
.
.
.o.c t`. I bo.i phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong (hay cˆt) e. Dat E = e (I ) la
-˘
’
´ ¯ˆ
´
’
d . u n
¯u
´
e
a
`
o
`
n
.
.
. cˆ p dong (hay cˆt) nhˆn d .o.c t`. I bo.i phe p biˆ n d o i dong (hay

’
´ `
´
ma trˆn so a
a
o
a ¯u . u n ’
´
e ¯ˆ `
.
.
.
.o.c cua e. Theo Tı chˆ t 1.6, ta co :
´
’
cˆt) e ngu .
o
´nh a
´
.
EE = e(E ) = e(e (In )) = (ee )(In) = In;
´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh


’

1.3. Ma trˆn kha nghich.
a
.
.

25

E E = e (E) = e (e(In)) = (e e)(In) = In.
’
Do d´ E kha nghich va E −1 = E .
¯o
`
.
-.
´
Dinh ly 1.11. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K (n ≥ 2). Khi d´
´
` o
a
o
a
e
¯o
.
.
.o.ng d u.o.ng:
’
¯
ca c kh˘ ng d. nh sau tu
´

a ¯i
’
(1) A kha nghich;
.
’
´
´ `
’ u
(2) In nhˆn d u.o.c t`. A bo.i h˜.u han ca c phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong (hay
a ¯ . u
´
e ¯ˆ
a
.
. ´
cˆt);
o
.
´
a
a `
o
(3) A la tı cu a mˆt sˆ h˜.u han ca c ma trˆn so. cˆ p dong (hay cˆt).
` ´ch ’
o o u
. ´
.
.
. ´
´

’ ’
’
Ch´.ng minh. (1)⇒(2): Gia su. A kha nghich. Ta d˜ biˆ t moi ma trˆn vuˆng
u
¯a e
a
o
.
.
.
.a vˆ mˆt ma trˆn bˆc thang dong (t.u. cˆt) ru t gon sau
´
cˆ p n d` u co thˆ d
a
¯ˆ ´ e’ ¯u ` o
e
e .
a a
`
o
´ .
.
.
.
’
´
´ `
´
e ¯ˆ
a

o
`
a a
mˆt sˆ h˜.u han phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong (t.u. cˆt). Goi B la ma trˆn bˆc
o o u
. ´
.
.
.
.
.
.o.c t`. A sau mˆt sˆ h˜.u han ca c phe p biˆ n d o i so.
’
´
´
thang dong ru t gon co d . u
`
´ . ´ ¯u
o o u
´
´
e ¯ˆ
.
.
- at Ei = ei (In ) la ma trˆn so. cˆ p dong nhˆn
´ `
´ `
cˆ p dong e1 , e2 , ..., ek nao d´ . D˘
a
` ¯o

`
a
a
a
.
.
.
.o.c t`. I nh`. e , i = 1, k. Lu c d´ , B = E ...E E A. Suy ra B kha nghich
’
d . u n o i
¯u
´ ¯o
k
2 1
.
’
(vı A, E1 , ..., Ek kha nghich). Suy ra B khˆng co dong 0. Ma B lai la ma trˆn
`
o
´ `
`
a
.
. `
.
.c la I nhˆn d .o.c t`. A sau mˆt sˆ
bˆc thang dong ru t gon. Vˆy B = In . T´ ` n a ¯u . u
a
`
´ .

a
u
o o
.
.
.
. ´
.u han phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong. (Ch´.ng minh tu.o.ng tu. v´.i phe p biˆ n
’
´
´ `
´
h˜
u
´
e ¯ˆ
a
u
´
e
.
. o
’
´ .
d o i so. cˆ p cˆt)
¯ˆ
a o
´
’ ’ ´
(2)⇒(3): Gia su. co (2), khi d´ tˆn tai ca c ma trˆn so. cˆ p dong (hay cˆt)

¯o `
o . ´
a
a
`
o
.
.
. mˆ i phe p biˆ n d o i so. cˆ p dong (hay cˆt) d .a A vˆ
’
´
´ `
`
E1 , E2 , ..., Ek sinh ra t` o
u ˜
´
e ¯ˆ
a
o ¯u
e
.
In sao cho:
Ek ...E2 E1 A = In (hayAE1E2 ...Ek = In ).
−1 −1
−1
−1
−1 −1
Do d´ : A = E1 E2 ...Ek (hay A = Ek ...E2 Ek ), t´.c (3) d ´ ng.
¯o
u

¯u
. co (3), khi d´ hiˆ n nhiˆn A kha nghich vı mˆ i ma trˆn so.
˜
’ ’
’
(3)⇒(1): Gia su ´
¯o e’
e
` o
a
.
.
´
’
cˆ p la kha nghich.
a `
.
´
’
Hˆ qua 1.3. Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K (n ≥ 2). Khi d´ ,
e
` o
a
o
a
e
¯o
.
.
.

.o.c t`. A bo.i mˆt da y ca c phe p biˆ n d o i so.
’
´
´
’
’
nˆ u A kha nghich thı In nhˆn d u . u
e
`
a ¯
o ˜ ´
´
e ¯ˆ
.
.
.
’
´
´
cˆ p dong (hay cˆt); d` ng th`.i chı da y ca c phe p bie n d o i so. cˆ p dong (hay
a `
o ¯o
ˆ
o
´nh ˜ ´
´
´ ¯ˆ
a `
.
−1 ’

´
cˆt) d´ se biˆ n In thanh nghich d a o A cu a A.
o ¯o ˜ e
`
.
. ¯’
’
’
T`. hˆ qua 1.3 ta co mˆt thuˆt toa n kha hiˆu qua kha c de’ tı ma trˆn
u e
´ o
a
´
´ e
´ ¯ˆ `m
a
.
.
.
.
.
.o.c.
´
nghich d ’ o (nˆ u co ) cua mˆt ma trˆn vuˆng cho tru ´
e ´ ’
o
a
o
. ¯a
.

.
’
´
* Thuˆt toa n tı
a
´ `m ma trˆn nghich d ao nh`. ca c phe p biˆ n d o i so.
a
¯’
o ´
´
e ¯ˆ
.
.
.
´
cˆ p.
a
- e’ `m
´
Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n (n ≥ 2) trˆn K. Dˆ tı ma trˆn nghich
` o
a
o
a
e
a
.
.
.
.

´
´
’ng - . o
Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı
`
e ´nh