Đề TS chuyên Lê Hồng Phong Tỉnh Nam Định ( 2009-2010)

Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10

Nguyễn Công Minh
S GIO DC O TO THI TUYN SINH LP 10 NM HC 2009 - 2010
NAM NH MễN: TON - chuyờn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
CHNH THC thi gm 1 trang
Cõu1: (2,0 im)
1) Gii phng trỡnh:
6 2x x+ =
2) Chng minh:
1 1 1 9

4
1 3 5 7 97 99
+ + + >
+ + +
Cõu II: (3,0 im)
1) Cho phng trỡnh: x
4
6x
2
+ 4 = 0.
Chng minh phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit. Gi bn nghim ú l x
1,

x
2,
x
3
, v x

4
, hóy tớnh giỏ tr ca biu thc T =
6
1
x
+
6
2
x
+
6
3
x
+
6
4
x
( vi kt qu c rỳt
gn ).
2) Gii h phng trỡnh:
3 2
2 2 2
x 3y 6y 4 0
x x y 2y 0

+ + =


+ =

Cõu III: (2,0im)
Cho tam giỏc nhn ABC. V v phớa ngoi ca tam giỏc ABC na ng trũn ng
kớnh AB v na ng trũn ng kớnh AC. ng thng d thay i i qua A, ct hai na
ng trũn va v theo th t ti M v N ( M v N khỏc A).
Chng minh rng:
1) ng trung trc ca on thng MN luụn i qua mt im c nh.
2) MB + MN + NC <
2
(AB + AC).
Cõu IV (1,0 im)
Bờn trong mt hỡnh vuụng cú cnh bng 8cm, ly 100 im bt k. Chng minh rng
trong 100 im va ly, cú ớt nht 4 im cựng nm trong mt ng trũn cú bỏn kớnh bng
1cm.
Cõu V (2,0 im)
1) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = 2x +
2
1 4x x
.
2) Chng minh rng: Nu cỏc s nguyờn dng x, y, z ( vi x > 1 v y > 1) tho món
iu kin x
2
y
2
4x + 4y = z
2
thỡ x = y.
Ht
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định
1

Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10

Nguyễn Công Minh

S GIO DC O TO THI TUYN SINH LP 10 NM HC 2009 - 2010
NAM NH MễN: TON - chuyờn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
CHNH THC
HNG DN CHM THI
Bn hng dn gm 3 trang
I . Hng dn chung
1) Nu thớ sinh lm bi khụng theo cỏch nờu trong ỏp ỏn m vn ỳng thỡ cho im tng phn
nh hng dn quy nh.
2) Vic chi tit hoỏ thang im ( nu cú) so vi thang im trong hng dn chm phi m bo
khụng sai lch vi hng dn chm , khụng chia nh di 0,25 im v c thng nht thc hin
trong Hi ng chm thi.
3) im ton bi khụng lm trũn.
II. ỏp ỏn v thang im
Cõu ỏp ỏn i
m
Cõu I
(2,0
im)
1) (1,00 im)
iu kin xỏc nh : x

0 0,25
t
x t=

, t

0. Phng trỡnh ó cho tr thnh
6 t t 2+ = +
(1)
Hai v ca (1) khụng õm , nờn (1) tng ng vi 6 + t = (t + 2)
2

t
2
+ 3t 2 = 0
0,25
Phng trỡnh trờn cú nghim khụng õm l t =
3 17
2
+
0,25
Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x =
2
3 17 13 3 17
2 2

+
=
ữ
ữ

0,25
2) ( 1,00 im)
t S =

1 1 1

1 3 5 7 97 99
+ + +
+ + +
v
S
1
=
1 1 1

5 7 7 9 99 101
+ + +
+ + +
Ta cú S > S
1
suy ra 2S > S + S
1
0,50
Mt khỏc S + S
1

1 1 1

1 3 3 5 99 101
= + + +
+ + +

3 1 5 3 101 99

2 2 2
101 1 9
2 2

= + + +

= >
Vy S >
9
4
0,50
Cõu II
(3,0
im)
1) (1,5 im)
t x
2
= t, t

0. Phng trỡnh ó cho tr thnh t
2
6t + 4 = 0 (1).
0.25
Phng trỡnh (1) l phng trỡnh bc hai cú
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định
2

Tuyển tập đề thi Toán vào lớp 10

Nguyễn Công Minh

/
= 5 > 0,
b
a

= 6 > 0,
c
a
= 4 > 0

phng trỡnh (1) cú hai nghim dng phõn
bit t
1
, t
2
nờn phng trỡnh ó cho cú bn nghim phõn bit.
Bn nghim ca phng trỡnh ó cho l:
x
1
= -
1
t
, x
2
=
1
t
, x
3

= -
2
t
, x
4
=
2
t
. Trong ú t
1
+ t
2
= 6, t
1t
t
2
= 4
0,50
0,25
Suy ra
6
1
x
+
6
2
x
+
6
3

x
+
6
4
x
= 2(
3
1
t
+
3
2
t
)
= 2(t
1
+ t
2
)
3
6t
1
t
2
(t
1
+ t
2
)
= 288

Vy T = 288.
0,50
2) (1,50 im)
Gi s h cú nghim ( x; y). T phng trỡnh th nht ca h suy ra
x
3
= -3(y 1)
2
-1

x
3


-1 (1).
0,50
Mt khỏc, t phng trỡnh th hai ca h suy ra
x
2
(y
2
+ 1) = 2y

x
3
=
2
2
1 1 1
1

y
x
y

+
(2)
0,50
T (1) v (2) suy ra x = -1. thay x = -1 vo phng trỡng th nhõt ca h ta c
y = 1.
0,25
Th li:
x 1
x 1
=


=

nghim ỳng h ó cho.
Vy h ó cho cú mt nghim
x 1
x 1
=


=

0,25
Cõu III
(2,0

im)
1) (1,00 im)

n
m
j
i
c
b
a
Ta cú
ã
0
90AMB =
( gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AB),
Suy ra MB

MN. Tng t ta cú NC

MN

MB // NC.
0,50
Gi J l trung im ca MN. ng trung trc ca on thng MN i qua J v ct
BC ti I. Ta cú IJ

MN

IJ // MB, suy ra I l trung im BC. Tam giỏc ABC
c nh nờn I c nh. Vy ng trung trc ca on thng MN luụn i qua im I

c nh l trung im ca BC.
0,50
2) (1,00 im)
Ta cú ( x y)
2

2 2 2
0 ( ) 2( )x y x y + +
(1), du bng xy ra khi v ch khi x = y.
MB + MN + NC = (MB + MA) + ( NC + NA)
p dng (1) ta cú
MB + MN + NC
2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( )MB MA NC NA AB AC + + + = +
0,50
Du bng xy ra khi v ch khi MA = MB v NA = NC

cỏc tam giỏc MAB v
NAC l tam giỏc vuụng cõn ln lt M v N.


ã
ã
0
45MAB NAC= =
, iu ny khụng th xy ra vỡ
ã
0
90BAC <
.

Vy MB + MN + NC <
2
(AB + AC).
0,50
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định
3

TuyÓn tËp ®Ò thi To¸n vµo líp 10

NguyÔn C«ng Minh
Câu IV
(1,0
điểm)

a
i
q
p
n
m
d
c
b
a
Gọi ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8cm. Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong
hình vuông ABCD là A
1
, A
2,… ,
A

100
. Ta tự dựng 100 đường tròn tâm A
i
có cùng bán
kính bằng 1cm, ký hiệu mỗi đường tròn này là (A
i
),
i
∈
{ }
1,2, ,100
. Tồng diện tích của 100 hình tròn vừa vẽ là S = 100
π
cm
2
.
0,50
Ta vẽ một hình vuông MNPQ có tâm trùng với tâm hình vuông ABCD, có MN //
AB và MN = 10cm. Vậy, tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình
vuông MNPQ và hình vuông MNPQ có diện tích
S
1
= 100cm
2
. Do
π
>3 nên S > 3S
1
, suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất 4
đường tròn trong số các đường tròn (A

i
). Giả sử 4 đường tròn này là (A
1
), (A
2
), (A
3
),
(A
4
). Khi đó 4 điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
4
sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính
băng 1cm (điều phải chứng minh)
0,50
Câu V
(2,0
điểm)
1) ( 0,75 điểm)
Với điều kiện 1 - 4x – x
2

≥
0 (1) , ta có

2
2
1 (1 4x x )
1 4x x
2
+ − −
≥ − −
2 2
2
x x
P 2x 1 4x x 2x 1 2x 1 1
2 2
⇒ = + − − ≤ + − − = − ≤
0,50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 , thoả mãn điều kiện (1) . Vậy giá trị lớn nhất
của P bằng 1. 0,25
2) ( 1,25 điểm)
* Nếu x
≥
y
4x 4y 0⇒ − ≥
. Từ giả thiết x
2
y
2
– 4x + 4y = z
2
(1) suy ra
x

2
y
2
= 4x – 4y + z
2

≥
z
2

xy z⇒ ≥
(2) . Mặt khác do x, y nguyên và cùng lớn hơn 1
nên x(2y – 4 ) > 1 – 4y
⇒
2xy – 1 > 4x – 4y (3)
0,50
Từ (1), (3) suy ra
z
2
= x
2
y
2
- ( 4x – 4y) > x
2
y
2
- 2xy + 1 = (xy – 1)
2

⇒
z > xy – 1 (4)
Mà (xy – 1) và xy là hai số nguyên dương liên tiếp nên từ (2) và (4) suy ra xy = z .
Thay xy = z vào (1) suy ra x = y . 0,25
* Nếu x < y , lập luận tương tự như trên suy ra xy < z (5)
Mặt khác y(2x – 4) > -1 – 4x
⇒
- (4x – 4y) < 2xy + 1
2 2 2 2 2
z x y (4x 4y) x y 2xy 1 z xy 1⇒ = − − < + + ⇒ < +
(6)
Từ (5),(6) suy ra xy < z < xy + 1 (vô lý vì z là một số nguyên và xy; xy + 1 là hai
số nguyên liên tiếp).
Vậy x = y.
0,50

Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh
4