gioi thieu de kt HKII

GIỚI THIỆU ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯƠNG HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN. LỚP: 11 (CƠ BẢN)
ST
T
Mã
câu
hỏi
Ý,
thời
gian
Nội dung
Đáp án
Điểm
1 0401 B, 8’
Tìm :
(
)
4 2
lim 3 2n n n− +
1,0
(
)
4 2 2
3
3
lim 3 2 lim 1 2
 
− + = − + = +∞
 ÷
 ÷
 

n n n n
n
0,5
Vì
3
3
lim 1 2 3 0
n
 
− + = >
 ÷
 ÷
 
và
2
limn = +∞
0,5
2
0401 A, 8’
Tìm :
2
2
2 3 1
lim
2
− −
− +
n n
n
1,0

2
2
2
2
2
2
3 1
2
2 3 1
lim lim
2
2
1
n
n n
n n
n
n
n
 
− −
 ÷
− −
 
=
− +
 
− +
 ÷
 

0,5
=
2
2
3 1
2
2
lim 2
2
1
1
n n
n
− −
= = −
−
− +
0,5
3
0401 C, 10’
Tìm :
(
)
2
lim 1 1n n
− − +
1,0
(
)
2

2
2
lim 1 1 lim
1 1
n
n n
n n
−
− − + =
− + +
0,5
2
2
lim 1
1 1
1 1
n n
−
= = −
− + +
0,5
4 0401 C, 10’
Tìm :
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
 
− +

 ÷
+
 
1,0
3 4 1
lim
2.4 2
n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
=lim
3 1
1
4 4
1
2
2
n n
n
   
− +
 ÷  ÷
   
 
+
 ÷

 
0,5
1
2
= −
0,5
5
0401 B, 8’
Tính tổng
2
2 2 2
2
3 3 3
= + + + + +
n
S
1,0
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu
1
1
2 vµ c«ng béi
3
u q= =
.
0,5
Suy ra
1
2
3
1

1
1
3
= = =
−
−
u
S
q
0,5
6 0401 B, 8’
Tính tổng
1
1 1 ( 1)
1
5 25 5
n
n
S
−
−
= − + − + + +
1,0
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,5
= − = −
1
1
1 vµ c«ng béi
5
u q

.
Suy ra
1
1 5
1
1 6
1
5
u
S
q
−
= = = −
−
 
− −
 ÷
 
0,5
7 0402 B, 10’
Tìm:
2
1
4 2
lim
1
x
x x
x
+

→
− +
−
1,5
Ta có :
( )
2
1
lim 4 2 1 0
x
x x
+
→
− + = − <
,
0,5
( )
1
lim 1 0
x
x
+
→
− =
và x – 1 > 0 với mọi
( )
1 ;x ∈ + ∞
0,5
Do đó,
2

1
4 2
lim
1
x
x x
x
+
→
− +
= −∞
−
0,5
8
0402 A, 10’
Tìm
( )
3 2
lim 4 2
x
x x x
→−∞
− + −
1,0
Ta có
( )
3 2 3
2
4 2
lim 4 2 lim 1

x x
x x x x
x x
→−∞ →−∞
 
− + − = − + − = −∞
 ÷
 
0,5
Vì
3
2
4 2
lim vµ lim 1 1 0
x x
x
x x
→−∞ →−∞
 
= −∞ − + − = − <
 ÷
 
0,5
9 0402 C, 10’
Tìm :
1
3 2
lim
1
x

x
x
→
+ −
−
1,5
( )
( )
2
1 1
3 2
3 2
lim lim
1
1 3 2
x x
x
x
x
x x
→ →
+ −
+ −
=
−
− + +
( )
1
1
lim

1 3 2
x
x
x x
→
−
=
− + +
0,75
1
1 1
lim
4
3 2
x
x
→
= =
+ +
0,75
10 0402 A, 8’
Tìm:
2 1
lim
3
→+∞
−
−
x
x

x
1,0
1
2
2 1
lim lim
3
3
1
→+∞ →+∞
−
−
=
−
−
x x
x
x
x
x
0,5
1
lim 2
2 0
2
3
1 0
lim 1
→+∞
→+∞

 
−
 ÷
−
 
= = =
−
 
−
 ÷
 
x
x
x
x
0,5
11
0402 C, 10’
Tìm
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→
− +
−

1,5
2
2 2
3 2 ( 1)( 2)
lim lim
2 ( 2)
x x
x x x x
x x
→ →
− + − −
=
− −
0,75
2
lim( 1) 1
x
x
→
= − =
0,75
12 0403 B, 12’ Xét tính liên tục của hàm số :

−
≠

=
−



=

2
4
nÕu 2
( )
2
3 nÕu 2
x
x
f x
x
x
tại
0
x
= 2.
1,5
Ta có:
2
2 2 2
4
lim ( ) lim lim( 2) 4
2
x x x
x
f x x
x
→ → →
−

= = + =
−
và
0,75
f(2) = 3. Vì
2
lim ( ) (2)
x
f x f
→
≠
nên hàm số không liên tục tại x = 2.
0,75
13 0403 C, 15’ Tìm số thực a sao cho hàm số liên tục trên
¡
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi
f x
x
a khi

− −
≠ −


=
+



1,5
Tập xác định của hàm số là
¡
.
• Nếu x ≠ -1 thì
2
2
( )
1
− −
=
+
x x
f x
x
là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là
(- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞) nên nó liên tục trên mỗi khoảng (- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞)
0,5
• Nếu x = -1, ta có : f(-1) = a và
2
1 1
2
lim lim( 2) 3
1
→− →−

− −
= − = −
+
x x
x x
x
x
0,5
Hàm số f(x) liên tục trên
¡
⇔
1
lim ( ) ( 1)
→−
= −
x
f x f
⇔ a = -3
0,5
14 0403 D, 10’
Chứng minh rằng phương trình
3 2
4 2 0x x+ − =
có ít nhất 2 nghiệm.
1,0
3 2
( ) 4 2f x x x= + −
là hàm đa thức nên liên tục trên
¡
nên nó liên tục trên

mỗi đoạn [-3 ; 0], [0 ; 1], và vì :
0,25
f(-3).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong
khoảng (-3 ; 0)
0,25
f(1).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong
khoảng (0 ; 1)
0,25
Vì (-3 ; 0) ∩ (0 ; 1) = ∅ nên phương trình có ít nhất hai nghiệm.
0,25
15 0402 C, 7’
Xét tính liên tục của hàm số
1 nÕu 0
( )
nÕu 0
x x
f x
x x

− ≥

=

<


tại x = 0
1,0
Ta có
( )

0 0 0 0
lim ( ) lim 1 1, lim ( ) lim 0
x x x x
f x x f x x
+ + − −
→ → → →
= − = − = =
0,5
Vì
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
≠
nên hàm số không tồn tại
0
lim ( )
x
f x
→
. Do đó hàm số
gián đoạn tại x = 0
0,5
16 0502 A, 5’
Tính đạo hàm của hàm số
4 3
2
5

2 3
= − + −
x x
y x
1,0
4 3
2
' ( ) (5)
2 3
′ ′
   
′ ′
= − + −
 ÷  ÷
   
x x
y x
0,5
3 2
2 1= − +x x
0,5
17 0502 B, 8’
Tính đạo hàm của hàm số
4 3
2
x
y
x
−
=

+
1,0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4 3 ' 2 2 ' 4 3
'
2
x x x x
y
x
− + − + −
=
+
0,5
( ) ( )
2 2
4( 2) (4 3) 11
2 2
x x
x x
+ − −
= =
+ +
0,5
18 0502 B, 8’
Tính đạo hàm của hàm số
2
2 3
1

x x
y
x
− +
=
−
1,0
( ) ( )
( )
( )
2
2
4 1 1 ( 1) 2 3
'
1
x x x x
y
x
− − − − − +
=
−
0,5
( )
2
2
2 4 2
1
x x
x
− + +

=
−
0,5
19 0503 C, 12’
Giải phương trình f’(x) = 0, biết
2
( ) 2sin cot 2= +f x x x
1,5
3
2 2
2 2sin 2 2
'( ) 4sin cos
sin 2 sin 2
−
= − =
x
f x x x
x x
0,75
3
'( ) 0 sin 2 1 sin 2 1 2
2 4 2
π π π
π
= ⇒ − ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +f x x x x k x k
0,75
20 0502 C, 10’
Tính đạo hàm của hàm số
( )
2

2 1y x x= − +
1,0
( )
2
2
2
' 1 2
2 1
x
y x x
x
= + + −
+
0,5
=
2 2 2
2 2
1 2 2 2 1
1 1
x x x x x
x x
+ + − − +
=
+ +
0,5
21
0505 B, 12’
Cho hàm số
( ) 3( 1)cosf x x x= +
. Tính

''
2
f
π
 
 ÷
 
.
1,5
f’(x) = 3cos x – 3(x + 1)sin x; 0,5
f”(x) = -6sin x - 3(x + 1)cos x 0,5
'' -6sin - 3( + 1)cos 6
2 2 2 2
π π π π
 
= = −
 ÷
 
f
0,5
22 0501 C, 8’
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
3
4 3y x x= − +
tại điểm có
hoành độ bằng 2.
1,0
f’(x) = 3x
2
– 4, f(2) = 3, f’(2) = 8 0,5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 3 = 8(x -2) ⇔ y = 8x – 13.
0,5
23 0501 C, 8’
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
3
4 3y x x= − +
tại điểm có
hệ số góc k = -1.
1,0
3x
2
– 4 = -1 ⇔ x = ± 1 ⇒ f(-1) = 6, f(1) = 0
0,5
Có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - 0 = -1(x – 1); y + 6 = -1(x + 1) 0,5
24
0502 C, 12’
Cho hàm số f(x) =
2 1x +
. Tính
(4) 6 '(4)f f−
1,5
Ta có
(2 1)' 1
'( )
2 2 1 2 1
x
f x
x x
+
= =

+ +
0,5
f(4) = 3,
1 1
'(4)
3
2.4 1
f = =
+
0,5
1
(4) 6 '(4) 3 6. 1
3
f f+ = − =
0,5
25
0505 B, 8’
Cho hàm số:
2
1
2
x
y x= + +
. Chứng minh rằng: 2y.y” – 1 = y’
2
.
1,0
Ta có : y’ = x + 1; y” = 1 0,5
Suy ra : 2y.y” -1 =
( )

2
2
2 2
2 1 1 2 1 1 '
2
x
x x x x y
 
+ + − = + + = + =
 ÷
 
(ĐPCM)
0,5
26 0502 D, 10’
Xác định a để f’(x) > 0 ∀x ∈
¡
, biết rằng
3 2
( ) ( 1) 2 1f x x a x x= + − + +
1,0
2
'( ) 3 2( 1) 2f x x a x= + − +
có
2
' 2 5a a∆ = − −
0,5
f’(x) > 0 ∀x ∈
¡
⇔ ∆’ < 0 hay
2

2 5 0 1 6 1 6a a a− − < ⇔ − < < +
0,5
27 0501 C, 12’
Cho đường cong (C) có phương trình
1
( )
1
x
f x
x
−
=
+
. Viết phương trình tiếp
tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2x.
1,5
Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x nên đường thẳng d có hệ số
góc là 2. Suy ra f’(x) = 2
0,5
⇔
( )
( )
2
2
0
1 1
2
2
2
1

1
x
x
x
x
x

=

+ =

= ⇔ ⇔
 
= −
+
≠ −



0,5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là :
y – y(0) = 2(x – 0) ⇔ y + 1 = 2x ⇔ y = 2x – 1
0,5
y – y(-2) = 2(x + 2) ⇔ y – 3 = 2x + 4 ⇔ y = 2x + 7
28 0505 C, 12’ Cho hàm số f(x) = xsin 2x. Giải phương trình f”(x) =
4 cos 2 2x x
−
2,0
'( ) sin 2 2 cos 2f x x x x= +
,

( )
"( ) 2 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4 sin 2f x x x x x x x x= + − = −
0,5
Phương trình f”(x) =
4 cos 2 2x x−
⇔
4 sin 2x x
= 2x ⇔ x(2sin 2x – 1) = 0
0,25
x = 0
2sin 2x – 1 = 0 ⇔
5
,
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
0,5
Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 0,
5
,
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +
0,25
29
0501 A, 8’

Viết Phương trình tiếp tuyến của (C ):
3 2
( ) 2 1y f x x x x
= = − + −
tại điểm
A(2 ;1)
1,0
Ta có:
'y
= 3x
2
- 4x + 1
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A là k =
'y
(2) = 5
0,5
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9. 0,5
30
0501 D, 10’
Tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
1
x
, (x > 0) tại điểm M cắt trục tung
và trục hoành tại hai điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của đoạn
thẳng AB
1,0
Gọi
( )
0 0
; ( )M x y C∈

,
0
x
> 0. Ta có
0
2 2
0
1 1
' ; '( )y y x
x x
= − = −
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
0
2 2
0 0
1 1
( )y x x
x x
= − − +
hay
2 2
0 0
1 2
y x
x x
= − +
0,5
Hoành độ giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm của phương
trình :

0
2 2
0 0
2
0 2
B
x
x x
x x
− + = ⇔ =
;
0,25
Giao điểm A của tiếp tuyến với trục tung có hoành độ x
A
= 0. Suy ra
0
2
A B
x x
x
+
=
, mà ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của AB.
0,25